高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题.
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程一、概念理解：1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x 轴正方向； ②平行：α=0°；③范围：0°≤α＜180° 。
2、斜率：①找k ：k=tan α （α≠90°）； ②垂直：斜率k 不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。
3、斜率与坐标：12122121tan x x y y x x y y k --=--==α①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k 值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。
4、直线与直线的位置关系：222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ①相交：斜率21k k ≠（前提是斜率都存在）特例----垂直时：<1> 0211=⊥k k x l 不存在，则轴，即； <2> 斜率都存在时：121-=•k k 。
②平行：<1> 斜率都存在时：2121,b b k k ≠=； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x 轴垂直。
③重合： 斜率都存在时：2121,b b k k ==； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：①点斜式：)(00x x k y y -=- 将已知点k y x 与斜率),(00直接带入即可； ②斜截式：b kx y += 将已知截距k b 与斜率),0(直接带入即可；③两点式：),(2121121121y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--其中， 将已知两点),(),,(2211y x y x 直接带入即可；④截距式：1=+bya x 将已知截距坐标),0(),0,(b a 直接带入即可； ⑤一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。
2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可3、距离公式：①两点间距离：22122121)()(y y x x P P -+-= ②点到直线距离：2200BA C By Ax d +++=③平行直线间距离：2221BA C C d +-=4、中点、三分点坐标公式：已知两点),(),,(2211y x B y x A①AB 中点),(00y x ：)2,2(2121y y x x ++ ②AB 三分点),(),,(2211t s t s ：)32,32(2121y y x x ++ 靠近A 的三分点坐标 )32,32(2121y y x x ++ 靠近B 的三分点坐标 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。
直线与圆知识点总结及例题
直线和圆知识点总结1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。
当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。
如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66，，πππ）； 倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示.倾斜角是90°的直线没有斜率.（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[ππα∈值的范围是______（答：42≥-≤m m 或）2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k =，直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。
如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则xy 的最大值、最小值分别为______（答：2,13-） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。
直线的斜率0=k 时，直线方程为1y y =；当直线的斜率k 不存在时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程为1x x =.（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。
直线和圆的方程知识点总结
直线和圆的方程知识点总结一、直线方程. 1. 直线的倾斜角2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.3. ⑴两条直线平行：1l 推论：如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线和的斜率分别为和，则有 4. 直线的交角： 5. 过两直线的交点的直线系方程为参数，不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：.2. 定比分点坐标分式。
若点P(x,y)分有向线段,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。
3. 直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率:21,l l 21,αα1l 212αα=⇔l 1l 2l 1k 2k 12121-=⇔⊥k k l l ⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 0222=++C y B x A ),(00y x P P C By Ax l ,0:=++l d 2200BA C By Ax d +++=21221221)()(||y y x x P P -+-=1212PP PP PP λλ=所成的比为即λλλλ++=++=1,12121y y y x x x ααtan =k4. 过两点.当（即直线和x 轴垂直）时，直线的倾斜角＝，没有斜率⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离为，则有.注；直线系方程1. 与直线：A x +B y +C= 0平行的直线系方程是：A x +B y +m =0.( m ∊R, C ≠m ).2. 与直线：A x +B y +C= 0垂直的直线系方程是：B x -A y +m =0.( m ∊R)3. 过定点（x 1,y 1）的直线系方程是： A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B 不全为0)4. 