函数导数三角向量测试
高三数学第一学期期中考试复习_向量三角数列导数
平面向量：1. 设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则向量a 、b 间的夹角为__________2.若AB →·BC →＋AB →2＝0，则△ABC 必定是________三角形3.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ， 若AC →＝a ，BD →＝b ，则用a 、b 表示AF →等于4.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为______5..若A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，若O 不在l 上，存在实数x 使得x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0，实数x 为______6.(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关7.(理)在△ABC 中，D 为BC 边中点，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|AD →|的最小值是_________8.如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M ，N 是该图象与x 轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为________9如图，一直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 分别交于E 、F 两点，且交其对角线于K ，其中AE →＝13AB →，AF →＝12AD →，AK →＝λAC →，则λ的值为________ 10.(文)设i 、j 是平面直角坐标系(坐标原点为O )内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且OA →＝－2i ＋j ，OB →＝4i ＋3j ，则△OAB 的面积等于________．(理)三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，能得出三角形ABC 一定是锐角三角形的条件是________(只写序号)①sin A ＋cos A ＝15②AB →·BC →<0 ③b ＝3，c ＝33，B ＝30° ④tan A ＋tan B ＋tan C >0.11.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(－1,1)，n ＝(cos B cos C ，sin B sin C －32)，且m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)现在给出下列三个条件：①a ＝1；②2c －(3＋1)b ＝0；③B ＝45°，试从中选择两个条件以确定△ABC ，求出所确定的△ABC 的面积．1.若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫>⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 2.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ）A ．1-是()f x 的零点B ．1是()f x 的极值点C ．3是()f x 的极值D . 点(2,8)在曲线()y f x =上 3.设函数'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(1,0)(1,)-+∞ C ．(,1)(1,0)-∞-- D ．(0,1)(1,)+∞4.设函数()f x =(21)xe x ax a --+,其中a 1，若存在唯一的整数0x ，使得0()f x 0，则a 的取值范围是_________________5.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．6.曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 7.设函数2()mxf x ex mx =+-．(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围． 8.已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++． （Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y kx m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．1.已知等比数列{}n a 的首项为1，若1234,2,a a a ，成等差数列，则数列1{}na 的前5项和为 。
2024年高考数学专项练习导数与三角函数结合问题的研究(解析版)
导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x >0时,x >sin x >x −12x 2.②余弦函数:cos x ≥1−12x 2.③正切函数:当x ∈0,π2时,sin x <x <tan x . ④数值域:sin x ∈-1,1,cos x ∈ -1,1 .3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x -ax ，a ∈R ，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x >2x ；(2)若函数g x =f x -x cos x 在区间0,+∞ 内有唯一的零点，求a 的取值范围.2024年高考数学专项练习导数与三角函数结合问题的研究（解析版）2已知函数f x =sin x-x-ae x,其中a为实数,e是自然对数的底数.(1)若a=-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π上有唯一的极值点,求实数a的取值范围.3已知函数f x =e x，g x =sin x+cos x.(1)求证：f x ≥x+1；(2)若x≥0，问f x +g x -2-ax≥0a∈R是否恒成立?若恒成立，求a的取值范围；若不恒成立，请说明理由4已知函数f(x)=e x+cos x-a(a∈R)．(1)讨论f(x)在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x∈[0,+∞)时，e x+sin x≥ax+1恒成立，求a的取值范围．5已知函数f x =a sin x，其中a>0.(1)若f x ≤x在0,+∞上恒成立，求a的取值范围；(2)证明：∀x∈0,+∞，有2e x>x+1 xln x+1+sin x.6已知函数f x =ae x+4sin x-5x.(1)若a=4，判断f x 在0,+∞上的单调性；(2)设函数p x =3sin x-2x+2，若关于x的方程f x =p x 有唯一的实根，求a的取值范围.7已知函数f x =e x，g x =2-sin x-cos x．(1)求证：当x∈0,+∞，x>sin x；(2)若x∈0,+∞，f x >g x +ax恒成立，求实数a的取值范围．8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2 ，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f (x )有两个极值点，求a 的取值范围；(2)若x ≥0，f (x )≥2sin x ，求a 的取值范围．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x<1时，x-x2<sin x<x；(2)已知函数f x =cos ax-ln1-x2，若x=0是f x 的极大值点，求a的取值范围．【跟踪训练】1已知函数f x =xe-x+a sin x，e是自然对数的底数，若x=0恰为f(x)的极值点.(1)求实数a的值；上零点的个数.(2)求f(x)在区间-∞,π42已知函数f x =2cos x+ln1+x-1．上零点和极值点的个数，并给出证明；(1)判断函数f x 在区间0,π2(2)若x≥0时，不等式f x <ax+1恒成立，求实数a的取值范围．3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立.(1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.5已知函数f(x)=ax2-a(x sin x+cos x)+cos x+a(x>0)．(1)当a=1时，(I)求(π,f(π))处的切线方程；(II)判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a的取值范围．6已知f(x)=ax2-cos x-x sin x+a(a∈R).(1)当a=14时，求y=f(x)在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x∈R时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围.7已知函数f(x)=e x-a-x-cos x，x∈(-π,π)其中e=2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a=0时，证明：f x ≥0;(2)当a=1时，求函数y=f x 零点个数．8已知函数f x =x-1e x+ax+1.(1)若a=-e，求f x 的极值；(2)若x≥0，f x ≥2sin x，求a的取值范围.9已知函数f x =2sin x-ln1+x0<x<π．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．11已知函数f x =ln x+sin x. (1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.12已知函数f(x)=12ax2-(a-2)x-2ln x.(1)当a=2时，证明：f x >sin x.(2)讨论f x 的单调性.13(1)证明：当x<1时，x+1≤e x≤11-x；(2)是否存在正数a，使得f x =2e x+a sin x-ax2-a+2x在R上单调递增，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.导数与三角函数结合问题的研究有关导数与三角函数交汇的试题在高考与模拟试题中频频出现.在函数与导数试题中加入三角函数,由于三角函数具有周期性,无法通过多次求导使三角函数消失,使得后续问题的处理比较困难,从而造成学生思维上的难度.我们可从以下几个角度来突破此类问题的难点.1.分段讨论①以-π2,0,π2,π,⋯为端点分区间讨论;②以三角函数的最值点为端点分段讨论.2.巧用放缩,消去三角函数①正弦函数:当x>0时,x>sin x>x−12x2. ②余弦函数:cos x≥1−12x2.③正切函数:当x∈0,π2时,sin x<x<tan x. ④数值域:sin x∈-1,1,cos x∈-1,1.3.分离函数:将含有三角函数的式子放到一起.4.分离参数:转化为函数值域问题.5.半分离参数:将不等式等价转化,化为左右两边函数是一直线与一曲线,考虑端点处的切线斜率.【精选例题】1已知函数f x =e x-ax，a∈R，f x 是f x 的导数.(1)讨论f x 的单调性，并证明：e x>2x；(2)若函数g x =f x -x cos x在区间0,+∞内有唯一的零点，求a的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2)a≥1【详解】(1)因为f x =e x-ax，所以f x =e x-a，当a≤0时，f x =e x-a>0，则f x =e x-ax在R上单调递增，当a>0时，令f x =e x-a>0得x>ln a，令f x =e x-a<0得x<ln a，所以函数f x 的增区间为(ln a,+∞)，减区间为(-∞,ln a)，令F x =e x-2x，则F x =e x-2，令F x =e x-2>0得x>ln2，令F x =e x-2<0得x<ln2，所以函数F x 的增区间为(ln2,+∞)，减区间为(-∞,ln2)，所以当x=ln2时，F x 取得最小值为F ln2=e ln2-2ln2=2-2ln2>0，所以e x>2x，得证；(2)由(1)知，g x =e x-a-x cos x，因为函数g x 在区间0,+∞内有唯一的零点，所以方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，令h(x)=e x-x cos x,x≥0，则函数h(x)=e x -x cos x与y=a在0,+∞上只有一个交点，记m x =e x-x-1,(x≥0)，则m x =e x-1≥0，所以m x 在0,+∞上单调递增，所以m x =e x-x-1≥e0-1=0，即e x≥x+1，故h (x)=e x-cos x+x sin x≥1-cos x+x(1+sin x)≥0，所以h(x)=e x-x cos x在0,+∞上单调递增，又h(0)=1，如图：要使方程a=e x-x cos x在区间0,+∞内有唯一解，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.2已知函数f x =sin x -x -ae x ,其中a 为实数,e 是自然对数的底数.(1)若a =-1,证明:f x ≥0;(2)若f x 在0,π 上有唯一的极值点,求实数a 的取值范围.【解析】(1)证明:a =-1时,f x =sin x -x +e x ,令g x =e x -x ,则g x =e x -1,当x <0时,g x <0,g x 在-∞,0 上为减函数,当x >0时,g x >0,g x 在0,+∞ 上为增函数,函数g x 的极小值也是最小值为g 0 =1,所以g x ≥g 0 =1,而-sin x ≤1,所以e x -x ≥-sin x ,即f x ≥0.(2)f x 在0,π 上有唯一的极值点等价于f x =cos x -1-ae x =0在0,π 上有唯一的变号零点,f x =0等价于a =cos x -1e x ,设h x =cos x -1e x,x ∈0,π ,h x =-sin x -cos x +1e x =1-2sin x +π4 e x,因为x ∈0,π ,所以x +π4∈π4,5π4 ,当0<x <π2时,x +π4∈π4,3π4 ,sin x +π4 >22,h x <0,h x 在0,π2 上为减函数,当π2<x <π时,x +π4∈3π4,5π4 ,sin x +π4 22,h x 0,h x 在π2,π 上为增函数,所以函数h x 的极小值也是最小值为h π2 =-1e π2,又h 0 =0,h π =-2e π,所以当-2e π≤a <0时,方程a =cos x -1e x 在0,π 上有唯一的变号零点,所以a 的取值范围是-2e π,0.3已知函数f x =e x ，g x =sin x +cos x .(1)求证：f x ≥x +1；(2)若x ≥0，问f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 是否恒成立?若恒成立，求a 的取值范围；若不恒成立，请说明理由【答案】(1)证明见解析；(2)a ≤2【详解】(1)令F x =e x -x -1，F x =e x -1，当x ∈-∞,0 ，F x <0，所以此时F x 单调递减；当x ∈0,+∞ ，F x >0，所以此时F x 单调递增；即当x =0时，F x 取得极小值也是最小值F 0 =0，所以F x ≥0，得证；(2)设h x =f x +g x -2-ax ，即证h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0在0,+∞ 上恒成立，易得h x =e x +cos x -sin x -a ，当x =0时，若h 0 =2-a ≥0⇒a ≤2，下面证明：当a ≤2时，h x =e x +sin x +cos x -2-ax ≥0，在0,+∞ 上恒成立，因为h x =e x +cos x -sin x -a ，设u x =h x ，令v x =x -sin x ,v x =1-cos x ≥0，所以v x 在0,+∞ 上是单调递增函，所以v x ≥v 0 =0，又因为1-cos x ≥0，则u x =e x -sin x -cos x ≥x +1-sin x -cos x =x -sin x +1-cos x ≥0所以h x 在0,+∞ 上是单调递增函数，所以h x ≥h 0 =2-a ≥0，所以h x 在0,+∞ 上是严格增函数，若a >2时，h 0 <0，即h x 在x =0右侧附近单调递减，此时必存在h x 0 <h 0 =0，不满足f x +g x -2-ax ≥0a ∈R 恒成立，故当a ≤2时，不等式恒成立.4已知函数f (x )=e x +cos x -a (a ∈R )．(1)讨论f (x )在[-π,+∞)上的单调性；(2)当x ∈[0,+∞)时，e x +sin x ≥ax +1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)f (x )在[-π,+∞)上的单调递增；(2)(-∞,2]【详解】(1)f (x )=e x -sin x ，当-π≤x ≤0时，e x >0，sin x <0，∴f (x )=e x -sin x >0，当x >0时，e x >1，sin x ≤1，∴f (x )=e x -sin x >0，即：f (x )>0在[-π,+∞)上恒成立，所以f (x )在[-π,+∞)上的单调递增.(2)方法一：由e x +sin x ≥ax +1得：e x +sin x -ax -1≥0当x =0时，e x +sin x -ax -1≥0恒成立，符合题意令g (x )=e x +sin x -ax -1，x >0g (x )=e x +cos x -a =f (x )，由(1)得：g (x )在(0,+∞)上的单调递增，∴g (x )>2-a ，①当a ≤2时，g (x )>2-a ≥0，所以g (x )在(0,+∞)上的单调递增，所以g (x )>g (0)=0，符合题意②当a >2时，g (0)=2-a <0，g (ln (2+a ))=2+cos (ln (2+a ))>0，∴存在x 0∈(0,ln (2+a ))，使得g (x 0)=0,当0<x <x 0时，g (x )<g (x 0)=0；所以g (x )在(0,x 0)上的单调递减，当0<x <x 0时，g (x )<g (0)=0，这不符合题意综上，a 的取值范围是(-∞,2].方法二：令h (x )=e x +sin x ，s (x )=ax +1，x ≥0则h (0)=s (0)=1，符合题意h(x )=e x +cos x =f (x )+a ，f (x )=e x -sin x 由(1)得：f (x )>0在(0,+∞)上恒成立，h (x )在(0,+∞)上单调递增所以，h (x )>h (0)>0，所以h (x )在(0,+∞)上单调递增，其图象是下凸的，如图： ∵h (0)=2，所以，曲线h (x )在点(0,1)处的切线方程为：y =2x +1，要使得h (x )≥s (x )在[0,+∞)上恒成立，只需a ≤2所以，a 的取值范围是(-∞,2].5已知函数f x =a sin x ，其中a >0.(1)若f x ≤x 在0,+∞ 上恒成立，求a 的取值范围；(2)证明：∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x .【答案】(1)0,1 ；(2)证明见解析【详解】(1)令h x =x -a sin x ，x ∈0,+∞ ，则h x =1-a cos x ，当a ∈0,1 时，h x >0，h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0，当a ∈1,+∞ 时，令m x =h x =1-a cos x ，则m x =a sin x ，所以对∀x ∈0,π2 ，m x >0，则h x 在0,π2 上单调递增，又因为h 0 =1-a <0，h π2 =1>0，所以由零点存在定理可知，∃x 0∈0,π2使得h x 0 =0，所以当x ∈0,x 0 时，h x <0，h x 单调递减，h x <h 0 =0，与题意矛盾，综上所述，a ∈0,1 .(2)由(1)知，当a =1时，sin x ≤x ，∀x ∈0,+∞ . 先证ln x +1 ≤x ，x ∈0,+∞ ，令φx =x -ln x +1 ，则φ x =1-1x +1≥0，所以φx 单调递增，φx >φ0 =0，即ln x +1 ≤x . 所以当x ∈0,+∞ 时，ln x +1 +sin x ≤2x ，x +1x ln x +1 +sin x ≤2x 2+1 .要证∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1x ln x +1 +sin x ，只需证e x >x 2+1. 令g x =x 2+1 e -x -1，x ∈0,+∞ ，则g x =2x -x 2-1 e -x =-x -1 2e -x ≤0.所以g x 在0,+∞ 上单调递减，所以g x <g 0 =0，即e x >x 2+1.综上可得∀x ∈0,+∞ ，有2e x >x +1xln x +1 +sin x .6已知函数f x =ae x +4sin x -5x .