公开课--等比数列
等比数列 -公开课课件
解：由于每代的种子数是它的前 一代种子数的120倍，逐代的种子 数组成等比数列，记为 an其中 a1 120, q 120 因此
a5 1201204 2.51010
答：到第五代大约得到这个新品
种的种子 2.51010 粒？
36
由等差数列的性质，猜想等比数列的性质
{an}是公差为d的等差数列 {bn}是公比为q的等比数列
1 ，1 ，1 ，1 ，1 ，… 2 4 8 16
6
出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢， 每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有 九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏， 几毛，几色？（《孙子算经》）
堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：
9，92，93，94，95，96， 97
7
某种汽车购买时的价格是36万元，每年 的折旧率是10%，求这辆车各年开始时的价 格（单位：万元）。
各年汽车的价格组成数列：
36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
8
比一比
(1) 1, 2, 22 , 23 , …… , 263
(2)
1, 2
1, 4
1, 8
1 16
,
……
(3） 9，92，93，94，95，96， 97
（4） 36，36×0.9，36×0.92, 36×0.93,…
？ 思考： an1 an q
10
名
等差数列
称
等比数列
定 义
如果一个数列从第2 项起，每一项与前 一项的差都等于同 一个常数，那么这 个数列叫做等差数 列.这个常数叫做等 差数列的公差，用d 表示
如果一个数列从 第2项起，每一项 与它前一项的比 都等于同一个常 数,那么这个数列 叫做等比数列.
等比数列的教案市公开课一等奖教案省赛课金奖教案
等比数列的教案导语：等比数列是数学中非常重要的概念之一。
了解等比数列的性质和求解方法能够帮助学生更好地理解数列的规律，并在解决实际问题中应用数学知识。
本教案将通过理论讲解和实例演练的方式，帮助学生掌握等比数列的相关概念、性质和应用。
一、教学目标：1.了解等比数列的概念和基本性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式的推导与运用；3.能够解决实际问题，灵活运用等比数列的知识。
二、教学重难点：1.等比数列的通项公式和求和公式的推导；2.能够将等比数列的知识应用于实际问题的解决。
三、教学过程：Step 1：引入知识（10分钟）通过生活中的例子，引导学生了解数列的概念，然后引入等比数列的概念，并与等差数列进行比较，帮助学生理解等比数列的特点。
Step 2：等比数列的定义和基本性质（15分钟）讲解等比数列的定义，并介绍等比数列的基本性质，如公比、首项、通项等的定义和表示方法。
Step 3：等比数列的通项公式的推导（20分钟）通过对等比数列的性质进行分析和推导，引导学生得出等比数列的通项公式：an=a1*r^(n-1)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 4：等比数列的求和公式的推导（20分钟）通过对等比数列求和的过程进行分析和推导，引导学生得出等比数列的求和公式：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
并通过实例演示的方式，让学生掌握这个公式的运用。
Step 5：应用实例解答（20分钟）给学生提供一些实际问题，让学生运用所学知识解答问题。
问题可以涉及利润的增长、物体的重量递减等，帮助学生将等比数列的知识应用到实际生活中。
Step 6：总结归纳（10分钟）对本节课所学的内容进行总结归纳，并与学生一起讨论等比数列的应用领域和意义。
四、教学评价：1.在课堂练习中，检查学生对等比数列的概念、性质和公式的理解和掌握情况；2.布置小组作业，让学生能够结合实际问题应用等比数列的知识进行解答；3.进行课堂互动讨论，引导学生思考和探究等比数列的应用领域。
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
关于公开课等比数列教案
关于公开课等比数列教案第一章：等比数列的概念1.1 引入等比数列的概念通过实际例子，让学生理解等比数列的定义和特点。
解释等比数列的通项公式和公比的概念。
1.2 等比数列的性质探讨等比数列的性质，如相邻两项的比值是常数，每一项都是前一项与公比的乘积等。
引导学生通过数学归纳法证明等比数列的性质。
第二章：等比数列的求和公式2.1 引入等比数列的求和公式通过实际例子，让学生理解等比数列的求和公式的推导过程。
解释等比数列求和公式的形式和各个参数的含义。
