三角函数及解三角形测试题(含答案)

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三角函数及解三角形测试题(含答案)

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

三角函数与解三角形测试题(含答案解析)

三角函数与解三角形本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部。

总分值150分。

考试时间120分钟。

第一卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符号题目要求的。

)1．角α终边上一点P ，则2sin 23tan αα-=〔〕A ．1--B ．1-C ．-D ．0[答案] D 2．y＝(sin x＋cos x )2－1是( )A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数[答案] D[解析] y ＝(sin x ＋cos x )2－1＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以函数y ＝(sin x ＋cos x )2－1是最小正周期为π的奇函数．3．把函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移π6个单位，再将图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为y ＝sin x ，则 ( )A ．ω＝2，φ＝π6B ．ω＝2，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝π12[答案] B[分析] 函数y ＝sin(ωx ＋φ)经过上述变换得到函数y ＝sin x ，把函数y ＝sin x 的图象经过上述变换的逆变换即可得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．[解析] 把y ＝sin x 图象上全部点的横坐标缩小到原来的12倍得到的函数解析式是y ＝sin2x ，再把这个函数图象向右平移π6个单位，得到的函数图象的解析式是y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，与函数比拟得ω＝2，φ＝－π3. [点评] 此题考查三角函数图象的变换，试题设计成逆向考查的方法更能考查出考生的分析解决问题的灵敏性，此题也可以根据比拟系数的方法求解，根据的变换方法，经过两次变换后函数y ＝sin(ωx ＋φ)被变换成y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx 2＋ωπ6＋φ比拟系数也可以得到问题的答案． 4．tan α＝2，则2sin 2α＋1sin2α＝ ( )A.53 B ．－134C.135D.134[答案] D[解析] ∵tan α＝2，∴2sin 2α＋1sin2α＝3sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＝3tan 2α＋12tan α＝134.5．函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最大值是2，则ω的最小值等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3[答案] C[解析] 由条件知f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4ω＝2，∴ω＝8k ＋2，∵ω>0，∴ω最小值为2. 6．假设函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)的最小正周期为1，则它的图像的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫－π8，0 B.⎝⎛⎭⎫π8，0 C ．(0,0) D.⎝⎛⎭⎫－π4，0 [答案] A[分析] 把函数化为一个角的一种三角函数，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据对称中心是函数图象与x 轴的交点进行检验或直接令f (x )＝0求解．[解析] f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，这个函数的最小正周期是2πω，令2πω＝1，解得ω＝2，故函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，把选项代入检验知点⎝⎛⎭⎫－π8，0为其一个对称中心．[点评] 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称中心，就是函数图象与x 轴的交点． 7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是 ( ) A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2[答案] D[解析] 由最大值为4，最小值为0得⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋m ＝4－A ＋m ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2m ＝2，又因为正周期为π2，∴2πω＝π2，∴ω＝4，∴函数为y ＝2sin(4x ＋φ)＋2，∵直线x ＝π3为其对称轴，∴4×π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝k π－5π6，取k ＝1知φ＝π6，应选D.8．cos(x ―π6)=― 3 3 ，则cosx+cos(x ―π3)的值是 ( )A 、― 2 3 3B 、± 2 33C 、―1D 、±19．△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于 ( )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°[答案] D[解析] 根据正弦定理得1sin A ＝2sin45°，∴sin A ＝12，∵a <b ，∴A 为锐角，∴A ＝30°，应选D.10．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的一局部图象如下图，如图A >0，ω>0，|φ|<π2，则( )A ．φ＝－π6B ．φ＝－π3C ．φ＝π3D ．φ＝π6[答案] D[解析] 由图可知⎩⎪⎨⎪⎧ A ＋b ＝4－A ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2b ＝2，又T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2， ∴y ＝2sin(2x ＋φ)＋2，将⎝⎛⎭⎫5π12，2代入得sin ⎝⎛⎭⎫5π6＋φ＝0，结合选项知选D. 第二卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共5个小题，每题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2.12．在△ABC 中，假设a ＝b ＝1，c ＝3，则∠C ＝________.[解析] cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1＋1－32＝－12，∴C ＝2π3.13．假设tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．[答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.14．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈[0，π2]上有两个不同的零点，则m 的取值范围是________． [答案] [－1,2][解析] f (x )在[0，π2]上有两个不同零点，即方程f (x )＝0在[0，π2]上有两个不同实数解，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈[0，π2]与y ＝m 有两个不同交点， ∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin(2x －π6)≤1，∴－1≤y ≤2，∴－1≤m ≤2.15．对于函数f (x )＝2cos 2x ＋2sin x cos x －1(x ∈R )给出以下命题： ①f (x )的最小正周期为2π； ②f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；③直线x ＝π8是f (x )的图像的一条对称轴；④f (x )的图像可以由函数y ＝2sin2x 的图像向左平移π4而得到．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的都填上)．[答案] ②③[解析] f (x )＝cos2x ＋sin2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，最小正周期T ＝π；由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，故f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴x ＝π8是f (x )的图象的一条对轴称；y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到的图象对应函数为y ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2，因此只有②③正确．三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题总分值12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的局部图象如下图．(1)求函数f (x )的解析式；(2)假设f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值． [解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝⎛⎭⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (2)f ⎝⎛⎭⎫α2＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，又0<α<π3， ∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. 又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6sin π6＝33＋410. 17．(本小题总分值12分) )cos 2,sin (cos ),sin ,sin (cos x x x b x x x a -=+=,设b a x f ⋅=)(.(1)求函数)(x f 的单调增区间；〔2〕三角形ABC 的三个角,,A B C 所对边分别是,,a b c ，且满足(),103A fB π==+=，求边c .[解析](1) b a x f ⋅=)( =x x x x x x cos 2sin )sin (cos )sin (cos ⋅+-⋅+ =x x x x cos sin 2sin cos 22+- =x x 2sin 2cos +=)2sin 222cos 22(2x x +=cos2cossin 2)44x x ππ+=)42sin(2π+x ………………………………3分由()f x 递增得：222242k x k πππππ-+≤+≤+即3,88k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ∴)(x f 的递增区间是3[,],88k k k Z ππππ-++∈ 。

