三角函数及解三角形测试题(含答案)
三角函数及解三角形
一、选择题:
1.设α是锐角,223)4
tan(,+=+απ
则=αcos ( )
2.一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( A )
A .5海里
B .53海里
C .10海里
D .103海里
3.若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间??????3,0π上单调递增,在区间???
???2,3ππ上单调递减,则=ω( )
A .3
B .2
4.已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距
离
等
于
,
π则
)
(x f 的单调递增区间是
( ) A.Z k k k ∈?????
?+
-
,125,12
πππ
π B. Z k k k ∈?????
?
++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈??
???
?+-,6,3
ππππ D.[Z k k k ∈??
???
?
++,32,6
ππππ
5.圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边,若,216=abc 则三角形的面积为
( )
2 2 C. 2 D.
22
6.已知5
4cos -=α且,,2
?
?
? ??∈ππα则??
? ?
?
+4tan πα等于( C ) A .-17 B .-7 C .1
7
D .7
7.锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则a
b
的取值范围是( D )
A .(﹣2,2)
B .(0,2)
C .(
,2) D .(
,
)
8.已知函数y =A sin(ωx +φ)+m (A >0,ω>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x =π
3
是其图象的一条对称轴,则符合条件的函数解析式是(D )
A .y =4sin ? ????4x +π6
B .y =2sin ? ????2x +π3+2
C .y =2sin ? ????
4x +π3+2 D .y
=2sin ?
????
4x +π6+2
9.函数)3
2sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12
(π
-
成中心对称
( ) A.向左平移
12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12
π 10.如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6
π
-=x 对称,那么=a ( )
A . 3
B .-
33 C .-3 D .3
3 11.函数y =cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如右图所表示,A 、B 分别为最高与最低点,并且两点间的距离为22,则该函数的一条对称轴为(C )
A .x =2π
B .x =π
2
C .x =1
D .x =2
12.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos A -3cos C cos B =3c -a
b ,
则sin C
sin A
的值为( D ) A .2 C .2 3 D .3 二、填空题: 13.已知,31)12sin(=+
π
α则=+)12
7cos(πα_____. 14.在ABC ?中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若3sin cos cos b A c A a C =+,则
sin A =________
15.将函数f (x )=sin x +cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的最小值为3π
4
____.
16.已知函数),,0)(sin(ππω?ωx x y ≤->+=的图象如图所示,则?=________.
17.在ABC ?中,若,3
2,3,1π
===C c b 则=a 。 18.在
ABC
?中
C
B A ,,,所对的边分别为
,
,,c b a 且满足
,12+=++c b a ,sin 2sin sin C B A =+则=c ; 若,3
π
=
C 则=?ABC S
三、解答题:
19.已知函数(=cos (cos 3)f x x x x )
+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)当π[0,]2
x ∈ 时,求函数(f x )的单调递减区间.
解:(Ⅰ) 1
(=sin(2)6
2f x x )
π
++
22||2T πππω=
==
()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7
分
(Ⅱ)当3222,2
6
2
k x k k Z π
π
π
ππ+
≤+
≤+
∈ 时,函数(f x )单调递减,
即()f x 的递减区间为:2[,],6
3
k k k Z π
π
ππ++
∈, 由2[0,][,]2
6
3
k k ππ
πππ++
=[,]62ππ
+,k Z ∈
所以
(f x )
的递减区间为:
[,]
62
ππ
.
------------------------------------13分
20.向量m =(a +1,sin x ),n =(1,4cos(x +π
6)),设函数g (x )=m ·n (a ∈R ,且a
为常数).
(1)若a 为任意实数,求g (x )的最小正周期;
(2)若g (x )在[0,π
3
)上的最大值与最小值之和为7,求a 的值.
[解析] g (x )=m ·n =a +1+4sin x cos(x +π
6)=3sin2x -2sin 2x +a +1=
3sin2x +cos2x +a =2sin(2x +
π
6
)+a (1)g (x )=2sin(2x +π
6)+a ,T =π.
(2)∵0≤x <π3,∴π6≤2x +π6<5π
6
当2x +π6=π2,即x =π6时,y max =2+a .当2x +π6=π
6
,即x =0时,y min =1+
a ,
故a +1+2+a =7,即a =2.
21.在△ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且bcos C =3acos B -ccos B
(1)求cos B 的值;(2)若BA ·BC =2,b =22,求a 和c
22.在ABC ?中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,已知向量m →
(),a c a b =+-,n →
()sin ,sin sin B A C =-,且m →∥n →
.
(1)求角C 的大小;(2)求sin sin A B +的取值范围.
23.在ABC ?中C B A ,,,的对边分别为,,,c b a 已知,7,5==+c b a 且2
7
2cos 2sin 42
=-+C B A . (1)求角C 的大小; (2)求ABC ?的面积.
