理工微积分第1章 函数与极限习题答案
函数的概念
一、选择题
1.下列各对函数表示相同函数的是( B )
A.2)()(,
)(x x g x x f == B.x x g x x f ==)(,)(2
C.x x g x x f lg 2)(,
lg )(2== D..lg 2
1
)(,ln )(x x g x x f =
= 2.x y sin =的周期为（ D ）
A.2π
B.π
C.π2
D.不存在 3. 3
arcsin 2lg
x
x x y +-=的定义域为 （ C ） （A ）)2,3(]3,(-?-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[?- （D ）),3(+∞-
二、填空题
1.设函数55)(,2)(+==x x g x f x
, 则=-))((x x f g 5255;x
x ?-+ 2.设函数)(x f y =的定义域为]1,0[, 则)2
10()()(<<-++a a x f a x f 的定义域为
3. 函数)2lg(1-+=x y 的反函数为1
102()x y x R -=+∈.
三、解答题
1. 已知x x f e x f x -==1))((,)(2
?, 且0)(≥x ?,求)(x ?的表达式及定义域.
解：因为)1ln()
(1))((x x e x e x f -=-==??, 所以.1),1ln()(<-=x x x ?
2. 判定 )1lg(2++
=x x y 的奇偶性.
解：由于012>++
x x ，即x x >+12，从而R x ∈,
并且)(11lg
)1lg()(2
2x f x
x x x x f -=++=++-=-,
故)1lg(2++
=x x y 为奇函数.
3. 设???≤<-≤=2
1,21
,)(2x x x x x f , 求)1(-x f .
解：当2≤x 时, 2)1()1(-=-x x f ,
当32≤ 即 ? ??≤<-≤-=-32,32 ,)1()1(2x x x x x f 4*. 收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是定购 量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元. （1）将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数； （2）将厂方所获的利润L 表示成订购量x 的函数； （3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？ 解：(1) 90, 0100,()910.01,1001600,75,1600.x P x x x x ≤≤?? =-<≤??>? 2230,0100,(2)()(()60)310.01,1001600, 15,1600.(3)(1000)3110000.01100021000. x x L x x P x x x x x x L ≤≤? ? =-=-<≤??>? =?-?= 5.(*)设??? ??≥+<=0,110,1)(2 x x x x f , ?????≤>-=0,0,1)(2x x x e x x ?.求)).((x f ? 解：当,0)( ())((4 211 11x x x f += += ?? 即 .,,))((??? ??≤+>=011014 x x x x f ? 1.2 数列与函数的极限 一、选择题 1.数列 ,10 1 ,0,81,0,61,0,41,0,21,0:--- n x （ B ） A.发散 B.收敛于0 C.收敛于-1 D.收敛于1 2. 下列数列}{n x 中收敛的是（ B ） （A ）n n x n n 1)1(+-= （B ）1n 1(1)n x n +=- （C ）(1)2n n x -= （D ）1(1)10 n n n x =-+ 3. 设2 32,0()2,0 x x f x x x +≤?=? ->?, 则0 lim ()x f x + →=（ B ） （Ａ）2 （Ｂ）2- （Ｃ）1- （Ｄ）0 二、填空题 1. 数列11110,,0,,0,,0,,2468L 的通项n a = 1(1)2n n +-, 及lim n n a →∞= 0 。 2.=--→2 4 lim 22x x x 4 3. 10 lim x x e +→= ，10 lim x x e -→= ，0 1lim arctan x x + →= ，01lim arctan x x - →= . 三、解答题 1.设?? ?>-<=, ,, ,)(3133x x x x x f , 求)(lim x f x -→3, )(lim x f x +→3 , )(lim x f x 3→. 2. 讨论函数x x x f = )(在0=x 处的极限是否存在. 3. 极限a x f x x =→)(lim 0 可改写成)()(x a x f α+=, 其中00 =→)(lim x x x α. 将下列极限完 成这种改写, 并求出相应的).(x α (1) )(lim 132 -→x x ; (2) x x 3 →lim . 