2013山东高考理科数学WORD答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。

2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3.第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。

不按以上要求作答的答案无效。

4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P(B)；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）。

第I 卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）复数z 满足(z －3)（2－i ）=5（i 为虚数单位）,则z 的共轭复数z 为 A 2+i B 2-i C 5+i D 5-i(2) 已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|,x A y A ∈∈}中元素的个数是 A 1 B 3 C 5 D 9(3) 已知函数f(x)为奇函数，且当x >0时，21()f x x x=+，则f(-1)= A -2 B 0 C 1 D 2(4)已知三棱柱ABC-111A B C 的侧棱与底面垂直，体积为94的正三角形，若P 底面111A B C 的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为 A512π B 3π C 4π D 6π （5）将函数y=sin （2x +φ）的图像沿x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为（A ） （B ） （C ）0 （D ）（6）在平面直角坐标第XOY 中，M 为不等式组2202103x y 80x y x y --≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为 A 2 B 1 C 13-D 12- （7）给定两个命题p,q,若p q ⌝是的必要而不充分条件，则p q ⌝是的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件（8）函数y=xcosx + sinx 的图象大致为（B ）（9）过点（3，1）作圆22(1)1x y -+=的两条切线，切点分别是A,B ，则直线AB 的方程为A 230x y +-=B 230x y --=C 430x y --=D 430x y +-= （10）用0，1，2，…，9这十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A 243B 252C 261D 279（11）抛物线1C :212y x p=（p>0）的焦点与双曲线2C ：2213x y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ，若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线，则p=A16B 8C 3D 3(12)设正,,x y z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为A 0B 1 C94D 3 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

（13）执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为_______(14)在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得121x x +--≥成立的概率为_________（15）已知向量AB 与AC 的夹角为120，且｜AB ｜＝3，｜AC ｜＝2，若AP λ= AB +AC，且AP ⊥ BC ，则实数λ的值为______________(16) （16）定义“正对数”：ln +x=0,01ln ,1x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题：①若a ＞0，b ＞0，则ln +（a b ）=bln +a ②若a ＞0，b ＞0，则ln +（ab ）=ln +a+ ln +b ③若a ＞0，b ＞0，则ln ()a b+≥ln +a －ln +b ④若a ＞0，b ＞0，则ln +（a+b ）≤ln +a+ln +b+ln2 其中的真命题有___________________ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。

（17）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ,且6,2a b b +==，7cos 9B = (1) 求a,c 的值（2）求sin()A B -的值。

（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P-ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA=BP=BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ=2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH 。

（Ⅰ）求证：AB//GH ；（Ⅱ）求二面角D-GH-E 的余弦值（19）（本小题满分12分）甲，乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23，假设各局比赛结果相互独立， （1） 分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率（2） 若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分，若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X 的分成列及数学期望。

（20）（本小题满分12分） 设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+ （1） 求数列{n a }的通项公式（2） 设数列{n b }的前n 项和为n T ，且12n n na T λ++=，（λ为常数）令2n n c b =（n N +∈）,求数列{n c }的前n 项和n R 。

（21）（本小题满分13分） 设函数2()xxf x c e=+，（e=2.71828…是自然对数的底数，)c R ∈ (1) 求()f x 的单调区间，最大值(2) 讨论关于x 的方程ln ()x f x =根的个数。

22(本小题满分13分) 椭圆C:22221x y a b +=，（0a b >>），的左右焦点分别是12,F F ,2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段的长为1 （1） 求椭圆C 的方程（2） 点P 是椭圆C 上除长轴端点外的一点，连接12,PF PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0)，求m 的取值范围。

（3） 在（2）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211k k k k +⋅⋅为定值，并求出这个定值。

