三角函数与解三角形练习题

三角函数及解三角形练习题一．解答题（共16小题）1．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小．2．已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域．3．已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．4．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．5．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．6．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．7．已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．8．已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围．9．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M 为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（α﹣）=，求cos2α的值．10．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；（Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值．11．设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f （）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．13．如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个角．（Ⅰ）证明：tan=；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．14．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．15．已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．16．已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值．18．已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．19．已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调递增区间．三角函数及解三角形练习题参考答案与试题解析一．解答题（共16小题）1．（2017•模拟）在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，求C的大小．【分析】对已知式平方，化简，求出sin（A+B）=，确定A+B的值，利用三角形的角和求出C的大小．【解答】解：两边平方（3sinA+4cosB）2=36得9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36 ①（4sinB+3cosA）2=1得16sin2B+9cos2A+24sinBcosA=1 ②①+②得：（9sin2A+9cos2A）+（16cos2B+16sin2B）+24sinAcosB+24sinBcosA=37 即 9+16+24sin（A+B）=37所以sin（A+B）=，所以A+B=或者若A+B=，则cosA＞3cosA＞3＞1，则4sinB+3cosA＞1 这是不可能的所以A+B=因为A+B+C=180°所以 C=【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查计算能力，是基础题．2．（2017•模拟）已知3sinθtanθ=8，且0＜θ＜π．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系求得cosθ的值．（Ⅱ）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵3sinθtanθ=3=8，且0＜θ＜π，∴cosθ＞0，θ为锐角．∴=8，求得cosθ=，或cosθ=﹣3（舍去），∴sinθ=，综上可得，cosθ=．（Ⅱ）函数f（x）=6cosxcos（x﹣θ）=6cosx•（cosx•+sinx•）=2cos2x+4sinxcosx=cos2x+1+2sin2x=3（cos2x+sin2x）=3cos（2x﹣θ），在[0，]上，2x﹣θ∈[﹣θ，﹣θ]，f（x）在此区间上先增后减，当2x﹣θ=0时，函数f（x）取得最大值为3，当2x﹣θ=﹣θ时，函数f（x）取得最小值为3cos（﹣θ）=3cosθ=1，故函数在[0，]上的值域为[1，3]．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的定义域和值域，属于基础题．3．（2017•海淀区一模）已知是函数f（x）=2cos2x+asin2x+1的一个零点．（Ⅰ）数a的值；（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间．【分析】（Ⅰ）利用函数的零点的定义，求得实数a的值．（Ⅱ）利用三角恒等变化化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函数y=sinx的递增区间为，k∈Z．由，k∈Z，得，k∈Z，所以，f（x）的单调递增区间为，k∈Z．【点评】本题主要考查函数的零点的定义，三角恒等变换、正弦函数的单调性，属于中档题．4．（2017•三模）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．【分析】（1）利用两角和的正弦函数公式及二倍角公式化简函数f（x），再由周期公式计算得答案；（2）由已知条件求出g（x）=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，由正弦函数的值域进一步求出函数g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]．【点评】本题考查了三角函数的周期性及其求法，考查了函数值域的求法，是中档题．5．（2016•）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的单调递增区间．【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函数的增区间求解x的取值围得f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的单调递增区间为[]（k∈Z）．【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查了两角和的正弦，属中档题．6．（2014•）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω=2．再根据图象关于直线x=对称，结合﹣≤φ＜可得φ 的值．（Ⅱ）由条件求得sin（α﹣）=．再根据α﹣的围求得cos（α﹣）的值，再根据cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2．再根据图象关于直线x=对称，可得 2×+φ=kπ+，k∈z．结合﹣≤φ＜可得φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根据 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题．7．（2017•）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【分析】（1）根据向量的平行即可得到tanx=﹣，问题得以解决，（2）根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．【点评】本题考查了向量的平行和向量的数量积以及三角函数的化简和三角函数的性质，属于基础题8．（2017•一模）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值围．【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角角定理可得A的围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）∵图象过（），将点代入解析式得，∵，∴故得函数．（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC∴2sinAcosB=sin（B+C），∴2sinAcosB=sinA．∵A∈（0，π），∴sinA≠0，∴cosB=，即B=∴A+C=，即那么：，故得．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用化简．利用三角函数的有界限求围，属于中档题．9．（2017•模拟）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，M为最高点，该图象与y轴交于点F（0，），与x轴交于点B，C，且△MBC的面积为π．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（α﹣）=，求c os2α的值．