(1)若a =4，判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)设函数p x =3sin x -2x +2，若关于x 的方程f x =p x 有唯一的实根，求a 的取值范围.【答案】(1)函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)a ≤0或a =2【详解】(1)当a =4时，f x =4e x +4sin x -5x ,f x =4e x +4cos x -5，令g x =f x =4e x +4cos x -5,则g x =4e x -4sin x .当x ∈0,+∞ 时，4e x ≥4(x =0时等号成立)；-4sin x ≥-4(x =π2+2k π,k ∈Z 时等号成立)，所以g x =4e x -4sin x >0，即函数f x =4e x +4cos x -5在0,+∞ 上递增，所以f x ≥f 0 =3>0，即函数f x 在0,+∞ 上单调递增.(2)方程f x =p x 即ae x +4sin x -5x =3sin x -2x +2有唯一的实根，则a =3x +2-sin x e x只有一个解，等价于直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x 的图象只有一个交点.令h x =3x +2-sin x ex ，则h x =sin x -cos x +1-3x e x ，因为e x >0，所以h x =sin x -cos x +1-3x e x 的符号由分子决定，令m x =sin x -cos x +1-3x ，则m x =cos x +sin x -3=22sin x +π4-3<0.所以m x =sin x -cos x +1-3x 在R 上递减，因为m 0 =0，所以当x ∈-∞,0 时，m x >m 0 =0；当x ∈0,+∞ 时，m x <m 0 =0.即当x ∈-∞,0 时，h x >0；当x ∈0,+∞ 时，h x <0.所以函数h x =3x +2-sin x e x 在-∞,0 上递增，在0,+∞ 上递减，当x 趋于-∞时，e x 趋于0且大于0，分子3x +2-sin x 趋于-∞，则3x +2-sin x e x趋于-∞；当x =0时，h max x =h 0 =2；当x 趋于+∞时，e x 趋于+∞，分子3x +2-sin x 也趋于+∞，令φx =e x-3x +2-sin x ，则φ x =e x -3+cos x ，当x >2时，φ x =e x -3+cos x >0，则x 趋于+∞时，e x 增长速率大于3x+2-sin x 的增长速率，故x 趋于+∞时，3x +2-sin x e x趋于0.画出函数h x =3x +2-sin x e x 的草图，并画出直线y =a ，要使直线y =a 与函数y =3x +2-sin x e x的图象只有一个交点.则a ≤0或a =2.所以当a ≤0或a =2时，方程f x =p x 有唯一的实根.7已知函数f x =e x ，g x =2-sin x -cos x ．(1)求证：当x ∈0,+∞ ，x >sin x ；(2)若x ∈0,+∞ ，f x >g x +ax 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)证明见解析；(2)-∞,2 【详解】(1)证明：设F x =x -sin x ，x >0，则F x =1-cos x >0，所以F x 在区间0,+∞ 上单调递增，所以F x >F 0 =0，即x >sin x .(2)由f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立，即e x +sin x +cos x -ax -2>0在区间0,+∞ 上恒成立，设φx =e x +sin x +cos x -ax -2，则φx >0在区间0,+∞ 上恒成立，而φ x =e x +cos x -sin x -a ，令m x =φ x ，则m x =e x -sin x -cos x ，设h x =e x -x -1，则h x =e x -1，当x >0时，h x >0，所以函数h x 在区间0,+∞ 上单调递增，故在区间0,+∞ 上，h x >h 0 =0，即在区间0,+∞ 上，e x >x +1，由(1)知：在区间0,+∞ 上，e x >x +1>sin x +cos x ，即m x =e x -sin x -cos x >0，所以在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，当a ≤2时，φ 0 =2-a ≥0，故在区间0,+∞ 上函数φ x >0，所以函数φx 在区间0,+∞ 上单调递增，又φ0 =0，故φx >0，即函数f x >g x +ax 在区间0,+∞ 上恒成立.当a >2时，φ 0 =2-a ，φ ln a +2 =a +2+cos ln a +2 -sin ln a +2 -a =2-2sin ln a +2 -π4 >0，故在区间0,ln a +2 上函数φ x 存在零点x 0，即φ x 0 =0，又在区间0,+∞ 上函数φ x 单调递增，故在区间0,x 0 上函数φ x <φ x 0 =0，所以在区间0,x 0 上函数φx 单调递减，由φ0 =0，所以在区间0,x 0 上φx <φ0 =0，与题设矛盾.综上，a 的取值范围为-∞,2 .8已知函数f (x )=a sin x -ln (1+x )(a ∈R )．(1)若a =-1，求证：∀x >0,f (x )+2x >0；(2)当a ≥1时，对任意x ∈0,k 2，都有f (x )≥0，求整数k 的最大值．【答案】(1)证明见解析；(2)3【详解】(1)a =-1时，设g (x )=f (x )+2x =-sin x -ln (1+x )+2x ，则g (x )=-cos x -11+x +2，∵x >0∴x +1>1∴-1x +1∈(-1,0)∵cos x ∈[-1,1]∴-cos x -1x +1+2>0，即g (x )>0在(0,+∞)上恒成立，∴g (x )在(0,+∞)上单调增， 又g (0)=0∴g (x )>g (0)=0，即∀x >0,f (x )+2x >0；(2)a =1时，当k =4时，f (2)=sin2-ln3<0，所以k <4．下证k =3符合．k =3时，当x ∈0,32时，sin x >0，所以当a ≥1时，f (x )=a sin x -ln (1+x )≥sin x -ln (1+x )．记h (x )=sin x -ln (1+x )，则只需证h (x )=sin x -ln (1+x )≥0对x ∈0,32恒成立．h (x )=cos x -1x +1，令ϕ(x )=cos x -1x +1，则ϕ (x )=-sin x +1(x +1)2在0,π2 递减，又ϕ (0)=1>0,ϕ π2 =-1+1π2+1 2<0，所以存在x 1∈0,π2，使得ϕ x 1 =0，则x ∈0,x 1 ,ϕ x 1 >0,ϕ(x )在0,x 1 递增，x ∈x 1,π2 ,ϕ x 1 <0,ϕ(x )在x 1,π2 递减；又ϕ(0)=0,ϕπ2 =-1π2+1<0，所以存在x 2∈x 1,π2 使得ϕx 2 =0，且x ∈0,x 2 ,ϕ(x )>0,x ∈x 2,π2,ϕ(x )<0，所以h (x )在0,x 2 递增，在x 2,π2递减，又h (0)=0,h π2 =1-ln 1+π2 >0，所以h (x )≥0对x ∈0,π2 恒成立，因为0,32 ⊆0,π2，所以k =3符合．综上，整数k 的最大值为3．9已知函数f (x )=(x -1)e x +ax +1．(1)若f(x)有两个极值点，求a的取值范围；(2)若x≥0，f(x)≥2sin x，求a的取值范围．【答案】(1)0,1 e；(2)2,+∞．【详解】(1)由f(x)=(x-1)e x+ax+1，得f (x)=xe x+a，因为f(x)有两个极值点，则f (x)=0，即方程-a= xe x有两个不等实数根，令g(x)=xe x，则g (x)=(x+1)e x，知x<-1时，g (x)<0，g(x)单调递减，x>-1时，g (x)>0，g(x)单调递增，则x=-1时，g(x)取得极小值g(-1)=-1e，也即为最小值，且x<0时，g(x)<0，x→-∞时，g(x)→0，x>0时，g(x)>0，x→∞时，g(x)→+∞，故-1e<-a<0，即0<a<1e时，方程-a=xe x有两个实数根，不妨设为x1，x2x1<x2．可知x<x1时，f (x)>0，x1<x<x2时，f (x)< 0，x>x2时，f (x)>0，即x1，x2分别为f(x)的极大值和极小值点．所以f(x)有两个极值点时，a的取值范围是0,1 e．(2)令h(x)=(x-1)e x+ax-2sin x+1，原不等式即为h(x)≥0，可得h(0)=0，h (x)=xe x+a-2cos x，h (0)=a-2，令u(x)=h (x)=xe x+a-2cos x，则u (x)=(x+1)e x+2sin x，又设t(x)=(x+1)e x，则t (x)= (x+2)e x，x≥0时，t (x)>0，可知t(x)在0,+∞单调递增，若x∈0,π，有(x+1)e x>0，sin x>0，则u (x)>0；若x∈π,+∞，有(x+1)e x>(π+1)eπ>2，则u (x)>0，所以，x≥0，u (x)>0，则u(x)即h (x)单调递增，①当a-2≥0即a≥2时，h (x)≥h (0)≥0，则h(x)单调递增，所以，h(x)≥h(0)=0恒成立，则a≥2符合题意．②当a-2<0即a<2时，h (0)<0，h (3-a)=(3-a)e(3-a)+a-2cos(3-a)≥3-a+a-2cos(2-a)> 0，存在x0∈(0,3-a)，使得h (x0)=0，当0<x<x0时，h (x)<0，则h(x)单调递减，所以h(x)<h(0)=0，与题意不符，综上所述，a的取值范围是2,+∞．10已知函数f x =x-sinπ2x-a ln x,x=1为其极小值点．(1)求实数a的值；(2)若存在x1≠x2，使得f x1=f x2，求证：x1+x2>2．【答案】(1)a=1；(2)证明见解析【详解】(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f (x)=1-π2cosπ2x-a x，依题意得f (1)=1-a=0，得a=1，此时f (x)=1-π2cosπ2x-1x，当0<x<1时，0<π2x<π2，0<π2cosπ2x<π2，1x>1，故f (x)<0，f(x)在(0,1)内单调递减，当1<x<2时，π2<π2x<π，π2cosπ2x<0，1x<1，故f (x)>0，f(x)在(1,2)内单调递增，故f(x)在x=1处取得极小值，符合题意.综上所述：a=1.(2)由(1)知，f(x)=x-sinπ2x-ln x，不妨设0<x1<x2，当1≤x1<x2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，x2≥2时，不等式x1+x2>2显然成立；当0<x1<1，0<x2<2时，由(1)知f(x)在(0,1)内单调递减，因为存在x 1≠x 2，使得f x 1 =f x 2 ，所以1<x 2<2，要证x 1+x 2>2，只要证x 1>2-x 2，因为1<x 2<2，所以0<2-x 2<1，又f (x )在(0,1)内单调递减，所以只要证f (x 1)<f (2-x 2)，又f x 1 =f x 2 ，所以只要证f (x 2)<f (2-x 2)，设F (x )=f (x )-f (2-x )(1<x <2)，则F (x )=f (x )+f (2-x )=1-π2cos π2x -1x +1-π2cos π2(2-x ) -12-x =2-1x +12-x -π2cos π2x +cos π-π2x =2-1x +12-x -π2cos π2x -cos π2x =2-1x +12-x，令g (x )=2-1x +12-x(1<x <2)，则g (x )=1x 2-1(2-x )2=4-4x x 2(2-x )2，因为1<x <2，所以g (x )<0，g (x )在(1,2)上为减函数，所以g (x )<g (1)=0，即F (x )<0，所以F (x )在(1,2)上为减函数，所以F (x )<F (1)=0，即f (x 2)<f (2-x 2).综上所述：x 1+x 2>2.11(2023全国新高考2卷)(1)证明：当0<x <1时，x -x 2<sin x <x ；(2)已知函数f x =cos ax -ln 1-x 2 ，若x =0是f x 的极大值点，求a 的取值范围．【答案】(1)证明见详解(2)-∞,-2 ∪2,+∞【详解】(1)构建F x =x -sin x ,x ∈0,1 ，则F x =1-cos x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则F x 在0,1 上单调递增，可得F x >F 0 =0，所以x >sin x ,x ∈0,1 ；构建G x =sin x -x -x 2 =x 2-x +sin x ,x ∈0,1 ，则G x =2x -1+cos x ,x ∈0,1 ，构建g x =G x ,x ∈0,1 ，则g x =2-sin x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则g x 在0,1 上单调递增，可得g x >g 0 =0，即G x >0对∀x ∈0,1 恒成立，则G x 在0,1 上单调递增，可得G x >G 0 =0，所以sin x >x -x 2,x ∈0,1 ；综上所述：x -x 2<sin x <x .(2)令1-x 2>0，解得-1<x <1，即函数f x 的定义域为-1,1 ，若a =0，则f x =1-ln 1-x 2 ,x ∈-1,1 ，因为y =-ln u 在定义域内单调递减，y =1-x 2在-1,0 上单调递增，在0,1 上单调递减，则f x =1-ln 1-x 2 在-1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故x =0是f x 的极小值点，不合题意，所以a ≠0.当a ≠0时，令b =a >0因为f x =cos ax -ln 1-x 2 =cos a x -ln 1-x 2 =cos bx -ln 1-x 2 ，且f -x =cos -bx -ln 1--x 2 =cos bx -ln 1-x 2 =f x ，所以函数f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：f x =-b sin bx -2x x 2-1,x ∈-1,1 ，(i )当0<b 2≤2时，取m =min 1b ,1 ，x ∈0,m ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得fx =-b sin bx -2x x 2-1>-b 2x -2x x 2-1=x b 2x 2+2-b 2 1-x 2，且b 2x 2>0,2-b 2≥0,1-x 2>0，所以f x >x b 2x 2+2-b 21-x 2>0，即当x ∈0,m ⊆0,1 时，f x >0，则f x 在0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：f x 在-m ,0 上单调递减，所以x =0是f x 的极小值点，不合题意；(ⅱ)当b 2>2时，取x ∈0,1b ⊆0,1 ，则bx ∈0,1 ，由(1)可得f x =-b sin bx -2x x 2-1<-b bx -b 2x 2 -2x x 2-1=x 1-x2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 ，构建h x =-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2,x ∈0,1b ，则h x =-3b 3x 2+2b 2x +b 3,x ∈0,1b，且h 0 =b 3>0,h 1b=b 3-b >0，则hx >0对∀x ∈0,1b 恒成立，可知h x 在0,1b 上单调递增，且h 0 =2-b 2<0,h 1b=2>0，所以h x 在0,1b 内存在唯一的零点n ∈0,1b ，当x ∈0,n 时，则h x <0，且x >0,1-x 2>0，则f x <x1-x 2-b 3x 3+b 2x 2+b 3x +2-b 2 <0，即当x ∈0,n ⊆0,1 时，fx <0，则f x 在0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：f x 在-n ,0 上单调递增，所以x =0是f x 的极大值点，符合题意；综上所述：b 2>2，即a 2>2，解得a >2或a <-2，故a 的取值范围为-∞,-2 ∪2,+∞ .【跟踪训练】1已知函数f x =xe -x +a sin x ，e 是自然对数的底数，若x =0恰为f (x )的极值点.(1)求实数a 的值；(2)求f (x )在区间-∞,π4上零点的个数.【答案】(1)-1；(2)1【详解】(1)由题意得f x =1-xex+a cos x ，因为x =0为f (x )的极值点，故f (0)=1+a =0,∴a =-1，此时f x =1-x e x-cos x ，则x <0时，1-xe x >1，故f (x )>0，则f (x )在(-∞,0)上单调递增；由f x =1-x e x -cos x =1-x -e x cos x e x，令g x =1-x -e x cos x ,∴g x =-1-e x cos x -sin x ，当0<x <π4时，cos x -sin x >0，则g (x )<0，则g (x )在0,π4上单调递减，故g (x )<g (0)=0，即f(x )<0，故f (x )在0,π4 上单调递减，则x =0为f (x )的极大值点，符合题意，故a =-1.(2)由(1)知f x =xe -x -sin x ，f x =1-xex-cos x ，x <0时，f (x )>0，f (x )在(-∞,0)上单调递增，则f (x )<f (0)=0，故f x 在(-∞,0)上不存在零点；当0<x <π4时，f (x )<0，故f (x )在0,π4上单调递减，则f (x )<f (0)=0，故f x 在0,π4上不存在零点；当x =0时，f (0)=0，即x =0为f x 的零点，综合上述，f (x )在区间-∞,π4上零点的个数为1.2已知函数f x =2cos x +ln 1+x -1．(1)判断函数f x 在区间0,π2上零点和极值点的个数，并给出证明；(2)若x ≥0时，不等式f x <ax +1恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)函数f x 在区间0,π2上只有一个极值点和一个零点，证明见解析；(2)实数a 的取值范围是1,+∞【详解】(1)函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点，证明如下，f x =-2sin x +1x +1，设t x =f x =-2sin x +1x +1，t x =-2cos x -1x +12，当x ∈0,π2 时，t x <0，所以f x 单调递减，又f 0 =1>0，f π2=-2+1π2+1=-2+2π+2<0，所以存在唯一的α∈0,π2 ，使得f α =0，所以当x ∈0,α 时，f x >0，当x ∈α,π2 时，f x <0，所以f x 在0,α 单调递增，在α,π2单调递减，所以α是f x 的一个极大值点，因为f 0 =2-1=1>0，f α >f 0 >0，f π2=ln 1+π2 -1<0，所以f x 在0,α 无零点，在α,π2上有唯一零点，所以函数f x 在区间0,π2 上只有一个极值点和一个零点；(2)由f x ≤ax +1，得2cos x +ln 1+x -ax -2≤0，令g x =2cos x +ln 1+x -ax -2，x >0 ，则g 0 =0，g x =-2sin x +11+x-a ，g 0 =1-a ，①若a ≥1，则-a ≤-1，当x ≥0时，-ax ≤-x ，令h x =ln x +1 -x ，则h x =1x +1-1=-xx +1，当x ≥0时，h x ≤0，所以h x 在0,+∞ 上单调递减，又h 0 =0，所以h x ≤h 0 ，所以ln x +1 -x ≤0，即ln x +1 ≤x ，又cos x ≤1，所以g x ≤2+x -x -2=0，即当x ≥0时，f x ≤ax +1恒成立，②若0≤a <1，因为当x ∈0,π2 时，g x 单调递减，且g 0 =1-a >0，g π2 =-2+11+π2-a <0，所以存在唯一的β∈0,π2，使得g β =0，当x ∈0,β 时，g x >0，g x 在0,β 上单调递增，不满足g x ≤0恒成立，③若a <0，因为g e 4-1 =2cos e 4-1 +ln e 4 -a e 4-1 -2=2-2cos e 4-1 -a e 4-1 >0不满足g x ≤0恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是1,+∞ .3已知函数f x =xe x -1，g x =a x +ln x 且f x -g x ≥0恒成立. (1)求a 的值；(2)证明：x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x .