概率论~第三章习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
1．设随机变量X 的概率分布为
X －3 0 1 5 0.1 0.2 0.3 0.4 k p 试求EX 。
答案与提示：2EX =。 2．已知随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 3 0.1 k P p 0.4 0.2 求：（1）常数p ；（2）数学期望EX ；（3）方差。
DX 答案与提示：（1）由归一性，3.0=p ； （2）； 1.7EX =（3）
0.81DX = 3．已知随机变量X 的分布列为
X 0 1 2 0.3 0.5
k p p 求：（1）数学期望；（2）方差。 2)1(?X E 2)1(?X D 答案与提示：由归一性，2.0=p ； （1）； 2(1)0.E X ?=8 （2）
2(1)0.16D X ?=4．已知连续型随机变量X 的概率分布为
???<<=其它,08
0,8/1)(x x f 求X 的数学期望。
答案与提示：4EX =
5．设随机变量X 服从拉普拉斯分布，其分布密度为
α
β
α
/21)(??=
x e x f ，0>α（+∞<<∞?x ）。
求X 的数学期望。
答案与提示：该题要求熟练掌握计算连续型随机变量的数学期望的公式。 EX β=。
6．设随机变量X 的概率密度为
??
?
??≤
求：（1）常数A ；（2）数学期望EX ；（3）方差 。 DX 答案与提示：（1）由归一性得，1=A ； （2）；（3） 0EX =1
6
DX =
。 7．设X 的概率分布为x
e x
f ?=
2
1)( （+∞<<∞?x ），求EX 、。 DX 答案与提示：， 0EX =2DX =。 8．设X 的概率分布为
?????
≥
x f 当当π 求X 的数学期望EX 和方差。
DX 答案与提示：该题考察计算连续型随机变量的数学期望和方差的公式。
0EX =， 1/2DX =
9．设用A 、B 两测量仪器测量某一产品的直径多次，结果如下表：
A X 118 119 120 121 122 k p
0.06 0.14 0.60 0.15 0.05
B X 118 119 120 121 122 k p
0.09 0.15 0.52 0.16 0.08
试比较两种仪器的优劣。
答案与提示：由于题设中没有给出所测产品直径的真实值，故要比较两种仪器的优劣，就是要比较这两种仪器哪个的测量精度更高一些，即要比较两种仪器测量的方差哪个更小一些。由题设，得
120.99A EX =，；119.99B EX = 1.104A DX =，0.6552B DX =。 显然有A B DX DX >，可见A 仪器的测量误差要比B 仪器的测量误差大，故B 仪器要优良些。
10．设X 的概率分布为
???≤>=?0
,00
,)(x x e x f x
求：（1）X Y 2=的数学期望；（2）的数学期望。
X e Y 2?=答案与提示：（1）22EY E X ==；（2）21/3X EY Ee ?==。
11．试证明事件在一次试验中发生的次数的方差不超过4
1
。
答案与提示：事件在n 次独立重复试验中发生的次数服从参数为，n p 的二项分布(,)B n p ，当然在一次试验中发生的次数应服从(1,)B p ，即为(0-1)分布。
可令
10A X A ?=??，事件在试验中发生，
，事件在试验中不发生.得14DX ≤
，即事件在一次试验中发生的次数的方差不超过14
。 12．设的概率分布分别为
Y X 、
???≤>=?0002)(2x x e x f x ，，???≤>=?000
4)(4y y e y f y ，，求：和。
)(Y X E +)32(2Y X E ? 答案与提示：可利用由数学期望性质及常用分布随机变量的数学期望和方差来计算和，关键是计算)(Y X E +)32(2Y X E ?EX 、EY 、2EY 。 )(Y X E +34=
； )32(2Y X E ?5
8
=。 13．设是两个相互独立的随机变量，其概率分布分别为 Y X 、 ； ???≤≤=其它,010,2)(x x x f ??