答案2013年山东高考数学试题参考答案（理科）一、选择题：DCABB CADAB DB 二、填空题：（13）3 （14）13（15）712（16）①③④（17）（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且6a c +=，2b =，7cos 9B =．（Ⅰ）求a ，c 的值； （Ⅱ）求sin()A B -的值．解：(Ⅰ)结合已知条件76,2,cos 9a c b B +===，由余弦定理22222()2cos 22a c b a c ac b B acac+-+--==，得9ac =，解69a c ac +=⎧⎨=⎩得：3a c ==，(Ⅱ) 在△ABC 中，由7cos 9B =易得sin 9B =，结合（Ⅰ）由余弦定理得2224991cos 22233b c a A bc +-+-===⨯⨯，所以sin 3A =.（另法：此处可结合三角形由锐角三角函数定义求得1cos 3A =，sin 3A =）∴7142102sin()sin cos cos sin 393927A B A B A B -=-=-⨯=．（18）（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥P ABQ -中，PB ⊥平面ABQ ，BA BP BQ ==，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，2AQ BD =，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，连接GH ．（Ⅰ）求证：//AB GH ；（Ⅱ）求二面角D GH E --的余弦值． 解：(Ⅰ)证明：连接ED ，FC ，DC ．∵D ，C ，E ，F 分别AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点， ∴,G H 分别为△APQ ，△BPQ 的重心， ∴13PGPD =，13PHPC =，∴//GH DC ， 又∵//DC AB ， ∴//AB GH .(Ⅱ)解法一：∵,AB BQ D =为AQ 的中点，∴BD AQ ⊥， 又∵2AQ BD =, ∴4ABD QBD π∠=∠=，∴AB BQ ⊥.又已知PB ⊥平面ABQ ，所以，可以,,BA BQ BP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 不妨设1AB =，则(0,0,0)B ，(1,0,0)A ，(0,1,0)Q ，(0,0,1)P ，11(,,0)22D ，1(0,,0)2C ，11(,0,)22E ，1(0,0,)2F ， 1(,0,0)2DC =- ，11(,,1)22DP =-- ．设平面DGH 即平面PDC 的一个法向量为(,,)x y z =1n ，则DC DP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ 11n n ，∴00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 11n n ，∴ 10211022x x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，不妨令1z =， 则0x =，2y =，所以(0,2,1)=1n ；同理，可求得平面EGH 即平面QEF 的一个法向量为2(0,1,2)=n ，所以2224cos ,5⋅===111n n n n n n ，由题意知二面角D GH E --为钝二面角， 所以二面角D GH E --的余弦值为45-．解法二：∵,AB BQ D =为AQ 的中点，∴BD AQ ⊥，又∵2AQ BD =，∴4ABD QBD π∠=∠=，∴AB BQ ⊥.已知PB ⊥平面ABQ ， ∴AB PB ⊥， 又BQ PB B = ， ∴AB ⊥平面PBQ ， 由(Ⅰ)知//AB GH ， ∴ GH ⊥平面PBQ ，∴FH GH ⊥，HC GH ⊥∴FHC ∠为二面角D GH E --的平面角； 由已知长度关系和位置关系，利用中点及重心性质在PBG ∆中易表示出FH 、HC 、CF ,在FHC ∆中用余弦定理易求出二面角D GHE --的余弦值为45-．（19）（本小题满分12分）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率是23.假设各局比赛结果互相独立．（Ⅰ）分别求甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X 的分布列及数学期望． 解：(Ⅰ)设甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率分别为1P ，2P ，3P则1222833327P =⨯⨯=； 2223212833327P C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；22234211433227P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以甲队以3:0，3:1，3:2胜利的概率分别为827，827，427．(Ⅱ)由题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3．1216(0)27P X P P ==+=；34(1)27P X P ===； 34(2)27P X P ===；32231121121(3)333327279P X C ⎛⎫⎛⎫==+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以X 的分布列为：X 的数学期望为164417012327272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．（20）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且422S S =，221n n a a =+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ，且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b = （n N *∈·）.求数列{}n c 的前n 项和n R ．解：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，因为424S S =，221n n a a =+，所以1112114344()221a d a a d a a a d ⨯⎧+=++⎪⎨⎪=+=+⎩， 即1121d a a d =⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩.所以 1(1)221n a n n =+-⨯=-.所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(Ⅱ)因为数列{}n b 的前n 项和为n T ，且22n nn T λ+= ①，所以2n ≥时，11222n n n T λ---+= ②，①-②得，11222022n n n n nn T T ----+-=，所以2n ≥时，112222222n n n n n n n b ----=-=；已知2n n c b =，数列{}n c 的前n 项和为n R ， 所以12242n n n R c c c b b b =+++=+++ ， 即n R 35232124242202222n n n n ----=+++++ ③14n R ⨯572321212426242222222n n n n n n --+---=+++++④③-④得：34n R 352121222222222n n n -+-=+++-3521211112()2222n n n --=+++-13122111241111211234214n n n n n n --⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--⎛⎫⎝⎭=⨯-=⨯-- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭111334nn ⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以数列{}n c 的前n 项和为：n R 14311994n n -+⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．（21）（本小题满分13分） 设函数2()( 2.71828xx f x c e e=+=…是自然对数的底数，c ∈R ）． (Ⅰ)求()f x 的单调区间、最大值；(Ⅱ)讨论关于x 的方程|ln |()x f x =根的个数．（22）（本小题满分13分） 椭圆C ：22221x y ab+=（0a b >>）的左、右焦点分别是1F ，2F ,离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接1PF ,2PF ,设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点Mm （　，0)，求m 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线1PF ,2PF 的斜率分别为1k ，2k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值． 解：（Ⅰ）∵ 22222234c a b e a a -===，∴ 224a b =，已知过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1，所以点1(,)2c -在椭圆C 上，∴222141ca b +=， 又222a b c =+，解解以上各式可得：21b =，24a =所以椭圆C 的方程为：22141x y +=，(Ⅱ)设(,)P λμ，则2244λμ+=， 因为P 不是长轴端点，所以1PF l：y x =+；2PF l：y x =-，即1PF l：(0x y μλ-++=；2PF l：(0x y μλ---=. 因为点(,0)M m 在12F PF ∠=，==，所以1+22211341344λλλ=+=++--++-，若0λ=，则0m =；若02λ<<，则0m >，且3347,42m mλλ⎛⎫+=+∈+∞ ⎪⎝⎭， 解得32m <或2m >（舍），所以302m <<；由对称性知若02λ<<，则302m -<<，综上，m 的取值范围为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭． (Ⅲ)因为直线l 和椭圆C 有且只有一个公共点，联立22()141y k x x y μλ-=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：222(14)8()4()40k x k k x k μλμλ++-+--=，则222264()4(14)4()40k k k k μλμλ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，解得22444k λμλμλλμμ===---，所以1212111111428kk kk k k k k μλλμ⎛⎫⎛⎫+=+=+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 即1211kk kk +为定值8-.。