2.2 等比数列求和公式的应用探讨等比数列求和公式的应用，如求等比数列的前n项和、求等比数列中某一项的值等。
引导学生通过实际例子运用等比数列求和公式解决问题。
第三章：等比数列的通项公式的应用3.1 引入等比数列的通项公式的应用通过实际例子，让学生理解等比数列通项公式的应用，如求等比数列的第n项的值。
解释等比数列通项公式的形式和各个参数的含义。
3.2 等比数列通项公式的进一步应用探讨等比数列通项公式的进一步应用，如判断等比数列的收敛性和发散性。
引导学生通过实际例子运用等比数列通项公式解决问题。
第四章：等比数列的性质和求和公式的综合应用4.1 引入等比数列性质和求和公式的综合应用通过实际例子，让学生理解等比数列的性质和求和公式的综合应用，如求等比数列的前n项和，并判断等比数列的收敛性和发散性。
解释等比数列的性质和求和公式的关系。
4.2 等比数列性质和求和公式的综合应用案例分析探讨等比数列性质和求和公式的综合应用案例，如解决实际问题中的等比数列问题。
引导学生通过实际例子运用等比数列的性质和求和公式解决问题。
第五章：等比数列的应用案例分析5.1 引入等比数列的应用案例分析通过实际例子，让学生理解等比数列的应用案例，如解决金融、经济、物理等领域中的问题。
解释等比数列在实际问题中的应用场景。
5.2 等比数列应用案例分析探讨等比数列在实际问题中的应用案例，如计算复利、求等比数列的极限等。
等比数列公开课课件PPT
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
2.4等比数列(一)(优秀经典公开课比赛教案)
澜沧拉祜族自治县第一中学教案2.4 等比数列（一） 学科：数学 年级： 高二主备教师：刘德清 、龙新荣、郭晓芳、王焕刚、沈良宏一、教材分析：等比数列是来源于现实生活中的一种特殊数列，是数列的重要组成部 分。
本节内容在教材中起着承上启下的作用：一方面，学法的承上，本节课 之前学习了等差数列，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已 有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数 学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想；另一方面，为后续进一步 研究等比数列的性质、等比数列前 n 项和公式，求一般数列的通项公式做好 准备，为学生自主探究教材中——《购房中的数学》这一联系生活的问题打 下基础。
二、教学目标：1、掌握等比数列的定义；理解等比数列的通项公式及推导。
2、通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质，能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能 力；体会等比数列与指数函数的关系。
3、充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生 活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习 的兴趣。
三、教学重点： 等比数列的定义及通项公式。
四、教学难点： 灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。
五、教学准备1、课时安排： 1 课时2、学情分析： 既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列 模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。
给学生以较多的 感受，激发学生学习的积极性和思维的主动性。
进而达到更好的理解和巩固 课堂所学知识的目的。
学生在数学学习过程中，对于数学知识之间的有机联系，感受数学的整体性方面，能力较为欠缺，需要老师在教学过程中抓住时机，加强培养，帮助学生体会类比在数学发现中的作用。
3、教具选择：多媒体六、教学方法：指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，小组讨论，引导学生理解掌握，讲练结合等。
关于公开课等比数列教案
关于公开课等比数列教案第一章：等比数列的概念1.1 引入等比数列的概念通过生活中的实例，如银行利息的复利计算，引入等比数列的概念。
引导学生思考数列的规律，从而引出等比数列的定义。
1.2 等比数列的定义与性质给出等比数列的定义：数列从第二项起，每一项与它前一项的比相等，这个比称为公比。
引导学生探究等比数列的性质，如相邻两项的比相等，任意一项可以表示为前一项与公比的乘积等。
1.3 等比数列的通项公式引导学生推导等比数列的通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比，$n$是项数。