?>=??其它，，05
)()5(y e y f y 求EXY 。
答案与提示： 4EXY =
14．设随机变量X 服从正态分布，其数学期望7.1=EX ，方差。试求： 3=DX （1）X 的概率密度； （2）X Y 21?=的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的几何意义及正态分布随机变量的性质。 （1）
2( 1.7)/6
()x f x ??= ()?∞<<+∞x （2）
2( 2.4)/24()y f y ?+=
()?∞<<+∞y 。 15．设随机变量、，且相互独立，求： )2,1(~2N X )1,0(~N Y （1）Y X Z +=2的期望和方差；
（2）Y X Z ?=2的期望和方差。
答案与提示：由于两个独立的正态随机变量的线性函数也服从正态分布，即可得相应分布，进而求得其期望和方差。
（1）2,17EZ DZ ==。 （2）2,17EZ DZ ==。
16．
设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=??X X E ，求λ。 答案与提示： λ=1。
17．设二维随机变量(X ，Y )的联合概率分布律为 X Y 0 1 0 0.1 0.2 1 0.3 0.4 求：（1）EX ，EY ，，；
DX DY （2）(X ，Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示： （1） ，7.0=EX 0.21DX =， 6.0=EY ， 。
0.24DY =（2）； Cov 4.0=EXY (,)0.02X Y =?， 0.089XY ρ=； 协方差阵为 ，
??????????24.002.002.021.0相关阵为 。 ???
???????1089.0089.01
18．设随机变量的概率密度为
），（Y X ?????≤≤≤≤+=其它，，，02
020)(8
1
),(y x y x y x f 求相关系数ρXY 。
答案与提示：欲求相关系数，需先求、Cov 。 EY EX DY DX 、、、)(Y X ， 111
XY ρ=?
。 19．设两个随机变量的方差分别为25及36，相关系数为0.4，求Y X 、D ()Y X +及D (。
)Y X ?答案与提示：由方差的性质知
D (，()85X Y +=D )37X Y ?=
20．设X 与Y 方差分别为4和1，协方差8.0),(Cov =Y X ，求： （1）X 与Y 的相关系数XY ρ；（2）)32(Y X D +及)32(Y X D ?。
答案与提示：（1）0.4XY ρ=；（2）(23)34.6D X Y +=，。 (23)15.4D X Y ?= 21．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率为0.4，则X 2的数学期望2EX 。
答案与提示：由题意，，所以
)4.010(~，B X 218.4EX =22．已知X 、Y 分别服从正态分布和，且)30(2，N )41(2，N X 与Y 的相关系数
2/1?=XY ρ，设2/3/Y X Z +=，求：
（1）求数学期望EZ ，方差； DZ （2）Y 与Z 的相关系数YZ ρ；
答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质。
解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义(DY
DX Y X XY ),(Cov =ρ)得
1
2
EZ =
，； 3DZ = （2）由协方差的性质3及相关系数定义得 2
3
),(Cov ==
DZ
DY Z Y YZ ρ ； 23．设X 和Y 的相关系数为0.5,0==EY EX ,222==EY EX ,求。
2)(Y X E +答案与提示： 2()E X Y +=6。
24．假设一部机器一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障可获利10万元，发生一次故障仍获利5万元，发生二次故障获利0元，发生三次或三次以上要亏损2万元，求一周内期望利润。
答案与提示：一部机器在一周5个工作日可视为5重贝努利试验，因此一周5个工作日里机器发生故障的次数（记为X ）服从二项分布。若以Y 表示生产利润，则Y 是X 的函数，因此问题化为求随机变量函数的数学期望。 一周内期望利润近似为5.21万元。
25．设随机变量X 、Y 独立同服从正态分布)2
1(0(2
，
N ，求Y X D ?。 答案与提示：由于随机变量X 、Y 相互独立同分布，故可求得联合概率分布，应用定理可得Y X D ?，但计算比较繁。也可应用正态分布的性质得
Y X Z ?=~，计算得
)10())1(00(2
2221，，N N =?++σσ π
2
1?