2022年高考数学真题：三角函数与解三角形(解析版)

第3讲三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·全国·高考真题（理））双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 的两支交于M ，N 两点，且123cos 5F NF ，则C 的离心率为（）AB ．32C ．132D ．172【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF ，21F F N ，即可求出sin ，sin ，cos ，在21F F N 中由12sin sin F F N 求出12sin F F N ，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a ，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ，因为123cos 05F NF，所以N 在双曲线的右支，所以OG a ，1OF c ，1GF b ，设12F NF ，21F F N ，由123cos 5F NF，即3cos 5 ，则4sin 5=，sin a c ，cos b c ，在21F F N 中，12sin sin sin F F N 4334sin cos cos sin 555b a a bc c c，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c c F F N ，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c，2555sin 222c c a a NF c 又12345422222a b a b aNF NF a，所以23b a ，即32b a ，所以双曲线的离心率132c e a故选：C2．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4，则（）A ． tan 1B ． tan 1C ． tan 1D ． tan 1【答案】C 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin ,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0 ，即： sin cos 0 ,所以 tan 1 ,故选：C3．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b的最小正周期为T ．若23T ，且()y f x 的图象关于点3,22中心对称，则2f（）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ，得223，解得23 ，又因为函数图象关于点3,22对称，所以3,24k k Z ，且2b ，所以12,63k k Z ，所以52 ，5()sin 224f x x ，所以5sin 21244f .故选：A4．（2022·全国·高考真题（理））设函数π()sin 3f x x在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）A ．513,36B ．519,36C ．138,63D ．1319,66【答案】C 【解析】【分析】由x 的取值范围得到3x的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．【详解】解：依题意可得0 ，因为 0,x ，所以,333x，要使函数在区间 0, 恰有三个极值点、两个零点，又sin y x ，,33x的图象如下所示：则5323 ，解得13863 ，即138,63．故选：C ．5．（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是的AB 中点，D 在 AB 上，CD AB ．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CD s AB OA．当2,60OA AOB 时，s （）A ．112B ．112C D ．92【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ，又CD AB ，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ，又60AOB ，所以2AB OA OB ，则OC 2CD所以22211222CD s AB OA.故选：B.6．（2022·全国·高考真题（理））函数 33cos x xy x 在区间ππ,22的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令33cos ,,22x xf x x x，则 33cos 33cos x x x xf x x x f x ，所以 f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x时，330,cos 0x x x ，所以 0f x ，排除C.故选：A.7．（2022·全国·高考真题（文））将函数π()sin (0)3f x x的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k kZ ，即可求出的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x，又C 关于y 轴对称，则,232k kZ ，解得12,3k kZ ，又0 ，故当0k 时，的最小值为13.故选：C.二、填空题8．（2022·全国·高考真题（理））记函数 cos (0,0π)f x x 的最小正周期为T ，若3()2f T ，9x 为()f x 的零点，则的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据f T ，再根据π9x 为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解：因为 cos f x x ，（0 ，0π ）所以最小正周期2πT，因为 2π3cos cos 2πcos 2f T，又0π ，所以π6 ，即 πcos 6f x x，又π9x为 f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ，解得39,Z k k ，因为0 ，所以当0k 时min 3 ；故答案为：39．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ．当ACAB取得最小值时，BD ________．1## 【解析】【分析】设220CD BD m ，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m ，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m ，所以 2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m44 当且仅当311mm 即1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m .1.三、解答题10．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S ，已知1233123S S S B ．(1)求ABC 的面积；(2)若2sin sin 3A C ，求b ．【答案】(2)12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由123S S S 2222a c b ，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C，即可求解.(1)由题意得22221231,,2S a a S b S c ，则2221234442S S S a b c，即2222a c b ，由余弦定理得222cos 2a c b B ac ，整理得cos 1ac B ，则cos 0B ，又1sin 3B ，则cos B ，1cos ac B 1sin 2ABC S ac B (2)由正弦定理得：sin sin sin b a cB AC ，则223294sin sin sin sin sin 423b ac ac B A C A C，则3sin 2b B ，31sin 22b B .11．（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B．(1)若23C，求B ；(2)求222a b c的最小值．【答案】(1)π6；(2)5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B化成cos sin A B B ，再结合π02B，即可求出；（2）由（1）知，π2C B ，π22A B ，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c 化成2224cos 5cos B B，然后利用基本不等式即可解出．(1)因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B BA B B B，即1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C，而π02B ，所以π6B ；(2)由（1）知，sin cos 0B C ，所以πππ,022C B ，而πsin cos sin 2B C C，所以π2C B，即有π22A B ．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB．当且仅当2cos 2B 时取等号，所以222a b c的最小值为5．12．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知 sin sin sin sin C A B B C A ．(1)若2A B ，求C ；(2)证明：2222a b c 【答案】(1)5π8；(2)证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得， sin sin C C A ，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．(1)由2A B ， sin sin sin sin C A B B C A 可得， sin sin sin sin C B B C A ，而π02B，所以 sin 0,1B ，即有 sin sin 0C C A ，而0π,0πC C A ，显然C C A ，所以，πC C A ，而2A B ，πA B C ，所以5π8C ．(2)由 sin sin sin sin C A B B C A 可得，sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A ，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C ，然后根据余弦定理可知，22222222222211112222a c b b c a b c a a b c ，化简得：2222a b c ，故原等式成立．27．（2022·全国·高考真题（理））记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A ．(1)证明：2222a b c ；(2)若255,cos 31a A ，求ABC 的周长．【答案】(1)见解析(2)14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c ，即可得解.(1)证明：因为 sin sin sin sin C A B B C A ，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C ，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab，即22222222222a c b a b c b c a ，所以2222a b c ；(2)解：因为255,cos 31a A ，由（1）得2250bc ，由余弦定理可得2222cos a b c bc A ，则50502531bc ，所以312bc，故 2222503181b c b c bc ，所以9b c ，所以ABC 的周长为14a b c .。

