计算方法教学大纲
计算方法教学大纲
课程简介
本课程是面向全校有科学计算要求的各工科专业的本科生而开设的。介绍近代计算机常用的计算方法及基础理论。主要内容有插值法、曲线拟合、数值微分和积分、方程求根、线性与非线性方程组的解法、常微分方程数值解法。
预修课程
微积分、线性代数、常微分方程、计算机语言。
教学内容与教学基本要求
一、数值计算中的误差（4学时）
教学内容：
误差的种类及其来源，绝对误差、相对误差，有效数字，误差的传播与估计，算法的数值稳定性。基本要求：
1．知道误差的种类及其来源。
2．理解绝对误差、相对误差和有效数字的概念。
3．知道误差的传播对于计算精度的危害，知道数值运算中应注意的若干原则，知道误差估计的一般公式。
4．了解算法的数值稳定性的概念。
二、插值法（6学时）
教学内容：
拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式，分段低次插值，三次样条插值，数值微分
基本要求：
1．了解插值法的概念，知道插值多项式的存在唯一性。
2．掌握拉格朗日插值法，能写出其基函数。
3．理解差分、差商的概念，能写出牛顿向前、向后插值公式。
4．了解分段低次插值的概念及其意义。
5．理解三次样条插值，掌握其求法。
6．理解数值微分，知道常用的数值微分公式及其阶。
三、曲线拟合的最小二乘法（4学时）
教学内容：
曲线拟合的最小二乘法
基本要求：
1．知道最小二乘原则。
2．会用描图法确定函数类，能写出法方程组。
3．掌握线性最小二乘问题的求法。
四、数值积分(8)
教学内容：
构造数值积分的基本方法，牛顿—柯特斯公式，龙贝格算法，高斯型求积公式*。
基本要求：
1．了解数值积分的概念及构造的基本方法。
2．了解牛顿—柯特斯公式，熟练掌握梯形公式、辛普生公式及其复合公式。
3．知道上述积分公式的代数精度及误差估计。
4．了解龙贝格算法的原理，掌握其算法。
5．知道高斯型求积公式。
五、非线性方程（学时数8）
教学内容：
二分法，迭代法的一般理论，牛顿迭代法，正割法。
基本要求：
1．了解非线性方程的一些基本概念，如：有根区间、代数基本定理、单根、重根。
2．掌握二分法，会用二分法求非线性方程根的较好近似，了解其误差估计，知道二分法的优缺点。
3．了解迭代法的一般过程，知道什么叫迭代法收敛（局部收敛），知道迭代法收敛的一些充分条件。
4．了解牛顿迭代法的原理，掌握牛顿法的迭代过程，了解牛顿迭代法的局部收敛性，知道牛顿迭代法的是平方收敛的，了解重根的收敛情况。
5．了解正割法的原理，掌握正割法的迭代过程，知道正割法的收敛速度。
6．了解迭代法的收敛阶的意义，了解Aitken加速法。
六、解线性方程组的数值方法（学时数8）
教学内容：
解线性方程组的直接方法高斯消去法及各种变形：选主元高斯消去法、追赶法、平方根法；迭代法：雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松驰迭代法（SOR方法）。
基本要求：
1．掌握高斯消去法的消元过程与回代过程，了解高斯消去法所需的计算量与存储量。
2．了解主元对舍入误差的影响，掌握列主元及全主元高斯消去法。
3．了解矩阵能三角分解的条件，掌握Doolittle分解与Crout分解的分解方法。了解分解所需的计算量。
4．掌握求解三对角线性方程组的追赶法。
5．理解对称正定矩阵的Cholesky分解的原理，会用Cholesky分解求解方程组，了解Cholesky分解所需的计算量。
6．了解向量和矩阵的范数的意义，会求“1、2、∞”三种向量范数，会求矩阵的行、列范数，知道谱范数的求法。
7．掌握求解线性方程组的雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、SOR方法，了解松驰因子对SOR方法收敛速度的影响；了解高斯—塞德尔迭代法、SOR方法收敛的一
些充分条件。
8．了解线性方程组条件数的意义，了解条件数对解的精度的影响，知道病态方程；了解线性方程组解的迭代改善法。
七、常微分方程的数值解法（学时数8）
教学内容：
解一阶常微分方程初值问题的欧拉方法，龙格—库塔方法，阿达姆斯方法，阿达姆斯方法预测—校正方法，讨论算法的稳定性及收敛性。
基本要求：
1．掌握欧拉公式及隐式欧拉公式，理解局部截断误差的概念，知道欧拉公式（及隐式）的精度是一阶，了解各种欧拉公式的变形。
2．掌握二、三阶龙格—库塔公式的导出方法，知道几个常用的二、三阶龙格—库塔公式，知道经典龙格—库塔公式，会用龙格—库塔公式求常微分方程初值问题的数值
解。
3．了解线性多步法，知道显式和隐式阿达姆斯公式的导出方法，会分析阿达姆斯公式的局部截断误差，会用阿达姆斯公式求常微分方程初值问题的数值解。掌握阿达姆
斯预测—校正方法，会进行事后误差分析。
4．了解稳定性及收敛性的意义，知道龙格—库塔公式及阿达姆斯公式的稳定区域。
5．了解方程组和高阶方程的求解方法。