=?Y X D 。
26．设灯管使用寿命X 服从指数分布，已知其平均使用寿命为3000小时，现有
10只这样的灯管（并联）每天工作4小时，求150天内这10只灯管（1）需要换管的概率；（2）平均有几只需要更换；（3）需要更换灯管数的方差。
答案与提示：若设Y 表示150天内这10只灯管需要更换的只数，则Y 服从二项分布，即Y ，所以问题（1）即是求；问题（2）即是求
})600{10(~ DY （1）}1{≥Y P 21e ?=?； （2）0.21010EY e ?=?； （3）。 0.20.210(1)DY e e ??=?27．设ξ与η独立同分布，已知ξ的概率分布为)321(3/1}{，，===i i P ξ，又设 }max{ηξ，=X }min{ηξ，=Y 。求： ，； （1）EX EY 、（2）随机变量的协方差。 Y X ， 答案与提示：欲求EX 、EY 及Cov ，需先求(的概率分布及)(Y X ，)Y X ，EXY 。 )(Y X ，概率分布为 Y 1 2 3 X 1 1/9 2/9 2/9 2 0 1/9 2/9 3 0 0 1/9 （1）229EX = ， 14 9EY =。 （2）369EXY = ， Cov()=Y X ，16。 81 28．设某种商品每周的需求量X 是服从区间[10，30]上均匀分布的随机变量，而 经销商店进货数量为区间[10，30]中的某一整数，商店每售出一单位商品可得利500元；若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元；若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不小于9280元，试确定最小进货量。 答案与提示：依题意，需求量X 服从[10，30]上的均匀分布，因此其概率密度为 ?????≤≤=它其 ，，030 1020 1 )(x x f 而此商店经销该种商品每周所得利润是与X 和进货数量有关的，所以该问题化为求利润函数的数学期望。最小进货量应不少于21个单位。 n 29．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 )],(),([2 1 ),(21y x y x y x f ??+=，（,x y ?∞<<+∞） 其中),(1y x ?和),(2y x ?都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。 （1）求X 和Y 的概率密度和，及)(1x f )(2y f X 和Y 的相关系数ρ。 （2）问X 和Y 是否独立？为什么？ 答案与提示：（1）由于二维正态密度函数的两个边缘密度正态密度函数，因此 ),(1y x ?和),(2y x ?的两个边缘密度为标准正态密度函数，故 2/2 1()x f x ?=，（x ?∞<<+∞） 2 /2221)(y e y f ?= π （y ?∞<<+∞） (,)0EXY xyf x y dxdy ρ+∞ +∞ ?∞ ?∞ ===∫ ∫ 。 （2）X 与Y 不独立。 30．设X 和Y 的联合分布在以点（0，1），（1，0），（1，1）为三角形区域 上服从均匀分布，试求随机变量Y X U +=的方差。 答案与提示：118 DU = 。 随机变量可看作（Y X U +=X ，Y ）的函数，因此该题的解法较多，可应用公式求解；也可应用公式 2Cov(,)DU DX DY X Y =++ 22()()[(DU D X Y E X Y E X Y =+=+?+)]。 31．对于任意二事件A 和B ，1)(0,1)(0<<< ) ()()()()()()(B P A P B P A P B P A P AB P ?= ρ 称为事件A 和B 的相关系数。 （1）证明事件A 和B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； （2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明1≤ρ。 答案与提示： (1) 利用事件A 和B 独立的定义)()()(B P A P AB P =即可； (2) 随机变量X 和Y 的相关系数为DY DX EXEY EXY DY DX Y X XY ?= = ),cov(ρ，而需将 ) ()B B )()()(()()(P A P B P A P P A P AB P ?= ρ转化为用随机变量表示，显然，若有 )(),(),(B P EY A P EX AB P EXY ===以及)()(A P A P DX =， )()(B P B P DY =即可，这只需定义 1,0,A X A ?=? ?若出现 若不出现 ； 。 1,0,B Y B ?=??若出现若不出现 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+ ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k； （2）求P{X＜1，Y＜3}； （3）求P{X<1.5}； （4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有 第三章连续型随机变量 3、1设随机变量 ξ 的分布函数为F(x),试以F(x)表示下列概率: 。 )()4();()3();()2();()1(a P a P a P a P >≥≤=ξξξξ 。 ）（解：)0(1)()4(); (1)()3(); 0()(P 2); ()0()()1(+-=>-=≥+=≤-+==a F a P a F a P a F a a F a F a P ξξξξ 3、2函数x 211 F(x)+=就是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果 在其它场合恰当定义。 在其它场合恰当定义；）（,0)3(,0)2(1<<∞-∞<<∞ <<∞-x x x 解:(1)F(x)在),(∞-∞内不单调,因而不可能就是随机变量的分布函数; (2)F(x)在)0∞，（内单调下降,因而也不可能就是随机变量的分布函数; (3)F(x)在） ，（－0∞内单调上升、连续且,若定义 ???≥<<∞=01 0)()(~x x X F x F － 则)(~ x F 可以就是某一随机变量的分布函数。 3、3函数 sinx 就是不就是某个随机变量ξ的分布函数？如果ξ的取值范围为 []。，）；（，）；（，）（?? ??????????πππ230302201 解:(1)当?? ????∈2,0πx 时,sinx 0≥且1sin 20=?πxdx ,所以 sinx 可以就是某个随机变量的分布密度; (2) 因为12sin 0≠=?