三角函数与解三角形测试卷(二)

三角函数与解三角形测试卷（二）一、单选题1．在△ABC 中，60A ∠=︒，6a =，4b =，则满足条件的△ABC （） A ．无解B ．有一解C ．有两解D ．不能确定2．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（）A ．cos y x =B ．sin y x =C ．cos 2xy =D ．tan y x =3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．4．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为36m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A 、教堂顶C 的仰角分别是45和60，在建筑物顶A 处测得教堂顶C 的仰角为15，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD 约为（）A ．54mB ．47mC ．50mD ．44m5．已知函数()13π2sin (0,)6f x x m x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++=（） A ．4πB ．2πC ．4π3D ．7π36．已知sin sin 13πθθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则tan 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．63B ．33C ．±2D ．±227．tan10tan 503tan10tan 50++的值为（） A ．33B ．3C ．1D ．3-8．已知()1sin 5αβ+=，()3sin 5αβ-=，则tan tan αβ的值为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-9．已知函数()()sin 20,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin 2y x =的图象 C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为3D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数10．在ABC 中，A ，B ，C 分别为ABC 三边a ，b ，c 所对的角，若cos 32B B =，且cos cos 2sin sin 3sin B C A Bb c C+=，则a c +的最大值是（） A ．1 B 3C ．2 D ．2311．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2222022a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B +的值为（）A ．0B ．1C ．2021D ．202212．已知M 是ABC 内的一点，且2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，12MBC ABC S S =△△，则11MABMACS S +△△的最小值是（）A ．8B ．4C ．2D ．1二、填空题13．已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足22230b c ac --=，sin()2sin A B A +=，则cos C ___________．15．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin a A b B c b C =++，若角A 的内角平分线AD 的长为2，则△ABC 面积的最小值为______．16．已知函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且函数()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，则实数ω的取值范围是_______. 三、解答题17．设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知3c =，且()cos 2A B C ++=.(1)求角C 的大小；(2)若向量()sin ,1m A =-与()2,sin n B =互相垂直，求a 、b 的值.18．从①)sin sin sin c C a A b B -=-；② sin 22A A =补充到下面横线处，并解答：在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，AB =(1)求角A ；(2)若ABC 外接圆的圆心为O ，11cos 14AOB ∠=，求BC 的长. 注：如果选择多个条件分别解答；按第一个解答计分.19．在ABC 中．3sin cos 64A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭．(1)求角A ；(2)若8AC =，点D 是线段BC 的中点，DE AC ⊥于点E ，且DE =CE 的长．20．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，tan tan b A b B += (1)求角B ；(2)D 是AC 边上的点，若1CD =，3AD BD ==，求sin A 的值． 21．如图，在平面四边形ABCD 中，3,2,4B BC ABC π∠==的面积 2.ABCS =(1)求AC 的长；(2)从条件①､条件②､条件③这三个条件中任选两个作为已知，判断DCA BCA ∠=∠是否可能成立，并说明理由. 条件①：4D π∠=；条件②：4=AD ；条件③：6CD =.22．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC )32b c a-的取值范围．参考答案：1．A 【解析】【分析】根据正弦定理进行判断即可. 【详解】由正弦定理可知：4sin 1sin sin sin a bB A B B==⇒=，显然不存在这样的角B ，故选：A 2．B 【解析】【分析】利用最小正周期为π排除选项AC ；利用在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减排除选项D ；选项B 以π为最小正周期，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，判断正确.【详解】选项A ：cos y x =最小正周期为2π.判断错误；选项B ：sin y x =最小正周期为π，且在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减.判断正确；选项C ：cos 2xy =最小正周期为4π.判断错误；选项D ：tan y x =在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增. 判断错误.故选：B 3．B 【解析】【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可. 【详解】因为2sin ()2x f x x =+，定义域为R所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B. 4．A 【解析】【分析】根据题意求得AM =AMC 中由正弦定理求出CM ，即可在直角CDM 中求出CD .【详解】由题可得在直角ABM 中，45AMB ∠=︒，36AB =，所以AM = 在AMC 中，180604575AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒，所以由正弦定理可得sin 45sin 60AM CM=︒︒，所以CM ==则在直角CDM 中，sin6054CD CM =⋅︒=，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故选：A. 5．A 【解析】【分析】根据正弦函数的对称性，结合函数零点的定义进行求解即可. 【详解】令()2sin 02sin f x x m m x =-=⇒=，当13π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数有三个零点，因此函数,2sin y m y x ==的图象有三个不同的交点，因为13ππ12sin2sin 21662==⨯=，所以[0,1]m ∈，显然有123π13π0π<2π26x x x ≤<<≤≤≤，而12,x x 关于直线π2x =对称，23,x x 关于直线3π2x =对称，所以21231232π3π224π22x x x x x x x ++=+++=⨯+⨯=，故选：A 6．D 【解析】【分析】根据两角和的正弦公式展开，之后再用辅助角公式可得sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭函数的关系求解即可. 【详解】sin sin()13πθθ++=，则1sin sin 12θθθ+=，即3sin 12θθ+=，1cos 2θθ+=sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以tan 6πθ⎛⎫+== ⎪⎝⎭故选：D 7．B 【解析】【分析】由()tan 60tan 10503=+=，利用两角和差正切公式可整理得到结果. 