4*. 根据函数极限定义证明: .11)53(lim 2 =+→x x 证明：对,0>?ε取03 >= ε δ, 当δ<-<20x 时，就有 εδ=<-=-=-+3236311)53(x x x 成立, 即.11)53(lim 2 =+→x x 5*.设??? ? ???∞<≤<≤<-=x x x x x x f 1110, 0,11 )(. 试分别讨论)(x f 在1,0→→x x 时的极限. 证明：在0→x 时有： 111 lim )(lim 00 =-=- -→→x x f x x , 0lim )(lim 00==++→→x x f x x , 从而)(lim 0x f x →不存在; 11lim )(lim ,1lim )(lim 1 11 1====+ + -- →→→→x x x x x f x x f , 从而.1)(lim 1 =→x f x 极限的四则运算 一、选择题 1.已知3lim , 2lim ==∞ →∞ →n n n n y x , 则=∞ →n n n y x lim （C ） A.2 B 3 C.6 D.不存在 2. 3 3 22 22lim --→x x x 的值为（ C ） A 2 B 3 4 C 3 42 3 D ∞ 3. 当0→x 时，函数 x x 1 cos 1是（ D ） （A ）无穷小； （B ）无穷大； （C ）有界的，但不是无穷小； （D ）无界的，但不是无穷大. 二、填空题 1. =++→)(lim 12 1 x x x 3 2. )5351( lim 3 1 x x x ---→ 的值为 12- 3. 当→x ∞ 时， 11-x 是无穷小；当→x 1时，1 1 -x 是无穷大. 4. 当→x - 0 时，x e 1 是无穷小；当→x + 0 时，x e 1是无穷大. 三、解答题 1. )cos sin ( lim x x x x x +∞→; 解：因为,0sin lim =∞→x x x 同理0cos lim =∞→x x x 从而.000cos lim sin lim )cos sin ( lim =+=+=+∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 2. )423(lim 2 2 +-→x x x 解：124232 2 =+-→)(lim x x x 3. 1 1lim 1--→x x n x 解：n x x x x x x x n n x n x =-++++-=----→→1 11112111) )((lim lim 4. 2 21n n n +++∞→ lim ; 解：.) (lim lim 21121 2122=+=+++∞→∞→n n n n n n n 5. 2 33 21)1(1 2lim -+-→x x x x ; 解：233233 12231233 21111 11112]) )(([lim )()(lim )(lim ++--=--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x 91 1 1 233 21=++=→)( lim x x x 6. )11 13( lim 3 1 x x x ---→ 解：1121211132132131=+++=---=---→→→x x x x x x x x x x x lim lim )(lim 四*.计算01 sin 01sin lim lim 1sin lim 000 =?==→→→x x x x x x x x 错在何处, 请指正. 解：本题错在使用极限四则运算时, 必须每个极限都得存在, 而此时x x 1 sin lim 0 →不存在. 应该为：0lim 1 sin lim 1sin lim 00 00 =≤?=≤→→→x x x x x x x x , 从而.01sin lim 0=→x x x 五*.计算3 8 231lim x x x +---→的值. 解：对分子分母同时有理化得 .lim ) ()()()(lim lim 26 12 3 12431824823132 38 3238 38 -=- =+-+--=+-?++-?+-=+---→-→-→x x x x x x x x x x x x x 极限存在的两个准则和两个重要极限 一. 利用夹逼定理求下列极限： (1))( lim π ππn n n n n n ++++++∞ →2 221 211 证明：因为πππππ+<++++++<+22 22222)1211(n n n n n n n n n n 且1lim lim 22 2 2=+=+∞→∞→π πn n n n n n n , 由夹逼准则可知 .1)1 211( lim 2 22=++++++∞ →π ππn n n n n n (2) ).(lim n n n n n ++++++∞ →22212111 证： 22222 111121 )n n n n n n n n n <+++<+++++ 2201lim lim n n n n n n n →∞→∞==++，由夹逼准则可知 222 111 012lim( )n n n n n →∞ +++=+++ 二. 