πxdx ,所以sinx 不就是随机变量的分布密度; (3) 当 ?????? ∈23, ππx 时,sinx<=0所以sinx 不就是随机变量的分布密度。 3、4设随机变量ξ具有对称的分布函数p(x),即p(x)=p(-x) 证明:对任意的a>0,有 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 习题3-1 1. 而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律. 解 由12 {0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律 (2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04 P X P X =?== ≠, 所以X 1和X 2 不独立. 2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律. 解 从7只球中取4球只有354 7 =C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红 球有j 只(余下为白球4i j -- 只)的取法为 4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4. 于是有 022 322 1{0,2}35 35 P X Y C C C ====,111322 6{1,1}35 35 P X Y C C C ====, 121322 6 {1,2}35 35 P X Y C C C ====,202322 3 {2,0}35 35 P X Y C C C ==== , 211 322 12{2,1}35 35P X Y C C C ==== ,220 322 3{2,2}35 35P X Y C C C === = , 301 322 2 {3,0}3535P X Y C C C === =, 310 322 2 {3,1}3535 P X Y C C C ====, {0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============. 3. (,)(6),02,24, 0,.f x y k x y x y =--<<< 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 概率论与数理统计 第一章 概率论的基本概念 1. 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分） （2）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。 （3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 2. 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生 （2）A ，B 都发生，而C 不发生 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生 （4）A ，B ，C 都发生 （5）A ，B ，C 都不发生 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生 （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 3. 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0.7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最 大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 4. 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4/1)()()(=====BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 5. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数 中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2……9） 6. 在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的 号码。 （1）求最小的号码为5的概率。 （2）求最大的号码为5的概率。 7. 某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。在搬运中所标笺 脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？ 8. 在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。 （1）求恰有90个次品的概率。 （2）至少有2个次品的概率。 9. 从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？ 10. 将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概 率各为多少？ 11. 已知)|(,5.0)(,4.0)(,3.0)(B A B P B A P B P A P ?===求。 12. )(,2 1 )|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?=== 求。 13. 设有甲、乙二袋，甲袋中装有n 只白球m 只红球，乙袋中装有N 只白球M 只红球， 今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？ (2) 第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。 14. 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人 群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？ 15. 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第 二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为2/P 概率论与数理统计第三章习题 率分布。 ，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。 出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2 11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为 所以，ξ 废品数的概率分布。 况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为 所以，，，，有 ，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为 所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 第三章练习题 一、单项选择题 1．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 101 103 102 101 102 101 则P{XY=2}=（ C ）A ．5 B ．10 C ．2 D ．5 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y ) 1 =(,)4f x y dx xydx +∞ -∞ ==? ?= （ D ） A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 3．设随机变量X ，Y 相互独立，其联合分布为 1+9 α 12 1 +9 α 1+18β 116=+9918 α?? ??? 则有（ B ） A ．92 ,91==βα B ．91,92==βαC ．32,31==βα D ．3 1,32==βα 二、填空题 1.设随机变量X ，Y 相互独立，且P{X ≤1}=21，P{Y ≤1}=3 1 ， 则P{X ≤1,Y ≤1}=_ 1 6 __. 2.已知二维随机变量(X ,Y )的分布律为 0 2 5 0 0.1 0.1 0.3 Y X 1 0.25 0 0.25 则P (X ≤0,Y =2)＝___0.1___. 3．设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 Y X 1 2 3 1 2 61 121 81 81 41 4 1 则P{Y=2}=____ 4 _______. 4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=? ??≤≤≤≤其他02 y 0,1x 0xy ， 则X 的边缘概率密度f x (x)= 2 (,)f x y dy xydy +∞ -∞ ==? ?_____2x___________． 三、计算题 1．设二维随机变量(X ，Y )只能取下列数组中的值：(0，0)，（-1，1），（-1，3 1 ），（2，0）， 且取这些值的概率依次为61，31，121，12 5 .（1）写出(X ，Y )的分布律； （2）分别求(X ，Y )关于X ，Y 的边缘分布律. (1) {} {} 1351112 3 121166551212 71112 12 3 01-10 00020 1 j i X Y P Y y P X x == (2) 13711 12 12 3 1 X P 5 5112 6 12 10 2 Y P - 2．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为?? ???>>=+.,0;0,0,e ),()-(其他y x y x f y x （1）分别求（X ，Y ）关于X 和Y 的边缘概率密度； f x (x)= ()0 (,),0x y x f x y dy e dy e x +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? f Y ( y ) ()0 = (,),0x y y f x y dx e dx e y +∞ ∞ -+--∞ ==>? ? （2） 问：X 与Y 是否相互独立，为什么？ () ()()(,)x y x y X Y f x y e e e f x f y -+--==?=?,因此相互独立 3.设二维随机变量(X ，Y )的分布律为 0.7 0.4 0.2 0.4 （1）求(X ，Y )分别关于X ,Y 的边缘分布律；(2)试问X 与Y 是否相互独立，为什么？ 第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律； （2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。 解 （2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他 （1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。 解 （1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为： 求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律 （2） 4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度； （2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。 解 （1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x 第三章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1、（易）设任意二维随机变量（X ，Y ）的两个边缘概率密度函数分别为f X (x )和f Y (y )，则以 下结论正确的是（ ） A.? +∞ ∞-=1)(dx x f X B. ? +∞ ∞ -= 2 1 )(dx y f Y C. ? +∞ ∞ -=0)(dx x f X D. ? +∞ ∞ -=0)(dx y f Y 2、（易）设二维随机变量221212(,)~(,,,,)X Y N μμσσρ,则X ~（ ） A. 211(,)N μσ B. 221(,)N μσ C. 2 12 (,)N μσ D. 2 22(,)N μσ 3、（易）设二维随机变量(X ，Y )服从区域D ：x 2 +y 2 ≤1上的均匀分布，则(X ，Y )的概率密度为（ ） A. f(x ，y)=1 B. 1(,)0, x y D f x y ∈?=? ?， （,）,其他 C. f(x ，y)=1 π D. 1 (,)0, x y D f x y π?∈?=???