【详解】()tan10tan 50tan 60tan 105031tan10tan 50+=+==-，tan10tan 5033tan10tan 50∴+=-，tan10tan 503tan10tan 503∴++=. 故选：B. 8．B 【解析】【分析】首先根据正弦两角和差公式得到2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，再利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题知：()()1sin sin cos cos sin 53sin sin cos cos sin 5αβαβαβαβαβαβ⎧+=+=⎪⎪⎨⎪-=-=⎪⎩，解得2sin cos 51cos sin 5αβαβ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以tan sin cos 2tan cos sin ααββαβ==-. 故选：B 9．D 【解析】【分析】先由函数图象求出函数解析式，然后再逐个分析判断【详解】因为()f x 的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，因为02πϕ<<，所以6π=ϕ，因为()f x 的图象过点2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以由五点作图法可知43362πππω⋅+=，得1ω=，所以()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，对于A ，因为2sin sin 13362f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3x π=-为()f x 的图象的一条对称轴，所以A 错误，对于B ，()f x 的图象向右平移6π个单位后，得sin 2sin 2666y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以B错误，对于C ，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-，所以C 错误，对于D ，sin 2sin 2cos 26662f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，因为()cos(2)cos 2()g x x x g x -=-==，所以()cos 26g x f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭为偶函数，所以D 正确，故选：D 10．D 【解析】【分析】根据已知条件求得,B b ，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最大值问题求解即可. 【详解】cos 2B B =得sin 16B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又7666B πππ<+<，所以3B π=. 在ABC 中，由正弦定理得：cos cos cos cos sin cos sin cos sin 2sin sin sin sin 3sin B C c B b C C B B C A A Bb c bc b C b C C+++====所以32sin b B=()2sin sin 2sin 2sin sin 36b a c A C A A A B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故当62A ππ+=，即3A π=时，a c +取得最大值故选：D 11．C 【解析】【分析】将给定三角式切化弦，再利用正弦定理角化边，借助余弦定理及已知计算作答. 【详解】在ABC 中，由余弦定理得：22222cos 2021ab C a b c c =-=+，所以sin sin 22tan tan 2sin sin cos cos cos sin sin sin tan (tan tan )sin (sin cos cos sin )()cos cos cos A BA B A B C A B C A B C A B C A B A B C A B⋅⋅==+++ 222sin sin cos 2sin sin cos 2cos 2021sin sin()sin A B C A B C ab CC A B C c ====+.故选：C 12．A 【解析】【分析】利用向量数量积公式及三角形面积公式可得ABC 的面积，结合已知可得12MAB MACS S+=，再根据基本不等式即可求解. 【详解】∵2AB AC ⋅=，4BAC π∠=，∴cos 222AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=⋅∠=⇒⋅= ∴1sin 4512ABCSAB AC =⋅︒=，因为ABCMBCMABMACS SSS=++，12MBC ABC S S =△△，所以1122MAB MACABCSSS +==，所以()22221122442MAC MAC MAB MABMABMACMABMAC MAB MAC MAB MACS S S S S SS S S S S S ⎛⎫++=++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 448=+=，当且仅当22MAC MABMAB MACS S S S =，即14MACMABS S==时取等. 故选：A. 13．0 【解析】【分析】利用诱导公式化简每一个式子，再把已知代入即得解. 【详解】因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.故答案为：0 14【解析】【分析】利用正弦定理角化边及其余弦定理即可求解. 【详解】∵sin()2sin A B A +=，∴sin 2sin C A =, 由正弦定理得2c a =，∵ 22230b c ac --=，∴22222b c c ac -=+，由余弦定理得：2222cos b c a ac B -=-，∴2224cos a ac B c ac -=+， ∴ 222228cos 42a a B a a -=+， ∴228cos 4a B a -=，解得1cos 2B =-，又∵0πB <<，∴2π3B =, 将2c a =代入22230b c ac --=得b =, 由正弦定理可得sin sin b c B C =，即22πsin sin 3c C =，解得sin 7C =，又∵π02C <<，∴cos C ===. 15．【解析】【分析】利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理即可求出角A ，由三角形面积相等，结合基本不等式求面积的最小值. 【详解】本题考查解三角形的应用，考查逻辑推理的核心素养．因为()sin sin sin a A b B c b C =++，所以222a b c bc =++．由余弦定理易得1cos 2A =-，又0A π<<所以23A π=．因为AD 平分角A ，所以∠BAD ＝∠CAD ＝60°．由ABCABDACDSSS=+，得111sin120sin 60sin 60222bc c AD b AD ︒=⋅︒+⋅︒，即()2bc b c =+≥16bc ≥，当且仅当b ＝c 时，等号成立，所以△ABC 面积的最小值为故答案为： 16．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】第一步，函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增结合()2sin f x xω=（0>ω）在ππ22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，单调递增得到3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得出203ω<≤ . 第二步，()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，解出实数ω的取值范围.第三步，求出交集即可. 【详解】由题及ππ22x ω-≤≤得()2sin f x x ω=（0>ω）在ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，又函数()2sin f x x ω=（0>ω）在区间3ππ,43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，3ππππ,4322ωω⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，得203ω<≤ . ()2sin 2g x x ω=+在[]2,0π-上有且仅有一个零点，可得12π2π452π2π4ωω⎧⨯≤⎪⎪⎨⎪⨯>⎪⎩，所以，1544ω≤<，所以，1243ω≤≤. 故答案为：1243⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.17．