利用单调有界原理证明下列数列极限存在，并求出其极限： (1) ，1216666-+=+== n n x x x x ,,, 证明：i) 显然0>n x , 首先用数学归纳法证明3 假设k n =时不等式也成立, 即3 +k k x x 也成立, 从而对任意自然数 3, 再证数列n x 单调递增; 事 实 上 , n n n n n n n n x x x x x x x x ++-+= -+=-+6662 1, 此时可令 )3,0(,6)(2∈-+=x x x x f , 则].425 ,0()(∈x f 从而0662 1>++-+= -+n n n n n n x x x x x x , 即n x 单调递增. 由单调有界原理可知, 16-+=n n x x 的极限存在. ii) 下面给出数列n x 的极限值. 设)0(,lim >=∞ →A A x n n , 则对16-+= n n x x 两边取极限有： A x x x A n n n n n n +=+= +==-∞ →-∞ →∞ →6lim 66lim lim 11, 解之得 .3=A (2*) 111122,,,n n n x x x x +?? == + ??? 证：显然 0n x >， 111112n n n x x x --?? = +≥ ??? ， 2 111111 0222n n n n n n n n n x x x x x x x x x +????--=+-=-=≤ ? ????? 所以，数列{}n x 单调递减，且有下界，设0lim ()n n x A A →∞ => 11111122lim lim lim n n n n n n x x A A A x A +→∞→∞→∞?? ?? ?=+ ?=+?= ? ? ?? ?? 三. 计算下列极限： 1. x x x 350sin sin lim →； 2. x x x x sin 2cos 1lim 0-→; 3. x x x tan lim 0→; 4. )0,(sin sin lim 0≠→βαβαx x x ; 5. x x x π sin lim →∞ ; 6. h x h x h cos )cos(lim -+→0. 解：1. 00555 333 sin lim lim sin x x x x x x →→== 2. 2 200121222()cos lim lim sin x x x x x x x →→-== 3. 01tan lim x x x →= 4. β α βαβα==→→x x x x x x 00lim sin sin lim 5. ππ π =? =∞ →∞ →x x x x x x lim sin lim 6. x h h h x h x h x h h sin sin )sin(lim cos )cos(lim -=+-=-+→→22200 四. 计算下列极限 1. x x x 1021)(lim +→; 2. 2 )2(lim x x x x +∞→. 3. 5 )21(lim +∞→+x x x ； 4. x x x -→1lim 0 5. x x x cot 20 )tan 1(lim +→; 6. x x x x )1212( lim +-∞→. 解：1. 22210 1 2121e x x x x x x =+=+?→→) (lim )(lim 2. 12 2222212-+?+∞→∞→=+-=+e x x x x x x x x x )(lim )(lim 3. 225 252121e x x x x x x x x =+=+?+? ∞→+∞→)(lim )(lim 4. 11 11-→→=-=-e x x x x x x )(lim lim 5. 220 1e x x x =+→cot ) tan (lim 6. 11 222121 22 11212-+? +∞→∞→=+-=+-e x x x x x x x x x )(lim )(lim 五*. 设?? ? ??≥+<=0,20,tan )(2x x x x ax x f ,且)(lim 0 x f x →存在, 求a 的值. 解：22002 =+=++ →)(lim )(x f x , a ax a ax a ax ax x ax f x x x ==?=---- →→→cos lim )cos sin (lim tan lim )(000 00 由)(lim 0 x f x →存在得, .2=a 六*. 设11x a y b ==，(0)a b <<，n n n y x x = +1，2 1n n n y x y += +. （1）证明数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少且满足(1,2,...)n n x y n <=； （2）证明数列}{n x 和}{n y 都收敛，并且有相同的极限. 证明：（1 ）11122 (,,)n n n n n n x y x y x y n +++= < =?<= 1122;n n n n n n n n x y y y x x y y ++++=> == <= （2）设lim ,lim ,n n n n x a y b →∞ →∞ ==根据12 n n n x y y a b ++= ?