， （,）,其他 4、（中等）下列函数可以作为二维分布函数的是（ ）. A .1,0.8,(,)0, .x y F x y +>?=? ?其他 B .?????>>??=--.,0,0,0,),(00其他y x dsdt e y x F y x t s C . ??= ∞-∞ ---y x t s dsdt e y x F ),( D .? ????>>=--. , 0, 0,0,),(其他y x e y x F y x 5、（易）设二维随机变量(X ，Y )的概率密度为f (x ，y )=?????<<<<,, 0; 20,20,41 其他y x 则P{0 <概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率 为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分 布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～ 或 X ～ 。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～ 或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=， 习 题 三 1．（１）盒子中装有３只黑球，２只红球，２只白球，在其中任取４只球．以Ｘ表示取到黑球的只数，以Ｙ表示取到红球的只数．求Ｘ和Ｙ的联合分布律．（２）在（１）中求Y}-3P{X 3},Y P{X 2X},P{Y Y},P{X <=+=>． ２．设随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<<<--=其他,0,42,20),6(),(y x y x k y x f （１） 确定常数k ． （２）求3}Y 1,P{X <<． （３）求 1.5}P{X <． （４）求4}Y P{X ≤+． ３．设随机变量)Y X,(具有分布函数 ?? ?>>+--=----其他,0,0,0,1),(F y x e e e y x y x y x 求边缘概率密度． ４．将一枚硬币掷３次，以Ｘ表示前２次出现Ｈ的次数，以Ｙ表示３次出现Ｈ的次数．求Ｘ，Ｙ的联合分布律以及)Y X,(的边缘分布律． ５．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤≤≤-=其他,0,0,10), 2(8.4),(x y x x y y x f 求边缘概率密度． ６．设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?≤≤=其他,0,1,),(22y x y cx y x f (1)确定常数C. (2)求边缘概率密度. 7.设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?? ?<<=-其他,0,0,),(y x e y x f y 求边缘概率密度. 8.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,X 在区间)1,0(上服从均匀分布,Y 的概率密度为 ?????≤>=-.0,0,0,2 1)(2Y y y e y f y 求X 和Y 的联合概率密度. 9.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为 ?? ?≤≤=.,0,10,1)(X 其他x x f ???>=-.,0,0,)(Y 其他y e y f y 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立,且具有相同的分布,它们的概率密度均为 ?? ?>=-.,0,1,)(1其他x e x f x 求随机变量Y X Z +=的概率密度. 11. 设二维随机变量)Y X,(的概率密度为 ?????>>+=+-其他,0,0,0,)(2 1),()(y x e y x y x f y x (1) 问X 和Y 是否相互独立? (2) 求Y X Z +=的概率密度. 12. 某种商品一周的需求量是一个随机变量，其概率密度为 ?? ?≤>=-.0,0,0,)(t t e t t f t 设各周的需求量是相互独立的．求 （１） 两周的需求量的概率密度． （２） 三周的需求量的概率密度． 概率论习题库 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是 A ．)()(A P B A P =? B ．()()P AB P A = C ．()()|P B A P B = D ．()()()P B A P B P A -=- 2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}-P X μσ<= A ．增大 B ．不变 C ．减少 D ．增减不定 3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0 4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项 不是统计量的是 Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ. 2 3 i 2 i 1X σ =∑ Ｄ．1X μ- 5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是 A.}{00成立接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P 1．A 2.B 3.A 4.C 5.D 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是： (A))()()(A P B P A B P -=-； (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5 P X Y ≥≥=,2{0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15 ; (B) 25 ; (C) 35 ; (D) 45 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则 不是总体期望μ的无偏估计量的是 (A) X ; (B) 1n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~()2,N μσ，其中2σ已知, μ未知, 123, ,X X X 为其样本， 下 列各项中不是统计量的是 概率论与数理统计习题 第三章 多维随机变量及其分布 习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1） 确定常数k ； （2） 求{}3,1< ?