常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数

(1) 离散型随机变量

[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者

无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概

率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分

布或分布律，表格表示形式如下：

[2] 性质： ?

0i p ≥ ?11n i i p

==∑

?分布函数()i i x x F x p ==

∑ ?1{}()()i i i P X

x F x F x -==-

(2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非 负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：

()()x

F x f x d x

-∞=

? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函

数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质

?()0f x ≥

?

()1f x dx +∞

-∞=?

?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞

-∞<≤=-=

?

?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '=

(3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别：

[1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是

(),-∞+∞，对于任何x ，000

{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间

断点，其图形呈阶梯形。

[2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随

机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1.

[3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何

给定值的概率都为0.

[4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之

间取值的概率与区间端点无关，即：

{}{}

{}{}()()

()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx

<<=≤≤=<≤=≤<=-=?

即：{}{}()P X b P X b F x <=≤=

(4) 常用的离散型随机变量的分布函数：

[1] 0-1分布： 如果离散型随机变量X

1{}k k P X k p q -==

（ K=0、1） ()01p ≤≤ ()1q p =- 称X 服从参数为p 的0-1分布。

[2] 二项分布：

如果离散型随机变量X 的概率分布为：

{}k k n k n P X k C p q -==

()01k n =、

…… ()01p ≤≤ ()1q p =- 称X 服从参数为n 、p 的二项分布，简记为~(,)X B n p {注：进行一次实验，若实验的成功率为p ，则在一次实验中成功的次数X 服从参数为p 的0-1分布}

{二项分布描述n 重伯努利实验，若每次试验的成功率为p ，则进行n 次独立重复试验，则成功的总次数X 服从参数为n 、p 的二项分布}

{如果X 服从二项分布~(,)X B n p ，则Y=n-X 服从二项分布

~(,1)X B n p -}

[3] 超几何分布：

如果离散型随机变量X 的概率分布为：

1

212{}m n m N N n N N C C P X m C -+==

()01m n =、

…… 称X 服从参数为n, 1N 、2N 的超几何分布，其中n, 1N 、2N 都为正整数，且n ≤1N +2N

{当2n N >时，去正概率的X 值不是从0开始，而是从2n N -开始；当1n N >时，去正概率的X 值最大不是n,而是1N }

[4] 泊松分布（Poisson ）

如果随机变量X 的概率分布为：

{}!k

P X k e k λλ-==

()01k n =、

…… 则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，简记为~()X P λ.

[5] 总结：在离散型的几个常用分布中，二项分布与其他几个分布关系最为密切：

1) 参数为p 的0-1分布，就是参数为n 、p 的二项分布

(,)B n p 当n=1时的特例；

(5) 常用连续型随机变量的分布函数

[1] 均匀分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为： 1()0

a x

b f x b a ≤≤=-其他 则称X 服从区间[,]a b 上的均匀分布，其分布函数为：

0()1

x a x a F x a x b b a x b <-=≤≤-> 在[,]a b 上服从均匀分布的随机变量X 在[,]a b 内任一子区间上取值的概率只依赖于该子区间的长度，而与其在[,]a b 内的位置无关。即：若[,][,]c d a b ∈，则：

{}d c P c X d b a

-≤≤=- [2] 指数分布：

如果连续型随机变量的概率密度为：

()00x x e f x x λλ->=≤则称X 服从参数为λ的指数分布，其

中0λ>，相应的分布函数为：

01()00

x x e F x x λ-≥-=< ① 指数分布常用作一些电子元器件的使用寿命。

② 指数分布具有无记忆性。

[3] 正态分布：

A. 正态分布的概率密度为：

2

2

()

2

()

x

f x e

μ

σ

--

=

(.)

x∈-∞+∞

其中μ和σ均为常数，且0

σ>，简记为：2

~(,)

X Nμσ

B.特别地，当0

μ=、1

σ=时，称X服从标准正态分布，记作~(0,1)

X N，其概率密度为：

2

2

1

()

x

x e

?-

=其分布函数用()x

Φ表示。

C.标准正态分布~(0,1)

X N的分布函数()x

Φ与概率密度()x

?的性质。

a)()()

x x

??

-=即()x

?是一个偶函数。

b)lim()0

x

x

?

→∞

=即x轴是()x

?的水平渐近线。

c)分布函数()()

x

F x

μ

σ

-

=Φ；概率密度

1

()()

x

f x

μ

?

σσ

-

=。

d)若~(0,1)

X N，当C>0时，

{}2()1

P X c c

≤=Φ-

?若随机变量X服从正态分布2

~(,)

X Nμσ，

则xμ

σ

-服从标准正态分布~(0,1)

x

N

μ

σ

-

，且

~(0,1)

x

N

μ

σ

-

?如果2

~(,)

X Nμσ，当0

a≠时，aX b

+服从正态分布22

(,)

N a b a

μσ

+。特别地，如果a=1,

则2~(,)X b N b μσ++。

如果2111~(,)X N μσ,2222~(,)X N μσ,

且1X 、2X 相互独立，则

2222112211221122~(,)

a X a X N a a a a μμσσ+++

(6) 随机变量的函数分布的求法

设X 是一个随机变量，()y g x =是一个实函数，则()Y g X =也是一个随机变量，所谓求随机变量的函数分布问题，就是已知X 的分布及函数()y g x =，求随机变量()Y g X =的概率分布或者概率密度乃至分布函数。

[1] 离散型随机变量的函数分布的求法

如果随机变量的函数()Y g X =是离散型（无论X 是不是离散型的）的，求Y 的分布只要逐点分析出Y 的全部可能取值及取各可能值的相应概率即可。

[2] 连续型函数的分布的求法

1. 分布函数法：

如果随机变量的函数()Y g X =是连续型的，

最基本的方法是分布函数法，即先求出Y 的分布

函数()()(())()Y g x y F y P g x y f x dx ≤=≤=

?，然后通过

分布函数求出Y 的概率密度，其中()f x 是随机变

量X 的概率密度。

2. 公式法

如果X 是连续型的随机变量，()y g x =是x

的单调可到函数，其导数不为0，则Y 的概率密

度()Y f y 可直接由X 的密度()X f y 求出：

()[()]()0

X Y h y f h y f y '= ()y Z g ∈其他 其中()x h y =是函数()y g x =的反函数，()Z g 是

()y g x =的值域。

3. 方法总结：

确定分布中位置参数的解题方法是建立所 求参数为未知量的方程或者方程组，从中解出所求参数，建立分布中未知参数方程的主要方法有：

1) 分布函数()F x 性质、离散型分布律{}i p 性

质、连续型概率密度()f x 性质。

2) ()0F -∞=、()1F +∞=、()()F x F x =+。

3) 在()F x 的连续点，(0)()(0)F x F x F x -==+

4) 11n i i p

==∑、01i p ≤≤。

5)

()1f x dx +∞

-∞=?、()0f x ≥。

6) 特殊分布函数。