2007年福建省高一数学竞赛试题
福建省高一数学竞赛试题参考答案
2015年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月10日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）??的子集有（集合1.）Nx?xx?1?3，A?A．4个B．8个C．16个D．32个【答案】 C??。
3 ，，，1，知，结合，得A?20【解答】由x?1?3Nx?x?4?2?4个。
的子集有∴162?A lll与两坐标轴围成的三角形的面对称，则：2．若直线关于直线与直线xy?1??2xy122积为（）211C．B．D．A．1 324【答案】 D ?l的对称点关于直线则【解答】在直线，：取点xy?(?11)0，?1)，y?2x?1AA(0，0)A(?1l 上。
在直线2ll。
在直线的交点又直线与直线x?y1)P，(11211?l。
过和∴两点，其方程为?xy?1)0)，P(1A?(1，22211ll与坐标轴围成的三角形的面积为。
与坐标轴交于和∴两点，)，(00)(?1，22243．给出下列四个判断：（1）若，为异面直线，则过空间任意一点，总可以找到直线与，都相交。
aa bbP??????。
，和直线，若（2）对平面，则，??l∥ll??????。
和直线，若，则（3）对平面，，?l∥?ll?????ll∥ll∥lll。
内一点，且（4）对直线，，和平面，则，若过平面P2211122其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】 B【解答】（3）、（4）正确；（1）、（2）不正确。
????内，且不在直线上时，，过1），设的平面为和在平面，则当点对于（ba∥aabP 找不到直线同时与，都相交。
a b中点，则二面，为4．如图，已知正方体DC?ABABCD CDE1111）角的正切值为（BAB?E?12222 D．．A．1 B ． C 4【答案】 D图第4题于如图，作于，作，连结。
【解答】ABFO?OEOFABEF?1为正方体，知由，。
ABABCD?ABCDEF?面ABBA?EF1111111，。
2008年福建省高一数学竞赛试题
2008年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月18日上午8：30—11：00）一、选择题（共5小题，每小题5分，满分25分）1、已知集合2{|||4},{|650}A x x a B x x x =-<=-+>，若A B R ⋃=，则实数的取值范围是（ ）（A ）(,1)(5,)-∞⋃+∞ （B ）(,1][5,)-∞⋃+∞ （C ）（1，5） （D ）[1，5]2、下列四个数中最大的一个数是（ ）（A ）2(ln 2) （B ）ln(ln 2) （C ） （D ）ln 23、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当点D 到平面ABC 的距离最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为（ ）（A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°4、若不等式210x ax ++≥对一切[2,3]x ∈恒成立，则a 的最小值为（ ）（A ）– 2 （B ）0 （C ）103- （D ）52-5、两条直角边长分别是整数a 和b （其中b < 1000），斜边长是b + 1的直角三角形有（ ）（A ）20个 （B ）21个 （C ）22个 （D ）43个二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）6、若关于x 的不等式2|23|2x ax a ++≤恰有唯一的解，则实数a 的值是 。
7、已知函数()log )a f x bx =（0a >且1a ≠），给出下列四个命题：（1）当且仅当0b =时，()f x 为R 上的偶函数；（2）当1,12a b ==-时，()f x 为R 上的减函数； （3）当1a >时，()f x 为R 上的增函数；（4）若()f x 为R 上的递增的奇函数，则01,1a b <<=-或1,1a b >=。
其中正确命题的序号是 。
（把你认为正确命题的序号都填上）8、已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：对一切正数x 均有(3)3()f x f x =成立，且当13x ≤<时，()1|2|f x x =--，则(100)f = 。
2005年福建省高一数学竞赛试题