(1)3C π=(2)a =b = 【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）由平面向量垂直的坐标表示以及正弦定理可得出2b a =，再利用余弦定理可求得a 、b 的值. (1)()cos cos 2sin 26A B C C C C π⎛⎫++=+=+= ⎪⎝⎭，所以，sin 61C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0C π<<，则7666C πππ<+<，62C ππ∴+=，解得3C π=. (2)解：由已知2sin sin 0m n A B ⋅=-=，则2b a =，由余弦定理可得22222292cos 3c a b ab C a b ab a ==+-=+-=，因此，a =b =18．(1)π6A =(2)BC =【解析】【分析】（1）选择条件①可以用正弦定理进行角化边即可求解，选择条件②利用辅助角公式进行三角恒等变换即可.（2）利用圆的角度关系和正弦定理即可求解. (1)解：选择条件①：因为)sin sin sin c C a A b B -=-，由正弦定理，可得)22c a bb -=-，即222b c a +-=，所以222cos 2b c A bc a +===-. 因为()0,πA ∈，所以π6A =.选择条件②：因为sin 22A A =所以π2sin 23A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 23A ⎛⎫+=⎪⎝⎭因为()0,πA ∈所以ππ7π2,333A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以π2π233A +=，π6A =.(2)由题意，O 是ABC 外接圆的圆心，所以2AOB C ∠=，所以211cos cos 212sin 14AOB C C ∠==-=故此sin C =. 在ABC 中，由正弦定理，sin sin AB BC C A=12BC=，解得BC =19．(1)3A π=(2)134【解析】【分析】（1）利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简可得sin 216A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，由此可求得A ；（2）利用面积桥可求得AB ，利用余弦定理求得BC 后可得CD ，由勾股定理可得结果.(1)21sin cos sin cos cos sin sin cos sin 6662A A A A A A A Aπππ⎛⎫⎛⎫-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311113sin 2cos 2sin 24442644A x A π⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭，sin 216A π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭；()0,A π∈，112,666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，262A ππ∴-=，解得：3A π=.(2)D 是BC 中点，1228632ABCADCSSAC DE DE ∴==⨯⋅==又1sin 23632ABCSAB AC A AB =⋅==3AB =；在ABC 中，由余弦定理得：2222cos 9642449BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-=， 7BC ∴=，则72CD =，224927134164CE CD DE ∴=-=-. 20．(1)3B π=(2)21sin A = 【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角、切化弦，结合三角恒等变换公式可化简已知等式求得cos B ，由此可得B ；（2）设ABD BAD θ∠=∠=；在ABC 和BDC 分别利用正弦定理和余弦定理可构造关于sin θ的方程，解方程可求得结果.(1)由3tan tan c b A b B +=sin sin 3cos cos A B c A B +=由正弦定理得：()sin sin sin sin cos cos sin 3sin cos cos cos cos cos cos A B A B A B A B CA B A B A B +++===()()sin sin sin A B C C π+=-=，又()0,C π∈，sin 0C ∴≠，sin cos 3cos cos B A A B ∴=；tan A 有意义，cos 0A ∴≠，sin 3cos B B ∴=，即tan 3B =，又()0,B π∈，3B π∴=.(2)AD BD =，ABD BAD ∴∠=∠，设ABD BAD θ∠=∠=，则2BDC θ∠=，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC ABCθ=∠，即4sin 83sin 3BC θθπ==；在BDC 中，由余弦定理得：2222cos 2106cos 2BC BD CD BD CD θθ=+-⋅=-；()2264sin 106cos 210612sin 3θθθ∴=-=--，解得：23sin 7θ=，即23sin 7A =，又()0,A π∈，21sin A ∴=21．(1)25(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由面积公式先求出AB 的长，进而根据余弦定理求出AC 的长.（2）由题设，可以随意选择两个条件，去判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等.但是优先选择哪两个条件思维逻辑最清晰､解题过程最简洁是同学们应该思考的.由第一问可知，ABC 是唯一确定的三角形，sin ,cos BCA BCA ∠∠都是可求的，而要判断DCA ∠与BCA ∠是否可能相等，可转化为判断它们的某一个三角函数值是否相等，因此首选条件②和条件③，此时ADC 中的三条边长都知道，容易计算余弦值.如果看到条件①4D π∠=，正好满足D B π∠+∠=，能够想到四点共圆，那么圆周角相等则对应的弦长相等，因此选条件①和条件②也非常简单.最麻烦的是选择条件①和条件③，因为此时ADC 中知道的条件是边边角，ADC 不一定唯一确定，需要讨论. (1) 因为3,2,24ABCB BC S π∠===，所以在ABC 中，由1sin 2ABCSAB BC B =⋅⋅，得2sin ABC S AB BC B ===⋅由余弦定理2222cos AC ABBC AB BC B =-+⋅，得2842220AC ⎛=+-⋅⋅= ⎝⎭，所以AC =(2)选择条件②：4=AD 和条件③：6CD =，在ADC 中由余弦定理可得222cos 2CD CA AD DCA CD CA ∠+-==⋅，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅，因为cos cos DCA BCA ∠∠≠，所以DCA BCA ∠∠≠；选择条件①：4D π∠=和条件②：4=AD ，在ADC 中，由正弦定理可得sin sin AC ADD DCA∠=，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin AC ABB BCA=∠，所以，若DCABCA ∠=∠，则AD AB =，与4,AD AB == 所以DCA BCA ∠∠≠；选择条件①：4D π∠=和条件③：6CD =，在ABC 中由余弦定理可得222cos 2CB CA AB BCA CB CA ∠+-=⋅. 在ADC 中，由余弦定理2222cos AC ADDC AD DC D =+-⋅，可得2160AD -+=，所以AD =AD =当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-==⋅因为cos cosDCA BCA∠∠=，且(),0,DCA BCA∠∠π∈，所以DCA BCA∠=∠.当AD=ADC中，由余弦定理可得222cos2CD CA ADDCACD CA∠+-=⋅，因为cos cosDCA BCA∠∠≠，所以DCA BCA∠∠≠.所以选择条件①和条件③时，当AD=DCA BCA∠=∠成立；当AD= DCA BCA∠∠≠.22．(1)3Aπ=；(2)11,22⎛⎫-⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）角换边，在利用余弦定理求解；（2）边换角，将待求表达式表示成关于B的三角函数，利用锐角三角形条件求出B的范围，最后再求表达式的范围即可.(1)因为()()sin sin2sin sin sina A c C Bb C B=-++，所以由正弦定理得()()22a c cb bc b=-++，整理得222b c a bc+-=，由余弦定理得2221cos22b c aAbc+-==．因为0Aπ<<，所以3Aπ=．(2)由正弦定理得)sin sin2sin sin sin sin sin2sin33b c B CB C B B Ba Aππ--⎛⎫⎛⎫==-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为ABC为锐角三角形，所以0,220,32BBπππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩解得62B ππ<<，所以636B πππ-<-<，所以11sin 232B π⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，故)2b c a-的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)