(注：其中e =2.71828⋯为自然对数的底数)【答案】(1)a =1；(2)证明见解析【详解】(1)因为f x -g x ≥0恒成立，所以xe x -a (ln x +x )≥1恒成立，令h (x )=xe x -a (ln x +x )，则h (x )=e x+xe x-a 1x +1 =(x +1)⋅xe x -ax(x >0)，当a <0时，h (x )>0，所以h (x )在(0,+∞)上递增，当x→0时，xe x →0,ln x →-∞，所以h (x )→-∞，不合题意，当a =0时，h 12=e2<1，不合题意，当a >0时，令xe x -a =0，得a =xe x ，令p (x )=xe x ，则p (x )=(x +1)e x >0，所以p (x )=xe x 在(0,+∞)上递增，且p (0)=0，所以a =xe x 有唯一实根，即h (x )=0有唯一实根，设为x 0，即a =x 0e x 0，且x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，x ∈x 0,+∞ 时，h(x )>0,所以h (x )在0,x 0 上为减函数，在x 0,+∞ 上为增函数，所以h (x )min =f x 0 =x 0e x 0-a ln x0+x 0 =a -a ln a ，所以只需a -a ln a ≥1，令t =1a ，则上式转化为ln t ≥t -1，设φ(t )=ln t -t +1，则φ (t )=1t -1=1-tt，当0<t <1时，φ (t )>0，当t >1时，φ (t )<0，所以φ(t )在(0,1)上递增，在(1,+∞)上递减，所以φ(t )≤φ(1)=0，所以ln t ≤t -1，所以ln t =t -1，得t =1，所以t =1a=1，得a =1，(2)证明：由(1)知，当a =1时，f x ≥g x 对任意x >0恒成立，所以∀x ∈0,+∞ ，xe x ≥x +ln x +1(当且仅当x =1时取等号)，则x 3e x ≥x 3+x 2ln x +x 2(x >0)，所以要证明x 3e x >x 2+3 ln x +2sin x ，只需证明x 3+x 2ln x +x 2>(x 2+3)ln x +2sin x (x >0)，即证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，设t (x )=ln x -x +1,m (x )=sin x -x ，则由(1)可知ln x ≤x -1(x >0)，m (x )=cos x -1≤0在(0,+∞)上恒成立，所以m (x )在(0,+∞)上递减，所以∀x ∈0,+∞ ，m (x )<m (0)=0，所以sin x <x (x >0)，所以要证x 3+x 2>3ln x +2sin x (x >0)，只要证x 3+x 2≥3(x -1)+2x (x >0)，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)，令H (x )=x 3+x 2-5x +3，则H (x )=3x 2+2x -5=(3x +5)(x -1)，当0<x <1时，H (x )<0，当x >1时，H (x )>0，所以H (x )在(0,1)上递减，在(1,+∞)上递增，所以当x ∈0,+∞ 时，H (x )≥H (1)=0，即x 3+x 2-5x +3≥0(x >0)恒成立，所以原命题成立.4已知函数f (x )=x +sin x ，x ∈R .(1)设g (x )=f (x )-12x ，求函数g (x )的极大值点；(2)若对∀x ∈0,π2，不等式f (x )≥mx cos x (m >0)恒成立，求m 的取值范围.【答案】(1)x =2π3+2k π(k ∈Z )；(2)(0,2].【详解】(1)函数g (x )=12x +sin x ，求导得g (x )=12+cos x ，由g (x )=0，得cos x =-12，当-2π3+2k π<x<2π3+2k π(k ∈Z )时，cos x >-12，即g (x )>0，函数g (x )单调递增；当2π3+2k π<x <4π3+2k π(k ∈Z )时，cos x <-12，即g (x )<0，函数g (x )单调递减，因此函数g (x )在x =2π3+2k π(k ∈Z )处有极大值，所以函数g (x )的极大值点为x =2π3+2k π(k ∈Z ).(2)依题意，m >0，∀x ∈0,π2 ，不等式f (x )≥mx cos x ⇔x +sin x -mx cos x ≥0，当x =π2时，π2+1≥0成立，则m >0，当x ∈0,π2时，cos x >0，x +sin x -mx cos x ≥0⇔x +sin x cos x-mx ≥0，令h (x )=x +sin x cos x -mx ，x ∈0,π2 ，求导得h(x )=(1+cos x )cos x +(x +sin x )sin x cos 2x -m =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，令φx =cos x +x sin x +1cos 2x -m ，x ∈0,π2 ，求导得φ (x )=x cos 2x +2x sin 2x +sin2x +2sin x cos 3x >0，因此φ(x )在0,π2 上单调递增，即有φx ≥φ0 =2-m ，而cos x +x sin x +1cos 2x ≥cos x +1cos 2x >1cos 2x，又函数y =1cos 2x在x ∈0,π2 上的值域是[1,+∞)，则函数φ(x )，即h x 在0,π2 上的值域是2-m ,+∞ ,当0<m ≤2时，h (x )≥0，当且仅当m =0,x =0时取等号，于是函数h (x )在0,π2上单调递增，对x ∈0,π2 ，h (x )≥h (0)=0，因此0<m ≤2，当m >2时，存在x 0∈0,π2，使得h (x 0)=0，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<0，函数h (x )在(0,x 0)上单调递减，当x ∈(0,x 0)时，h (x )<h (0)=0，不符合题意，所以m 的取值范围为(0,2].5已知函数f (x )=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a (x >0)．(1)当a =1时，(I )求(π,f (π))处的切线方程；(II )判断f x 的单调性，并给出证明；(2)若f x >1恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)(I )y =3πx -2π2+1；(II )f x 单调递增，证明见解析；(2)a ≥1【详解】(1)当a =1时，f (x )=x 2-x sin x +1，可得f (x )=2x -sin x -x cos x .(I )f (π)=π2+1,f (π)=3π，所以在(π,f (π))处的切线方程为y -π2+1 =3πx -π ，即y =3πx -2π2+1.(II )f (x )=2x -sin x -x cos x =x -sin x +x (1-cos x )，设m (x )=x -sin x (x >0)，则m (x )=1-cos x ≥0,m (x )单调递增，所以m (x )>m (0)=0，即x >sin x ，所以当x >0时，f (x )>0,f (x )单调递增.(2)设g (x )=f (x )-1=ax 2-a (x sin x +cos x )+cos x +a -1，由题意g (x )>0恒成立.①当a ≤0时，g π2=a π2π2-1 +a -1<0,g (x )>0不恒成立，不合题意；②当0<a <1时，设h (x )=g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，h (0)=0，h (x )=2a -a cos x +ax sin x -cos x ，h (0)=a -1<0，h π2=2a +π2a >0，设r (x )=h (x )，x ∈0,π2，r (x )=2a sin x +ax cos x +sin x >0，h (x )单调递增，由零点存在定理得∃t ∈0,π2，使得h (t )=0.h (x )在(0,t )上h (x )<0，h (x )<h (0)=0，即g (x )<0，所以g (x )在(0,t )上单调递减，g (x )<g (0)=0，g (x )>0不恒成立，不合题意；③当a ≥1时，g(x )=2ax -ax cos x -sin x ，则g (x )x =2a -a cos x -sin x x =a (1-cos x )+a -sin x x，当x>0时，1-cos x ≥0,x >sin x ，即sin xx <1，则g (x )x >0，所以当x >0时，g (x )>0,g (x )单调递增.可得：g (x )>g (0)=0，即f (x )>1，所以a ≥1.综上，a 的取值范围为1,+∞ ．6已知f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R ).(1)当a =14时，求y =f (x )在[-π,π]内的单调区间；(2)若对任意的x ∈R 时，f (x )≥2恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】(1)单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3 ；(2)[3,+∞).【详解】(1)当a =14时，f (x )=14x 2-cos x -x sin x +14，求导得f (x )=12x -x cos x =x 12-cos x ，而x ∈[-π,π]，由cos x =12，得x =±π3，当x ∈-π3,π3 时，12-cos x <0，当x ∈π3,π ∪-π,-π3时，12-cos x >0，则当x >0时，若f (x )>0，则x ∈π3,π ；若f (x )<0，则x ∈0,π3，当x <0时，若f (x )>0，则x ∈-π3,0 ；若f (x )<0，则x ∈-π,-π3 ，所以函数y =f (x )在[-π,π]内的单调增区间为：-π3,0 ，π3,π ；单调减区间为：0,π3 ，-π,-π3.(2)因为f (-x )=a (-x )2-cos (-x )-(-x )sin (-x )+a =f (x )，于是函数f (x )=ax 2-cos x -x sin x +a (a ∈R )为偶函数，则f (x )≥2对任意x ∈R 恒成立，等价于对任意的x ∈[0,+∞)，恒有f (x )≥2成立，求导得f (x )=2ax -x cos x =x (2a -cos x )，当x ∈[0,+∞)时，当2a ≥1，a ≥12成立时，2a -cos x ≥0恒成立，即f (x )≥0恒成立，函数f (x )在[0,+∞)内单调递增，则有f x min =f 0 =a -1，因此a -1≥2，解得a ≥3，则a ≥3；当2a <1，a <12时，函数y =cos x 在[0,π]上单调递减，且-1≤cos x ≤1，因此存在x 0>0，使得当x ∈(0,x 0)时，2a -cos x <0，f (x )<0，函数f (x )在(0,x 0)上递减，此时x ∈0,x 0 ，f x <f 0 =a -1<2，不符合题意，所以实数a 的取值范围为[3,+∞).7已知函数f (x )=e x -a -x -cos x ，x ∈(-π,π)其中e =2.71828⋯为自然对数的底数．(1)当a =0时，证明：f x ≥0;(2)当a =1时，求函数y =f x 零点个数．【答案】(1)证明见解析；(2)2.【详解】(1)当a =0时，f (x )=e x -x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1+sin x ，显然f (0)=0，当-π<x <0时，e x -1<0,sin x <0，则f (x )<0，当0<x <π时，e x -1>0,sin x >0，则f (x )>0，因此函数f (x )在(-π,0)上单调递减，在(0,π)上单调递增，则当x ∈(-π,π)时，f (x )≥f (0)=0，所以f x ≥0.(2)当a =1时，f (x )=e x -1-x -cos x ，x ∈(-π,π)，求导得f (x )=e x -1-1+sin x ，当-π<x <0时，e x -1-1<0,sin x <0，则f (x )<0，当1<x <π时，e x -1-1>0,sin x >0，则f (x )>0，当0≤x ≤1时，函数y =e x -1-1,y =sin x 都递增，即函数f (x )在(0,1)上单调递增，而f (0)=e -1-1<0,f (1)=sin1>0，因此存在x 0∈(0,1)，使得f (x 0)=0，当0≤x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x ≤1时，f (x )>0，从而当-π<x <x 0时，f (x )<0，当x 0<x <π时，f (x )>0，即有函数f (x )在(-π,x 0)上单调递减，在(x 0,π)上单调递增，f (x 0)<f (0)=e -1-1<0，而f -π2 =e -π2-1+π2>0,f π2 =e π2-1-π2>e -π2>0，于是函数f (x )在(-π,x 0)，(x 0,π)各存在一个零点，所以函数y =f x 零点个数是2.8已知函数f x =x -1 e x +ax +1.(1)若a =-e ，求f x 的极值；(2)若x ≥0，f x ≥2sin x ，求a 的取值范围.【答案】(1)f x 极小值=1-e ，无极大值.(2)2,+∞【详解】(1)当a =-e 时f x =x -1 e x -ex +1，则f x =xe x -e ，令g x =f x =xe x -e ，则g 1 =0，gx =x +1 ex，所以当x <-1时g x <0，g x 单调递减且g x <0，当x >-1时g x >0，g x 单调递增，所以当x <1时g x <0，即f x <0，当x >1时g x >0，即f x >0，所以f x 在-∞,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以f x 在x =1处取得极小值，即f x 极小值=f 1 =1-e ，无极大值.(2)令h x =f x -2sin x =x -1 e x +ax -2sin x +1，x ∈0,+∞ ，则原不等式即为h x ≥0，可得h 0 =0，h x =xe x +a -2cos x ，h 0 =a -2，令u x =h x =xe x +a -2cos x ，则u x =x +1 e x +2sin x ，令t x =x +1 e x ，x ∈0,+∞ ，则t x =x +2 e x >0，所以t x 在0,+∞ 上单调递增，则t x ≥t 0 =1，则x ∈0,π 时x +1 e x >0，sin x ≥0，所以u x >0，当x ∈π,+∞ 时x +1 e x ≥π+1 e π>2，所以u x >0，所以u x >0在0,+∞ 上恒成立，所以u x 即h x 在0,+∞ 上单调递增，当a -2≥0，即a ≥2时h x ≥h 0 ≥0，所以h x 单调递增，所以h x ≥h 0 =0恒成立，所以a ≥2符合题意，当a -2<0，即a <2时h 0 <0，h 3-a =3-a e 3-a+a -2cos 3-a ≥3-a +a -2cos 3-a >0，所以存在x 0∈0,3-a 使得h x 0 =0，当0<x <x 0时h x <0，则h x 单调递减，所以h x <h 0 =0，与题意不符，综上所述，a 的取值范围是2,+∞ .9已知函数f x =2sin x -ln 1+x 0<x <π ．(1)证明：函数f x 有唯一的极值点α，及唯一的零点β；(2)对于(1)问中α，β，比较2α与β的大小，并证明你的结论．【答案】(1)证明见解析；(2)2α>β，证明见解析【详解】(1)当π2<x <π时，由于y =2sin x 单调递减，y =ln 1+x 单调递增，所以f x 单调递减，又f π2=2-ln 1+π2 >0,f π =-ln 1+π <0，所以f x 只有一个零点(设为x 0)，无极值点；当0<x <π2时，由f x =2sin x -ln 1+x 得f x =2cos x -1x +1，设g x =2cos x -1x +1，则g x =-2sin x +1x +1 2，由于y =-2sin x 和y =1x +12在0,π2 上均单调递减，所以g x 单调递减，又g 0 =1>0,g π2=-2+1π2+12<0，所以存在x 1∈0,π2，使得g x 1 =0，当0<x <x 1时，g x >0，g x 单调递增，即f x 单调递增，当x 1<x <π2时，g x <0，g x 单调递减，即f x 单调递减，又f π3=1-11+π3>0,f π2 =-1π2+1<0，所以当0<x <x 1时，f x >0恒成立，且存在x 2∈π3,π2 ，使得fx 2 =0，当0<x <x 2时，fx >0，f x 单调递增，当x 2<x <π2时，fx <0，f x 单调递减，所以x 2是f x 的极值点，又f 0 =0,f π2=2-ln 1+π2 >0，所以当0<x <π2时，f x >0恒成立，即函数f x 无零点；综上，函数f x 有唯一的极值点α(α=x 2)，及唯一的零点β(β=x 0).(2)2α>β，证明如下：由(1)知α∈π3,π2，2α,β∈π2,π ，由于α为f x 的极值点，所以f α =2cos α-1α+1=0，即2cos α=11+α，所以f 2α =2sin2α-ln 1+2α =4sin αcos α-ln 1+2α =2sin α1+α-ln 1+2α ，设y =x -sin x 0<x <π2，则y =1-cos x >0，所以y =x -sin x 单调递增，所以x -sin x >0，即x >sin x ，所以f2α=2sinα1+α-ln1+2α<2α1+α-ln1+2α，令φ(x)=2x1+x-ln(1+2x)0<x<π2，则φ (x)=-2x21+x21+2x<0，所以φ(x)在0,π2上单调递减，所以φ(x)<φ(0)=0，所以f2α <0=fβ ，又f x在π2,π递减，所以2α>β.10已知函数f x =ax2+x-ln2x．(1)若f x 在1,+∞上单调递增，求a的取值范围；(2)若函数g x =f x -x+ln2xx-sin x在0,π上存在零点，求a的取值范围．【答案】(1)a≥0；(2)0<a<1【详解】(1)由题得f x =2ax+1-1x，因为f x 在1,+∞上单调递增，所以f x =2ax+1-1x≥0在1,+∞上恒成立，即2a≥1x2-1x在1,+∞上恒成立，因为1x2-1x=1x-122-14≤0，所以a≥0.(2)因为g x =ax-sin x，则g x =a-cos x，注意到：g0 =0，g 0 =a-1，若a≥1，则g x =a-cos x≥0，所以g x 在0,π上单调递增，所以g x >g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若a≤-1，则g x =a-cos x≤0，所以g x 在0,π上单调递减，所以g x <g0 =0，g x 在0,π上不存在零点，若-1≤a≤0，显然g x =ax-sin x<0，在0,π上不存在零点，若0<a<1，显然存在t∈0,π，使得g t =0，且g x 在0,π上单调递增，注意到：g 0 =a-1<0，g π =a+1>0，所以g x 在0,t上小于零，在t,π上大于零，所以g x 在0,t上单调递减，在t,π上单调递增，注意到：g0 =0，g t <0，且gπ >0，所以存在唯一β∈t,π使得gβ =0，综上，所以0<a<1.11已知函数f x =ln x+sin x.(1)求函数f x 在区间1,e上的最小值；(2)判断函数f x 的零点个数，并证明.【答案】(1)sin1；(2)f x 有1个零点，证明见解析【详解】(1)f(x)=ln x+sin x的定义域为0,+∞，故f (x)=1x+cos x，令g x =f (x)=1x+cos x，g x =-1 x2-sin x，当x∈1,e时，g x =-1x2-sin x<0，所以g x 在1,e上单调递减，且g1 =1+cos1>0，g e =1e +cos e<1e+cos2π3=1e-12<0，所以由零点存在定理可知，在区间[1,e]存在唯一的a，使g a =f a =0，又当x∈1,a时，g x =f x >0；当x∈a,e时，g x =f x <0；所以f x 在x∈1,a上单调递增，在x∈a,e上单调递减，又因为f1 =ln1+sin1=sin1，f e =ln e+sin e=1+sin e >f1 ，所以函数f(x)在区间[1,e]上的最小值为f1 =sin1.(2)f x 有1个零点，证明如下：因为f(x)=ln x+sin x，x∈0,+∞，若0<x≤1，f (x)=1x+cos x>0，所以f(x)在区间0,1上单调递增，又f1 =sin1>0，f1e=-1+sin1e<0，结合零点存在定理可知，。
三角导数立体周测 2020.10.20 答案