2005年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：5月15日上午8：30—11：00)答题时注意： 1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线.3.草稿纸不上交. 一、填空题(共10小题，每小题9分，满分90分)1.y=13-x +13+x 的最大值为a ，最小值为b ，则ab 等于 .2.已知实数b,c 满足b<2<c ，且函数442+-=x x y 当b ≤x ≤c时有最大值4c ，最小值b ，则b+c= .3.已知集合}{+∈<<=N x x x S ，101，对它的任一非空子集A ，可以将A 中的每一个元素k 都乘以k)1(-再求和(例如，A={2,3,8}，则可求得和为(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)8×8=7),对S 的所有非空子集，这些和的总和为 .4.已知两个集合A=}{+∈+-==N m m y m x y x ，，23),(，B=}{+∈+-==N n n n a y n x y x ，，)1(),(2，若A ∩B ≠∅，则整数a 的值为 .5.函数f(x)的定义域为(0,+∞)，并且对任意正实数x ，都有f(x)+2f(2005x )=3x ，则f(2)= .6.a,b,c 是正整数，且成等比数列，b-a 是一个完全平方数，log 6a+log 6b+log 6c=6，则a+b+c= .7.已知f(x)=x 2+6ax-a ，y=f(x)的图像与x 轴有两个不同的交点(x 1，0),(x 2,0)且a (1+x 1)(1+x 2) -3(1-6a-x 1)(1-6a-x 2) =8a-3，则a 的值为 .8.若不等式5217112+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛x x ax ππ对-1≤a ≤1恒成立，则x 的取值范围是 .9.已知数列{a k }的通项a k =2k ，k=1，2，…，n ，则所有的a i a j (1≤i ≤j ≤n)的和为 .10.设n 为正整数，记1×2×…×n 为n !(例如1！=1，2！=1×2，5！=1×2×3×4×5)，若存在正整数a 2，a 3，a 4，a 5，a 6满足3136 =a 22！+a 33！ +a 44！ +a 55！ +a 66！，这里0≤a i <I ，i=2，3，4，5，6，则2625242322a a a a a ++++等于 .二、解答题(共4小题，每小题15分，满分60分)11.设a,b,c这三个质数成等差数列，公差为10，求出所有这样的a,b,c.12.设f(x)=ax 2+bx+c(a ，b ，c ∈R)，已知1)1(≤-f ，1)0(≤f 1)1(≤f ，求证：当x ∈[-1,1]时，45)(≤x f .13.在直角三角形ABC 中，∠B=90°，它的内切圆分别与BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆相交于另一点p ，连接PC ，PE ，PF ，FD.已知PC ⊥PF. 求证：(1)PF FD =PDDC(2)PE ∥BC.F BAC14.设集合A的元素都是正整数，满足如下条件：(1)A的元素个数不小于3；(2)若a∈A，则a的所有正因数都属于A(3)若a∈A，b∈A，1<a<b，则1+ab∈A.请解答下面的问题：(1)证明：1，2，3，4，5都是集合A的元素(2)问：2005是否是集合A的元素？并说明理由。
福建省高一数学竞赛-参考答案
2014年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月11日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分） 1．已知集合{}1A x x a =-<，{}22x B y y x ==≤，，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(]1-∞，B ．(1)-∞，C ．(]01，D ．(]3-∞， 【答案】 A【解答】0a ≤时，A φ=，符合要求。
0a >时，(11)A a a =-+，，(]04B =，。
由A B A ⋂=知，A B ⊆。
1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤。
∴ a 的取值范围为(]1-∞，。
2．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥内切球的体积为（ ）A ．27 B ．27 C ．43π D ．163π 【答案】 A【解答】设圆锥底面半径为R ，母线长为l ，则1222l R ππ⨯=，2l R =。
又2122S l ππ==圆锥测。
因此，2l =，1R =。
圆锥的轴截面是边长为2的正三角形。
所以，其内切球半径123r ==，其体积343V π=⨯=。
3．函数y x = ）A ．⎡-⎣B ．2⎡-⎣C ．1⎡-⎣D ．⎡⎣【答案】 B【解答】由y x -=22224y xy x x -+=-，222240x yx y -+-=。
∴ 2248(4)0y y =--≥△，y -≤≤又2y x ≥≥-，因此，2y -≤≤2⎡-⎣。
4．给出下列命题：（1）设l ，m 是不同的直线，α是一个平面，若l α⊥，l m ∥，则m α⊥。
