《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题六 第4讲 算法初步、复数

第4讲 算法初步、复数
自主学习导引
真题感悟
1．(2012·辽宁)执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是
A ．－1 B.23 C.32 D ．4
解析 根据程序框图的要求一步一步的计算判断．
因为S ＝4，i ＝1＜9，所以S ＝－1，i ＝2
＜9；S ＝23，i ＝3＜9；S ＝3
2，i ＝4＜9；S ＝4，i
＝5＜9；S ＝－1，i ＝6＜9；S ＝23，i ＝7＜9；S ＝3
2，i ＝8＜9；S ＝4，i ＝9＜9不成立，输出S ＝4. 答案 D
2．(2012·辽宁)复数2－i
2＋i ＝ A.35－4
5i B.35＋45i C ．1－4
5i
D ．1＋3
5i
解析 根据复数的除法运算对已知式子化简． 2－i 2＋i ＝(2－i )25＝35－4
5i.
答案 A
考题分析
高考考查算法初步主要是程序框图，内容则是运行结果的计算、判断条件的确定、题型为选择题或填空题；而复数出现在高考题中一般为复数的计算、复数的几何意义，这两部分题目的难度虽然都较小，属易失分题．
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考点一：计算程序框图的输出结果
【例1】(2012·西城二模)执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：
①f (x )＝e x ；②f (x )＝－e x ；③f (x )＝x ＋x －1； ④f (x )＝x －x －1.
则输出函数的序号为
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
[审题导引] 首先依次判断所给四个函数是否存在零点，然后根据程序框图的意义选择输出的函数．
[规范解答] 易知函数①②③都没有零点，只有函数④f (x )＝x －x －1存在零点x ＝±1.故选D. [答案] D 【规律总结】
程序框图问题的解法
(1)解答程序框图的相关问题，首先要认清程序框图中每个“框”的含义，然后按程序框图运行的箭头一步一步向前“走”，搞清每走一步产生的结论．
(2)要特别注意在哪一步结束循环，解答循环结构的程序框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误． 【变式训练】
1．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为
A.4
9 B.511 C.712
D.613
解析 第一次运行S ＝
11×3，k ＝3；第二次运行S ＝11×3＋13×5，k ＝5； 第三次运行S ＝11×3＋13×5＋1
5×7，k ＝7；
第四次运行S ＝11×3＋13×5＋15×7＋1
7×9，k ＝9；
第五次运行S ＝11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋1
9×11
，
k ＝11.循环结束．
故输出结果是S ＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－111＝511.
答案 B
考点二：判断程序框图中的条件
【例2】若如图所示的程序框图输出的S是126，则①应为________．
[审题导引]因为题干给出的数值不是很大，故可以逐步计算进行验证，也可以根据S的意义，进行整体求解．
[规范解答]解法一(逐次计算)第一次循环：n＝1，S＝0，
而输出的S是126，显然不能直接输出，
故S＝0＋21＝2，n＝1＋1＝2；
第二次循环：n＝2，S＝2≠126，
所以继续运算，故有S＝2＋22＝6，n＝2＋1＝3；
第三次循环：n＝3，S＝6≠126，
所以继续运算，故有S＝6＋23＝14，n＝3＋1＝4；
第四次循环：n＝4，S＝14≠126，
所以继续运算，故有S＝14＋24＝30，n＝4＋1＝5；
第五次循环：n＝5，S＝30≠126，
所以继续运算，故有S＝30＋25＝62，n＝5＋1＝6；
第六次循环：n＝6，S＝62≠126，
所以继续运算，故有S＝62＋26＝126，n＝6＋1＝7.
此时S＝126，恰好是输出的结果，
所以循环结束，而对应的n＝7，
即n＝7时要输出S，
所以判断框内的条件是n≤6或n＜7，故填n≤6.