周测答案 2020.10.241~8,BABCD BAB 9. ABD 10. ABD 11. ABC 12. AD13. 9 14. 5050 15. 16,1,22n n n +⎧=⎪⎨≥⎪⎩ 16. 5217. （1）因为()f x 是定义在[]4,4-上的奇函数，[]4,0x ∈-时，()143x xaf x =+， 所以()0010043=+=a f ，解得1a =-，所以[]4,0x ∈-时，()1143=-xx f x ． 当[]0,4x ∈时，[]4,0-∈-x ，所以()114343---=-=-x xx x f x ，又()()f x f x -=-，所以()43xxf x -=-，()34xxf x =-，所以()f x 在[]0,4上的解析式为()34x x f x =-．（2）由（1）知，[]2,1x ∈--时，()1143=-x xf x ，所以()1123x x m f x -≤-可化为11114323x x x x m --≤-，整理得1121222323xxx x x m +⎛⎫⎛⎫≥+=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()12223x xg x ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据指数函数单调性可得，12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭都是减函数，所以()g x 也是减函数．因为[]2,1x ∈--时，不等式()1123x x m f x -≤-恒成立， 等价于()m g x ≥在[]2,1x ∈--上恒成立，所以，只需()()max 91724242m g x g ≥=-=+⨯=，所以实数m 的取值范围是17,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．18. （1）由题意得,111122n n n a --⎛⎫== ⎪⎝⎭,1111221212nn n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭==--,n S ，98，1n a -成等差数列∴1928n n S a -+=⨯,即121192224n n ---+=,∴3n =. （2）设n b =()111112222n n n n n n n n n S S a S S S S S S +++++-==-，∴12122311111112n n n n T b b b S S S S S S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12231111111111122n n n S S S S S S S S ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 由（1）111S a ==,11121222n n n n S ++-=-=,111S ∴=，111221n n n S ++=- ()111111111221222222222122121212121nn n n n n n n n n n n T +++++++++-⎛⎫⨯---∴=-=-=== ⎪-----⎝⎭19. （1）由两角差的正弦公式，可得sin()sin cos cos sin sin sin sin sin A B A B A BA B A B --=++，又由正弦定理和余弦定理，可得sin cos cos sin sin sin A B A BA B-+22222222a c b b c a a b ac bc a b+-+-⋅-⋅=+2222()()2()()a b a b a b a b c a b c a b c-+--===++， 所以sin()sin sin A B a bA B c --=+（2）由（1）知()(sin sin )sin )sin()a b A B c A B A B -+==+-3sin sin sin 322B B B B π⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎭14cos 4sin 226B B B π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为ABC 是锐角三角形，所以32A B ππ=+<，可得06B π<<，又由2A B π+>，可得32B B ππ++>，所以12B π>，所以463B πππ<+<，所以sin 262B π⎛⎫<+<⎪⎝⎭，可得c <<2c a b >-=. 所以实数c的取值范围是.20. 解：（1）因为n n S 2a 2=-，n 1n 1S 2a 2--=-所以n n n 1n n 1a S S 2a 2a --=-=-所以()n n 1a 2a 2n -=≥所以{}n a 成等比，首项11a S 2==，公比q 2=。
函数、三角函数、正余弦定理、导数和向量测试试卷汇编
阶段性测试试卷一、选择题（共12题，每题5分，共60分） 1．函数y=ln(2-x-x 2)+的定义域是( )A.(-1,2)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)C.(-2,1)D.[-2,1)2．与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是( ) A ．3x ＋y ＋2＝0 B ．3x －y ＋2＝0 C ．x ＋3y ＋2＝0 D ．x －3y －2＝0 3．已知函数f(x)=sin(x ∈R),给出下面命题错误的是( )A.函数f(x)的最小正周期为πB.函数f(x)是偶函数C.函数f(x)的图象关于直线x=对称D.函数f(x)在区间上是增函数4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B ．－725 C ．±725 D.24255．已知a=,b=0.3-2,c=lo 2,则a,b,c 的大小关系是( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c 6．已知函数f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数,则a 的取值范围是( )A.(0,3)B.(0,3]C.(0,2)D.(0,2]7．若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在区间[0,1]上单调递减,则( ) A.f(2)<f<f(1) B.f(1)<f(2)<fC.f<f(2)<f(1) D.f(1)<f<f(2)8．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（其中0ω>,||2πϕ<）图象相邻对称轴的距离为2π，一个对称中心为(,0)6π-， 为了得到()cos g x x ω=的图象，则只要将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向左平移12π个单位 9．已知1sin cos ,4x x ⋅=-且34x ππ<<，则sin cos x x +的值是（ ）A ．34-B ．12-C ．2D 210．已知40πα<<，434πβπ<<，13543sin(=+）απ，534sin(=+）βπ，则=+）βαcos(（ ） A ．6563- B ．6533- C ．6533 D ．656311．将x x f 2sin 2)(=的图象向右平移6π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g y =的图象.若函数)(x g y =在区间),(b a 上含有20个零点，则a b -的最大值为（ ） A ．π10 B ．π331 C ．π332D ．π11 12．设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b 时，有( )A ．f(x)>g(x)B ．f(x)<g(x)C ．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D ．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)二、填空题（共6题，每题5分，共30分）13．已知角A,B,C 是三角形ABC 的内角,a,b,c 分别是其对边长,向量2(23sin,cos ),(cos ,2),222A A Am n ==- m n ⊥且32,cos a B ==,则b=________. 14．已知函数f(x)＝2sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω>0)的图象与y 轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点记为A ，B ，若△PAB 的面 积等于π，则ω＝________. 15．若1sin()63πα-=，则2cos(2)3πα+=________． 16．如图,在ABC ∆中,3sin,223ABC AB ∠==,点D 在线段AC 上,且432,3AD DC BD ==,则cos C = ．17．()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x <时,有()()0f x xf x +'<,且(4)0f -=,则不等式()0xf x >的解集 为 .18．已知函数sin()4y x πω=+（0ω>）是区间3[,]4ππ上的增函数，则ω的取值范围是 . 三、解答题（共5题，每题12分，共60分）19．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A 3＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．20．已知向量(3,cos ),(sin ,1)a x b x ωω==,函数()f x a b =,且最小正周期为4π. (1)求ω的值. (2)设6224,[,],(2),(2)235313f f πππαβπαβ∈-=+=-,求sin()αβ+的值. (3)若x ∈[-π,π],求函数f(x)的值域.21．已知函数23()sin 22f x x x =+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2A f =，ABC ∆的面积为a 的最小值.22．已知定义在区间[0,2]上的两个函数f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.(1)求函数f(x)的最小值.(2)对于∀x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求实数a的取值范围.23．已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)在区间[1，e]上的最小值为－2，求a的取值范围；(3)若对任意x1，x2∈(0，＋∞)，x1<x2，且f(x1)＋2x1<f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范围．参考答案1．C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1). 2．A【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，由f′(x)＝3x 2＋6x 得f′(x 0)＝3x 02＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1， 即切点坐标为(－1,1)．从而切线方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，故选A. 3．C 【解析】f(x)=sin=-cos2x,故其最小正周期为π,故A 正确;易知函数f(x)是偶函数,B 正确;由函数f(x)=-cos2x 的图象可知,函数f(x)的图象关于直线x=不对称,C 错误;由函数f(x)的图象易知,函数f(x)在上是增函数,D 正确. 4．A【解析】由8b ＝5c ，C ＝2B 及正弦定理， 得8sin B ＝5sin C ＝10sin Bcos B ，∴cos B ＝45. 则cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝725. 5．D 【解析】0<a=<=1,b=0.3-2>(0.3)0=1,c=lo 2<0,所以b>a>c.6．D【解析】因为f(x)为(-∞,+∞)上的减函数, 所以解得0<a ≤2.7．D 【解析】由f(x+1)=-f(x)知f(x)的周期为2,所以f(2)=f(0),因为f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(2)=f(0)>f >f(1).8．D 【解析】试题分析：由题设2222==⇒=⨯=ππωππT ,则)2sin()(ϕ+=x x f ,将(,0)6π-代入可得0)3sin(=+-ϕπ,所以3πϕ=,则)6(2sin )32sin()(ππ+=+=x x x f ,而()cos 2sin(2)2g x x x π==+sin 2()4x π=+,所以应选D.【易错点晴】三角函数的图象和性质是高中数学中重要的内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先借助对称轴之间的距离为2π确定2=ω,再借助对称中心是)0,6(π建立方程)3sin(=+-ϕπ求出3πϕ=来.最后求出)6(2sin )32sin()(ππ+=+=x x x f ,再x x g 2cos )(=化为()cos 2g x x =sin(2)sin 2()24x x ππ=+=+,由于将即1264πππ=-,要想得到x x g 2cos )(=,只要将函数)(x f y =的图象向左平移12π个单位即可. 考点：三角函数的图象和性质及运用. 9．C 【解析】 试题分析：因34x ππ<<,故|sin ||cos |,0cos x x x ><,而21cos sin 21)cos (sin 2=+=+x x x x ,故sin cos x x +22-=.应选C.考点：同角的三角函数关系及运用. 10．B 【解析】 试题分析：因παππ<+<4343，故1312)43cos(-=+απ;又因πβππ<+<42，故54)4cos(-=+βπ，所以因=+++-=++-=+)]4()43cos[()cos()cos(βπαπβαπβα6533-，故应选B. 考点：三角变换及灵活运用．【易错点晴】三角变换是高中新教材中的重要内容之一，也是高考及各类考试的重要考点.解答这类问题时，首先要搞清角之间的关系，再选择运用所学的三角变换的公式.本题解答时，通过仔细的观察后能够发现)]4()43cos[()cos()cos(βπαπβαπβα+++-=++-=+是解答好本题的关键，也是能否解答好本题的切入点.从问题的求解过程中可以总结的规律是三角变换的精髓是变角.这也是解答三角变换题的经验和总结. 11．C 【解析】试题分析：由题设1)32sin(21)6(2sin 2)(--=--=ππx x x g ，因为该函数的最小正周期为π=T ，所以借助函数的图象可知至少要有十个周期，即3210ππ+≤-a b ，所以a b -的最大值为π332.应选C. 考点：正弦函数的图象和性质． 12．C【解析】设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)>0，即F(x)在[a ，b]上是增函数，从而当a<x<b 时，f(x)－g(x)>f(a)－g(a)，即f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)，故选C. 13．【解析】因为m ⊥n,所以m ·n=2sincos-2cos 2=0, 因为A ∈(0,π),所以cos ≠0, 所以tan=,=,A=. 由cosB=,得sinB==, 由正弦定理得=, 解得b=. 14．12【解析】令x ＝0，得y ＝1，即点P(0,1)，又S △PAB ＝12·|AB|·|OP|＝π， |AB|＝2π， ∴f(x)的周期T ＝2|AB|＝4π，∴ω＝2T π＝12.15．－ 【解析】试题分析：因为sin ＝，则cos＝－cos＝2sin2－1＝－.考点：诱导公式与二倍角公式． 16．79【解析】试题分析：22212144||||cos ABC 33999BD BA BC BD BA BC BA BC =+⇒=++⋅∠,因为21cos 12sin ,23ABC ABC ∠∠=-=所以216448||||339927BC BC BC =++⇒=，负舍；因而2221||232239||33AC AC =+-⨯⨯⨯=⇒=，故22223+327cos .239C -==⨯ 考点：向量数量积，二倍角公式，余弦定理【思路点睛】三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题，都会出现交汇问题中的难点，对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解. 17．(-∞,-4)∪(0,4)【解析】因为[xf(x)]′=f(x)+xf ′(x),根据已知条件可知,x<0时,[xf(x)]′<0,所以F(x)=xf(x)在(-∞,0)上递减,又因为f(x)是R 上的偶函数,所以F(x)是R 上的奇函数,则F(x)在(0,+∞)上递减,因为f(-4)=0,f(x)为R 上的偶函数,所以f(4)=0,则F(-4)=F(4)=0,综合图象可知xf(x)>0的解集应为(-∞,-4)∪(0,4). 18．159(0,][,]434【解析】试题分析：由题设因0>ω且ππ≤≤x 43,则44434πωππωωππ+≤+≤+x ,结合正弦函数的图象可知240ππωπ≤+<或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434,解之得410≤<ω或4935≤≤ω.故应填159(0,][,]434.考点：正弦函数的图象和性质及运用．【易错点晴】本题考查的是三角函数中正弦函数的图象和性质等有关知识及综合运用.本题是一道与单调性有关的逆向型的问题,具有一定的难度.解答时先依据题设条件求出44434πωππωωππ+≤+≤+x ,然后再借助函数在区间3[,]4ππ上单调递增这一条件,建立不等式求解.这里务必要借助正弦函数x y sin =的图象,分类建立不等式组240ππωπ≤+<和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥+ππωππωππ25423434辅,通过解这两个不等式组求出了参数ω的取值范围是159(0,][,]434. 19．（1）3π（2）12≤b<1【解析】(1)由已知得－cos(A ＋B)＋cos Acos Bsin A cos B ＝0，即有sin Asin B＝0.因为sin A≠0，所以sin B＝0. 又cos B≠0，所以tan B .又0<B<π，所以B ＝3π. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2accos B. 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝312a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋14.又0<a<1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b<1. 20．（1）（2）（3）【解析】(1)由已知,易得f(x)=sin ωx+cos ωx =2sin,f(x)的最小正周期为4π,即T==4π,解得ω=. (2)由(1)知,f(x)=2sin, 则f=2sin=2sin α=, 所以sin α=,又α∈, 所以cos α=-. 同理f=2sin=2sin=2cos β=-,所以cos β=-,又β∈, 所以sin β=,所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-. (3)当x ∈时,-≤x+≤, 令t=x+,则t ∈,原函数可化为f(t)=2sint,t ∈. 当t=-时,f(t)min =-; 当t=时,f(t)max =2.所以,函数f(x)的值域为.21．（1）5[,]36k k ππππ++（k ∈Z ）；（2） 【解析】 试题分析：（1）借助题设条件运用正弦函数的图象和性质求解;（2）借助题设条件运用余弦定理和基本不等式求解. 试题解析：（1）3()2sin 2)22262f x x x x π=-+=-+， 令3222262k x k πππππ+≤-≤+，解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈，∴()f x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++（k Z ∈）.（2）∵())26Af A π=-+=∴1sin()62A π-=，∴3A π=. 又∵1sin 3323bc π=，∴12bc =， ∵222222cos 12a b c bc A b c bc bc =+-=+-≥=， ∴23a ≥.（当且仅当23b c ==时取“=”） ∴a 的最小值是23.考点：正弦函数的图象和性质、余弦定理、基本不等式等知识的综合运用． 22．（1）f(x)min =（2）a ∈(-∞,-5)∪(1,+∞)【解析】(1)函数f(x)的对称轴是x=a,当a ≤1时,f(x)min =f(2)=a 2+4a-3,当a>1时,f(x)min =f(0)=1+a 2, 所以f(x)min =(2)令=t(t ∈[0,]),则x=2-t 2,所以g(x)=h(t)=-t 2+t+,因为对称轴t=∈,所以g(x)max =h(t)max =2,由题意,要使对于∀x 1,x 2∈[0,2],f(x 1)>g(x 2)恒成立,只要f(x)min >g(x)max 即可,所以当a ≤1时,f(x)min =a 2+4a-3>2, 解得：a<-5,当a>1时,f(x)min =1+a 2>2,解得：a>1, 综上所述,a ∈(-∞,-5)∪(1,+∞). 23．（1）y ＝－2. （2）[1，＋∞) （3）[0,8]【解析】(1)当a ＝1时，f(x)＝x 2－3x ＋ln x ，f′(x)＝2x －3＋1x. 因为f′(1)＝0，f(1)＝－2. 所以切线方程是y ＝－2.(2)函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．当a>0时，f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x＝()2221ax a x x -++ (x>0)，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2023年新教材高考数学全程考评特训卷滚动过关检测五集合常用逻辑用语不等式函数与导数三角函数与解三角
滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |log 3(x －2)<0}，N ＝{x |x ≥－2}，集合M ∩N ＝( ) A ．{x |－2≤x <2}B ．{x |－2≤x <3} C ．{x |2<x <3}D ．{x |x <3}2．[2021·新高考Ⅰ卷]已知z ＝2－i ，则z ()z －＋i ＝( ) A ．6－2iB ．4－2i C ．6＋2iD ．4＋2i3．[2022·山东春考]已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，那么a ·b等于( )A.12B.32 C ．1D ．04．[2022·辽宁实验中学月考]已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D5．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 2a 3＝8，则a 4＋a 5a 1＋a 2＝( ) A ．8B ．6 C ．4D ．26．[2022·福建三明模拟]在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，点E 为线段AD 的中点，则向量CE →＝( )A.13AB →＋16AC →B.16AB →＋13AC →C.16AB →－23AC →D.13AB →－56AC → 7．[2022·河北沧州模拟]已知非零向量a ，b 满足|b |＝2|a |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( )A ．45°B．135° C ．60°D．120°8．定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的曲线，且f (x )＝f (－x )e 2x，当x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，则下列判断一定正确的是( )A ．e 5f (2)<f (－3) B ．f (2)<e 5f (－3) C ．e 2f (－2)<f (3) D ．f (－2)<e 5f (－3)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．[2022·江苏无锡一中月考]若复数z 满足z (1－2i)＝10，则( ) A ．|z |＝2 5 B ．z －2是纯虚数C ．复数z 在复平面内对应的点在第三象限D ．若复数z 在复平面内对应的点在角α的终边上，则sin α＝5510．下列命题错误的是( )A ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∃x ∈R ，x 2＋1>3x ”B ．函数“f (x )＝cos ax －sin ax 的最小正周期为π”是“a ＝2”的必要不充分条件C ．x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]时有解⇔(x 2＋2x )min ≥(ax )min 在x ∈[]1，2时成立D ．“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的充分必要条件是“a ·b <0”11．[2022·山东师范大学附中月考]定义在R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，当x ∈(0,3)时f (x )＝x 2－3x ，则以下结论正确的有( )A ．f (x )的周期为6B ．f (x )的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0对称C ．f (2021)＝2D ．f (x )的图象关于x ＝32对称12．[2021·新高考Ⅰ卷]已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则( )A ．|OP 1→|＝|OP 2→|B ．|AP 1→|＝|AP 2→| C.OA →·OP 3→＝OP 1→·OP 2→D.OA →·OP 1→＝OP 2→·OP 3→三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．[2022·天津静海一中月考]已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n的值为________．14．[2022·辽宁抚顺模拟]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 5＋a 8＝15，则S 9＝________.15．[2022·江苏响水中学月考]函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，已知A ，B 分别是最高点、最低点，且满足OA →⊥OB →(O 为坐标原点)，则f (x )＝________.16．[2022·北京101中学高三开学考试]△ABC 中，D 为AC 上的一点，满足AD →＝13DC →.若P 为BD 上的一点，满足AP →＝mAB →＋nAC →()m >0，n >0，则mn 的最大值为________；4m ＋1n的最小值为________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)[2022·福建师大附中月考]已知向量a ，b 满足，||a ＝1，||b ＝2，且a 与b 不共线．(1)若向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，求实数k 的值； (2)若向量a 与b 的夹角为60°，求2a ＋b 与a －b 的夹角θ.18．(12分)[2022·山东日照模拟]向量m ＝(2sin x ，3)，n ＝(cos x ，cos2x )，已知函数f (x )＝m ·n ，(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中a ＝7，若锐角A 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝3，且sin B ＋sin C ＝13314，求b ＋c 的值．b n是公差为1的等19．(12分)设{a n}是公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，{}差数列，已知a2＝2，a4＝a3＋4，a3＝b3＋b1.(1)求{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{a n＋b n}的前n项和为T n，求T n.20．(12分)[2022·山东泰安模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝(c－a，sin B)，n＝(b－a，sin A＋sin C)，满足m∥n.(1)求C；(2)若6c＋3b＝3a，求sinA.21．(12分)[2022·湖北黄冈中学模拟]已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)令b n ＝(－1)na n ，S n 为数列{b n }的前n 项和，求使得S n ≤－99的n 的最小值．22．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋x －e x. (1)若a ＝12，讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )≤1恒成立，求实数a 的取值范围．滚动过关检测五 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、数列、平面向量与复数1.答案：C解析：因为M ＝{x |log 3(x －2)<0}＝{x |2<x <3}，N ＝{x |x ≥－2}，所以M ∩N ＝{x |2<x <3}． 2．答案：C解析：因为z ＝2－i ，故z －＝2＋i ，故z ()z －＋i ＝()2－i ()2＋2i ＝6＋2i. 3．答案：A解析：a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π12，sin 5π12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12，sin π12，a ·b ＝cos 5π12cos π12＋sin 5π12sinπ12＝cos π3＝12.4．答案：A解析：因为BC →＋CD →＝BD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →，所以A ，B ，D 三点共线． 5．答案：A解析：由题设，a 2a 3＝a 21q 3＝8，又a 1＝1，可得q ＝2，∴a 4＋a 5a 1＋a 2＝a 1q 3＋a 1q 4a 1＋a 1q ＝243＝8.6．答案：D 解析：由E 为线段AD 的中点，则CE →＝12(CA →＋CD →)，又D 满足BC →＝3BD →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)，∴CE →＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤CA →＋23AB →－AC →＝13AB →－56AC →.7．答案：B解析：∵(a －b )⊥(3a ＋2b )，∴(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝3|a |2－|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－2|b |2＝0，又|b |＝2|a |且|a |≠0， ∴3|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉－4|a |2＝－|a |2－2|a |2cos 〈a ，b 〉＝0， ∴cos〈a ，b 〉＝－22，又〈a ，b 〉∈[]0，π，∴〈a ，b 〉＝3π4，即〈a ，b 〉＝135°. 8．答案：B 解析：令g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f ′x －f xex，∵x >0时，f ′(x )>f (x )恒成立，∴x >0时，g ′(x )>0，即g (x )单调递增，又f xex＝f －xe－x，则g (－x )＝g (x )，g (x )为偶函数．∴x <0时，g (x )单调递减．f 2e2＝f －2e－2<f 3e3＝f －3e－3，即f (2)<e 5f (－3)、f (3)>e 5f (－2)、e f (－3)>f (－2)，∴A、C 、D 错误，B 正确．9．答案：AB解析：由题意z ＝101－2i ＝101＋2i1－2i 1＋2i＝2＋4i ，|z |＝25，A 选项正确；z －2＝4i ，B 选项正确；z 在复平面内对应点为(2,4)，对应点在第一象限，C 选项错误；sin α＝44＋16＝255，D 选项错误．10．答案：ACD解析：对A ：命题“∃x 0∈R ，x 20＋1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋1≤3x ，故A 错误；对B ：由函数f (x )＝cos ax －sin ax ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋π4，则T ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2πa ＝π，则a ＝±2，故B正确；对C ：a ＝2时，x 2＋2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立，而(x 2＋2x )min ＝3<(2x )max ＝4，故C 错误；对D ，当“a ·b <0”时，平面向量a 与b 的夹角是钝角或平角，∴“平面向量a 与b 的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a ·b <0”，故D 错误．11．答案：ACD解析：因为f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －6)＝－f (x －3)＝f (x )，故函数f (x )是周期为6的周期函数，故A 选项正确； 由于函数为R 的奇函数f (x )满足f (x －3)＝－f (x )，所以f (x －3)＝－f (x )＝f (－x )，所以根据周期性得f (x ＋3)＝f (－x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－x ，所以f (x )的图象关于x ＝32对称，故B 错误，D 正确；对于C 选项，结合周期性得f (2021)＝f (336×6＋5)＝f (5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1＋3＝2，故正确．故选ACD. 12．答案：AC解析：A ：OP 1→＝(cos α，sin α)，OP 2→＝(cos β，－sin β)，所以|OP 1→|＝cos 2α＋sin 2α＝1，|OP 2→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，故|OP 1→|＝|OP 2→|，正确；B ：AP 1→＝(cos α－1，sin α)，AP 2→＝(cos β－1，－sin β)， 所以|AP 1→|＝cos α－12＋sin 2α＝cos 2α－2cos α＋1＋sin 2α＝21－cos α＝4sin2α2＝2|sin α2|， 同理|AP 2→|＝cos β－12＋sin 2β＝2|sinβ2|，故|AP 1→|，|AP 2→|不一定相等，错误；C ：由题意得：OA →·OP 3→＝1×cos(α＋β)＋0×sin(α＋β)＝cos(α＋β)，OP 1→·OP 2→＝cos α·cos β＋sin α·(－sin β)＝cos(α＋β)，正确；D ：由题意得：OA →·OP 1→＝1×cos α＋0×sin α＝cos α，OP 2→·OP 3→＝cos β×cos(α＋β)＋(－sin β)×sin(α＋β)＝cos ()β＋()α＋β＝cos ()α＋2β，故一般来说OA →·OP 1→≠OP 2→·OP 3→，错误．故选AC. 13．答案：92解析：由题设，m ＋2n ＝log a 12＋2log a 3＝log a 92，∴a m ＋2n＝a log a 92＝92.14．答案：45解析：因为数列{a n }为等差数列，所以a 2＋a 8＝2a 5，又a 2＋a 5＋a 8＝15，所以a 5＝5，所以S 9＝9()a 1＋a 92＝9a 5＝45.15．答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6解析：由图象知：3T 4＝112－1＝92，即T ＝6，则T ＝2πω＝6，可得ω＝π3，∴A ()1，A ，B 的横坐标为1＋T2＝1＋3＝4，即B (4，－A )，∵OA →⊥OB →，∴(1，A )·(4，－A )＝0，则1×4－A 2＝0，A >0，得A ＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，由五点作图法知：π3×1＋φ＝π2，得φ＝π6，综上，函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6.16．答案：116 16解析：如图所示，由AD →＝13DC →得AD →＝14AC →，所以AP →＝mAB →＋4nAD →，所以m ＋4n ＝1(m >0，n >0)，所以mn ＝14m ·(4n )≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋4n 22＝116，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以mn 的最大值为116.因为4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n (m ＋4n )＝8＋16n m ＋m n ≥16，等号成立当且仅当m ＝12，n ＝18，所以4m ＋1n的最小值为16.17．解析：(1)因为向量a ＋k b 与k a ＋2b 为方向相反的向量，所以存在实数λ<0，使得a ＋k b ＝λ()k a ＋2b ，且a 与b不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝kλk ＝2λ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－22k ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝22k ＝2(舍)；所以实数k 的值为－2；(2)因为向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|b |＝2， 所以a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝1×2×12＝1，(2a ＋b )·(a －b )＝2a 2－a ·b －b 2＝2|a |2－a ·b －|b |2＝2×12－1－22＝－3， |2a ＋b |＝2a ＋b2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4＋22＝23，|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×1＋22＝3，所以cos θ＝2a ＋b ·a －b |2a ＋b |·|a －b |＝－323×3＝－12，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°.18．解析：(1)f (x )＝m ·n ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴f (x )的最小正周期T ＝π；令π2＋2k π≤2x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )，解得：π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2－π6＝2sin A ＝3得：sin A ＝32，又A 为锐角，∴A ＝π3； ∴asin A ＝b sin B ＝c sin C ＝732＝1433，∴b ＋c ＝1433(sin B ＋sin C )＝1433×13314＝13.19．解析：(1)设{a n }的公比为q ，因为a 2＝2，a 4＝a 3＋4，所以a 2q 2＝a 2q ＋4，即2q 2＝2q ＋4，所以q 2－q －2＝0，因为q >0，所以q ＝2， 所以a n ＝a 2qn －2＝2·2n －2＝2n －1，所以a 3＝b 3＋b 1＝4， 设{b n }的公差为d ，则d ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋2d＋b 1＝4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1d ＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ；(2)因为a n ＝2n －1，所以a 1＝20＝1，所以a n ＋b n ＝2n －1＋n ，所以T n ＝(20＋22＋…＋2n －1)＋(1＋2＋…＋n )＝1－2n1－2＋n 1＋n2＝2n＋n 2＋n2－1，所以T n ＝2n＋n 2＋n2－1.20．解析：(1)因为m ∥n ，所以(c －a )(sin A ＋sin C )＝(b －a )sin B ，由正弦定理得(c －a )(a ＋c )＝(b －a )b ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，因为C ∈(0，π)，故C ＝π3.(2)由(1)知B ＝2π3－A ，由题设及正弦定理得6sin C ＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝3sin A ， 即22＋32cos A ＋12sin A ＝sin A ，可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22.由于0<A <2π3，－π3<A －π3<π3，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝22， 故sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3cos π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3sin π3＝22×12＋22×32＝6＋24. 21．解析：(1)由n (a n ＋1－a n )＝a n ＋1得：na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1，即a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n n ＋1∴a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1n －1n ＋1，即有a n ＋1＋1n ＋1＝a n ＋1n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1n 是常数数列； (2)由(1)知：a n ＋1n＝a 1＋1＝3，∴a n ＝3n －1，∴b n ＝(－1)n(3n －1)，即b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －1，n 为偶数－3n －1，n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n ＝(－2＋5)＋(－8＋11)＋…＋[]－3n －4＋3n －1＝3n2，显然S n ≤－99无解；当n 为奇数时，S n ＝S n ＋1－a n ＋1＝3n ＋12－[]3n ＋1－1＝－3n ＋12，令S n ≤－99，解得：n ≥1973，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.22．解析：(1)当a ＝12时，f (x )＝12x 2＋x －e x，所以f ′(x )＝x ＋1－e x，令g (x )＝f ′(x )＝x ＋1－e x，则g ′(x )＝1－e x，所以当x >0时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，当x <0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增， 所以g (x )≤g (0)＝0，即f ′(x )≤0， 所以函数f (x )为R 上的单调递减函数．(2)若f (x )≤1恒成立，即ax 2＋x －e x≤1恒成立， 显然，当x ＝0时成立，当x ≠0时，不等式等价于a ≤e x －x ＋1x2恒成立， 令h (x )＝e x－x ＋1x2， 则h ′(x )＝x －2e x＋1x 3，当h ′(x )>0时，得x <0或x >2，即函数h (x )在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增， 当h ′(x )<0时，得0<x <2，即函数h (x )在(0,2)上单调递减，由于x →－∞时，h (x )由正数趋近于0，当x ＝2时，h (2)min ＝e 2－14>0，所以函数h (x )的草图如图，所以a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－x＋1x 2min 恒成立，只需a ≤0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0]．。