（2）a ，b 是异面直线，P 为空间一点，过P 总能作一个平面与a ，b 之一垂直，与另一条平行。
（3）在正四面体ABCD 中，AC 与平面BCD 所成角的余弦值为3。
（4）在空间四边形ABCD 中，各边长均为1，若1BD =，则AC 的取值范围是(0。
其中正确的命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】 C 【解答】（1）显然正确。
福州一中2007年高中招生(面向福州以外)综合素质测试数学试卷(含答案)
福州一中2007年高中招生（面向市区以外）综合素质测试数学试卷（满分100分，考试时间60分钟）注意：请将选择题、填空题的答案填写在答题卷的相应位置上。
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
） 1．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中“考”在正方体的“前面”，则这个正方体的“后面”是A ．祝B ．你C ．成D ．功 2.给出下列关系式：（1）235()a a -=-；（2）2124--=； （3）2233()()a b a ab b a b +-+=+；（4）20072008(0.5)22⨯=。
其中一定成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，直线l 交圆O 于B A 、两点，且将圆O 分成31∶两段。
若圆O 半径为2cm ，则OAB △的面积为A ．12cmB ．32cmC ．22cmD ．42cm4．已知3x =,0x =是关于x 的不等式342a x ax -<+的两个解，则a 的取值范围为A ．12a -≤≤B ．1a <-C ．12a -<<D ．2a >5．如图，在直角三角形ABC △中，090=∠C ，030BAC ∠=，1BC cm =。
将ABC△祝 你考 试成 功第1题 图第3题 图沿直线l从左向右翻转3次，则点B 经过的路程等于 A ．136πcm B ．72πcm C ．43+cm D ．33+cm6.今年是福州一中建校190周年，现将正整数1，2，3，4，5，…按右表所示规律填入表格,则190在表格中的位置是A ．第1行，第19列B ．第20行，第1列C ．第19行，第1列D ．第1行，第20列二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。
）7．如图，在等腰ABC △中，AB AC =， AB 的垂直平分线DE 交AB 于 点D ， 交另一腰AC 于点E ，若15EBC ∠=，则A ∠= ★★★★ 。
福建省高一数学竞赛试题
年福建省高一数学竞赛试题(考试时间：月日上午：一：)、选择题(每小题分，共分).集合A = {x |x-1|<3 ,x^N }的子集有（）•个【答案】【解答】由x—1 <3，知—2<xc4，结合x^N , 得A = {0,1,2,3}•••A的子集有24=16个。
•若直线12与直线l i : y =2x -1关于直线y二x对称，则J与两坐标轴围成的三角形的面积为( )2 1 13 2 4【答案】【解答】在直线11 : y =2x-1取点A(0,-1)，则A0 ,1关于直线y二x的对称点A(-1,0)在直线12上。
又直线11与直线y = x的交点P(1,1)在直线121 1J过AG ,和P(1,两点，其方程为y”1 1• I2与坐标轴交于(-1,0)和(0 ,-)两点，J与坐标轴围成的三角形的面积为—。
2 4•给出下列四个判断：()若a , b为异面直线，则过空间任意一点P，总可以找到直线与a , b都相交()对平面,-和直线1，若二」】，I」，则I// 。
()对平面:,和直线I，若I _ ：■ , 1 ，则：1。
()对直线11 , 12和平面［，若11 //〉，12 // 11，且12过平面〉内一点P，则12 ―其中正确的判断有(）•个•个•个•个【答案】【解答】()、()正确；()、()不止确。
对于()，设a // a，过a和b的平面为〉，则当点P在平面〉内，且不在直线b上时,找不到直线同时与a , b都相交•如图，已知正方体 ABCD , E 为CD 中点，则二面角E —AB , —B 的正切值为()• 2.2【答案】【解答】如图，作EF _ AB 于F ，作F0 _ AB ,于0 ,连结0E 由 ABCD -A 1B 1C 1D 1 为正方体，知 EF _ 面 ABB ,A ,， EF _ AB ,。
又 AB , _ OF 。
因此，AB , _ 面 OEF ，0E _ AB ,。
2010年福建省高一数学竞赛试题
