2014期中讲义3勾股定理
勾股定理复习讲义
勾股定理复习讲义【中考命题趋势】本章内容在中考中多以填空题与选择题的形式出现，应结合直角三角形的有关性质、三角函数知识进行线段的计算或证明，近几年来，以实际问题为背景的探究题、材料分割题、实际应用题、网格试题不断涌出，题目多以中档题为主，这也是今后中考试题发展的重要趋势。
【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题考点一：勾股定理相关概念性质（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cabcabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
勾股定理-综合讲义
数学学科辅导讲义教学内容勾股定理教学目标一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．教学重点根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．教学难点1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．教学过程知识详解一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱 B 点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A 、B 两点即可典型例题进门测：1. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形3. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 25．如图（第17题）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．4AB EF DC （图2）6．如图（第18题），已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为( )．A．3 B．4 C．5 D．67．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．32B．4 C．25D．4.51．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t=2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t=秒．（直接写出结果）2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．3．如图１，△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．（1）求证：∠A=∠CED；（2）如图2，若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．随堂检测1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是( )A．115°B．125°C．135°D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为( ) A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10 cm，腰长为13 cm，则腰上的高为( )A．12 cm B．6013cm C．12013cm D．135cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为( )A．42 B．32 C．37或33 D．42或32课后练习1．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有( ) A．12个B．10个C．8个D．6个2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5 B．5或8 C．52D．4或52第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．4．直角三角形三角形两直角边长为5和12，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.选择题专题6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4 m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动( )A．0.4 m B．0.8 m C．1.2 m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600 m B．500 m C．400 m D．300 m。
勾股定理复习讲义内容
勾股定理复习讲义内容一、第一单元知识结构二、典例归类考点1：面积及面积的应用例1、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P 到三边的距离相等，这个距离为。
例2、在直线l 上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四个正方形面积依次是,,,,1S S S S 则=+++S S S S 。
对应练习:1、如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形， （1）求图四边形ABCD 的各边的长。
（2）求∠ADC 的度数L3、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AD=3，AB=4，∠B=60°，则梯形的面积总结归纳： 。
考点2、距离（最短距离）问题例3、如图所示，圆柱的底面周长为6cm ，AC 是底面圆的直径，高BC ＝ 6cm ，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P 的最短距离是.如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5，3，4。
在点A ’处有一只蚂蚁，它想吃到与点A ’相对的C 点的食物，沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少？对应练习: 1、如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外表面爬到B 顶点的最短路程是（ ） A 、3 B 、 C 、 D 、12、如上图，则正方体中能放入的最大长度为。
总结归纳：。
考点3：判断三角形的形状例4、如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c ，判断ΔABC 的形状。
P BC PC 23BC对应练习:1、下面的三角形中：①△ABC中，∠C=∠A－∠B；②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3；③△ABC中，a：b：c=3：4：5；④△ABC中，三边长分别为8，15，17．其中是直角三角形的个数有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，则它的形状为三角形A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角考点4：勾股定理与实际问题结合例6、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
免费版 2014年八年级数学下册同步讲义--勾股定理
4.三边 BC=3,AC=4,AB=5 的三角形沿最长边 AB 翻折后得到△ABC/，则 CC/的长等于（ 12 A. 5 B. 13 5 C. 5 6 D. 24 5
5.直角三角形的两条直角边长为 a,b,斜边上的高为 h,则下列各式中总能成立的是 ( A.ab=h
0
1
八年级数学
课堂练习：
1.已知直角三角形两边的长为 3 和 4，则此三角形的周长为（ A.12 B. 7 7 C．12 或 7 7 ） D.以上都不对 ）
2.如图,AB⊥CD 于 B,△ABD 和△BCE 都是等腰直角三角形,如果 CD=17,BE=5,那么 AC 的长为（ A.12 B.7 C.5 D.13
3.如图,在△ABC 中,∠C=900，BC=6,D、E 分别在 AB,AC 上,将△ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在点 A′处，若 A′为 CE 的中点,则折痕 DE 的长为（ A. ） C.3 D.4
1 2
)
B.2
4.一架 25 分米长的梯子,斜立在一竖直的墙上,这时梯足距离墙底端 7 分米,如果梯子的顶端沿墙下滑 4 分米,那么梯足将滑动( A.9 分米
16.如图所示,等腰三角形 ABC 的底边长为 8，腰长为 5,一动点 P 在底边上从 B 向 C 以 0.25 个单位每秒 的速度移动,当 P 运动几秒时,P,A,C 三点构成的三角形为直角三角形？
3
八年级数学 0 17.如图，等腰直角三角形 ABC,∠ACB=90 ，AC=BC=4，以 BC 为边作等腰 Rt△BCD，求线段 AD 的长度。
2
八年级数学 12.如图， 所有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形， 其中最大的正方形的边和长为 11cm, 则正方形 A，B，C，D 的面积之和为________cm2。