过直线l 1、l 2交点的直线系方程：（A 1x +B 1y +C 1）+λ( A 2x +B 2y +C 2）=0 (λ∊R ） 注：该直线系不含l 2.7. 关于点对称和关于某直线对称：⑴关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.⑵关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：12()x x ≠2121,y y x x ≠=α︒90)(0:,0:212211C C C By Ax l C By Ax l ≠=++=++d2221BA C C d +-=若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.⑶点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程①），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）①②可解得所求对称点. 二、圆的方程.2. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.3. 圆的一般方程： .当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.当时，方程表示一个点.当时，方程无图形（称虚圆）. 注：①圆的参数方程：（为参数）.②方程表示圆的充要条件是：且且.③圆的直径或方程：已知（用向量可征）.4. 点和圆的位置关系：给定点及圆. ①在圆内②在圆上 ③在圆外),(b a C r 222)()(r b y a x =-+-022=++++F Ey Dx y x 0422 F E D -+⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C 2422FE D r -+=0422=-+F E D ⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D 0422F E D -+⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x θ022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 0=B 0≠=C A 0422 AF E D -+0))(())((),(),(21212211=--+--⇒y y y y x x x x y x B y x A ),(00y x M 222)()(:r b y a x C =-+-M C 22020)()(r b y a x -+-⇔M C 22020)()r b y a x =-+-⇔（M C 22020)()(r b y a x -+-⇔5. 直线和圆的位置关系：设圆圆：； 直线：； 圆心到直线的距离.①时，与相切； ②时，与相交；，有两个交点，则其公共弦方程为.③时，与相离. 5. 圆的切线方程：①一般方程若点(x 0 ,y 0)在圆上，则(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0– b)=R 2. 特别地，过圆上一点的切线方程为.②若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则，联立求出切线方程.7. 求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程. 如图：ABCD 四类共圆. 已知的方程…① 又以ABCD 为圆为方程为…②…③，所以BC 的方程即③代②，①②相切即为所求.解题方法：1）直接法：建系设点，列式表标,简化检验; 2）参数法; 3）定义法， 4）待定系数法.C )0()()(222 r r b y a x =-+-l )0(022≠+=++B A C By Ax ),(b a C l 22BA C Bb Aa d +++=r d =l C rd l C0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D r d l C 222r y x =+),(00y x P 200r y y x x =+⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ⇒k O Θ022=++++F Ey Dx y x 2))(())((k b x y y a x x x A A =--+--4)()(222b y a x R A A -+-=BC)。
直线与圆方程知识点总结+习题适合学后练习
___________________________________________________________________________________________ 1.若}43,1,0,2{-∈a ，方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示的圆的个数为_____________ 2.动点P 到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，那么点的轨迹方程为___________ 3.已知圆的方程为08622=--+y x y x .1121,,,a a a Λ是该圆过点（3，5）的11条弦的长， 若数列1121,,,a a a Λ是等差数列,则 数列1121,,,a a a Λ的公差的最大值为 4．已知y x ,满足122=+y x ,则12--x y 的最小值为第二部分 直线与圆的位置关系一、知识点总结1.判断直线与圆的位置关系有两种方法：①几何法：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较来判断，设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ， 若直线与圆相离，则__________；若直线与圆相切，则__________；若直线与圆相交，则__________ ②代数法：通过直线与圆的方程联立的方程组的解的个数来判断，即通过判别式来判断， 若0>∆，则__________；若0=∆，则__________；若0<∆，__________ 2.两圆的的位置关系(1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d若两圆相外离，则__________，公切线条数为___；若两圆相外切,则__________，公切线条数为__ 若两圆相交，则__________，公切线条数为_____；若两圆内切，则__________，公切线条数为___ 若两圆内含，则__________，公切线条数为_____(2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ， 若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是0)()()(212121=-+-+-F F y E E x D D 3. 相切问题的解法：①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为-1③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=∆来求解。
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程知识点总结
