湖南省岳阳市部分重点高中2014-2015学年高一上学期期中联考数学试题

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第1页，总9页

湖南省岳阳市部分重点高中2014-2015学年高一上学期期中联考数学试

题

一、选择题 本大题共10道小题。

1.全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,=

，则 ( )

A ．U A

B = B ．U =)(A

C U B C ．U A = )(B C U

D ．U =U A C U )()(B C U

2.已知函数x x f -=1)(定义域为M ，x x g ln )(=定义域为N ，则=N M ( ) A ．{}1|≤x x B ．{}10|≤

3.下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为 ( )

A ．1

y x -= B ．2log y x = C ．||y x = D ．2

y x =- 4.己知函数)1(+x f 是偶函数，当)1,(-∞∈x 时，函数)(x f 单调递减，设

)2

1

(-=f a )1(-=f b )2(f c =，则c b a ,,的大小关系为 （ ）

A ．c

B ．a

C ．a

D ．c

5.在正方体1111D C B A ABCD -中，1BD 与C B 1所成的角是 （ ）

A ．

60 B ．

30

C ．

90

D ．

45

6.设函数1

()ln (0)3

f x x x x =

->,则函数()f x （ ） A ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均有零点 B ．在区间(0,1)(1,)+∞，　内均无零点

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第2页，总9页

C ．在区间(0,1)内有零点,在区间(1,)

+∞内无零点 D ．在区间(0,1)内无零点,在区间(1,)+∞

内有零点

7.设5log 4a =,5log 5.0

=b ,4log 5c =，则 （ ）

A ．a

B ．b

C ．a

D ．b a c <<

8.已知函数()()

253

1m f x m m x --=--是幂函数且是()0,+∞上的增函数，则m 的值（ ）

A ．2

B ．－1

C ．－1或2

D ．0

9.几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）

A ．2π+

B ．4π+

C ．2

3π+

D ．43π+

10.设函数1

(1)|-1|

)=1(=1)x x f x x ?≠?

???

（，若关于x 的方程2[()]+()+c=0f x bf x 有三个不同的实数根123,,x x x ，则222123++x x x 等于 （ ）

A ．13

B ．5

C ．22

3c +2

c D ．22

2b +2b

一、填空题 本大题共5道小题。

11.设则f(f(-2))=________.

12.对于一个底边在x 轴上的正三角形ABC ，边长2=AB ,，采用斜二测画法做出其直观图，则其直观图的面积是 。

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第3页，总9页

13.已知a>0，且a ≠1，若函数2

(-2+3)

()=lg x x f x a 有最大值，则不筹式2(-5+7)>0a log x x 的解集

为 ；

14.已知直线m,n 与平面α,β,给出下列三个命题:

①若m∥α,n∥α,则m∥n; ②若m∥α,n⊥α,则n⊥m; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β. 其中真命题序号是______

15.定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间b][，a 上存在)(00b x a x <<，满足

a

b a f b f x f --=

)

()()(0，则称函数)(x f y =是b][，a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，如

4x y =是]1,1[-上的平均值函数，

0就是它的均值点.现有函数1)(2++-=mx x x f 是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 . 二、解答题 本大题共6道小题。

A ＝{x|x 2

－3x ＋2≤0}，B ＝{x|x 2

－(a ＋1)x ＋a≤0}． (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围；

17.（本小题8分）若b x x x f +-=2

)(，且b a f =)(log 2，)10(2)(log 2≠>=a a a f 且． （1）求的解析式的值和)(,x f b a (2)求)(log 2x f 的最小值及相应x 的值；

18.（本小题8分）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点. （1）证明：1AC D E ⊥；

（2）求DE 与平面D D CC 11所成角的正弦值；

（3）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第4页，总9页

D 1

C 1

B 1

A 1

E

D C

B

A

19.（本小题8分）某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0

(1)若年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？

(2)若年销售量T 关于x 的函数为T ＝3240(3x ＋1)，则当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？

20.（本小题8分）如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面

ABCD ,且PA PD AD ==

,设E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (1) 求证:EF //平面PAD ; (2) 求证:面PAB ⊥平面PDC ;

(3) 求二面角B PD C --的正切值.

21.(本小题10分)已知集合{}121212(,)0,0,D x x x x x x k =>>+=．其中k 为正常数．

（1）若k =2，设12u x x =，求u 的取值范围． （2）若k =2，对任意12(,)x x D ∈，求)1

)(1(

22

11x x x x --的最大值。 B

A

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第5页，总9页

（3）求使不等式21212112()()()2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立的k 的范围．

试卷答案

1.D

2.B

3.C

4.A

5.C

6.D

7.D

8.B

9.C 10.B 11.-2 12.4

6

13.(2,3)

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第6页，总9页

14.（2） 、（3） 15.(0,2) 16.