高中数学三角函数专项练习题(含答案)
高中数学三角函数专项练习题(含答案)一、填空题1．在ABC中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．2．在ABC中，AB =BC =1cos 7BAC ∠=，动点D 在ABC 所在平面内且2π3BDC ∠=．给出下列三个结论：①BCD △②线段AD 的长度只有最小值，无最大值，且最小值为1；③动点D 的轨迹的长度为8π3．其中正确结论的序号为______．3．已知函数23tan ,,,2332()2,33x x f x x ππππππ⎧⎛⎤⎛⎫∈-⋃ ⎪⎪⎥⎝⎦⎝⎭⎪=⎨⎛⎤⎪+∈ ⎥⎪⎝⎦⎩若()f x 在区间D 上的最大值存在，记该最大值为{}K D ，则满足等式{[0,)}3{[,2]}K a K a a =⋅的实数a 的取值集合是___________. 4．在平面直角坐标系中，对任意角α，设α的终边上异于原点的任意一点P 的坐标为(,)x y ，它与原点的距离是r .我们规定：比值,,r r xx y y分别叫做角α的正割､余割､余切，分别记作sec α，csc α，cot α，把sec ,csc ,cot y x y x y x ===分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有___________(填上所有正确的序号) ①3cot14π=； ②sin csc 1αα⋅=；③sec y x =的定义域为{}|,Z x x k k π≠∈； ④22sec csc 4αα+；⑤2cot 1cot22cot ααα-=.5．若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.6．在直角平面坐标系xOy 中，12,F F 分别是双曲线()22210yx b b-=>的左、右焦点，过点1F 作圆221x y +=的切线，与双曲线左、右两支分别交于点,A B ，若2||||F B AB =，则b 的值是_________．7．关于函数())cos sin f x x x x =+①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；②直线12x π=-是曲线()y f x =的一条对称轴；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④存在0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()()3f x f x αα+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的番号）. 8．若向量x y ，满足2212x y +=，则21||2x x y ++的最大值是___________. 9．函数ππ5sin (1510)55y x x ⎛⎫=+-≤≤ ⎪⎝⎭的图象与函数25(1)22x y x x +=++图象的所有交点的横坐标之和为___________.10．已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.二、单选题11．把函数()sin y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）A ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈RB ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈RC ．2sin 23x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x ∈R12．已知双曲线2221(0)y x b b -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 作直线l 交双曲线的右支于A ，B 两点.若11||::3:3:2AB AF BF =，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．113D ．1113．已知向量a ，b 夹角为3π，向量c 满足1b c -=且 a b a c b c ++=，则下列说法正确的是（ ） A ．2b c +<B ．2a b +>C ．1b <D ．1a >14．已知函数()sin 22cos f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．函数()f x 是周期函数 B ．6x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的增区间为()72,266k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．函数()f x 15．已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M 在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ）A ．13B ．12C D 16．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣17．已知函数()3sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><，(4)(2)6f f =-，且()f x 在[2,4]上单调.设函数()()1g x f x =-，且()g x 的定义域为[5,8]-，则()g x 的所有零点之和等于（ ） A ．0B ．4C ．12D ．1618．设点()11,P x y 在椭圆22182x y +=上，点()22,Q x y 在直线280x y +-=上，则2121x x y y -+-的最小值是（ ）A．1B C ．1D ．219．已知函数()2sin cos f x x x x =，给出下列结论：①()f x 的图象关于直线π12x =对称；②()f x 的值域为[]22-,；③()f x 在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数；④0是()f x 的极大值点．其中正确的结论有（ ） A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①②④20．设函数()xf x mπ，函数()f x 的对称轴为0x x =，若存在0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围为（ ）A ．(,6)(6,)-∞-+∞B ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞三、解答题21．已知函数()cos f x x =.（1）若,αβ为锐角，()f αβ+= 4tan 3α=，求cos2α及tan()βα-的值；（2）函数()(2)3g x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()2g x a g x a ≤+--恒成立，求实数a 的最大值；（3）已知3()()()=2f f f αβαβ+-+，,(0,)αβπ∈，求α及β的值.22．如图所示，我市某居民小区拟在边长为1百米的正方形地块ABCD 上划出一个三角形地块APQ 种植草坪，两个三角形地块PAB 与QAD 种植花卉，一个三角形地块CPQ 设计成水景喷泉，四周铺设小路供居民平时休闲散步，点P 在边BC 上，点Q 在边CD 上，记PAB α∠=．（1）当4PAQ π∠=时，求花卉种植面积S 关于α的函数表达式，并求S 的最小值；（2）考虑到小区道路的整体规划，要求PB DQ PQ +=，请探究PAQ ∠是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．23．已知函数()cos f x x x =，()sin g x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）求证:()()f x g x ≤；（2）若()ax g x bx <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最大值是2，函数()f x 的图象的一条对称轴是3x π=，且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求()f x 的解析式；（2）已知DBC △是锐角三角形，向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且3,sin 5m n C ⊥=，求cos D . 25．已知函数 2()sin 2cos 1f x x m x =--- [0,]2x π∈()1若()f x 的最小值为 - 3，求m 的值；()2当2m =时，若对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立，求实数a 的取值范围.26．已知函数()223sin 2cos 2f x x x x =++. (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间;(2)求函数()f x 在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.27．已知函数()f x a b =⋅，其中()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，x ∈R .（1）求函数()y f x =的单调递增区间； （2）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值.28．已知函数()()233cos sin cos 02f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.将函数()y f x =的图象上各点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()y g x =的图象.（1）求ω的值及函数()g x 的解析式； （2）求()g x 的单调递增区间及对称中心29．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值30．已知向量33cos ,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及||a b +；（2）若3()||2f x a b a b =⋅-+，求()f x 的最小值【参考答案】一、填空题1．①③ 2．①③3．47,912ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭ 4．②④⑤5．[6．11 7．②③8 9．-710．⎡⎢⎣⎦二、单选题 11．D 12．A 13．A 14．B 15．C 16．C 17．C 18．D 19．B 20．C 三、解答题21．（1）72cos 2,tan()2511αβα=--=；（2）265-；（3）3παβ== 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得cos2α的值，利用二倍角的正切公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解tan()βα-的值；（2）由余弦函数的有界性求得()g x 的值域，再将不等式分离参数，并令()1t g x =-，可得1a t t ≤+对[5,3]t ∈--恒成立.易知函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，求出其最小值，则可得265a ≤-，从而求得a 的最大值； （3）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，再结合,(0,)αβπ∈，即可求出α及β的值.【详解】 解：（1）4tan 3α=，且α为锐角， 4sin 5α∴=，3cos 5α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--则227cos 2cos sin 25ααα=-=-，又()cos()f αβαβ+=+=,αβ为锐角，sin()αβ∴+=，tan()2αβ+=-， tan()tan[()2]βααβα∴-=+-242()tan()tan 227241tan()tan 2111(2)()7αβααβα---+-===+++-⨯-； （2）()(2)3cos 23[4,2]g x f x x =-=-∈--，2()(2)()2g x a g x a ≤+--对任意x 恒成立，即2()2()2(()1)g x g x g x a -+≤-对任意x 恒成立， 令()1[5,3]t g x =-∈--，211t a t t t+∴≤=+对[5,3]t ∈--恒成立，又函数1y t t=+在[5,3]t ∈--单调递增，∴当5t =-时，min 126()5t t +=-，265a ∴≤-，则a 的最大值为265-； （3）3()()()2f f f αβαβ+-+=， 即3cos cos cos()2αβαβ+-+= ， cos cos()22αβαβα+-=+coscossinsin2222αβαβαβαβ+-+-=-，cos cos()22αβαββ+-=-coscos+sinsin2222αβαβαβαβ+-+-=，cos cos 2coscos22αβαβαβ+-∴+=，又2cos()2cos12αβαβ++=-，232coscos2cos 12222αβαβαβ+-+∴-+=， 则24cos 4coscos10222αβαβαβ++--+=， 22(2coscos)1cos 0222αβαβαβ+---+-=， 即22(2coscos)sin 0222αβαβαβ+---+=，2cos cos 022sin 02αβαβαβ+-⎧-=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩，又0απ<<，0βπ<<， 3παβ∴==.【点睛】本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题. 22．（1）S =⎝⎭花卉种植面积0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦]；最小值为)100001 （2）PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【解析】 【分析】（1）根据三角函数定义及4PAQ π∠=，表示出,PB DQ ，进而求得,ABP ADQ S S ∆∆.即可用α表示出S 花卉种植面积，（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，，利用正切的和角公式求得()tan αβ+，由PB DQ PQ +=求得,x y 的等量关系.进而求得()tan αβ+的值，即可求得PAQ ∠的值. 【详解】（1）∵边长为1百米的正方形ABCD 中，PAB α∠=，4PAQ π∠=，∴100tan PB α=，100tan 100tan 244DQ πππαα⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴ABP ADQ S S S ∆∆+=花卉种植面积1122AB BP AD DQ =⋅+⋅ 11100100tan 100100tan 224παα⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯- ⎪⎝⎭()5000cos sin cos ααα==+⎝⎭，其中0,4πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ∴当sin 214πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，即8πα=时，S)100001=．（2）设PAB QAD CP x CQ y αβ∠=∠===，，，， 则100100BP x DQ y =-=-，， 在ABP ∆中，100tan 100x α-=，在ADQ ∆中，100tan 100yβ-=， ∴()()()20000100tan tan tan 1tan tan 100x y x y xyαβαβαβ-+++==-⋅+-，∵PB DQ PQ +=，∴100100x y -+-=100200xyx y +=+， ∴()20000100100100002002tan 1100001001002200xy xyxy xy xy αβ⎛⎫-⨯+-⎪⎝⎭+===⎛⎫-⨯+- ⎪⎝⎭， ∴4παβ+=，∴PAQ ∠是定值，且4PAQ π∠=．【点睛】本题考查了三角函数定义，三角形面积求法，正弦函数的图像与性质应用，正切和角公式的应用，属于中档题.23．（1）答案见解析；（2）a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【解析】 【分析】（1）构建函数()cos sin h x x x x =-，通过导数研究函数()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性并计算最值，可得结果.（2）构造函数()sin M x x cx =-，通过分类讨论的方法，0c ≤，1c ≥和01c <<，利用导数判断函数()M x 的单调性，并计算最值比较，可得结果.【详解】（1）由()()()cos sin h x f x g x x x x =-=- 所以()'cos sin cos sin h x x x x x x x =--=-. 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()'sin 0h x x x =-≤,所以()h x 在区间上0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减.从而()()00h x h ≤=,()()f x g x ≤. （2）当0x >时,“()ax g x <”等价于“sin 0x ax ->” “()g x bx <”等价于“sin 0x bx -<”.