直线与圆的方程是解析几何中的基本知识点，下面是关于直线与圆的方程的一些重要知识点总结：
直线方程知识点总结：
1. 直线的点斜式方程：y-y0=k(x-x0)，其中 (x0, y0) 为直线上的一点，k 为直线的斜率。
2. 直线的斜截式方程：y=kx+b，其中 k 为直线的斜率，b 为 y 轴上的截距。
3. 直线的两点式方程：(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)，其中 (x1, y1) 和
(x2, y2) 为直线上的两点。
4. 直线的截距式方程：x/a + y/b = 1，其中 a 和 b 分别为直线在 x 轴和 y 轴上的截距。
5. 直线的一般式方程：Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数，且 A 和
B 不为 0。
圆的方程知识点总结：
1. 圆的标准式方程：(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径。
2. 圆的参数式方程：x=h+rcosθ, y=k+rsinθ，其中 (h, k) 为圆心坐标，r 为半径，θ 为参数。
3. 圆的极坐标式方程：ρ=r，其中 r 为半径，θ 为极角。
4. 圆的直径式方程：x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中 D、E、F 为常数。
5. 圆的一般式方程：x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数。
在直线与圆的方程中，还有一些重要的知识点和概念，如直线的法线式和参数式，圆的切线和割线等。
理解和掌握这些概念和公式对于解决几何问题非常重要。
高考复习直线和圆的方程知识点归纳及相关历年高考考题目汇总
高考复习直线和圆的方程知识点归纳及相关历年高考考题目汇总2022届高三冲刺数学：精彩十五天第七章直线和圆的方程一、考试内容：1．直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式．2．两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．3．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．4．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．5．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．二、考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．3．了解二元一次不等式表示平面区域．4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．三、知识要点及重要思想方法：（一）直线方程.1．直线的倾斜角：一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与某轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0).注：①当90或某2某1时，直线l垂直于某轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与某轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2．直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在某轴，y轴上的截距分别为a,b(a0,b0)时，直线方程是：某ayb1.23注：若yy2323某2是一直线的方程，则这条直线的方程是y某2，但若某2(某0)则不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程yk某b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示过定点（0，b）的直线束.②当k为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.3．⑴两条直线平行：l1∥l2k1k2两条直线平行的条件是：①l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们在y轴上的纵截距是b1,b2，则l1∥l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1∥l212.⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2的斜率分别为k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）4．直线的交角：⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，它的范围是(0,)，当90时tank2k11k1k2.⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2相交所成的四个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当90，则有tank2k11k1k2.5．过两直线l1:A1某B1yC10l2:A2某B2yC20的交点的直线系方程A1某B1yC1(A2某B2yC2)0(为参数，A2某B2yC20不包括在内）6．点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点P(某0,y0)，直线l:A某则有d注：1．两点P1(某1,y1)、P2(某2,y2)的距离公式：|P1P2特例：点P(某,y)到原点O的距离：|OP||A某0By0CAB22ByC0,P到l的距离为d，.(某2某1)(y2y1)22.22某y2．定比分点坐标分式。
高考复习直线和圆的方程知识点归纳及相关历年高考考题目汇总
高考复习直线和圆的方程知识点归纳及相关历年高考考题目汇总 2021届高三冲刺数学：精彩十五天第七章直线方程和圆方程一、考试内容：1.直线的倾角和斜率、点倾斜公式和线性方程的两点公式。
线性方程的一般公式。
2.两条直线平行度和垂直度的条件。
两条线的交角。
点到线的距离。
3.用二元线性不等式表示平面区域。
简单线性规划问题。
4.曲线和方程的概念。
列出已知条件下的曲线方程。
5.圆的标准方程和一般方程。
圆的参数方程。
二、考试要求：1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．2.掌握两条直线平行垂直的条件，两条直线形成的角度，点到直线的距离公式，并能根据直线方程判断两条直线的位置关系。
3.理解平面区域的二次不等式表示。
4.理解线性规划的重要性，并能简单地应用它。
5.理解解析几何的基本思想和坐标法6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．三、知识要点和重要思想方法：（一）直线方程.1.直线倾角：直线向上方向与轴线正方向形成的最小正角度称为直线倾角。