由x 2

－3x ＋2≤0，即(x －1)(x －2)≤0，得1≤x≤2，故A ＝{x|1≤x≤2}， 而集合B ＝{x|(x －1)(x －a)≤0}，………2分

(1)若A 是B 的真子集，即A B ，则此时B ＝{x|1≤x ≤ a}，故a>2. ………5分 (2)若B 是A 的子集，即B ?A ，由数轴可知1≤a≤2. ………8分

17.

(1)∵f(x)＝x 2

－x ＋b ，∴f(log 2a)＝(log 2a)2

－log 2a ＋b ＝b ，∴log 2a ＝1，∴a＝2.又∵log 2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a 2

－a ＋b ＝4，∴b＝2.∴f(x)＝x 2

－x ＋2. ………4分 （2）f(log 2x)＝(log 2x)2

－log 2x ＋2＝(log 2x －

12)2＋7

4

. ∴当log 2x ＝12，即x f(log 2x)有最小值7

4

. ………8分 18.

（Ⅰ）证明：连接BD ∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴1D D ⊥平面ABCD ， 又AC ?平面

ABCD ∴1D D AC

⊥

在长方形ABCD 中，AB BC = ∴BD AC ⊥ 又1BD D D D = ∴AC ⊥平面11BB D D ， 而1D E ?平面11BB D D ∴1AC D E

⊥

………2分

（Ⅱ）

3

3

………4分 （Ⅲ）在棱AD 上存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ,此时DP 的长1

2

.……8分 19.

(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元； 本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)万元；

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第7页，总9页

本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)万元； 本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)辆． 因此本年度的利润为

y ＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x 2

＋1500x ＋15000(0

由－1800x 2

＋1500x ＋15000>15000，解得0

.

为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0

6. ………4分

(2)本年度的利润为

f(x)＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×3240×(3x+1)＝3240×（3-0.9x ）(3x+1) ∴当x ＝

23时，f(x)取得最大值，f(x)max ＝f(2

3

)＝29403 即当x ＝2

3

时，本年度的年利润最大，最大利润为29403万元………8分 20.

(Ⅰ)证明:ABCD 为平行四边形 连结AC BD F = ,F 为AC 中点,

E 为PC 中点∴在CPA ?中E

F //PA

且PA ?平面PAD ,EF ?平面PAD ∴PAD EF 平面// ………2分 (Ⅱ)证明:因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD 面ABCD AD =

ABCD 为正方形,CD AD ⊥,CD ?平面ABCD

所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥ 又2

PA PD AD ==,所以PAD ?是等腰直角三角形, 且2

PAD π

∠=

即PA PD ⊥

CD PD D = ,且CD 、PD ?面ABCD

PA ⊥面PDC

又PA ?面PAB 面PAB ⊥面PDC ………5分

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

答案第8页，总9页

A

(Ⅲ)设PD 的中点为M ,连结EM ,MF , 则EM PD ⊥由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC ,

EF PD ⊥,PD ⊥面EFM ,PD MF ⊥, EMF ∠是二面角B PD C --的平面角

Rt FEM ?中,124

EF PA =

= 1122EM CD a ==

4tan 122

EF EMF EM a ∠===

故所求二面角的正切值为2 ………8分 21.

（1）1)1()2(2111+--=-=x x x u 。 故u 的取值范围为]1,0( （2） 变形，得121212121221

111

(

)()x x x x x x x x x x x x --=+-- 22

22121212121212111

22x x k k x x x x u x x x x x x u

+--=+-=-+=-+=23+-u u

23

)(+-

=u

u u f 在]1,0(上是增函数， 所以1212

11

()()x x x x --=212k u u --+0≤． 即当2=k 时，)1

)(1(

22

11x x x x --的最大值为0. （III ）令121211

()()x x x x --=212()k u f u u -++=，则)4()22(22k f k k =-， 即求使2()()4k f u f ≥对2

(0,]4

k u ∈恒成立的k 的范围．

本卷由【智能组卷网https://www.360docs.net/doc/f413652803.html, 】自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

第9页，总9页

由（II ）知，要使21212112

(

)()(2k x x x x k

--≥-对任意12(,)x x D ∈恒成立，必有01k <<， 因此210k ->，∴函数2

1()2k f u u u

-=++在上递减，在)+∞上递增，

要使函数()f u 在2(0,]4k 上恒有2()()4k f u f ≥，必有

2

4

k ≤， 即4216160k k +-≤，解得0k <≤