令()sin M x x cx =-,则()'cos M x x c =-,当0c ≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时,因为对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()'cos 0M x x c =-<,所以()M x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()()00M x M <=对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时,存在唯一的00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()'cos 0M x x c =-=.()M x 与()'M x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的情况如下:因为在区间0上是增函数, 所以()()000M x M >=.进一步,“()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当1022M c ππ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭,即20c π<≤, 综上所述： 当且仅当2c π≤时,()0M x >对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立; 当且仅当1c ≥时,()0M x <对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立. 所以，若()ax g x bx <<对任意0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立, 则a 最大值为2π,b 的最小值为1. 【点睛】 本题考查导数的综合应用，关键在于构建函数，化繁为简，同时掌握分类讨论的思想，考验分析问题的能力以及计算能力，属中档题.24．（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2 【解析】（1）根据函数的最值、周期、对称轴待定系数即可求解；（2）由（1）所求，可化简向量坐标，根据向量垂直得到角B ，再利用()cos cosD A B =-+求解.【详解】（1）设()f x 的最小正周期为T ， 依题意得71234T ππ-=，∴T π=，∴22πωπ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=，∴2,32k k Z ππϕπ+=+∈， ∴,6k k Z πϕπ=-+∈.∵||2ϕπ<，∴6πϕ=-. 又∵()f x 的最大值是2，∴2A =， 从而()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （2）∵()(),2sin ,3,2cos ,2cos 2m n m B n B B ⊥==，∴4sin cos 22sin 22m n B B B B B ⋅=⋅+=+ 4sin 203B π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ∴2,3B k k Z ππ+=∈，∴:,62k B k Z ππ=-+∈， 又∵B 是锐角，∴3B π=.∵3sin 5C =，∴4cos 5C =，∴cos cos()(cos cos sin sin )D B C B C B C =-+=--=.即cosD =. 【点睛】 本题考查三角函数解析式的求解，涉及向量垂直的转换，余弦函数的和角公式.属综合基础题.25．（1）1m =；（2）13[,)8a ∈+∞ 【解析】【分析】(1)将函数化为2()cos 2cos 2f x x m x =--，设cos [0,1]t x =∈，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解.(2) 对任意 12,[0,]2x x π∈ 都有()()12124f x f x a -≤-恒成立, 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-,然后求出函数()f x 的最值即可解决. 【详解】（1）2()cos 2cos 2f x x m x =--，[0,]2x π∈ 令 cos [0,1]t x =∈， 设222()22()2g t t mt t m m =--=---，①0m <，则min g(0)2()3g t ==-≠-，②01m ≤≤，则2min )3(2t m g =--=-，∴1m =± ∴1m =③1m ，则min g(1)21()3g m t ==--=-，∴1m =.（舍）综上所述：1m =.（2）对任意12,[0,]2x x π∈都有()()12124f x f x a -≤-恒成立， 等价于12max 1()()24f x f x a -≤-， 2m =，∴2g()(2)6t t =--，[0,1]t ∈max ()g(0)2f x ==-，min ()g(1)5f x ==-12max ()(25)()3f x f x =---=-∴ 1234a -≥，∴ 138a ≥， 综上所述：13[,)8a ∈+∞. 【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.26．（1）T π=；2,63k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ππππ（2）5； -2【解析】【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简即可（2）由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π求出26x π+的范围，再根据函数图像求最值即可 【详解】（1）()2sin 2cos 22cos 232sin 236f x x x x x x x ⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭π， 22T ππ==，令3222,2,62263x k k x k k ⎛⎫⎛⎫+∈++⇒∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππππππππ， 即单减区间为2,,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭； （2）由702,2666x t x ⎡⎤⎡⎤∈⇒=+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，ππππ，当76πt =时，()f x 的最小值为：-2； 当2t π=时，()f x 的最大值为：5【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，函数基本性质的求解（周期、单调性、在给定区间的最值），属于中档题27．（1）2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）最小值为1- 【解析】【分析】 （1）先利用平面向量数量积的坐标运算律以及辅助角公式得出()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后解不等式()22262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈可得出函数()y f x =的单调递减区间；（2）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得出6x π-的取值范围，然后再利用正弦函数的性质得出函数()y f x =的最大值和最小值．【详解】（1）()3sin ,1a x =-，()1,cos b x =，()1cos 2cos 2sin cos cos sin 266f x x x x x x x ππ⎫⎛⎫∴=-=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 解不等式()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，得()22233k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 因此，函数()y f x =的单调递增区间为2[2,2],33k k k Z ππππ-++∈；（2）02x π≤≤，663x πππ∴-≤-≤，所以，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min 2sin 16f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()max 2sin 2sin 263f x πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，函数()y f x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1- 【点睛】本题考查三角函数的单调性与最值，考查平面数量积的坐标运算，解这类问题首先要利用三角三角恒等变换公式将三角函数解析式化简，并将角视为一个整体，利用正弦函数或余弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解题问题的能力，属于中等题．28．（1）1ω=，()2sin()23x g x π=+；（2）单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【解析】【分析】 （1）整理()f x 可得：()sin(2)3f x x πω=+，利用其最小正周期为π即可求得：1ω=，即可求得：()sin(2)3f x x π=+，再利用函数图象平移规律可得：()2sin()23x g x π=+，问题得解. （2）令222232x k k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解不等式即可求得()g x 的单调递增区间；令23x k ππ+=，k Z ∈，解方程即可求得()g x 的对称中心的横坐标，问题得解. 【详解】解：（1）1()2sin 2sin(2)23f x x x x πωωω=+=+， 由22ππω=,得1ω=. 所以()sin(2)3f x x π=+. 于是()yg x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+. （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k Z ∈得 54433k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈ 所以函数()g x 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 由23x k ππ+=，解得22()3x k k ππ=-∈Z .所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . 【点睛】 本题主要考查了二倍角公式、两角和的正弦公式应用及三角函数性质，考查方程思想及转化能力、计算能力，属于中档题．29．（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）265- 【解析】【分析】（1）根据图象的最低点求得A 的值，根据四分之一周期求得ω的值，根据点7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭求得ϕ的值，由此求得函数()f x 的解析式，进而根据图象平移变换求得()g x 的解析式，并由此求得17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()g x 的值域.（2）先求得()f x 的值域，由此求得()F x 的值域.令()[4,2]t F x =∈--对题目所给不等式换元，根据二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围，由此求得m 的最大值.【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈ ⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ 把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭ ()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩， 解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-. 【点睛】 本小题主要考查由三角函数图像求三角函数的解析式，考查三角函数图像变换，考查不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.30．（1）见解析；（2）178-. 【解析】【分析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出a ·b ；运用平面向量的坐标运算公式求出a b +，然后求出模．（2）根据上（1）求出函数()f x 的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值．【详解】（1）33cos cos sin sin cos22222x x a b x x x ⋅=⋅-⋅= cosa b⎛+= ⎝=∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴cos 0x ∴2cos a b x += （2）()cos23cos f x x x =- 223172cos 13cos 2cos 48x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦∴0cos 1x ∴()min 317cos 48x f x ==- 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式．重点是二次函数求最小值问题．。
高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）
⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。
导数经典练习题及答案
1．设函数f(x)在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．)('0x f -C ．0'()f x -D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim000=∆-∆+→∆x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．23C ．3D ．23．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为A ．90°B ．0°C ．锐角D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为A ．4)(x x f =B ．2)(4-=x x fC ．1)(4+=x x fD ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ∆∆--→∆2)2()(lim000； （2）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 000；（3）x x x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()2(lim000（4）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)2()(lim 000.A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线方程是___. 7．已知曲线xx y 1+=，则==1|'x y _____________.8．设3)('0-=x f ，则=---→hh x f h x f h )3()(lim000_____________.9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物线上过点P的切线与过这两点的割线平行，则P点的坐标为_____________.10．曲线3)(x x f =在点A 处的切线的斜率为3，求该曲线在A 点处的切线方程.11．在抛物线2x y =上求一点P ，使过点P 的切线和直线3x-y+1=0的夹角为4π.12．判断函数⎩⎨⎧<-≥=)0()0()(x x x x x f 在x=0处是否可导.13．求经过点（2，0）且与曲线xy 1相切的直线方程.同步练习X030131．函数y =f （x ）在x =x 0处可导是它在x =x 0处连续的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．在曲线y =2x 2－1的图象上取一点（1，1）及邻近一点（1+Δx ，1+Δy ），则xy∆∆ 等于 A ．4Δx +2Δx 2 B ．4+2Δx C ．4Δx +Δx 2D ．4+Δx3．若曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为2x +y －1=0，则A ．f ′（x 0）>0B ．f ′（x 0）<0C ．f ′（x 0）=0D ．f ′（x 0）不存在4．已知命题p ：函数y =f （x ）的导函数是常数函数；命题q ：函数y =f （x ）是一次函数，则命题p 是命题q 的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．设函数f （x ）在x 0处可导，则0lim→h hh x f h x )()(00--+等于A ．f ′（x 0）B ．0C ．2f ′（x 0）D ．－2f ′（x 0）6．设f （x ）=x （1+|x |），则f ′（0）等于A ．0B ．1C ．－1D ．不存在7．若曲线上每一点处的切线都平行于x 轴，则此曲线的函数必是___________． 8．曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________．9．曲线f （x ）=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线斜率k =___________． 10．两曲线y =x 2+1与y =3－x 2在交点处的两切线的夹角为___________． 11．设f （x ）在点x 处可导，a 、b 为常数，则lim→∆x xx b x f x a x f ∆∆--∆+)()(=___________．12．已知函数f （x ）=⎩⎨⎧>+≤++012x b ax x x x ，试确定a 、b 的值，使f （x ）在x =0处可导．13．设f （x ）=)()2)(1()()2)(1(n x x x n x x x +⋅⋅⋅++-⋅⋅⋅--，求f ′（1）．14．利用导数的定义求函数y =|x |（x ≠0）的导数．同步练习X030211．物体运动方程为s=41t4－3，则t=5时的瞬时速率为A．5 m/s B．25 m/s C．125 m/s D．625 m/s 2．曲线y=x n（n∈N）在点P（2，)22n处切线斜率为20，那么n为A．7 B．6 C．5 D．43．函数f（x）=xxx的导数是A．81x（x>0） B．－887x（x>0）C．8781x（x>0） D．881x（x>0）4．f（x）与g（x）是定义在R上的两个可导函数，若f（x），g（x）满足f′（x）=g′（x），则f（x）与g（x）满足A．f（x）=g（x）B．f（x）－g（x）为常数函数C．f（x）=g（x）=0 D．f（x）+g（x）为常数函数5．两车在十字路口相遇后，又沿不同方向继续前进，已知A车向北行驶，速率为30 km/h，B车向东行驶，速率为40 km/h，那么A、B两车间直线距离的增加速率为A．50 km/h B．60 km/h C．80 km/h D．65 km/h6．细杆AB长为20 cm，AM段的质量与A到M的距离平方成正比，当AM=2 cm时，AM段质量为8 g，那么，当AM=x时，M处的细杆线密度ρ（x）为A．2x B．4x C．3x D．5x7．曲线y =x 4的斜率等于4的切线的方程是___________．8．设l 1为曲线y 1=sin x 在点（0，0）处的切线，l 2为曲线y 2=cos x 在点（2π，0）处的切线，则l 1与l 2的夹角为___________． 9．过曲线y =cos x 上的点（21,6π）且与过这点的切线垂直的直线方程为_____________．10．在曲线y =sin x （0<x <π）上取一点M ，使过M 点的切线与直线y =x 23平行，则M 点的坐标为___________．11．质点P 在半径为r 的圆周上逆时针做匀角速率运动，角速率为1 r a d/s ，设A 为起点，那么t 时刻点P 在x 轴上射影点M 的速率为___________．12．求证：双曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形面积等于常数．