= 无穷小量的比较 一、选择题 1.下列函数中当0→x 时,与无穷小x 相比是高阶无穷小的是（ D ） A x sin B 2 x x + C x D x cos 1- 2.函数)(x f 在0x x →时, 若（ D ） A 不是无穷大, 则必有界 B 极限不存在, 则必为无界 C 是无界, 则必为无穷大 D 是无穷小, 则必存在极限 3. 当n →∞时，为了使2 1sin n 与1 k n 等价，k 应为 （ C ） （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）3 二、填空题 1.=+→x x x x 5220 sin lim 2 5 2.当+∞→x 时, 1 14 ++x x 与x 1比较是 3 阶无穷小量？ 三、利用等价无穷小量求下列极限 1. 30sin tan lim x x x x -→； 2. x e x x 1 lim 0-→; 3. 3302) (sin sin lim x x x →; 4. 2301x x x x cos tan sin lim -?→; 5*. x e x x x x arcsin )1(1)1ln(1lim 20--++→; 6. x x x x x x arcsin )(cos sin lim 12113 0-+-+→. 1解：3 0303 0cos cos 1sin lim )1cos 1( sin lim sin tan lim x x x x x x x x x x x x x -?=-=-→→→.2 1 cos 21lim 2 30=?=→x x x x x 2.解：因为1ln ])1(lim ln[)1ln(lim ) 1ln(lim 1 01 00==+=+=+→→→e x x x x x x x x x 从而x x ~)1ln(+, 所以01ln lim )]1ln([ln lim )]1ln([lim 000=+=+-=+-→→→x e x e x x x x x x x 即 0)1lim ln(1ln lim 00=+=+→→x e x e x x x x , 所以11lim 0=+→x e x x , 即.11 lim 0=-→x e x x 3. 8 1 22330330==→→)(lim )(sin sin lim x x x x x x 4. 22 1 1430230=?=-?→→x x x x x x x x lim cos tan sin lim 5. 解：原式.4 1 221lim arcsin 2)1ln(21lim 2200==?+=→→x x x x x x x x 6. x x x x x x x x x x x x arcsin )(cos sin lim arcsin )(cos sin lim 12111112113 3 -+-+-+=-+-+→→ . arcsin lim arcsin sin lim arcsin )(cos lim arcsin )(sin lim 65213122 1 212213112111211120003 0=+=??+??=-+-+-+-+=→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x 四. 当0→x 时, 若x cos 1-与n mx 等价, 求n m ,的值. 解：依题意, 121lim 21lim cos 1lim 20200===--→→→n x n x n x x m mx x mx x 从而 ?? ? ??=-=02121n m , 解得.2,21==n m 五*. 求22011ln()ln() lim sin x x x x x x x →+++--?的值. 解：原式222200111ln[()()]ln[()] lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→++?---+==?? 2222 222000111()()lim lim lim().x x x x x x x x x x →→→-+-+===-+=- 连续函数与间断点 一、选择题 1.要使函数2 cos 1)(x x x f -= 在0=x 处连续, 则要求补充定义=)0(f （B ） A 41 B 2 1 C 1 D 2 2. 函数)(x f 在点0x 处连续的充要条件是当0x x →时（ C ） （A ）)(x f 有极限 （B ）)(x f 的左右极限都存在 （C ）0()()f x f x -是无穷小量 （D ）)(x f 是无穷小量 3. 下列函数在0=x 处不连续的是（B ） A ?????>≤=00 x x x x e x f x ,sin ,)( B ?? ? ??=≠=010x x x x x f ,,sin )( C ?????=≠=000 12x x x x x f , ,cos )( D ?????=≠=-0004 1x x e x f x ,,)( 二、填空题 1.已知??? ????>=<-=0 ,sin 0,20,) 31ln()(x x ax x x bx x x f 在实数集上连续, 则=a 2 ，=b 3 2- . 