三角函数与解三角形测试题（有解析、答案）(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17 D ．－7 解析：由α∈(π2，π)，sin α＝35，得tan α＝－34，tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝17.答案：A2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32解析：sin45°cos15°＋cos225°sin15°＝sin45°cos15°－cos45°sin15°＝sin(45°－15°)＝sin30° ＝12. 答案：C3．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：∵y ＝sin(2x －π3)＝sin2(x －π6)，∴只要将y ＝sin2x 的图像向右平移π6个单位便得到y ＝sin(2x －π3)的图像．答案：D4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 解析：∵sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ， ∴a 2＋b 2－ab ＝c 2，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×4×32＝ 3.答案：D5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析：由T ＝2πω＝2ππ2＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x ≤1时函数单调递增， x ＝0时y ＝0，x ＝1时y ＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x 值为1，第二个波峰对应的x 值为5，所以要区间[0，t ]上至少两个波峰，则t 至少为5. 答案：C6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin(x ＋π6)，∵0≤x ＜π2，∴f (x )max ＝2.答案：B7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π3解析：由已知得：f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，由于函数为奇函数，故有θ＋π3＝kπ⇒θ＝kπ－π3(k ∈Z)，可淘汰BC 选项，然后分别将A和D 选项代入检验，易知当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin2x 其在区间[－π4，0]上递减．答案：D8．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.14解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0， ∴4sin(α＋π6)＋4cos α－3＝0，∴sin αcos π6＋cos αsin π6＋cos α＝34，∴12sin α＋32cos α＝14，∴sin(α＋π3)＝14，∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：C9．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π4解析：T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，ω＝2πT ＝π4令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4. 答案：C10．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)解析：T ＝π，∴ω＝2.∵图像关于直线x ＝2π3对称，∴sin(2π3ω＋φ)＝±1即2π3×2＋φ＝π2＋kπ，k ∈Z 又∵－π2<φ<π2∴φ＝π6∴f (x )＝A sin(2x ＋π6)．再用检验法．答案：D第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________解析：由已知得cos α＝－32，则sin2α＝2sin αcos α＝2×12×(－32)＝－32.答案：－3212．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.解析：由图像知，函数的周期为32×T ＝π，∴T ＝2π3.∵f (π4)＝0，∴f (7π12)＝f (π4＋π3)＝f (π4＋T 2)＝－f (π4)＝0.答案：013．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.解析：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝2cos(10°－60°)2sin 240°＝2cos50°2sin40°＝ 2. 答案： 214．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.解析：因为图像的对称中心是与x 轴的交点，所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0，x 0∈[－π2，0]得x 0＝－π6.答案：－π615．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．解析：由a cos B －b cos A ＝35c 及正弦定理可得sin A cos B －sin B cos A ＝35sin C ，即sin A cos B－sin B cos A ＝35sin(A ＋B )，即5(sin A cos B －sin B cos A )＝3(sin A cos B ＋sin B cos A )，即sin A cos B ＝4sin B cos A ，因此tan A ＝4tan B ，所以tan Atan B＝4. 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．解：(1)∵cos(β－π4)＝13，∴cos(2β－π2)＝2cos 2(β－π4)－1＝2×19－1＝－79，即sin2β＝－79.(2)∵0<α<π2<β<π，∴π4<β－π4<3π4，π2<α＋β<3π2，∴sin(β－π4)>0，cos(α＋β)<0，∴sin(β－π4)＝223，cos(α＋β)＝－35.∴f (α)＝cos α－sin α＝2cos(α＋π4) ＝2cos[(α＋β)－(β－π4)]＝2[cos(α＋β)cos(β－π4)＋sin(α＋β)sin(β－π4)]＝2(－35×13＋45×223)＝16－3215.17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．解：(1)∵A 的坐标为(35，45)，根据三角函数的定义可知，sin α＝45，cos α＝35，∴1＋sin2α1＋cos2α＝1＋2sin αcos α2cos 2α＝4918.(2)∵△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°.∴cos ∠COB ＝cos(α＋60°)＝cos αcos60°－sin αsin60°＝35×12－45×32＝3－4310， ∴|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |cos ∠COB ＝1＋1－2×3－4310＝7＋435. 18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c . 解：由题lg a ＋lgcos A ＝lg b ＋lgcos B ，故a cos A ＝b cos B . 由正弦定理sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin2A ＝sin2B . 又cos A >0，cos B >0，故A ，B ∈(0，π2),2A,2B ∈(0，π)因a ≠b ⇒A ≠B ，故2A ＝π－2B . 即A ＋B ＝π2，故△ABC 为直角三角形．(2)由于m ⊥n ，所以2a 2－3b 2＝0 ① 且(m ＋n )·(－m ＋n )＝n 2－m 2＝14，即8b 2－3a 2＝14 ② 联立①②解得a 2＝6，b 2＝4，故在直角△ABC 中，a ＝6，b ＝2，c ＝10.19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．解：(1)∵a 与b 共线， ∴32cos x ＋sin x ＝0.∴tan x ＝－32. 故2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2013. (2)∵a ＋b ＝(sin x ＋cos x ，12)，∴f (x )＝(a ＋b )·b ＝(sin x ＋cos x ，12)·(cos x ，－1)．∴sin x cos x ＋cos 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )＝22sin(2x ＋π4)． ∵－π2≤x ≤0，∴－3π4≤2x ＋π4≤π4， ∴－1≤sin(2x ＋π4)≤22，∴f (x )的值域为[－22，12]． 20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f (x )的一个解析式； (2)根据(1)的结果，若函数y ＝f (kx )(k ＞0)周期为2π3，当x ∈[0，π3]时，方程f (kx )＝m 恰有两个不同的解，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )的最小正周期为T ，得 T ＝11π6 －(－π6)＝2π，由T ＝2πω，得ω＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧ B ＋A ＝3B －A ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝2B ＝1. 令ω·5π6＋φ＝π2，即5π6＋φ＝π2，解得φ＝－π3，∴f (x )＝2sin(x －π3)＋1.(2)∵函数y ＝f (kx )＝2sin(kx －π3)＋1的周期为2π3，又k ＞0，∴k ＝3. 令t ＝3x －π3，∵x ∈[0，π3]，∴t ∈[－π3，2π3]如图sin t ＝s 在[－π3，2π3]上有两个不同的解的充要条件是s ∈[32，1)，∴方程f (kx )＝m 在x ∈[0，π3]时恰好有两个不同的解的充要条件是m ∈[3＋1,3)，即实数m 的取值范围是[3＋1,3)． 21．(本小题满分13分)已知函数y ＝|cos x ＋sin x |.(1)画出函数在x ∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x 在R 上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x 是△ABC 的一个内角，且y 2＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)∵y ＝|cos x ＋sin x |＝2|sin(x ＋π4)|，∴当x ∈[－π4，7π4]时，其图像如图所示．(2)函数的最小正周期是π，在[－π4，3π4]上的单调递增区间是[－π4，π4]；由图像可以看出，当x ＝kπ＋π4(k ∈Z)时，该函数有最大值，最大值是 2.(3)若x 是△ABC 的一个内角，则有0<x <π， ∴0<2x <2π.由y 2＝1，得|cos x ＋sin x |2＝1⇒1＋sin2x ＝1. ∴sin2x ＝0，∴2x ＝π，x ＝π2，故△ABC 为直角三角形．。