[解析] (1)∵A +B +C =180°,4sin 2
A +B
2-cos2C =72.∴4cos 2C 2-cos2C =72
,
∴4·1+cos C 2-(2cos 2
C -1)=72,
∴4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =1
2,
∵0° ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=33 2 . 24.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π 2 )的部分图象如图所示. (1)求函数f (x )的解析式; (2)若f ? ????α2=45 ,0<α<π 3,求cos α的值. [解析] (1)由图象知A =1 f (x )的最小正周期T =4× ? ????5π12-π6=π,故ω=2πT =2 将点? ????π6,1代入f (x )的解析式得sin ? ?? ?? π3+φ=1, 又|φ|<π2,∴φ=π6 故函数f (x )的解析式为f (x )=sin ? ???? 2x +π6 (2)f ? ????α2=45,即sin ? ????α+π6=45,又0<α<π 3, ∴π6<α+π6<π 2,∴cos ? ????α+π6=35. 又cos α=[(α+π6)-π6]=cos ? ????α+π6cos π6+sin ? ????α+π6sin π6=33+410. 25.设△ABC 的内角 A B C ,,的对边分别为a b c ,,,且sin cos b A B = . (Ⅰ)求角B 的大小; (Ⅱ)若3sin 2sin b C A ==,,求a c , 的值. 解:(Ⅰ)sin cos b A B =, ……………2分 由正弦定理得sin sin cos B A A B =, 在△ABC 中,sin 0A ≠,即tan B =(0)B π∈, , ……………4分 3 π B ∴= . ……………6分 (Ⅱ)sin 2sin C A =,由正弦定理得2c a =, ……………8分 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得22942(2)cos 3 πa a a a =+-??, ……………10分 解得a =2c a == ……………13分 26.在△ABC 中,已知A =π4,cos B =25 5. (1)求cos C 的值; (2)若BC =25,D 为AB 的中点,求CD 的长. 27.已知函数f (x )=sin2x cos φ+cos2x sin φ(|φ|<π2),且函数y =f (2x +π 4)的 图象关于直线x =7π 24对称. (1)求φ的值; (2)若π3<α<5π12,且f (α)=4 5 ,求cos4α的值; (3)若0<θ<π8时,不等式f (θ)+f (θ+π 4)<|m -4|恒成立,试求实数m 的取值范 围. 28.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π),x ∈R 的最大值是1,最小正周期是2π,其图象经过点M (0,1). (1)求f (x )的解析式; (2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角,且f (A )=35,f (B )=5 13 ,求f (C )的值. 三角函数章节测试题 一、选择题 1. 已知sinθ=53 ,sin2θ<0,则tanθ等于 ( ) A .-43 B .43 C .-43或43 D .54 2. 若20π < A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 7. 函数f(x)= x x cos 2cos 1- ( ) A .在[0, 2π]、??? ??ππ,2上递增,在??????23,ππ、??? ??ππ2,23上递减 B .??????20π,、??? ??23ππ,上递增,在??? ??ππ,2、?? ? ??ππ223,上递减 C .在??????ππ,2、??? ??ππ223,上递增,在??????20π,、??? ??23ππ, 上递减 D .在?????? 23,ππ、??? ??ππ2,23上递增,在?? ????20π,、??? ??ππ,2上递减 8. y =sin(x -12π)·cos(x -12 π),正确的是 ( ) A .T =2π,对称中心为( 12π,0) B .T =π,对称中心为(12 π,0) C .T =2π,对称中心为( 6π,0) D .T =π,对称中心为(6 π,0) 9. 把曲线y cosx +2y -1=0先沿x 轴向右平移 2π,再沿y 轴向下平移1个单位,得到的曲线方程为 ( ) A .(1-y)sinx +2y -3=0 B .(y -1)sinx +2y -3=0 C .(y +1)sinx +2y +1=0 D .-(y +1)sinx +2y +1=0 10.已知,函数y =2sin(ωx +θ)为偶函数(0<θ<π) 其图象与直线y =2的交点的横坐标为x 1,x 2,若| x 1-x 2|的最小值为π,则 ( ) A .ω=2,θ= 2π B .ω=2 1 ,θ=2π C .ω=21 ,θ=4π D .ω=2,θ=4 π 二、填空题 11.f (x)=A sin(ωx +?)(A>0, ω>0)的部分如图,则f (1) +f (2)+…+f (11)= . 三角形解答题单元培优测试卷 一、八年级数学三角形解答题压轴题(难) 1.已知在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°. (1)∠ABC+∠ADC=°; (2)如图①,若DE平分∠ADC,BF平分∠ABC的外角,请写出DE与BF的位置关系,并证明; (3)如图②,若BE,DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角(即∠CDE=1 4 ∠CDN,∠CBE =1 4 ∠CBM),试求∠E的度数. 