2.0=x 是2 cos 1)(x x x f -= 的 第一类可去 间断点. 三．求下列函数的间断点，并指出其类型： 1. 224 ()56 x f x x x -=-+； 2. 1 1()1x x f x e -= -. 1. 解：显然2,3x ≠，且22224(2)(2) lim lim 456(2)(3) x x x x x x x x x →→-+-===--+-- 2234 lim 56 x x x x →-==∞-+，从而2x =为()f x 的第一类可去间断点，3x =为()f x 的第二类无穷间断点。 2. 解：这里0,1x ≠，且 0 1 1lim 1x x x e →-=∞-，1 1 1 1 11lim 0,lim 111x x x x x x e e + - →→--==--，从而 0x =为()f x 的第二类无穷间断点，1x =为()f x 的第一类跳跃间断点。 四．解答题 1. 求函数231y x x =++，当1,0.1x x =?=时的增量. 解：函数的增量][])()[()()(131322++-+?++?+=-?+=?x x x x x x x f x x f y 510103*********....)(=?++?=?+?+??=x x x x 2. 求函数221 ()32 x f x x x -=-+的连续区间. 解：显然1,2x ≠，从而221 ()32 x f x x x -=-+在(,1)(1,2)(2,)-∞+∞ 上连续。 3计算)]1 21cos[ln(lim 2x x x -+ ∞ →的值. 解：因为2 21 lim ln(1)ln10x x x →∞ -+ ==， 从而22 2121 lim cos[ln(1)]cos[lim ln(1)]1x x x x x x →∞ →∞--+ =+= 4. 设函数216 ,4()4,4x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在(,)-∞+∞内连续，求a 的值. 解：由连续函数的定义可知 4lim ()(4)x f x f a →==，且424lim ()lim 16 84 x x x x x f →→-=-= 从而8a = 五．利用初等函数的连续性计算下列极限： 1. sin lim x x x e → ； 2. x→ 3. tan lim ln 1 x x x e →- . 1.解： sin 00 sin lim exp(lim)exp(1) x x x x x e e x →→ === 2.解： 1] x x →→ == 3 2 = 3.解： 000 tan tan lim ln ln[lim]ln[lim]0 11 x x x x x x x x e e x →→→ === -- 六*. 讨论函数 x n x n n e e x x x f + + = ∞ → 1 lim ) ( 2 的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解：函数 2 2 2 2 1 1 1 lim, ()lim lim, n x n n n x x n n n x x n n x x x e x x x x e e f x e x x e x x e →∞ →∞ →∞ ? + ?=> ? +?+ ==? ? ++ ?=< ? + ? 在0 x≠处连续, 且 00 lim()lim() x x f x f x +- →→ ==, 从而0 x=为() f x的第一类可去间 断点. 七. 证明: 方程10 7 32 4= + -x x x在区间]2,1[上至少有一个实根. 证明：令42 3710 () f x x x x =-+-, 则1528 (),() f f =-=, 从而1240 ()() f f?=-, 由零点定理可知,至少存在12 (,) ξ∈, 使得0 () fξ=, 即42 3710 ξξξ -+=. 八．设函数f (x)，g(x)在[a,b] 上连续且f (a) > g(a)，f (b) < g(b)，求证：在（a,b）内，曲线y = f (x) 与y = g (x) 至少有一个交点. 证：据题意F(x)=f (x)-g (x)，显然在[a,b]上连续且 F (a )=f (a )-g (a )>0， F (b )=f (b )-g (b )<0， 据闭区间上连续函数的零值定理，可知：在（a ,b ）内至少存在一点ξ，使F （ξ）=0，即f (ξ)-g (ξ)=0，所以f (ξ)=g (ξ)，曲线y =f (x )与y =g (x )在（a ,b ）内至少有一个公共点ξ，即至少存在一个交点。 证毕 九*. 证明: 若)(x f 在],[b a 上连续, 且b x x x a n =<<<= 21, 则在],[1n x x 上必有点ξ, 使得.) ()()(1n x f x f f n ++= ξ 证明：由于)(x f 在],[b a 上连续, 从而)(x f 有最小值m 与最大值M , 即 {()}i m f x M ≤≤, 所以 1 () n i i f x n m n M m M n n n =??=≤≤ =∑, 由介质定理可知ξ?