三角函数恒等变形及解三角形练习题及答案

三角函数恒等变形及解三角形练习题一选择题1.若二三(一，二),且cos2> =sin( )，则sin2> 的值为 ( )( )A.锐角三角形 B .直角三角形C•钝角三角形 D .由增加的长度决定6. 若ABC 的三个内角A,B,C 满足6s in A=4si n B =3si nC,则ABC ( )A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7. 在△ ABC中，角A, B, C所对边的长分别为a, b, c,若a2+ b2= 2c2,则cos C 的最小值为()3 2A.yB.C.8. 设函数f(x) = l nx的定义域为(M「：)，且M• 0 ,且对任意a, b, c (M / ::),若a,b,c是直角三角形的三边长，且f(a), f(b), f(c)也能成为三角形的三边长，则M的最小值为()JIB = A2(1)求b的值；(2)求ABC的面积.14.已知向量m=(si nx,-1)，向量n=(J3cosx,—■)，函数f(x) = (m+ n)m.2(1) 求f(x)的最小正周期T ；(2) 已知a , b , c分别为- ABC内角A , B , C的对边，A为锐角，a = 2、3 , c= 4 , 且f(A)恰是f(x)在于上的最大值，求A , b和也ABC的面积S.A. 一12 B.12C.1D. -12 .若0 ：：：■n R n, 0,cos(1 H•'■■-Z),cos( -■- -.3■—) ,则cos(「r()2 2 434 2 3 2A. 3 B .一 3 C. 53D ..63 3 9 _ 93. 在ABC 中,a =15,b =10,A =60，则cosB 等于( ) 角A的大小为10.在二ABC 中，若a2• c2-b2tan B = , 3 ac ,则角B= ________________11.已知cos1a= 7, sin( a+ B) =^^，0< a<n，0< ，贝Vcos3= _____________12.在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a= 2, b= 2, sinB +A. -2 2B.2 2C.—-6D.-63 3 3 34. 在△ ABC中, a=2,A=45，若此三角形有两解，则b的范围为( ) A. 2 ::: b ::: 2 2 B . b > 2 C . b<2 D . 1• b「225. 如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，贝U得到的这个新三角形的形状为cosB= 2,则角A的大小为_______________________三解答题13.在ABC中，内角代B,C所对的边分别是a,b,c . cos^-6 ,3 A<2 B2「2 C.3 2 D.2二填空题9. 在 :ABC 中，内角A, B,C 所对边的长分别为a,b,c, 2asinA = (2b 「3c)sin B (2c ・「3b)sin C,则(n )已知 CABC 外接圆半径 R hJ 3，f (A ) f(B )=46s in Asin B ，角 A, B 所441 1对的边分别是a,b ，求—-的值.a bsin A sin B _ 2sin A 「sinC sin(A B) sin A-sin B16. 已知 f x = m n ，其中 m = sin x cos x, . 3cos x ， n 二 cos x -sin x2sin x ，且 -0，若f x 相邻两对称轴间的距离不小于 —。

三角函数与解三角形_测试题(有解析、答案)

三角函数与解三角形测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________．答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。

三角函数与解三角形测试题(含答案)