当直线与x轴平行或重合时，倾角为0，因此直线的倾角范围为0180(0?).注：① 什么时候90? 还是x2？在x1处，直线L垂直于X轴，其斜率不存在②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2．直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别是，当直线通过两点（a，0）、（0，b）时，即直线在x轴和y轴上的截距为a,b(a?0,b?0)时，直线方程是：xa？yb？一23注：若yy??23??23x?2是一直线的方程，则这条直线的方程是y??x?2，但若十、2（x？0）不是这条线附：直线系：对于直线的斜截式方程y?kx?b，当k,b均为确定的数值时，它表示一条确如果K和B改变，相应的直线也会改变① 当B为定殖，K发生变化时，它们代表通过固定点（0，B）的直光束② 当k为常量，B发生变化时，它们代表一组平行直线。
直线与圆、圆与圆位置关系知识点总结、经典例题及高考题和答案
直线与圆、圆与圆位置关系【考纲说明】1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。
2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
【知识梳理】一、直线与圆的位置关系1、 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法（1）代数法：把直线方程与圆的方程联立成方程组，消去x 或y 整理成一元二次方程后，计算判别式24b ac ∆=-0∆>⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点0∆=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点0∆<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点（2）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系：r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点r d =⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点r d >⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点2、圆的切线方程若圆的方程为222x y r +=，点P 00(,)x y 在圆上，则过P 点且与圆222x y r +=相切的切线方程为2o o x x y y r +=.经过圆22()()x a y b r -+-=上一点P 00(,)x y 的切线方程为222()()22o o x x y y a b r ++-+-=. 3、直线与圆相交直线与圆相交时，若l 为弦长，d 为弦心距，r 为半径，则有2224l r d =+，即l =二、圆与圆的位置关系1、圆与圆的位置关系可分为五种：外离、外切、相交、内切、内含。
2、判断圆与圆的位置关系常用方法（1）几何法：设两圆圆心分别为12,O O ，半径为1212,()r r r r ≠，则1212OO r r >+⇔圆1O与圆2O 相离⇔有4条公切线 1212OO r r =+⇔圆1O与圆2O 外切⇔有3条公切线 121212||r r OO r r -<<+⇔圆1O与圆2O 相交⇔有2条公切线 1212||OO r r =-⇔圆1O与圆2O 内切⇔有1条公切线 1212||OO r r <-⇔圆1O与圆2O 内含⇔有0条公切线. （2）代数法：方程组221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩ 有两组不同的实数解⇔两圆相交；有两组相同的实数解⇔两圆相切；无实数解⇔两圆外离或内含。
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直线与圆的方程、直线的方程已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1）P 2（ x 2,y 2 ）当 x 1 = x 2 时， =900， 不存在。
当 0 时， =arctank ， <0 时， =②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。
② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系（ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
、两直线的位置关系k=y 2 y 1x2 x120 2已知 方程 说明 斜截式 K 、bY=kx+b不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P1=(x 1,y 1) ky-y 1=k(x-x 1)不含 y 轴和平行 于 y 轴的直线 两点式P1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2)y y 1 x x 1不含坐标辆和平行于坐标轴 的直线y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式Ax+by+c=0A 、B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。
4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直线①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴：y=b ④平行于 y 轴： x=a⑤过原点： y=kx 两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于 x 、 y 的二元一次方程。
1、倾斜角：0< < k 02= 不存在2+arctank2、斜1、说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）kk 2、L 1到L 2的角为 0，则tan 1k2k2 k1k1 （ k 1k 21）①两行平线间距离：c1 c2L 1=AX+BY+C 1=0 L 2： AX+BY+C 2=0 dA 2B 2 ②与 AX+BY+C=0 平行且距离为 d 的直线方程为 Ax+By+C ± d A 2 B 2③与 AX+BY+C 1=0 和 AX+BY+C 2=0 平行且距离相等的直线方程是AX BYC 1 C 225、对称：（1）点关于点对称： p （x 1,y 1）关于 M （ x 0,y 0）的对称P （2X 0 X 1 ,2Y 0Y 1）4、点到直线距离：dAx0 By 0 c（已知点（ p 0（x 0,y 0），L ：AX+BY+C=0 ）A2B 2k 2 k 1 1 k 2k 1 tan 3、夹角：般方法：如图： （思路 1）设 P 点关于 L 的对称点为 P 0（x 0,y 0） 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0 中点满足 L 方 程 解出 P 0（x 0,y 0） （思路 2）写出过 P ⊥ L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出 P 0（x 0,y 0）的坐标。
