高中数学优质课比赛课件：等比数列的概念
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《等比数列说课》课件
等比数列在实际问题中的应用案例
介绍几个等比数列在实际问题中的应用案例，激发学生对下节课内容的兴趣。
THANKS
感谢观看
通过绘制散点图或折线图 来表示等比数列的变化趋 势。
数学公式表示法
使用通项公式 an=a1*g^(n-1)来表示等 比数列的各项。
03
等比数列的通项公式
பைடு நூலகம்
等比数列通项公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等
。
推导通项公式
通过观察等比数列的特点，利用递 推关系式，推导出等比数列的通项 公式。
等比数列求和公式的变体
公式的推广
等比数列求和公式可以推 广到其他形式，如无穷等 比数列、各项为负数的等 比数列等。
特殊情况的处理
对于一些特殊情况，如公 比为1或无穷等，需要对等 比数列求和公式进行特殊 处理。
近似计算
对于一些近似计算，可以 使用泰勒展开等方法对等 比数列求和公式进行近似 处理，得到近似结果。
等比数列是一种特殊的数列，其中任 意两个相邻项的比值都相等。
an=a1*g^(n-1)，其中an是第n项， a1是首项，g是公比。
等比数列的表示
通常用字母a、g、r等表示等比数列 的项，其中g是公比，表示相邻两项 的比值。
等比数列的性质
公比的性质
公比g是唯一确定的，它决定了 等比数列的特性。当g>1时，数 列是递增的；当0<g<1时，数列 是递减的；当g=1时，数列是常
公式表示
等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值 ，a_1 是首项，q 是公比。
等比数列通项公式的应用
介绍几个等比数列在实际问题中的应用案例，激发学生对下节课内容的兴趣。
THANKS
感谢观看
通过绘制散点图或折线图 来表示等比数列的变化趋 势。
数学公式表示法
使用通项公式 an=a1*g^(n-1)来表示等 比数列的各项。
03
等比数列的通项公式
பைடு நூலகம்
等比数列通项公式的推导
定义等比数列
等比数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的比值都相等
。
推导通项公式
通过观察等比数列的特点，利用递 推关系式，推导出等比数列的通项 公式。
等比数列求和公式的变体
公式的推广
等比数列求和公式可以推 广到其他形式，如无穷等 比数列、各项为负数的等 比数列等。
特殊情况的处理
对于一些特殊情况，如公 比为1或无穷等，需要对等 比数列求和公式进行特殊 处理。
近似计算
对于一些近似计算，可以 使用泰勒展开等方法对等 比数列求和公式进行近似 处理，得到近似结果。
等比数列是一种特殊的数列，其中任 意两个相邻项的比值都相等。
an=a1*g^(n-1)，其中an是第n项， a1是首项，g是公比。
等比数列的表示
通常用字母a、g、r等表示等比数列 的项，其中g是公比，表示相邻两项 的比值。
等比数列的性质
公比的性质
公比g是唯一确定的，它决定了 等比数列的特性。当g>1时，数 列是递增的；当0<g<1时，数列 是递减的；当g=1时，数列是常
公式表示
等比数列的通项公式为 a_n = a_1 * q^(n-1)，其中 a_n 是第 n 项的值 ，a_1 是首项，q 是公比。
等比数列通项公式的应用
《等比数列的概念》课件
03
等比数列的应用
等比数列在数学中的应用
解题技巧
等比数列是数学中常见的数列类型， 它在解决数学问题时具有广泛的应用 。例如，在求解一些复杂数学问题时 ，可以利用等比数列的性质简化计算 过程。
公式推导
等比数列的通项公式和求和公式在数 学中经常被用来推导其他公式或解决 一些复杂的数学问题。这些公式是等 比数列应用的基石，能够提供解决问 题的有效途径。
等比数列的公比
总结词
表示等比数列中任意两项的比值
详细描述
等比数列的公比是任意两项的比值，通常用字母 q 表示。公比是等比数列中相 隔一项的两个数的比值，即 a_n/a_(n-1)。公比反映了等比数列中每一项与前一 项的比值。
等比数列的项数与项的关系
总结词
表示等比数列中项数与项的关系
详细描述
在等比数列中，任意一项的值可以用首项、公比和项数来表 示。例如，第 n 项的值可以用 a_n=a_1×q^(n-1) 来表示， 其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。这个公式揭示了等 比数列中项数与项的关系。
《等比数列的概念》ppt课件
目录 Contents
• 等比数列的定义 • 等比数列的性质 • 等比数列的应用 • 练习题与答案
01
等比数列的定义
等比数列的文字定义
总结词：简洁明了
详细描述：等比数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻项之间的比值都相等 。
等比数列的数学符号定义
总结词：专业严谨
详细描述：等比数列通常表示为 a_n，其中 a 是首项，r 是公比，n 是项数。其数学定义是 a_n = a * r^(n-1)，其中 r ≠ 0。
等比数列与等差数列的区别
总结词：对比分析
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
高中数学《等比数列的概念及通项公式》课件
[跟踪训练]
1．已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是－1，－16 的等比中项，
则 ab＝
()
A．6
B．－6
C．±6
D．±12
解析：依题意知，2a＝1＋2，b2＝(－1)×(－16)，
∴a＝32，b＝±4，∴ab＝±6. 答案：C
2．已知等比数列{an}的前三项依次为 a－1，a＋1，a＋4，则 an＝________. 解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，
⑤
将④⑤代入②，得 a23＝a1＋2 a3·a23a＋3·aa55.