∈1[,]n x x , 使得.) ()()(1n x f x f f n ++= ξ 函数与极限 综合练习 一、选择题 1. 函数4 )4ln(-+= x x y 的定义域是（A ） A.}4{>x x ， B.}4{->x x ， C }4{≥x x ， D.}.4{-≥x x 2. 已知sin40 1lim lim x x x x x x e x k →∞→+??= ?+??, 则k =（ B ） （A ）2 （B ）－3 （C ）3 （D ）4 3. 下列极限中，正确的是 （ D ） （A ）e x x x =-∞→)11(lim （B ）e x x x =+∞→1 )1(lim （C ）e x x x =+→1 )31(lim （D ）e x x x =++→210 ) 1(lim 4. 当0→x 时, )0(3>-+a a x a 与x 相比是几阶无穷小量？（C ） 5. 设函数??? ? ???<<+=<<-=8 01 0031 x K x x x L x x x x f ,sin ,, sin )(在定义域内连续, 则K L ,的值为（C ） A 1, 0==K L B 0,1==K L C 1,1==K L D 0,0==K L 解：因为)(x f 在定义域内连续，所以只需要)(x f 在分断点0=x 处连续就可以了， 要)(x f 在0=x 处连续，即)()()(00000f f f =+=- 二、填空题 1. 设1)1(2-=+x x f , 则=)(sin x f 2 s i n 2s i n x x - 2. 已知lim (52x x →+∞ =,则=a __25_,=b ___-20_. 3. 5 3342lim 323+-+-+∞→x x x x x x 的值为 2 4. 1 2 +∞→+x x x )( lim 的值为 3e - 5. 已知当0x →时，113 12-+)(ax 与x cos -1是等价无穷小，则常数a = ___ 2 3 ___。 1.计算下列极限： (1) 12321 lim ( )x x x x +→∞ ++ (2) 01 2lim sin x x → (3) 232lim[(sin )]x x x x x x →∞++- (4) 2511 31lim (sin )x x x x →∞+- 解：（1）21211221 23212121 () lim ()lim () x x x x x x x e x x ++?++→∞→∞+=+=++ （2 ）001 1 224 lim sin x x x x →→== （3）2223323 2202()lim[ (sin )]lim lim sin x x x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞→∞++?++=+?=+=--- （4）222005 151******** 1sin lim (sin )lim sin lim[]()x t t x t t t t x x t t t →∞→→+++==?=--- 2. 设22131lim sin() x x ax b x →++=-, 求,a b 的值. 解：依题意，当1→x 时，012→-)sin(x ，要使极限存在，可知，02 →++b ax x ， 从而45,a b ==- 3. 指出下列函数的间断点，并说明这些间断点的类型，若是第一类可去间断点，请补充函 数的定义使函数在改点连续. (1)224 56 ()x y f x x x -==-+ (2) 22 1()()x x y f x x x -==- (3) sin ()x y f x x == (4) 1110()ln(), f x x x x x =-<≠，且 解：(1)23,x ≠, 且222242242356()() lim lim ()()x x x x x x x x x →→--+==----+为可去间断点，可补充 24()f =-，同时22334222356()() lim lim ()() x x x x x x x x x →→--+==∞---+为第二类无穷间断点. (2) 01,x ≠± 22000111lim ()lim lim ()()x x x x x x f x x x x x ++ +→→→-===+- 22000111lim ()lim lim () ()x x x x x x f x x x x x --+→→→-===--+- 所以0x =为第一类跳跃间断点， 2211111121lim ()lim lim ()()x x x x x f x x x x →→→-===+-，所以1x =为第一类可去间断点 2211111 1lim ()lim lim ()x x x x x f x x x x →-→-→--==-=∞+-，所以1x =-为第二类无穷间断点 综上，0x =为第一类跳跃间断点，1x =-为第二类无穷间断点，1x =为第一类可去间断点，可补充1 12 ()f = (3) 0x ≠，因为0 011sin sin lim ,lim x x x x x x + -→→==-，从而0x =为第一类跳跃间断点 4.计算1 353 02lim()x x x x x →++的值 .