（3）直线关于点对称L ： AX+BY+C=0 关于点 P （ X 0、 Y 0）的对称直线 l ：A （2X 0-X ）+B （2Y 0-Y ）+C=0 （4）直线关于直线对称①几种特殊位置的对称：已知曲线 f （x 、y ）=0关于 y=x 对称曲线是 f （y 、x ）=0 关于 y= -x 对称曲线是 f （-y 、 -x ）=0 关于 x=a 对称曲线是 f （2a-x 、 y ）=0 关于 y=b 对称曲线是 f （x 、 2b-y ）=0一般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。
三、简单的线性规划约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。
要点：①作图必须准确（建议稍画大一点） 。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、圆的方程221、圆的方程：①标准方程 x a 2（y b ） r 2， c （ a 、b ）为圆心， r 为半径。
②一般方程：x 2 y 2DX EY F 0 ，C D2 , E2 ， r D22E2 4F2 2 2当 D 2E 24F 0 时，表示一个点。
22当 D 2 E 24F 0 时，不表示任何图形。
关于 x 轴对称曲线是 关于 y 轴对称曲线是 关于原点对称曲线是 f （x 、 -y ）=0 f （-x 、 y ）=0 f Pxy b rsin 为参数以 A （X 1，Y 1），B （X 2，Y 2）为直径的两端点的圆的方程是 （X-X 1）（ X-X 2）+（Y-Y 1）（Y-Y 2）=0 2、点与圆的位置关系：考察点到圆心距离 d ，然后与 r 比较大小。
3、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定： ①联立方程组， 消去一个未知量， 得到一个一元二次方程： △> 0 相交、 △＝ 0 相切、△< 0 相离②利用圆心 c （a 、 b ）到直线 AX+BY+C=0 的距离 d 来确定： d<r 相交、 d ＝r 相切 d> r 相离 （直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的 kt △） 4、圆的切线： （ 1）过圆上一点的切线方程2 2 2 2 与圆x 2 y 2 r 2相切于点（ x 1、y 1）的切线方程是 x 1xy 1y r 2与圆 （x a ）2（y b ）2r 2相切于点（ x 1、y 1）的切成方程 为： （x 1 a ）（x a ） （y 1 b ）（y b ） r 2与圆 x 2y 2DX EY F 0 相切于点（ x 1、y 1）的切线是x x 1 y y 1 x 1x y 1y D( 1) E( 1) F 0(x a)2 (y b) 2 r 2外一点(x 1 a)2(y 1 b)2①设切点是 p 1（x 1、 y 1）解方程组 先求出 p 1 的坐标，再写切线的方程②设切线是 y y 0 k(x x 0)即 kx y kx 0 y 0 0 ka b kx 0 y 0 再由 0 0r ，求出 k ，再写出方程。
k 21（当 k 值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于 x 轴的切线） ③已知斜率的切线方程：设 y kx b （ b 待定），利用圆心到 L 距离为 r ，确定 b 。
5、圆与圆的位置关系由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含） 、相切（外切、内切） 6、圆系①同心圆系： (x a)2(y b)2r 2，(a 、b 为常数， r 为参数)③参数方程： x a r cos2）过圆外一点切线方程的求法：已 知 ： p 0(x 0 ， y0） 是 圆(x 0 a)(x 1 a) (y 0b)(y 1 b)2或： x 2 y 2DX EY F 0(D 、E 为常数， F 为参数) ②圆心在 x 轴： (x a) 2y 2r 22 2 2③圆心在 y 轴： x 2 (y b)2 r 2④过原点的圆系方程 (x a) 2(y b)2 a 2 b2 ⑤过两圆 C 1 : x 2y 2D 1XE 1YF 1 0 和C 2 : x 2y 2D 2 XE 2YF 2 0的交点的圆系方程为 x 2y 2D 1 XE 1YF 1 入(x 2y 2D 2XE 2YF 2 0(不含 C 2)，其中入为参数若 C 1 与 C 2 相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
类型一：圆的方程例 1 求过两点 A(1 , 4) 、B(3 , 2)且圆心在直线 y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2 ,4)与 圆的关系．分析： 欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点 P 与圆的 位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆 外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为 (x a)2 (y b)2 r 2． ∵圆心在 y 0 上，故 b 0 ． ∴圆的方程为 (x a) 2y2 r 2．又∵该圆过 A(1,4)、 B(3,2)两点．(1 a)2 16 r 2∴(3 a)2 4 r 2解之得： a 1，r 220．所以所求圆的方程为 ( x 1)2y 220 ． 解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过 A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心 C 必在线段 AB 的垂直平分线 l 上，又因为42k AB 1，故l的斜率为 1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l 的方程13为：y 3 x 2即x y 1 0 ．又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1, 0)∴半径r AC (1 1)24220 ．故所求圆的方程为(x 1)2 y2 20 ．又点P(2, 4)到圆心C( 1,0) 的距离为22d PC (2 1)24225 r ．∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例 2 求半径为 4，与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2 ( y b)2 r2．圆C 与直线y 0相切，且半径为 4，则圆心C 的坐标为C1(a,4)或C2(a, 4)．