2010年福建省高一数学竞赛试题（考试时间：5月9日上午8:30—11:30）答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答.2.解答书写时不要超过装订线.一、 选择题（每小题6分，共36分）1. 已知集合26{21,}x x A x x Z --=<∈，则集合A 的非空子集的个数为（）A. 6B. 7C.14D. 152. 直线:(21)(1)730l m x m y m +++--=被圆22:(2)(3)25C x y -++=截得的最短弦长为（）A. 5B. 5C. 3D. 33.若函数(3)320()10x a x a x f x a x -+-<⎧=⎨-≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A.3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.(1,3) C.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭4.若函数22()log (43)f x mx x m =-+-的值域为R,则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,1)(4,)-∞⋃+∞ B. (4,)+∞ C. (0,4) D.[0,4]5.已知1111ABCD A B C D -为长方体，E 、F 分别为棱1AA 、1CC 的中点，则在空间中与直线11A D 、EF 、CD 都相交的直线 （ ）A ．不存在 B. 有且仅有2条 C. 有且仅有3条 D. 有无数条6.已知定义在R 上的奇函数()f x 在区间[]0,2上是增函数，且函数()y f x =的图像关于直线2x =对称。
若方程() (0)f x a a =<在区间[]12,8-上有6个不同的实根123456 x x x x x x 、、、、、,则123456 =x x x x x x +++++（ ）A. -12B. 12C. -8D. 8二、 填空题（每小题6分，共36分）7.若经过点(1,0)P -的直线与圆22:4230C x y x y ++-+=相切，则此直线在y 轴上的截距为_______________________________8.若0x >，且不等式211022nx x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭对一切正整数n 都成立，则x 的取值范围是_______________________________________9.已知点Q 为直线:23170l x y +-=上动点，点R 为y 轴正半轴上动点，点(2,0)P 为x 轴上定点，则PQR 周长的最小值为_____________________10.若圆222 (0)x y r r +=>上恰有三个不同的点到直线:34150l x y +-=的距离为2，则r 的值为_____________________________11.对于集合 M N 、,定义:{,}M N x x Mx N -=∈∉且。
高中数学竞赛数论部分
初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。
1． 请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。
(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题) （2） ①设n Z ∈，证明2131n-是168的倍数。
②具有什么性质的自然数n ，能使123n ++++能整除123n ⋅⋅⋅？（1956年上海首届数学竞赛第一题）（3） 证明：3231122nn n ++-对于任何正整数n 都是整数，且用3除时余2。
（1956年北京、天津市首届数学竞赛第一题）（4） 证明：对任何自然数n ，分数214143n n ++不可约简。
（1956年首届国际数学奥林匹克竞赛第一题）（5） 令(,,,)a b g 和[,,,]a b g 分别表示正整数,,,a b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：[][][][]()()()()22,,,,,,,,,,a b c a b c a b b c c a a b b c c a =⋅⋅（1972年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）这些例子说明历来数论题在命题者心目中首当其冲。
2.再看以下统计数字：（1）世界上历史最悠久的匈牙利数学竞赛，从1894~1974年的222个试题中，数论题有41题，占18.5%。
（2）世界上规模最大、规格最高的IMO （国际数学奥林匹克竞赛）的前20届120道试题中有数论13题，占10.8% 。
这说明：数论题在命题者心目中总是占有一定的分量。
如果将有一定“数论味”的计数型题目统计在内，那么比例还会高很多。
3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102xabx a b -++=是否有两个整数解？ 如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。
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2007年福建省高一数学竞赛试题
(考试时间：5月20日上午8：30—11：00)
2.解答书写时不要超过装订线.