【答案】(1)180°;(2)DE⊥BF;(3)450 【解析】 【分析】 (1)根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解; (2)延长DE交BF于G,根据角平分线的定义可得∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 然后求出∠CDE=∠CBF,再利用三角形的内角和定理求出∠BGE=∠C=90°,最后根据垂直的定义证明即可; (3)先求出∠CDE+∠CBE,然后延长DC交BE于H,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可. 【详解】 (1)解:∵∠A=∠C=90°, ∴∠ABC+∠ADC=360°-90°×2=180°; 故答案为180°; (2)解:延长DE交BF于G, ∵DE平分∠ADC,BF平分∠CBM, ∴∠CDE=1 2 ∠ADC,∠CBF= 1 2 ∠CBM, 又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-(180°-∠ADC)=∠ADC,∴∠CDE=∠CBF, 又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE, ∴∠BGE=∠C=90°, ∴DG⊥BF, 即DE⊥BF; (3)解:由(1)得:∠CDN+∠CBM=180°,∵BE、DE分别四等分∠ABC、∠ADC的外角, ∴∠CDE+∠CBE=1 4 ×180°=45°, 延长DC交BE于H, 由三角形的外角性质得,∠BHD=∠CDE+∠E,∠BCD=∠BHD+∠CBE, ∴∠BCD=∠CBE+∠CDE+∠E, ∴∠E=90°-45°=45° 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理,四边形的内角和定理,角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记各性质是解题的关键,要注意整体思想的利用. 2.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题: (1)图中共有三角形个. (2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式 表示),并证明你的结论. (3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论. 【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+1 2 x ) ;(3)(180-x). 【解析】 【分析】 本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知 创作编号:BG7531400019813488897SX 创作者: 别如克* 三角函数 一、选择题 1.已知 α 为第三象限角,则 2 α 所在的象限是( ). A .第一或第二象限 B .第二或第三象限 C .第一或第三象限 D .第二或第四象限 2.若sin θcos θ>0,则θ在( ). A .第一、二象限 B .第一、三象限 C .第一、四象限 D .第二、四象限 3.sin 3π4cos 6π5tan ??? ??3π4-=( ). A .- 4 3 3 B . 4 3 3 C .- 4 3 D . 4 3 4.已知tan θ+θtan 1 =2,则sin θ+cos θ等于( ). A .2 B .2 C .-2 D .±2 5.已知sin x +cos x =51 (0≤x <π),则tan x 的值等于( ). A .- 4 3 B .- 3 4 C . 4 3 D . 3 4 6.已知sin α >sin β,那么下列命题成立的是( ). A .若α,β 是第一象限角,则cos α >cos β B .若α,β 是第二象限角,则tan α >tan β C .若α,β 是第三象限角,则cos α >cos β D .若α,β 是第四象限角,则tan α >tan β 7.已知集合A ={α|α=2k π±3π2,k ∈Z },B ={β|β=4k π±3 π2,k ∈Z },C = {γ|γ=k π± 3 π 2,k ∈Z },则这三个集合之间的关系为( ). A .A ?B ?C B .B ?A ?C C .C ?A ?B D .B ?C ?A 8.已知cos (α+β)=1,sin α=31 ,则sin β 的值是( ). A .3 1 B .-3 1 C . 3 2 2 D .- 3 2 2 9.在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 取值范围为( ). A .??? ??2π ,4π∪??? ??4π5 ,π B .?? ? ??π ,4π C .?? ? ??4π5 ,4π D .??? ??π ,4π∪??? ? ?23π ,4π5 10.把函数y =sin x (x ∈R )的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的2 1 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是( ). A .y =sin ??? ? ? 3π - 2x ,x ∈R B .y =sin ?? ? ??6π + 2x ,x ∈R C .y =sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R D .y =sin ??? ? ? 32π + 2x ,x ∈R 二、填空题 11.函数f (x )=sin 2 x +3tan x 在区间??? ???3π4π ,上的最大值是 . 12.已知sin α= 552,2 π ≤α≤π,则tan α= . 13.若sin ??? ??α + 2π=53,则sin ?? ? ??α - 2π= . 14.若将函数y =tan ??? ? ? 4π + x ω(ω>0)的图象向右平移6π个单位长度后,与函数y =tan ??? ? ? 6π + x ω的图象重合,则ω的最小值为 . 15.已知函数f (x )=21(sin x +cos x )-2 1 |sin x -cos x |,则f (x )的值域是 . 16.关于函数f (x )=4sin ??? ? ? 3π + 2x ,x ∈R ,有下列命题:三角函数章节测试题A
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