36
2
D.［k,k,kZ
63
5．圆的半径为4,a,b,c为该圆的内接三角形的三边，若abc162,则三角形的面积为（）
A.22B.82C.2D.
2
2
6．已知
4
cos且,,
52
则
tan等于(C)
4
A．－
1
7
1
7
B．－7C．
D．7
7．锐角三角形ABC中,a,b,c分别是三内角A,B,C的对边设B2A,则
336
9．函数ysin(2x)的图象经怎样平移后所得的图象关于点(,0)成中心对称（）
312
A.向左平移B.向左平移C.向右平移D.向右平移
126612
10．如果函数ysin2xacos2x的图象关于直线
x对称，那么a（）
6
A．3B．-
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C．-3D．
3
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11．函数y＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A、B分别为最高与最低点，
b
a
的取值范围是（D）
A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）
8．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为
π
，直线x＝
2
π
是其图象的
3
一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D)
π
A．y＝4sin4x＋
6B．y＝2sin2x＋
πππ
＋2C．y＝2sin4x＋＋2D．y＝2sin4x＋＋2
并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为(C)
A．x＝

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三角函数及解三角形一、选择题：1．设α是锐角,223)4tan(,+=+απ则=αcos （）2．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( A )A ．5海里B ．53海里C ．10海里D ．103海里3．若函数)0(sin )(>=ωωx x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π上单调递增，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ上单调递减，则=ω( )A ．3B ．24．已知函数)(),0(cos sin 3)(x f y x x x f =>+=ωωω的图象与直线2=y 的两个相邻交点的距离等于,π则)(x f 的单调递增区间是（） A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,125,12ππππ B. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,1211,125ππππ C. Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,6,3ππππ D.［Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,32,6ππππ5．圆的半径为c b a ,,,4为该圆的内接三角形的三边，若,216=abc 则三角形的面积为（）2 2 C. 2 D.226．已知54cos -=α且,,2⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα等于( C ) A ．－17 B ．－7 C ．17D ．77．锐角三角形ABC 中c b a ,,,分别是三内角C B A ,,的对边设,2A B =则ab的取值范围是（ D ）A ．（﹣2，2）B ．（0，2）C ．（，2） D ．（，）8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是(D )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2 D ．y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋29．函数)32sin(π+=x y 的图象经怎样平移后所得的图象关于点)0,12(π-成中心对称（） A.向左平移12π B.向左平移6π C.向右平移6π D.向右平移12π 10．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线6π-=x 对称，那么=a （）A ． 3B ．-33 C ．-3 D ．33 11．函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示，A 、B 分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为(C )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝212．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －ab ，则sin Csin A的值为( D ) A ．2 C ．2 3 D ．3 二、填空题： 13．已知,31)12sin(=+πα则=+)127cos(πα_____. 14．在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos cos b A c A a C =+，则sin A =________15．将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为3π4____．16．已知函数),,0)(sin(ππωϕωx x y ≤->+=的图象如图所示，则ϕ=________.17．在ABC ∆中,若,32,3,1π===C c b 则=a 。

18．在ABC∆中CB A ,,,所对的边分别为,,,c b a 且满足,12+=++c b a ,sin 2sin sin C B A =+则=c ；若,3π=C 则=∆ABC S三、解答题：19．已知函数(=cos (cos 3)f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.解：(Ⅰ) 1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减,即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈, 由2[0,][,]263k k πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ.------------------------------------13分20．向量m ＝(a ＋1，sin x )，n ＝(1,4cos(x ＋π6))，设函数g (x )＝m ·n (a ∈R ，且a为常数)．(1)若a 为任意实数，求g (x )的最小正周期；(2)若g (x )在[0，π3)上的最大值与最小值之和为7，求a 的值．[解析] g (x )＝m ·n ＝a ＋1＋4sin x cos(x ＋π6)＝3sin2x －2sin 2x ＋a ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a (1)g (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，T ＝π.(2)∵0≤x <π3，∴π6≤2x ＋π6<5π6当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，y max ＝2＋a .当2x ＋π6＝π6，即x ＝0时，y min ＝1＋a ，故a ＋1＋2＋a ＝7，即a ＝2.21.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且bcos C =3acos B -ccos B（1）求cos B 的值；（2）若BA ·BC =2，b =22,求a 和c22．在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,已知向量m →(),a c a b =+-,n →()sin ,sin sin B A C =-,且m →∥n →.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.23．在ABC ∆中C B A ,,,的对边分别为,,,c b a 已知,7,5==+c b a 且272cos 2sin 42=-+C B A . (1)求角C 的大小； (2)求ABC ∆的面积．[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝180°，4sin 2A ＋B2－cos2C ＝72.∴4cos 2C 2－cos2C ＝72，∴4·1＋cos C 2－(2cos 2C －1)＝72，∴4cos 2C －4cos C ＋1＝0，解得cos C ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴7＝(a ＋b )2－3ab ，解得ab ＝6.∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.24．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，0<α<π3，求cos α的值．[解析] (1)由图象知A ＝1f (x )的最小正周期T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2 将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1代入f (x )的解析式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π6故函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝45，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，又0<α<π3，∴π6<α＋π6<π2，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.又cos α＝[(α＋π6)－π6]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝33＋410.25．设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B =．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．解：（Ⅰ）sin cos b A B =， ……………2分由正弦定理得sin sin cos B A A B =，在△ABC 中，sin 0A ≠，即tan B =(0)B π∈，， ……………4分 3πB ∴=． ……………6分（Ⅱ）sin 2sin C A =，由正弦定理得2c a =， ……………8分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22942(2)cos 3πa a a a =+-⋅⋅， ……………10分解得a =2c a == ……………13分26．在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．27．已知函数f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ(|φ|<π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3<α<5π12，且f (α)＝45，求cos4α的值；(3)若0<θ<π8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4)<|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．28．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)． (1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．。