=×2×|BC|=|BC|=π可求得其周期T=2π=，【分析】（Ⅰ）依题意，由S△MBC解得ω=1，再由f（0）=2sinφ=，可求得φ，从而可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）由f（α﹣）=2sinα=，可求得sinα，再利用二倍角的余弦即可求得cos2α的值．=×2×|BC|=|BC|=π，【解答】解：（Ⅰ）因为S△MBC所以周期T=2π=，解得ω=1，由f（0）=2sinφ=，得sinφ=，因为0＜φ＜，所以φ=，所以f（x）=2sin（x+）；（Ⅱ）由f（α﹣）=2sinα=，得sinα=，所以cos2α=1﹣2sin2α=．【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得ω与φ是关键，考查二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．10．（2017•延庆县一模）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值及相应的x值；（Ⅱ）设函数，如图，点P，M，N分别是函数y=g（x）图象的零值点、最高点和最低点，求cos∠MPN的值．【分析】（Ⅰ）化简函数（x）为正弦型函数，利用正弦函数的图象与性质求出它的最大值以及此时对应的x值；（Ⅱ）化简函数g（x），过D作MD⊥x轴于D，根据三角函数的对称性求出∠PMN=90°，再求cos∠MPN的值．【解答】解：（Ⅰ）函数=sin2x+cos2x﹣sin2x…（1分）==；…（3分）=1，…（4分）∴f（x）的最大值为f（x）max此时，…（5分）解得；…（6分）（Ⅱ）函数=sin[2（x）+]=sin（x+），…（7分）过D作MD⊥x轴于D，如图所示；∵PD=DM=1，∴∠PMN=90°，…（9分）计算PM=，MN=2PM=2，PN==，…（11分）∴．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的计算问题，是综合题．11．（2017•）设函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣），其中0＜ω＜3，已知f（）=0．（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[﹣，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（）=0求出ω的值；（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x∈[﹣，]时g（x）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（ωx﹣）+sin（ωx﹣）=sinωxcos﹣cosωxsin﹣sin（﹣ωx）=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），又f（）=sin（ω﹣）=0，∴ω﹣=kπ，k∈Z，解得ω=6k+2，又0＜ω＜3，∴ω=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sin（2x﹣），将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（x﹣）的图象；再将得到的图象向左平移个单位，得到y=sin（x+﹣）的图象，∴函数y=g（x）=sin（x﹣）；当x∈[﹣，]时，x﹣∈[﹣，]，∴sin（x﹣）∈[﹣，1]，∴当x=﹣时，g（x）取得最小值是﹣×=﹣．【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．12．（2016•）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；（Ⅱ）求cosC的最小值．【分析】（Ⅰ）由切化弦公式，带入并整理可得2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出a+b=2c；（Ⅱ）根据a+b=2c，两边平方便可得出a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c2﹣2ab，并由不等式a2+b2≥2ab得出c2≥ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出cosC的围，进而便可得出cosC的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：；∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；∴2sin（A+B）=sinA+sinB；即sinA+sinB=2sinC（1）；根据正弦定理，；∴，带入（1）得：；∴a+b=2c；（Ⅱ）a+b=2c；∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；又a，b＞0；∴；∴由余弦定理，=；∴cosC的最小值为．【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的角和为π，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式a2+b2≥2ab的应用，不等式的性质．13．（2015•）如图，A、B、C、D为平面四边形ABCD的四个角．（Ⅰ）证明：tan=；（Ⅱ）若A+C=180°，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan+tan+tan+tan的值．【分析】（Ⅰ）直接利用切化弦以及二倍角公式化简证明即可．（Ⅱ）通过A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，利用（Ⅰ）化简tan+tan+tan+tan=，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出sinA，连结AC，求出sinB，然后求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）tan===．等式成立．（Ⅱ）由A+C=180°，得C=180°﹣A，D=180°﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，连结BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，所以AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC，则：cosA===．于是sinA==，连结AC，同理可得：cosB===，于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．【点评】本题考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理．简单的三角恒等变换，考查函数与方程的思想，转化与化归思想的应用．14．（2015•）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）将函数f（x）的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象．当x∈时，求g（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x ﹣）﹣，从而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]时，可得x﹣的围，即可求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin （2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值为：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由条件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣当x∈[，π]时，有x﹣∈[，]，从而sin（x﹣）的值域为[，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域为：[，]，故g（x）在区间[，π]上的值域是[，]．【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，属于基本知识的考查．15．（2015•）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）讨论f（x）在[，]上的单调性．【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根据2x﹣∈[0，π]，利用正弦函数的单调性，分类讨论求得f（x）在上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和最值，正弦函数的单调性，属于中档题．16．（2014•）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．【分析】（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα 的值．【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z．（2）由函数的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即（sinα+cosα）=•（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣s inα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。