一、选择题(共5小题，每小题5分，满分25分) 1.给出下列四个命题：
（1）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时平行a 、b ； （2）若a 、b 是异面直线，则必存在唯一的一个平面同时垂直a 、b ； （3）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面平行于b ； （4）若a 、b 是异面直线，则过a 存在唯一的一个平面垂直于b ；
上述四个命题中，正确的命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.设集合(){}
23lg 42,11M x y x x N x x ⎧⎫
==--=≥⎨⎬+⎩⎭
，则M N = （ ）
A.
{}
11x x -<<
B.
{}
32x x -<≤ C.
{}11x x -<<
D.{}
1312x x x -<-<≤
3.已知函数()2x f x =与()3g x x =的图像交于()()1122,,A x y B x y 、两点，其中12x x <.若
()2,1x a a ∈+，且a 为整数，则a =（ ）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10 4.已知函数
()(){
21010),
x x f x x f x --≤->=
（）
( 若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则
实数a 的取值范围为（ ）
A. (],0-∞
B. []0,1
C. (),1-∞-
D. [)0,+∞
5. 点O 在△ABC 的内部，且满足220OA OB OC →→→→
++=，则△ABC 的面积和凹四边形ABOC 的面积之比为（ ） A.52 B. 32 C. 54 D. 43 二、填空题(共7小题，每小题5分，满分35分)
6.若存在实数x 和y ，使得222223sin cos ,2
1cos sin ,2
,x y a x y a +=+=⎧⎨⎩则实数a 的所有可能值为 .
7. 将一边长为4的正方形纸片按图1中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱柱，设其体积为1V ；若将同样的正方形纸片按图2中的虚线所示的方法剪开后拼成一个正四棱锥，设其体积为2V ；则1V 与2V 的大小关系是 .
8. 已知()cos n n b a π=，其中()23*123n n a n n N =++++∈ ，则122007b b b ++ 的值
为 . 9.设()(
),22f x g x x ππ⎫
⎛⎫+=
∈- ⎪⎪⎝⎭⎭
，且()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则2
2
44f g ππ⎡
⎤⎡⎤
⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦
. 10.若对满足1x ≤的一切实数x ，不等式()214t t x +>-恒成立，则实数t 的取值范围是 .
11. 已知()f x 为R 上的偶函数，且对任意x R ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，则()2007f = 12.把能表示成两个正整数平方差的这种正整数，从小到大排成一列：123,,,,n a a a a ，例如：
222222123213325437a a a =-==-==-=，，，224318a =-= ，.那么2007a = . 三、解答题(共5小题，每小题12分，满分60分) 13. 已知圆C 满足下列三个条件
（1） 圆C 与x 轴相切；
（2） 圆心C 在直线30x y -=上； （3） 圆C 与直线0x y -=交于A 、B 两点，且△ABC
求符合上述条件的圆C 的方程.
14. 已知二次函数()()20f x x bx c b =++>在区间[]1,1-上的最小值为3
4
，最大值为3.
（1）求()f x 的表达式；
（2）若()()1n a f n f n =--，其中2n ≥，且*n N ∈.
图1 图
2
C
B 求证：
2222234111114
n a a a a ++++< .
15. 如图，在四边形OBAC 中BO CO ⊥，AB =AC OBAC 面积的最大值.
16.如图，AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 的中点，在AB 及其延长线上分别取点D 、E ，使BD =BE ，直线CD 、CE 分别交圆O 于点F 、G .
（1）求证：AF AG
DF EG
=； （2）在直径AB 上是否存在点D ，使得FG 与AB 垂直.若能，请写出作法；若不能，请说明理由.
17. 求最小的正整数n ，使得集合
{}1,2,3,,2007 的每一个
n 元子集中都有2个元素
（可以相同），它们的和是2的幂.
简解
选择：AACCC
填空：6、1；7、21V V >；8、1-；9、2-；10、2
1
212113+<<-t 11、0；12、2679 解答：
13、()()()()9319312
2
2
2
=+++=-+-y x y x 或
14、（1）()12++=x x x f （2）利用()n n n
⋅-<1112
进行放缩 15、288+
16、（1）证明△ECB ∽△EAG 及△BCD ∽△FAD
（2）反证法 17、1002．
第16题 图。