2014初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理
考点1 直角三角形的概念、性质与判定考点2 ：勾股定理及逆定理类型一：利用勾股定理求线段的长度命题角度：1. 利用勾股定理求线段的长度；2. 利用勾股定理解决折叠问题．例1：（2013年佛山市）如图，若∠A =60°，AC =20m ，则BC 大约是(结果精确到0.1m)( )A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3m例2：一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A 、B 重合，若∠B=30°，AC=3，求DC 的长。
初中数学基础知识讲义—直角三角形与勾股定理ACB类型之二 实际问题中勾股定理的应用命题角度：1. 求最短路线问题； 2. 求有关长度问题．例1：（2013鄂州）小明、小华在一栋电梯楼前感慨楼房真高．小明说：“这楼起码20层！”小华却不以为然：“20层？我看没有，数数就知道了！”小明说：“有本事，你不用数也能明白！”小华想了想说：“没问题！让我们来量一量吧！”小明、小华在楼体两侧各选A 、B 两点，测量数据如图，其中矩形CDEF 表示楼体，AB=150米，CD=10米，∠A=30°，∠B=45°，（A 、C 、D 、B 四点在同一直线上）问： （1）楼高多少米？（2）若每层楼按3米计算，你支持小明还是小华的观点呢？请说明理由．（参考数据：≈1.73，≈1.41，≈2.24）1、（2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 A 、5 BCD 、52、（2013柳州）在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD 平分∠BAC 交BC 于D ，则BD 的长为（ ） A 、B 、C 、D 、3、（2013湘西州）如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，DE ⊥AB 于E ，若AC=6，BC=8，CD=3． （1）求DE 的长； （2）求△ADB 的面积．图。
勾股定理复习课件
2 勾股定理的几何意义
勾股定理表明：直角三角 形的两条边长的平方和等 于斜边长的平方。
3 勾股定理的公式
a² + b² = c²
证明方法
1
古希腊证明法
毕达哥拉斯提出了几何证明勾股定理的方法，被广泛接受。
2
辅助圆证明法
通过构造辅助圆，可以简单而直观地证明勾股定理。
勾股定理复习
勾股定理是数学中一项重要的定理，用于解决直角三角形相关问题。本PPT将 带您回顾勾股定理的定义、证明和应用，以Байду номын сангаас拓展到高维空间的可能性。
引言
1 历史背景
勾股定理最早可追溯到古希腊时期，由毕达哥拉斯提出。
2 意义
勾股定理在数学中的应用广泛，是直角三角形和几何学中的基础。
定义和公式
1 直角三角形的定义
高维空间中的勾股定理
勾股定理也可以推广到高维空间，拓展了其应用范 围。
总结与展望
数学中的重要性
勾股定理是数学中的基础知识，对于几何学和三角 学的理解至关重要。
未来的发展趋势
勾股定理在数学领域仍有很多未解之谜和未来的发 展方向等待我们去探索。
3
三角函数证明法
利用三角函数的性质，可以用代数方法证明勾股定理。
应用
解决实际问题
通过勾股定理，可以计算直角三角形的未知边长和角度，用于解决实际问题。
工程领域的应用
勾股定理在工程测量、建筑设计等领域中发挥重要作用。
拓展
平面直角坐标系中的勾股定理
通过将直角三角形映射到平面直角坐标系中，可以 推导出勾股定理的更广义形式。
《勾股定理》教师讲义
《勾股定理》典型例题分析一、知识要点:1、勾股定理勾股定理:直角三角形两直角边得平方与等于斜边得平方。
也就就是说:如果直角三角形得两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。
公式得变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。
2、勾股定理得逆定理如果三角形ABC得三边长分别就是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 就是直角三角形。
这个定理叫做勾股定理得逆定理、该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点:①已知得条件:某三角形得三条边得长度、②满足得条件:最大边得平方=最小边得平方+中间边得平方、③得到得结论:这个三角形就是直角三角形,并且最大边得对角就是直角、④如果不满足条件,就说明这个三角形不就是直角三角形。
3、勾股数满足a2 + b2= c2得三个正整数,称为勾股数。
注意:①勾股数必须就是正整数,不能就是分数或小数。
②一组勾股数扩大相同得正整数倍后,仍就是勾股数。
常见勾股数有:(3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 )4、最短距离问题:主要运用得依据就是两点之间线段最短。
二、考点剖析考点一:利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积:(1)阴影部分就是正方形;(2)阴影部分就是长方形;(3)阴影部分就是半圆.2、如图,以Rt△ABC得三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半圆得面积之间得关系.3、如图所示,分别以直角三角形得三边向外作三个正三角形,其面积分别就是S 1、S2、S3,则它们之间得关系就是( )A、 S1- S2= S3B、 S1+ S2= S3C、 S2+S3< S1D、 S2- S3=S1S3S2S14、四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD得面积。
5、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。
勾股定理讲义
勾股定理姓名： 时间：一、勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么_____＝c 2；这一定理在我国被称为___定理。
1.要点诠释勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边；（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题；例题：1. △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若a ＝5，b ＝12，则c ＝______；(2)若c ＝41，a ＝40，则b ＝______；2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于______；3. 如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝15cm ，则正方形ADEC 和正方形BCFG 的面积和为__；4. 直线l 经过正方形ABCD 的顶点B ，点A 、C 到直线l 的距离分别是1、2，则正方形的面积是多少？5. Rt △ABC 中，斜边BC ＝5cm ，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为______；已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 。
6.在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，∠B 的角平分线交AC 于D ，求证：AD 2-CD 2=BC 2。
练习：1.△ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边．(1)若∠A ＝30°，a ＝1，则c ＝______，b ＝______；(2)若∠A ＝45°，a ＝1，则b ＝______，c ＝______．2. 如图是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为______．3. 在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S 1，S 2，S 3，S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝______．4．等腰直角三角形的斜边为10，则腰长为______，斜边上的高为______．5. 若一个直角三角形的两边长分别为12和5，则此三角形的第三边长为______．2.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理；常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=二、勾股定理的实际应用运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解。
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2014年秋学期八年级数学期中复习讲义（3） 第三章 勾股定理
【知识回顾】
1. 勾股定理与逆定理2验证勾股定理3勾股定理的简单应用4勾股数组 【典型例题】 例1.填空题：
（1）已知直角三角形的的两条直角边为6和8，则斜边长为 ；若两条边长为6和8，则第三条边长
为 ．
（2）一个三角形的三条边长满足ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形的形状是 .