第二章：等比数列的前n项和2.1 等比数列的前n项和的定义引导学生思考等比数列前n项和的含义，即数列的前n项的和。
2.2 等比数列的前n项和公式给出等比数列的前n项和公式：$S_n = a_1 \cdot \frac{1-r^n}{1-r}$，其中$a_1$是首项，$r$是公比，$n$是项数。
引导学生理解前n项和公式的推导过程。
2.3 等比数列前n项和的性质引导学生探究等比数列前n项和的性质，如前n项和与首项、公比的关系，以及前n项和的单调性等。
第三章：等比数列的求和3.1 等比数列的求和方法介绍等比数列的求和方法：分组求和法、错位相减法等。
通过具体例子，引导学生掌握分组求和法和错位相减法的步骤和应用。
3.2 等比数列的求和问题解决给出一些等比数列的求和问题，引导学生运用求和方法解决实际问题。
第四章：等比数列的应用4.1 等比数列在实际问题中的应用通过实际问题，如人口增长模型、放射性物质衰变等，引导学生了解等比数列在实际问题中的应用。
4.2 等比数列在数学问题中的应用介绍等比数列在数学问题中的应用，如数列极限、级数展开等。
第五章：等比数列的综合练习5.1 等比数列的综合练习题提供一些等比数列的综合练习题，包括概念理解、性质探究、求和问题解决等方面。
5.2 等比数列的综合练习讲解对综合练习题进行讲解，帮助学生巩固等比数列的知识点，提高解题能力。
等比数列市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案幼儿园
等比数列教案幼儿园一、教学目标：1. 能够理解等比数列的概念，并通过实例掌握其特点。
2. 能够利用等比数列的递推公式计算数列中的任意项。
3. 能够应用等比数列解决实际问题，并培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点：1. 等比数列的概念和特点。
2. 等比数列的递推公式。
三、教学难点：1. 如何灵活运用等比数列解决实际问题。
四、教学准备：1. 教案书、黑板、粉笔、多媒体投影仪等。
五、教学过程：Step 1 引入新知识教师向学生简单介绍等比数列的概念，引导学生回忆已学过的等差数列，由此引出等比数列。
教师可以通过以下问题引导：1. 你们还记得什么是等差数列吗？2. 那等比数列又是什么样的数列呢？3. 你们有没有见过或听说过等比数列在生活中的应用？Step 2 了解等比数列的特点教师通过具体的实例，让学生观察数列的规律，提炼出等比数列的特点。
示例1：1, 2, 4, 8, 16, ...示例2：3, 6, 12, 24, 48, ...教师可以提问学生：1. 这两个数列有什么规律？2. 第二个数是第一个数的几倍？3. 第三个数是第二个数的几倍？4. 你们能找出等比数列的特点吗？Step 3 等比数列的递推公式教师向学生介绍等比数列的递推公式：第n项 = 第一项×公比^(n-1)。
教师可以通过具体的实例演示如何利用递推公式计算数列中的任意项。
示例3：1, 3, 9, 27, ...教师可以提问学生：1. 第二项是多少？2. 第三项是多少？3. 第四项是多少？4. 你们能找出递推公式的规律吗？Step 4 解决实际问题教师通过实际问题的引导，让学生运用等比数列解决实际问题。
示例4：小明家的蚂蚁窝内有12只蚂蚁，每过1分钟，蚂蚁数量会翻倍。
请问经过10分钟后，蚂蚁的数量是多少？教师引导学生利用等比数列的递推公式计算问题的解答。
Step 5 拓展练习教师布置一些练习题，巩固学生对等比数列的理解和运用。
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等比数列类比等差数列
定义：
1
n n
a a d
+
-=（常数）
通项：()
1
1
n
a a n d
=+-
()
n m
a a n m d
=+-
n
a p n q
=+
得出新数列
（1）奇数项、偶数项仍成等差数列
（2）{}
n
a b
λ+仍成等差数列
（3）{}
n n
a b
±仍成等差数列
等比数列
定义：1
n
n
a
q
a
+=（非零常数）
通项：1
1
n
n
a a q-
=
n m
n m
a a q-
= 要证
n
n
a A q
=
得出新数列
（1）奇数项、偶数项仍成等比数列
（2）{}n
b aλ
仍成等比数列要证
（3）{}n
n n
n
a
a b
b
⎧⎫
⎨⎬
⎩⎭
、仍成等差数列
例1，比，
14
1,8,
n
a a a
==求
例2，比，
13
2,8,
n
a a a
==求
例3，比，
123
2,12,
a a a
=+=求
8
a
例4，23n
n
a= ，求证：{}n a是等
比数列。
例5，
11
1,21
n n
a a a
+
==+，
（1）求证：{}1
n
a+为等比数列；
（2）求
n
a。
思考1：常数列是否是等差数列？
是否是等比数列？
思考2：等差数列和等比数列能怎
样互相转化？
思考3：等差数列的单调性由d决
定，等比数列的单调性是否由q决
定？。