08届高三数学空间距离

g3.1066空间距离

一. 知识回顾:

1．点到平面的距离： ． 2．直线到平面的距离： ． 3．两个平面的距离： ． 4．异面直线间的距离：

．

二．基础训练：

1．在ABC ?中，9,15,120AB AC BAC ==∠= ，ABC ?所在平面外一点P 到三顶点

,,A B C 的距离都是14，则P 到平面ABC 的距离是

（ B ） ()A 6 ()B 7

()C 9 ()D 13 2．在四面体P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，M 是面ABC 内一点，M 到三个面 ,,PAB PBC PCA 的距离分别是2,3,6，则M 到P 的距离是 （ A ）

()A 7

()B 8 ()C 9 ()D 10 3．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD

，

P 到BD 的距离为

cm ． 4．已知二面角βα--l 为60

，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为 2 ． 三．例题分析：

例1．已知二面角PQ αβ--为 60，点A 和B 分别在平面α和平面β内，点C 在棱PQ 上

30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==，（1）求证：PQ AB ⊥；（2）求点B 到平面α的距离；（3）设R 是线段CA 上的一点，直线BR 与平面α所成的角为

45，求CR 的长

（1）证明：作BM PQ ⊥于M ，连接AM ，

∵

30=∠=∠BCP ACP ，a CB CA ==， ∴MBC MAC ???，∴AM PQ ⊥，

PQ ⊥平面ABM ，AB ?平面ABM ， ∴PQ AB ⊥． 解：（2）作BN AM ⊥于N ，

∵PQ ⊥平面ABM ，∴BN PQ ⊥，

∴BN α⊥，BN

是点B 到平面α的距离，由（1）知60BMA ∠=

，

∴sin 60sin 30sin 60

4BN BM CB ===

．∴点B 到平面α的距离为4

．

（2）连接,NR BR

，∵BN α⊥，BR 与平面α所成的角为45BRN ∠=

，

4RN BN ==

，cos302

CM BC ==

， ∴1

2

RN CM =

，∵60BMA ∠= ，BM AM =，BMA ?为正三角形， N 是BM 中点，∴R 是CB 中点，∴2

a

CR =．

小结：求点B 到平面α的距离关键是寻找点B 到α的垂线段．

例2．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形， 90=∠ACB ，侧棱21=AA ，E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ?的重心G ，（1）求B A 1与平面ABD 所成角的正弦值；（2）求点1A 到平面ABD 的距离．

解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，

∴(0,0,1),(,,1)22

a a

D E ，∵G 是ABD ?的重心，

G E D C 1

B 1

A 1

C B

A

5

(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =- ，(,,0)AB a a =- ， (0,,1)AD a =--

，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥

得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠

，||3EG = ，

112BE BA ==

sin 3

EG EBG BE ∠==

， （2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍，

∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD

的距离等于2||EG =

小结：根据线段B A 1和平面ABD 的关系，求点1A 到平面ABD 的距离可转化为求E 到平面ABD 的距离的两倍．

例3．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -,11,2,AB AA ==点E 为1CC 的中点，点F 为1BD 的中点，（1）证明:EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线； （2）求点1D 到平面BDE 的距离．

解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系，

则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11

(,,1)22

F ，

11(,,0)22EF =- ，1(0,0,2)CC = ，1(1,1,2)BD =- ，

∴110,0EF BD EF CC ?=?=

，

∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．

（2）设(1,,)n x y = 是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB = ，(0,1,1)DE =

∴10n DB x ?=+= ，0n DE x y ?=+= ，(1,1,1)n =-

，

点1D 到平面BDE

的距离1||||

BD n d n ?==

． 小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．

例4. 如图，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC ∥ D 1B 且面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB =a 。（1）求截面EAC 的面积；（2）求异面直线A 1B 1与AC 之间的距离。

四、作业同步练习g3.1066 空间距离

3．已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，1PD AD ==，点C 到平面PAB 的距离为1d ， 点B 到平面PAC 的距离为2d ，则

（

）

()A 121d d << ()B 121d d << ()C 121d d << ()D 211d d <<

4．把边长为a 的正三角形ABC 沿高线AD 折成60

的二面角，点A 到BC 的距离是（ ）

()A a

()

B 2

()

C 3

()

D 4

5．四面体ABCD 的棱长都是1，,P Q 两点分别在棱,AB CD 上，则P 与Q 的最短距离是（

）

F E

1

1

1

1

D C B A D C

B

A

1y D A C A 1 B 1 C 1 D 1 B

()A 2

()

B 3

2

()

C 56 ()

D 67

6．已知二面角βα--l 为

45， 30,,成与l AB B l A α∈∈角，5=AB ，则B 到平面β的距离为 ．

7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，12,51==AB AA ，那么直线11C B 到平面11BCD A 的距离是 ．

8．已知⊥PA 矩形ABCD 所在平面，cm AB 3=，cm PA cm BC 4,4==，则P 到CD 的距离为 cm ，P 到BD 的距离为 cm ．

9．已知二面角βα--l 为60

，平面α内一点A 到平面β的距离为4AB =，则B 到平面α的距离为 ．

12．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，

（1）求：点A 到平面1BD 的距离；（2）求点1A 到平面11D AB 的距离； （3）求平面11D AB 与平面D BC 1的距离；（4）求直线AB 到11B CDA 的距离．

参考答案

1、B

2、A 8、

5

9、2 10、解：（1）以1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴建立坐标系， 则(1,1,0)B ，1(0,0,2)D ，(0,1,1)E ，11(,,1)22

F ，

11(,,0)22EF =- ，1(0,0,2)CC = ，1(1,1,2)BD =-

，

∴110,0EF BD EF CC ?=?=

，

∴EF 为异面直线11BD CC 与的公垂线．

（2）设(1,,)n x y = 是平面BDE 的法向量，∵(1,1,0)DB = ，(0,1,1)DE =

∴10n DB x ?=+= ，0n DE x y ?=+= ，(1,1,1)n =-

，

点1D 到平面BDE 的距离1||3||

BD n d n ?==

．

小结：由平面的法向量能求出点到这个平面的距离．

11、解：建立如图的空间直角坐标系，设1(,0,0)A a ， 则1(0,,0)B a ，(,0,2)A a ，(0,,2)B a ，(0,0,2)C ， ∵E D ,分别是1CC ，与B A 1的中点，

∴(0,0,1),(,,1)22a a

D E ，∵G 是ABD ?的重心， 5

(,,)333a a G ，∴2(,,)663a a EG =- ，(,,0)AB a a =- ， (0,,1)AD a =--

，∵EG ⊥平面ABD ，,,EG AB EG AD ⊥⊥ 得2a =，且B A 1与平面ABD 所成角EBG ∠

，||EG = ，

112BE BA ==

sin EG EBG BE ∠==

（2）E 是B A 1的中点，1A 到平面ABD 的距离等于E 到平面ABD 的距离的两倍，

∵EG ⊥平面ABD ，1A 到平面ABD

的距离等于2||3

EG = ．

1y