高三数学(理科)测试题(函数、导数、三角函数、解三角形)

高三数学《函数与导数、三角函数与解三角形》测试题（理科）

一、选择题

1．设2

:f x x →是集合A 到集合B 的映射，若{}1,2B =，则A

B 为

( ) A ．?

B ．{1}

C ．?或{2}

D ．?或{1}

2．函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为( ) A ．（－1，0）

B ．（0，1）

C ．（1，2）

D ．（1，e ）

3．若函数2

()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2

a -∞上为减函数，则a 的取值范围是

( )

A ．(0，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(1，23)

D ．(0，1)∪(1，23)

4.若0()ln 0

x

e x g x x

x ?≤=?

>?，则1

(())2g g = ( )

A ．1

2

B ．1

C ．1

2e D ．ln 2-

—

5．已知3

2

()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则有 ( ) A ．0b < B ．01b <<

C ．12b <<

D ．2b >

]

6. 已知函数()f x 定义域为R ，则下列命题：

①若()y f x =为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称. ②若(2)y f x =+为偶函数，则()y f x =关于直线2x =对称. ③若函数(21)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的图象关于直线1

2

x 对称. ④若(2)(2)f x f x -=-，则则()y f x =关于直线2x =对称. ⑤函数(2)y f x =-和(2)y f x =-的图象关于2x =对称.

其中正确的命题序号是 ( ) A.①②④ B.①③④ C.②③⑤ D.②③④ ＝(sin x ＋cos x )2－1是( ) A ．最小正周期为2π的偶函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 `

C ．最小正周期为π的偶函数

D ．最小正周期为π的奇函数

x

8.把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π

6个单位，再将图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则( )

A ．ω＝2，φ＝π

6 B ．ω＝2，φ＝－π

3 C ．ω＝12，φ＝π

6

D ．ω＝12，φ＝π

12

9.若函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )

C ．(0,0)

10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为( )

A ．x ＝2

π

B ．x ＝π2 …

C ．x ＝1

D ．x ＝2

的值应是( )

A ．－1

B ．1

C ．－ 3

12. 函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，

0)()1(<'-x f x 设).3(),2

1

(),0(f c f b f a ===则 ( )

A ．c b a <<

B ．b a c <<

C ．a b c <<

D ．a c b <<

二、填空题

13．设

()f x 是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若(1)1f ≤，23

(2)1

a f a -=

+，则实数a 的取值范围是 ．

14．已知函数x

x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，

1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，

则321,,x x x 的大小关系是 ．

—

15.已知f (x )＝2sin ???

?2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，

则m 的取值范围是________．

16.对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出下列命题：①f (x )的最小正周期为2π；②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π

8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π

4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)． 三、简答题

17.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＋b ＝5，c ＝7，且4sin 2A ＋B

2－cos2C ＝72.

(1)求角C 的大小； (2)求△ABC 的面积．

。

（

18.在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．

…

'

19.向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π

6))，设函数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a 为常数)． (1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；

(2)若g (x )在[0，π

3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．

.

）

20.设函数22

()(1)ln(1)f x x x =+-+

(1)求函数)(x f 的单调区间; (2)当]1,11

[

--∈e e

x 时，不等式()f x m <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)关于x 的方程2

()f x x x a =++在[0,2]上恰有两个相异实根，求a 的取值范围.

￥

<

21.设函数bx xe

x f x

a +=-)(，曲线)(x f y =在点（2，)2(f ）处的切线方程为

4)1(+-=x e y .

（1）求a ,b 的值； （2）求)(x f 的单调区间.

！

。22. ?

)

答案解析

选择题 1—5 DBCAA 6—12 CDBAC CB

~

填空题 13. 2

13

a

a <-≥

或 14. 321x x x >> 15.[－1,2] 16.②③ 简答题

17.[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B 2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝7

2，

∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，

∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝1

2， ∵0°

2.

…

18.[解析] (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又因为△ABC 的面积等于3，所以1

2ab sin C

＝3，得ab ＝4.联立方程组???

a 2＋

b 2－ab ＝4，

ab ＝4，

解得a ＝2，b ＝2.

(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A ， 当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝23

3，

当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程组???

a 2＋

b 2－ab ＝4，

b ＝2a ，

解得a ＝233，b ＝43

3.

所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝23

3. 19.[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π

6)

＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1 ＝3sin2x ＋cos2x ＋

a ＝2sin(2x ＋π

6)＋a

【

(1)g (x )＝2sin(2x ＋π

6)＋a ，T ＝π. (2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π

6

当2x ＋π6＝π2，即x ＝π

6时，y max ＝2＋a . 当2x ＋π6＝π

6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ， 故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.

20. (1)函数定义域为),1()1,(+∞---∞ ,

,1

)2(2]11)1[(2)(++=+-

+='x x x x x x f 由

,0)(>'x f 得210x x -<<->或 ；由,0)(<'x f 得.012<<--

则递增区间是(2,1),(0,)--+∞递减区间是(,2),(1,0)-∞--。

(2)由（1）知,

)(x f 在]0,11

[-e 上递减,在]1,0[-e 上递增.又212,2)1(,21)11(2222+>--=-+=-e

e e e

f e e f 且.

]1,11

[--∈∴e e

x 时, ,2)]([2max -=e x f 故22->e m 时,不等式m x f <)(恒成立.

(3)方程

,)(2a x x x f ++= 即0)1ln(12=+-+-x a x .记2)1ln(1)(x a x x g +-+-=,

1

1121)(+-=+-

='x x x x g 则.由,0)(>'x g 得,11>-

2()f x x x a =++在]2,0[上恰好有两个相异的实根,只须0)(=x g

在[0，1）和（1，2]上各有一个实根,于是(0)0

(1)0.(2)0g g g ≥??

解得22ln 232ln 2a -<≤-

21.

22.