13．路灯距地平面为8 m，一个身高为1．6 m的人以84 m/min的速率在地面上行走，从路灯在地平面上射影点C，沿某直线离开路灯，求人影长度的变化速率v．14．已知直线x+2y－4=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△PAB面积最大．同步练习 X030311．若f （x ）=sin α－cos x ，则f ′（α）等于A ．sin αB ．cos αC ．sin α+cos αD ．2sin α2．f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于A ．319B ．316 C ．313D ．3103．函数y =x sin x 的导数为A ．y ′=2x sin x +x cos xB ．y ′=xx 2sin +x cos xC ．y ′=xx sin +x cos xD ．y ′=xx sin －x cos x4．函数y =x 2cos x 的导数为A ．y ′=2x cos x －x 2sin xB ．y ′=2x cos x +x 2sin xC ．y ′=x 2cos x －2x sin xD ．y ′=x cos x －x 2sin x5.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= .6. 若y =3cosx -4sinx ,则y ’= .7．与直线2x －6y +1=0垂直，且与曲线y =x 3+3x 2－1相切的直线方程是______． 8．质点运动方程是s =t 2（1+sin t ），则当t =2时，瞬时速度为___________．9.求曲线y=x3+x2-1在点P（-1，-1）处的切线方程. 10．用求导的方法求和：1+2x+3x2+…+nx n－1（x≠1）．11．水以20米3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．同步练习 X030321．函数y =22xax +（a >0）的导数为0，那么x 等于A ．aB ．±aC ．－aD ．a 22．函数y =xxsin 的导数为 A ．y ′=2sin cos xxx x + B ．y ′=2sin cos xxx x - C ．y ′=2cos sin xxx x - D ．y ′=2cos sin xxx x + 3.若21,2xy x +=-则y ’= .4.若423335,x x y x -+-=则y ’= . 5.若1cos ,1cos xy x+=-则y ’= .6．已知f （x ）=354337xx x x ++，则f ′（x ）=___________．7．已知f （x ）=xx++-1111，则f ′（x ）=___________．8．已知f （x ）=xx2cos 12sin +，则f ′（x ）=___________．1相切的直线的方程．9．求过点（2，0）且与曲线y=x10.质点的运动方程是23,s t=+求质点在时刻t=4时的速度.t同步练习 X030411．函数y =2)13(1-x 的导数是 A ．3)13(6-x B ．2)13(6-x C ．－3)13(6-x D ．－2)13(6-x2．已知y =21sin2x +sin x ，那么y ′是A ．仅有最小值的奇函数B ．既有最大值，又有最小值的偶函数C ．仅有最大值的偶函数D ．非奇非偶函数 3．函数y =sin 3（3x +4π）的导数为 A ．3sin 2（3x +4π）cos （3x +4π） B ．9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）C ．9sin 2（3x +4π）D ．－9sin 2（3x +4π）cos （3x +4π）4.若y=（sinx-cosx 3)，则y ’= .5. 若y=2cos 1x +，则y ’= .6. 若y=sin 3(4x+3)，则y ’= .7．函数y =（1+sin3x ）3是由___________两个函数复合而成． 8．曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________．9.求曲线2211(2,)(3)4y M x x =-在处的切线方程.10. 求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程.11．已知函数y =（x ）是可导的周期函数，试求证其导函数y =f ′（x ）也为周期函数．同步练习 X030421．函数y =cos （sin x ）的导数为A ．－［sin （sin x ）］cos xB ．－sin （sin x ）C ．［sin （sin x ）］cos xD ．sin （cos x ）2．函数y =cos2x +sin x 的导数为A ．－2sin2x +xx2cos B ．2sin2x +xx 2cosC ．－2sin2x +xx 2sin D ．2sin2x －xx 2cos3．过曲线y =11+x 上点P （1，21）且与过P 点的切线夹角最大的直线的方程为 A ．2y －8x +7=0 B ．2y +8x +7=0 C ．2y +8x －9=0D ．2y －8x +9=04．函数y =x sin （2x －2π）cos （2x +2π）的导数是______________． 5．函数y =)32cos(π-x 的导数为______________．6．函数y =cos 3x 1的导数是___________．7.已知曲线y=2400x + +53(100-x) (0100≤≤x ) 在点M 处有水平切线,8．若可导函数f （x ）是奇函数，求证：其导函数f ′（x ）是偶函数．9．用求导方法证明：21C 2C n n +…+n n n C =n ·2n －1．同步练习 X030511．函数y =ln （3－2x －x 2）的导数为A ．32+x B ．2231x x -- C ．32222-++x x xD ．32222-+-x x x2．函数y =lncos2x 的导数为A ．－tan2xB ．－2tan2xC ．2tan xD ．2tan2x3．函数y =x ln 的导数为A ．2x x lnB ．xx ln 2C ．xx ln 1 D ．xx ln 214．在曲线y =59++x x 的切线中，经过原点的切线为________________． 5．函数y =log 3cos x 的导数为___________． 6.函数y =x 2lnx 的导数为 . 7. 函数y =ln （lnx ）的导数为 . 8. 函数y =lg (1+cosx )的导数为 .9. 求函数y =ln 22132x x +-的导数．10. 求函数y =12．求函数y =ln （21x +－x ）的导数．同步练习 X030521．下列求导数运算正确的是A ．（x +x 1）′=1+21xB ．（log 2x ）′=2ln 1xC ．（3x ）′=3x log 3eD ．（x 2cos x ）′=－2x sin x 2．函数y =xxa 22-（a >0且a ≠1），那么y ′为A ．xxa 22-ln aB ．2（ln a ）xx a 22-C ．2（x －1）xx a22-·ln aD ．（x －1）xx a22-ln a3．函数y =sin32x 的导数为A ．2（cos32x ）·32x ·ln3B ．（ln3）·32x ·cos32xC ．cos32xD ．32x ·cos32x4．设y =xx ee 2)12(+，则y ′=___________． 5．函数y =x22的导数为y ′=___________．6．曲线y =e x －e ln x 在点（e ，1）处的切线方程为___________．7.求函数y=e 2x lnx 的导数.8．求函数y =x x （x >0）的导数．9．设函数f （x ）满足：af （x ）+bf （x 1）=xc（其中a 、b 、c 均为常数，且|a |≠|b |），试求f ′（x ）．同步练习 x030611．若f （x ）在［a ，b ］上连续，在（a ，b ）内可导，且x ∈（a ，b ）时，f ′（x ）>0，又f （a ）<0，则A ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，且f （b ）>0B ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，且f （b ）<0C ．f （x ）在［a ，b ］上单调递减，且f （b ）<0D ．f （x ）在［a ，b ］上单调递增，但f （b ）的符号无法判断 2．函数y =3x －x 3的单调增区间是A ．（0，+∞）B ．（－∞，－1）C ．（－1，1）D ．（1，+∞） 3．三次函数y =f （x ）=ax 3+x 在x ∈（－∞，+∞）内是增函数，则A ．a >0B ．a <0C ．a =1D ．a =314．f （x ）=x +x2（x >0）的单调减区间是A ．（2，+∞）B ．（0，2）C ．（2，+∞）D ．（0，2） 5．函数y =sin x cos 2x 在（0，2π）上的减区间为 A ．（0，arctan 22） B ．（arctan2,22π） C ．（0，2π）D ．（arctan 2,21π）6．函数y =x ln x 在区间（0，1）上是A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在（0，e 1）上是减函数，在（e1，1）上是增函数D ．在（0，e 1）上是增函数，在（e1，1）上是减函数7．函数f （x ）=cos 2x 的单调减区间是___________． 8．函数y =2x +sin x 的增区间为___________．9．函数y =232+-x x x的增区间是___________． 10．函数y =xxln 的减区间是___________．11．已知0<x <2π，则tan x 与x +33x 的大小关系是tan x _____x +33x ．12．已知函数f（x）=kx3－3（k+1）x2－k2+1（k>0）．若f（x）的单调递减1．区间是（0，4）. （1）求k的值；（2）当k<x时，求证：2x>3－x 13．试证方程sin x=x只有一个实根．14．三次函数f（x）=x3－3bx+3b在［1，2］内恒为正值，求b的取值范围．同步练习 X030711．下列说法正确的是A ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极大值B ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极小值C ．当f ′（x 0）=0时，则f （x 0）为f （x ）的极值D ．当f （x 0）为函数f （x ）的极值且f ′（x 0）存在时，则有f ′（x 0）=02．下列四个函数，在x =0处取得极值的函数是①y =x 3 ②y =x 2+1 ③y =|x | ④y =2xA ．①②B ．②③C ．③④D ．①③ 3．函数y =216xx 的极大值为 A ．3 B ．4 C ．2 D ．54．函数y =x 3－3x 的极大值为m ，极小值为n ，则m +n 为A ．0B ．1C ．2D ．45．y =ln 2x +2ln x +2的极小值为A ．e －1B ．0C ．－1D ．1 6．y =2x 3－3x 2+a 的极大值为6，那么a 等于A ．6B ．0C ．5D ．17．函数f （x ）=x 3－3x 2+7的极大值为___________．8．曲线y =3x 5－5x 3共有___________个极值．9．函数y =－x 3+48x －3的极大值为___________；极小值为___________．10．函数f （x ）=x －3223x 的极大值是___________，极小值是___________． 11．若函数y =x 3+ax 2+bx +27在x =－1时有极大值，在x =3时有极小值，则a =___________，b =___________．12．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，当x=－1时，取得极大值7；当x=3时，取得极小值．求这个极小值及a、b、c的值．a+b有极小值2，求a、b应满足的条件．13．函数f（x）=x+x1时，f（x）的极小14．设y=f（x）为三次函数，且图象关于原点对称，当x=2值为－1，求函数的解析式．同步练习 X030811．下列结论正确的是A ．在区间[a ，b]上，函数的极大值就是最大值B ．在区间[a ，b]上，函数的极小值就是最小值C ．在区间[a ，b]上，函数的最大值、最小值在x=a 和x=b 时到达D ．在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值和最小值2．函数14)(2+-=x x x f 在[1，5]上的最大值和最小值是A ．f(1)，f(3)B ．f(3)，f(5)C ．f(1)，f(5)D ．f(5)，f(2)3．函数f(x)=2x-cosx 在(-∞，+∞)上A ．是增函数B ．是减函数C ．有最大值D ．有最小值4．函数a ax x x f --=3)(3在(0，1)内有最小值，则a 的取值范围是A ．0<a<1B ．a<1C ．a>0D ．21<a 5．若函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处有最值，那么a 等于 A ．2 B ．1 C ．332 D ．0 6．函数5224+-=x x y ，x ∈[-2，2]的最大值和最小值分别为A ．13，-4B ．13，4C ．-13，-4D ．-13，47．函数x xe y =的最小值为________________.8．函数f(x)=sinx+cosx 在]2,2[ππ-∈x 时函数的最大值，最小值分别是___. 9．体积为V 的正三棱柱，底面边长为___________时，正三棱柱的表面积最小．10．函数21)(x x x f -+=的最大值为__________，最小值为____________。
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12．定义：若存在常数 k，使得对定义域 D 内的任意两个不同的实数 x1，x2，均有
| f ( x1 ) f ( x2 ) | k | x1 x2 | 成立，则称函数 f ( x) 在定义域 D 上满足利普希茨条件。
对于函数 f ( x) A．2
x ( x 1) 满足利普希茨条件，则常数 k 的最小值应是
64 ； （3）求过点 P(3, 6) 与函数 f ( x ) 的图象相切的直线方程． 3
22． 已知函数 f(x)=x，g(x)=ln(1+x)，h( x ) （2）当 x>0 时，不等式 g ( x)
x 。 （1）证明：当 x>0 时，恒有 f(x)>g(x)； 1 x
kx , (k 0) 恒成立，求实数 k 的取值范围； （3） kx
2 . 2
其中正确命题的序号是 17．已知 f ( x) cos(2 x 上的单调递增区间； .
（请将所有正确命题的序号都 添上） ．
（2）求 f(x)在 x (0, ) ) 2 cos 2 x （1）求 f(x)的最小正周期； 3 2
18 ．△ ABC 中，向量 m (2sin B, 3), n (2 cos 2 B.2 cos
B．1 C．
1 2
D．
1 3
3 3 13．已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点（－ ,0）对称，且满足 f(x)＝－f(x＋ ) ，f(－ 4 2 1)＝1, f(0)＝－2,则 f(1)＋f(2)＋f(3)…＋f(2008) 的值为_________ 14．在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(1, 0), B( , ) ，若点 C 在 AOB 平分线上，且有
C． 3 D．
A． 3
B．
3 3
3 3
11．定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，当 x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则
)<f(cos ) 6 6 2 2 C.f(cos )<f(sin ) 3 3
A.f(sin
B.f(sin1)>f(cos1) D．f(cos2)>f(sin2)
① 该函数是以 为最小正周期的周期函数；② 当且仅当 x k (k Z) 时，该函数 取 得 最 小 值 是 -1 ； ③ 该 函 数 的 图 象 关 于 x
5 2k (k Z) 对 称 ; ④ 当 且 仅 当 4
2 k x
2
2k (k Z) 时， 0 f ( x)
9．已知两线段 a=2,b=2 2 ，若以 a、b 为边作三角形，则 a 边所对的角 A 的取值范围是
A.
, 6 3
B. 0,
6
C. 0,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D. 0,
4
10．已知实数 a，b 均不为零，
a sin b cos π b tan ，且 ，则 等于 a cos b sin 6 a
8．已知向量 OB ＝( 2，0)，OC ＝( 2， 2)，CA ＝(cos，sin)(∈R)，则 OA
与
p OB 夹角的取值范围是 A．[0， ]
4
p 5p B．[ ， ] 4 12
p 5p C．[ ， ] 12 12
5p p D．[ ， ] 12 2
D：0
5．使函数 f ( x) sin(2 x ) 3 cos(2 x )是奇函数, 且在[0, 一个值是 A．
4
] 上是减函数的 的
4 3
D．
3
B．
2 3
C．
5 3
→ 〃OB → =OB → 〃OC → =OC → 〃OA → 〃，则点 O 是三角形 6．已知 O 是三角形 ABC 内一点，且满足OA 的 A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心 7．已知 O、A、B 三点的坐标分别为 O（0，0） ，A（3，0） ，B（0，3） ，点 P 在线段 AB 上，且 AP t AB(0 t 1),则OA OP 的最大值为 A．3 B．6 C．9 D．12
P (3, 6) ；②函数 f ( x) 在 x1 、 x2 处取得极值，且 | x1 x2 | 4 ；③函数 y f ( x 1) 的图
象 关 于 点 (1, 0) 对 称 ．（ 1 ） 求 f ( x ) 的 表 达 式 ；（ 2 ） 若 , R ， 求 证 ：
| f (2 cos ) f (2sin ) |
| OC | 5 ，则 OC _________ .
3 4 5 5
15．已知函数 f ( x) ex 2x a 有零点，则 a 的取值范围是___________．
16．对于函数 f ( x)
sin x, cos x,
sin x cos x, 给出下列四个命题： sin x cos x .
在 x 轴正半轴上有一动点 D（x，0） ，过点 D 作 x 轴的垂线依次交函数 f(x),g(x),h(x) 的图像于点 A、B、C，O 为坐标原点。试将 AOB 与 BOC 的面积比表示为 x 的函 数 m(x)，并判断 m(x)是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由。
集合、逻辑、函数、导数、三角、向量测试 2
1．若 M、N、P 为三个集合，M∪N=N∩P，则一定有 A．P M B．M P C．M≠P D．M=φ 2．“ a 1 ”是“函数 f ( x) | x a | 在区间 [1,) 上为增函数”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 3．已知 f ( x) A． 2 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2
B 1) ，且 m // n ； 2
（1）求锐角 B 的大小； （2）如果 b 2 ，求△ ABC 的面积 S# ABC 的最大值
19．某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船 位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处， 并正以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶。 假设该小艇沿直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶， 经过 t 小 时与轮船相遇。(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时， 试设计航行方案 （即确定航行方向和 航行速度的大小） ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
20．已知函数 f ( x )
1 2 x ln x （１）求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大、最小值； （２）当 2 1 2 x [1, ) 时，求证： x 2 ln x x3 2 3
21 ． 设 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) ax3 bx2 cx d 满 足 ： ① 函 数 f ( x ) 的 图 象 过 点
, x0 cosx 4 4 ，则 f ( ) f ( ) 的值为 3 3 f ( x 1) 1 , x 0
B． 1
3
C．1
D．2
4．若 ABC 的内角 A 满足 sin 2 A 2 ,则 sin A cos A
A：
15 3
B：
15 3
C：
15 3