（3）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方
形A 、B 、C 、D 的面积分别为4，6，2，4．则最大的正方形E 的面积是 ．
（4）如图是2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆
方图》，由四个全等的直角三角形和一个小正方形的拼成的大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短边为a ，较长边为b ，那么(a+b) 2
的值是 ．
(5)如图，有一透明的圆柱体，它的高为8cm ，底面半径为2cm ，在圆柱的下底面A 点处有一个蜘蛛，它想吃到上底面上与A 点相对的内部B 点处的苍蝇，距杯子顶端3 cm ，需要爬行的最短路径是_______ cm （结果用带根号和π的式子表示）．
（3）图 （4）图 （5）图
例2.如图AC =5c m ，BC =13c m ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，
你能求出CD 的长吗？
例3. 如图，小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸，已知该纸片宽
时，顶点D 落在BC 边上的点F 处（折痕为AE ）．问EC 有多长？
小河
例4.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
【反馈练习】
1. 下列各数组中，不是勾股数组的是（）
A.5，12，13
B.9，40， 41
C.8，12，15
D.3k，4k，5k
2．若直角三角形的两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为．
3.八年级三班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下
操作：（1）测得BD的长度为16米．（2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为63米．
（3）牵线放风筝的小明身高1.6米．求风筝的高度CE．
4. 如图：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是．
5.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需__________cm．
6．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．
7.如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，
则BD＋DE的最小值是．
8．如图，在海上观察所A,我边防海警发现正北6km的B处有一可疑船只正在向东方向8km的C处行驶.
我边防海警即刻派船前往C处拦截.若可疑船只的行驶速度为40km/h，则我边防海警船的速度为多少时，才能恰好在C处将可疑船只截住？
B
A
3cm
1cm
A
B C
F
E
'A
（'B）
D
A
B C
D
E
M
（第7题）
8km C
A
B
6km
第8题图
1．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）
A．4，5，6 B
．1，1．6，8，11 D．5，12，23
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（）A．26 B．18 C．20 D．21
3．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（）A．3 B．4 C．5 D．7
4．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′（）
A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m
5.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子
外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）
A．h≤17cm B．h≥8cm C．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm
第4题图第5题图
6. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m2 + n2, m2–n2, 2mn（m，n均为正整数,m>n）；
④2
a,1
2+
a,2
2+
a.其中能组成直角三角形的三边长的是 ( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
7. 在△ABC中，∠C=90°， AB＝5，则2
AB+2
AC+2
BC=_______．
8. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图
中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于______．
9 ．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．
10．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．
11．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有_ ____米. 12. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，•A和B是这个台阶两个
相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是．
第
11题图第12题图
C
A
B
D
13.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9. (1)求DC 的长；(2)求AB 的长；
（3）问△ABC 是直角三角形吗？请说明理由.
14.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。
举例：如图，若PA =PB ，则点P 为△ABC 的准外心。
已知△ABC 为直角三角形，斜边BC =5，AB =3， 准外心P 在AC 边上，求PA 的长。
（自己画图）
15．如图，一正方形的棱长为2，一只蚂蚁在顶点A 处，在顶点G 处有一米粒。
（1） 问蚂蚁吃到这粒米需要爬行的最短距离是多少？ （2） 在蚂蚁刚要出发时，突然一阵大风将米粒吹到了
（3） G F 的中点M 处，问蚂蚁要吃到这粒米的最短距离又是多少？
16. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC 为边在△ABC 外作等边三角形ACD ，过点D 作AC 的垂线，垂足
为F ，与AB 相交于点E ，连接CE 。
(1)说明：AE=CE=BE ；
(2)若AB ＝15 cm ， P 是直线DE 上的一点。
则当P 在何处时， PB+PC 最小，并求出此时PB+PC 的值。
C B。