解法二(整体功能)由程序框图，可知该程序框图输出的S是数列{2n}的前n项的和，即S＝2＋22＋23＋…＋2n，由等比数列的前n项和公式，可得S＝2(1－2n)
＝2n＋1－2，该题实质上就是解方程S＝126，
1－2
故有2n＋1－2＝126，即2n＋1＝128，故n＝6，
即该数列的前6项和等于126，
但在运算完S 后，n 变为n ＋1，故最后得到n ＝7. 所以判断框内的条件是n ≤6或n ＜7，故填n ≤6. [答案] n ≤6 【规律总结】
判断条件的注意事项
解决此类问题应该注意以下三个方面：一是搞清判断框内的条件由计数变量还是累加变量来表示；二是要注意判断框内的不等式是否带有等号，这直接决定循环次数的多少；三是要准确利用程序框图的赋值语句与两个变量之间的关系，把握程序框图的整体功能，这样可以直接求解结果，减少运算的次数． [易错提示] 解此类题目，易犯的错误有： (1)在循环结构中，对循环次数确定有误；
(2)在循环结构中，对判断条件不能正确确定． 【变式训练】
2．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为2 012
2 013，则判断框内应填入的条件是
A ．i ＞2 011?
B ．i ＞2 012?
C ．i ＞2 013?
D ．i ＞2 014?
解析 这是一个计算
11×2＋12×3＋13×4＋…＋1i (i ＋1)＝1－1i ＋1＝i i ＋1
的程序，根据题意，该程序计算到i ＝2 012时结束，此时i ＋1＝2 013，故判断框要保证此时终止程序，故填i ＞2 012? 答案 B 考点三：复数
【例3】(1)(2012·西城二模)已知复数z 满足(1－i)·z ＝1，则z ＝________. (2)(2012·济南模拟)复数z 满足等式(2－i)·z ＝i ，则复数z 在复平面内对应的点所在的象限是
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [审题导引] (1)变形计算即可；
(2)求z 并化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，然后确定复数z 在复平面内对应的点所在的象限．
[规范解答] (1)z ＝11－i ＝1＋i (1－i )(1＋i )
＝12＋i
2.
(2)z ＝i 2－i ＝i (2＋i )(2－i )(2＋i )
＝－15＋25i ，所以复数z 在复平面内的对应点在第二象限．
[答案] (1)12＋1
2i (2)B 【规律总结】
解决复数问题的两个注意事项
(1)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，但要注意把i 的幂写成最简单的形式．
(2)只有把复数表示成标准的代数形式，即化为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，才可以运用复数的几何意义． 【变式训练】
3．(2012·湘潭模拟)复数10i
1－2i
＝
A ．－4＋2i
B ．4－2i
C ．2－4i
D ．2＋4i
解析 10i 1－2i ＝10i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝1
5×10i(1＋2i)＝－4＋2i.
答案 A
4．(2012·邯郸模拟)复数a ＋i
1－i 为纯虚数，则a ＝________.
解析
a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )
＝a －12＋a ＋1
2i. ∵复数a ＋i
1－i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a －12＝0a ＋1
2≠0，即a ＝1.
答案 1
名师押题高考
【押题1】在可行域内任取一点，如图所示的程序框图，则能输出数对(x ，y )的概率是________．
解析 区域⎩⎨⎧
－1≤x ＋y ≤1，
－1≤x －y ≤1是以点(－1,0)，(0,1)，(1,0)，(0，－1)为顶点
的正方形区域，其面积是2；区域x 2＋y 2≤12是以坐标原点为圆心、半径等于2
2的
圆，恰好是正方形区域的内切圆，其面积为1
2π.根据几何概型的计算公式，这个
概率值是π4，此即能输出数对(x ，y )的概率．故填π
4.
答案 π
4 [押题依据] 高考对算法的考查主要是程序框图，试题以选择题或填空题的形式出现，主要考查程序框图运行的输出结果或判断条件的确定．本题中与几何概型交汇命题、立意新颖、难度适中，故押此题．
【押题2】若复数a ＋i
1＋i
的对应点在y 轴上，则实数a 的值为________．
解析 a ＋i 1＋i ＝(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i
2
＝12(a ＋1)＋1
2(1－a )i ，
故复数
a ＋i 1＋i
在复平面上的对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫
12(a ＋1)，12(1－a )，
据题意有1
2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1. 答案 －1
[押题依据] 复数在高考中主要考查复数的概念和代数形式的四则运算，一般难度不大，预计2013年的高考会延续这种考查风格．本小题把复数的运算与几何
意义综合考查，内涵丰富，考查全面，故押此题．。