a1＋a3a5 ∴a3＝ a3＋a5 ，即 a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)． 化简，得 a23＝a1·a5.又 a1，a3，a5 均不为 0，所以 a1，a3，a5 成等
比数列．
2．已知数列{an}是首项为 2，公差为－1 的等差数列，令 bn ＝12an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． 解：依题意 an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是 bn＝123－n. 而bbn＋n 1＝121223－ －nn＝12－1＝2，又 b1＝122＝14. ∴数列{bn}是以14为首项，2 为公比的等比数列，通项公式 为 bn＝2n－3.
求等比数列通项公式的常用方法 (1)根据已知条件，建立关于 a1，q 的方程组，求出 a1，q 后再求 an，这是常规方法； (2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最 后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．
[跟踪训练] 在等比数列{an}中． (1)a4＝2，a7＝8，求 an； (2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求 n.
又∵an＋1＝2an＋3，
an＋1＋3 2an＋3＋3 2an＋3
等比数列公开课课件PPT
等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
等比数列公开课课件
• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
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• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
等比数列--省级优质课课件
an am (n m)d
公 比q 0
通项公式
an a1qn1
an amqn m
引申
展探练P24：
1.C 3. 2.A
作业布置： P30A组1-4题
能 力 提 升
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列{an+1}是等比数列， (2)求an的表达式。
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2 x 1
a n 2 n 1
o
1 2 3 4 5 6 x
量取正整数时得到的一些孤立的 点。
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例1：在等比数列{an}中
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
其数学表达式：
an q (n 2) an1
或
an1 * q(n N ) an
q≠0
下列数列是否是等比数列,若是公比是多少？
(1) 1，3，9，27，81，… (2)
1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
(3) -5，-5，-5，-5，-5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7) 1, x , x
n=5
a5=3/16
例2．一个等比数列的第３项和第２项．
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
公 比q 0
通项公式
an a1qn1
an amqn m
引申
展探练P24：
1.C 3. 2.A
作业布置： P30A组1-4题
能 力 提 升
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1. 求证：(1)数列{an+1}是等比数列， (2)求an的表达式。
8 7 6 5 4 3 2 1
y 2 x 1
a n 2 n 1
o
1 2 3 4 5 6 x
量取正整数时得到的一些孤立的 点。
对于通项公式an a qn1来说，有a , q , an , n四个量， 1 1 可以知三求一
例1：在等比数列{an}中
(1)已知a1 2, q 3, an 162, 求n; 1 (2)已知a1 3, q ，求a5； 2 1 1 (3)已知a9 , q , 求a1； 9 3 (4)已知a1 2, a5 8, 求q
其数学表达式：
an q (n 2) an1
或
an1 * q(n N ) an
q≠0
下列数列是否是等比数列,若是公比是多少？
(1) 1，3，9，27，81，… (2)
1 , 2 1 , 4 1 , 8 1 , 16
是,公比 q=3 是,公比 q=
1 2
(3) -5，-5，-5，-5，-5，… (4) 1，-1，1，-1，1，… (5) 1，0，1，0，1，… (6) 0，0，0，0，0，… (7) 1, x , x
n=5
a5=3/16
例2．一个等比数列的第３项和第２项．
解：用｛an｝ 表示题中公比为q的等比数列，由已知条件，有
等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
苏教版高中数学(必修5)2.3《等比数列》(等比数列的概念)课件
例1
判断下列数列是否为等比数列，如果是， 则说出它的首项和公比：
1 答：是等比数列，首项是81，公比为 . 3
（1）81，27，9，3，1 （2）5，5，5，5，5
答：是等比数列，首项是5，公比为1.
（3）1，-2，4，-8，16，-32
答：是等比数列，首项是1，公比为-2.
（4）3，6，9，12，15，18
注意 这个 数列 的特 殊性
（6）0，4，8，16，32. （7）2，2，2，2，2.
答：是等差数列，首项是0，公差为0.