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= < 第3章 多维随机变量及其分布 一、选择题 1．设,X Y 是相互独立的随机变量，其分布函数分别为()(),X Y F x F y ，则()m i n ,Z X Y =的 分布函数是（ ） (A) ()()()max ,Z X Y F z F z F z =???? (B) ()()()min ,Z X Y F z F z F z =???? (C) ()()()111Z X Y F z F z F z =---???????? (D) ()()Z Y F z F y = 2．设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N(0,1) 和 N(1,1)，则 （A ）2 1)0(=≤+Y X P （B ）2 1)1(=≤+Y X P （C ）2 1)0(=≤-Y X P （D ）2 1)1(=≤-Y X P 3．设二维随机变量(),X Y 服从于二维正态分布，则下列说法不正确的是（ ） (A) ,X Y 一定相互独立 (B) ,X Y 的任意线性组合12l X l Y +服从于一维正态分布 (C) ,X Y 分别服从于一维正态分布 (D) 当参数0ρ=时，,X Y 相互独立 4．,ξη相互独立且在[]0,1上服从均匀分布，则使方程220x x ξη++=有实根的概率为（ ） (A) 1 (B) 12 (C) 0.4930 (D) 4 5．设随机变量,X Y 都服从正态分布，则（ ） (A) X Y +一定服从正态分布 (B) ,X Y 不相关与独立等价 (C) (),X Y 一定服从正态分布 (D) (),X Y -未必服从正态分布 6．设随机变量X, Y 相互独立，且X 服从正态分布),0(21σN ，Y 服从正态分布),0(22σN ，则 概率)1|(|<-Y X P （A ）随1σ与2σ的减少而减少 （B ）随1σ与2σ的增加而减少 （C ）随1σ的增加而减少，随2σ的减少而增加 （D ）随1σ的增加而增加，随2σ的减少而减少 7．设),(Y X 的联合概率密度为： ?? ?<+=, , 0; 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 （A ） 独立同分布 （B ）独立不同分布 （C ）不独立同分布 （D ）不独立不同分布 8．设X i ~ N (0 , 4), i =1, 2, 3, 且相互独立, 则 ( ) 成立。 《概率论与数理统计》习题及答案 第 三 章 1．掷一枚非均质的硬币，出现正面的概率为p (01)p <<，若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数，求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件：前1k -次出现正面，第k 次出现反面，或前1k -次出现反面，第k 次出现正面，所以 1 1()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-=L 2．袋中有b 个黑球a 个白球，从袋中任意取出r 个球，求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法，r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -，所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==，max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+L ， 此乃因为，如果r a <，则r 个球中可以全是白球，没有黑球，即0k =；如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球，此时k 应从r a -开始。 3．一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+，以X 表示三个零件中合格品的个数，求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111 (0)()23424 P X P A A A === ??= ， 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??= ， 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1211131231123423423424 = ??+???+??=， 第三章习题解 1 在一箱子中装有12只开关,其中 2 只就是次品,在其中任取两次,每次任取一只,考虑两种试验:(1)放回抽样;(2)不放回抽样。定义随机变量X ,Y 如下: 0,1X ?=??若第一次取出的是正品，，若第一次取出的是次品。 0,Y 1?=?? 若第二次取出的是正品，，若第二次取出的是次品。 试分别就(1),(2)两种情况写出X ,Y 的联合分布律。 解 (1)放回抽样 由于每次抽取时都就是12只开关,第一次取到正品有10种可能,即第一次取到正品的概率为 105{0}126 P X ===, 第一次取出的就是次品的概率为 21{1}126 P X === 同理,第二次取到正品的概率105{0}126 P Y === 第二次取到次品的概率为21{1}126 P Y === 由乘法公式得X ,Y 的联合分布率为 {,}{|}{}{}{}P X i Y j P Y j X i P X i P X i P Y j =========,0,1i =,0,1j =。 具体地有 5525{0,0}6636P X Y ===?=,515{0,1}6636 P X Y ===?=, 155{1,0}6636P X Y ===?=,111{1,1}6636 P X Y ===?= 用表格的形式表示为 (2)不放回抽样 5{0}6P X ==,1{1}6 P X == 因为第二次抽取时,箱子里只有11只开关,当第一次抽取的就是正品,则箱子中有9只正品)。所以 9{0|0}11P Y X === , 2{1|0}11 P Y X === 10{0|1}11P Y X ===, 1{1|1}11P Y X ===概率论与数理统计第三章课后习题答案
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