22又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1) ，半径为 3．若两圆相切，则CA 4 3 7 或CA 4 3 1 ．(1)当C1 (a , 4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得a 2 2 10 ．∴所求圆方程为(x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 10)2 (y 4)2 42．2 2 2 2 2 2(2)当C2(a, 4)时，(a 2)2( 4 1)272，或(a 2)2( 4 1)212(无解)，故a 2 2 6 ．∴所求圆的方程为(x 2 2 6)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 6)2 (y 4)2 42．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为 4，则圆心坐标为C(a ,4) ，且方程形如(x a)2 (y 4)2 42．又圆 x 2 y 2 4x 2y 4 0，即 (x 2)2 (y 1)2 32，其圆 心为A(2 , 1) ，半径为 3．若两圆相切，则 CA 4 3．故 (a 2)2(4 1)272，解之得2 2 2a 2 2 10 ． 所 以 欲 求 圆 的 方 程 为 (x 2 2 10)2 ( y 4)2 42， 或 (x 2 2 10)2(y 4)242．上述误解只考虑了圆心在直线 y 0上方的情形， 而疏漏了圆心在直线 y 0下方的情形． 另 外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例 3 求经过点 A(0 , 5) ，且与直线 x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程． 分析： 欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定 圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．解： ∵圆和直线 x 2y 0与 2x y 0相切， ∴圆心 C 在这两条直线的交角平分线上， 又圆心到两直线 x 2y 0和 2x y 0的距离相等．∴x 2y x 2y ．∴5 5 ．∴两直线交角的平分线方程是 x 3y 0或3x y 0 ． 又∵圆过点 A(0,5) ，∴圆心 C 只能在直线 3x y 0 上． 设圆心 C(t ,3t)∵C 到直线 2x y 0的距离等于 AC化简整理得 t 26t 5 0 ．解得： t 1或 t 5 ∴圆心是 (1, 3)，半径为 5或圆心是 (5 , 15) ，半径为5 5 ．∴所求圆的方程为 (x 1)2(y 3)25或 (x 5)2(y 15)2125．2t 3tt 2 (3t 5) 25说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上， 到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例 4、 设圆满足： (1)截 y 轴所得弦长为 2；(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长的比为 3:1，在满足条件 (1)(2)的所有圆中，求圆心到直线 l ：x 2y 0 的距离最小的圆的方程． 只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满的半径，求出圆的方程．解法一： 设圆心为 P(a , b) ，半径为 r ． 则 P 到 x 轴、 y 轴的距离分别为 b 和 a ．由题设知：圆截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90 ，故圆截 x 轴所得弦长为2r ．22∴r 22b 2又圆截 y 轴所得弦长为 2．2∴r2又∵ P(a, b)到直线 x 2y 0的距离为a 2b d522a2 4b 24 ab2 2 2 2a 24b 22( a 2b 2)222b2 a 21从而确定圆心坐标得 分析： 要求圆的方程， 足两个条件的圆有无数个， 其圆心的集合可看作动点的轨迹， 若能求出这轨迹的方程， 便可 利用点到直线的距离公式， 通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标， 进而确定圆 1．∴ 5d 2a 2b当且仅当 a b 时取“ =”号，此时 dminab这时有2b2 a 2 1∴a 1或a 1∴或b 1 b 15又r 22b2 2故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 解法二：同解法一，得a 2bd．5∴ a 2b 5d ．∴ a2 4b2 4 5bd 5d2．将a 22b 21代入上式得：2b2 4 5bd 5d 2 1 0．上述方程有实根，故8(5d 2 1) 0，∴d 5．55将d 代入方程得b 1 ．5又2b2a2 1 ∴ a 1．由a 2b 1 知a 、b 同号．故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例 5 已知圆O：x2 y2 4，求过点P2，4 与圆O相切的切线．解：∵点P 2，4 不在圆O上，∴切线PT 的直线方程可设为y k x 2 42k 4根据d r ∴ 21k23解得k343所以y x 2 44即3x 4 y 10 0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x 2 ．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0 解决(也要注意漏解)．还可以运用x0x y0y r 2，求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解．2 2 2 2例 6 两圆C1：x2y2D1x E1y F10 与C2：x2y2D2x E2y F20 相交于A、B两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆C1 、C2 的任一交点坐标为(x0 , y0) ，则有：22x0 2 y02 D1 x0 E1y0 F1 0 ①22x0 y0 D2x0 E2 y0 F2 0 ②①－②得：(D1 D2)x0 (E1 E2)y0 F1 F2 0 ．∵ A 、B 的坐标满足方程(D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0 ．∴方程(D1 D2 )x ( E1 E2) y F1 F2 0 是过A 、B 两点的直线方程．又过A、B 两点的直线是唯一的．∴两圆C1 、C2的公共弦AB 所在直线的方程为(D1 D2)x (E1 E2)y F1 F2 0．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求” 的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．22例7、过圆x2 y2 1外一点M (2,3) ，作这个圆的两条切线MA、MB ，切点分别是A、B ，求直线AB的方程。