答：不是等差数列，也不是等比数列.
答：是等差数列，首项是2，公差为0； 也是等比数列，首项是2，公比为1.
练习1
P47）练习第1题
It’s easy!
练习2
P47）练习第2题
（1）1，4，7，10，13. （2）8，6，4，2，0. 答：是等差数列，首项是 8，公差为－ （ 3）5，－10，20，－ 40，80. 2.
－2. 答：是等比数列，首项是 52 ，公比为－ 2. （ 4）22，2，1，2－1，
答：是等差数列，首项是1，公差为3.
答：是等比数列，首项是 （ 5）0，0，0，0，0. 4，公比为0.5.
答：不是等比数列.
例2
在下列每题的空格上填写适当的数列，使每 个数列成等比数列：
12 ，24. （1）3，6，___
Understand?
4.5 （2）8，6，___. 2 ，___ - 4 ，8. （3）-1，___ ±35 ，105. （4）7，_____
例3
判断下列数列是否为等差数列或等比数列， 如果是等差数列，则说出它的首项和公差， 如果是等比数列，则说出它的首项和公比：
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已知数列{an}的前n项和为Sn 3n 1, 求证：
数列{an}是等比数列.
an an1
2 3n1 2 3n2
3为常数(n 2).
当n 1时，a1 S1 31 1 2；
当n 2时，an Sn Sn1 3n 1 (3n1 1)
3n 3n1 3 3n1 3n1 2 3n1，
观察下列数列，说出它们的特点.
（1）1，2，22，23，…
从第二项起，每一项与 前一项的比都等于2.
(2)5, 25,125, 625...
(3)1, 1 , 1 , 1 ,L 24 8
定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一
项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比 数列，这个常数叫做公比，记为q(q≠0).
a2
a1
q
a3 a2
q
...
到最后一个式子，共__n__-1_ 个
式子相乘，则有：
累 a2 . a3 ..... an qn1，
a1 a2 an1
乘
an a1.q n1.
an an1
q
当n 1时，等式成立， 所以通项公式为an a1.qn1.
012
例3： 9和3n1分别是等比数列32，32，32，...的第几项?
当n 1时，也满足an 2 3n1 an 2 3n1.
变式2 :
已知数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn 3n c. 求常数c的值.
a1 S1 3 c，a2 S2 S1 (32 c) (3 c) 6， a3 S3 S2 (33 c) (32 c) 18，
(2)a5 4, a7 6, 求a9.
练习：在等比数列{an}中, (1)已知a4 27, q 3, 求a7； (2)a5 3, a7 27, 试求a10.
思考：(1)在等比数列an中，是否有an2 an1 an1(n 2)?
(2)若数列an中，对于任意的正整数n(n 2),都有 an2 an1 an1，那么 an一定是等比数列吗？
数学语言： an q(n 2且n N* ).
an 1
特征：（1）每项均不为0，且q≠0； （2）各项均为负数，或均为正数或 正负相间.
例1：
1.已知等比数列{ an }：
(1) an 能不能是零？
不能
(2)公比q能不能是1？
能
2.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥ .
①已知a1=2，an=3an+1；√ ②1，2，4，……；×
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1.(2005 • 江苏)在各项都为正数的等比数列{an}中, 首项a1 3,前三项和为21,则a3 a4 a5 _______ .
2.已知数列{an}是等比数列，且a4 a7 9, a5 a8 18, an 64,求项数n.
3.已知数列an满足a1 1, an1 2an 1. (1)求证：数列an 1是等比数列；
(2)求数列an的通项公式.
an是等比数列，
a2 a1
a3 ，即 6 18 .
a2
3c 6
解得：c 1.
那么等比数列的通项是什么呢？ 类比等差数列通 项公式的求解
归纳法
解法1： 由定义得
a2 a1.q, a3 a2.q a1.q2... an a1.qn1(a1, q 0).
解法2：
分析：如果把左边由（1）式
0
n 1
解：a1 32 1，q 3， an a1 qn1 3 2 .
9
Hale Waihona Puke 32n13 2 ，即2
n
1， n
5，即为第5项.
x1
2
3n1 3 2 . 第x=2n+3项
变式：
9 3n1是该数列中的项吗？若是，是第几项?
x1
9 3n1 3n3 3 2 ，解得：x 2n 7.
例4.求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a,8；
③a，a，a，……，a；× ④1，-1，1，……，(-1)n+1；
⑤ m, 2m, 4m2,8m3,... ×
√
⑥2a，2a，2a，……，2a.√
3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？
非零的 常数列
例2：已知{an}的通项公式an 3n,求证：{an}是
等比数列.
变式1 :
定义法，只要看
an q(q是一个与n无关的非零常数） an1