625任意角的三角函数习题课.docx

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高中数学 1.2 任意角的三角函数习题课课件新人教A版必修4

角度与弧度的互化
设 α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－π3. (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720°～0°范围内找出与它们终边相同的所有角．
思路点拨：(1)
α1，α2
角度―度的―与互→弧化
任意角三角函数的定义
已知角 α 的终边经过点 P( － 4a,3a)(a≠0)，求sin α、cos α、tan α的值．
思路点拨：求|OP| 任―意―角的―三定 ――角义―函→数 sin α、cos α与tan α
解：r＝－4a2＋3a2＝5|a|. 若 a>0，则 r＝5a，角 α 是第二象限角， sin α＝yr＝35aa＝35， cos α＝xr＝－54aa＝－45， tan α＝yx＝－3a4a＝－34. 若 a<0，则 r＝－5a，角 α 是第四象限角， sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.
α1，α2的弧度数
将―角分―进解→行
分别表示为β＋2kπ的形式，其中β∈[0，2π
―→
结果
(2)
β1，β2
角度与―弧 ―→度互化
β1，β2的角度数
―将分―角解→
写出适合条件的角
解：(1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－517800π＝－196π＝－2×2π＋56π， α2＝750°＝715800π＝256π＝2×2π＋π6. ∴α1 的终边在第二象限，α2 的终边在第一象限．
第一章三角函数习题课（一）任意角的三角函数
1．能进行弧度与角度的互化，认识终边相同的角并会简单运用．

高考数学专题《任意角和弧度制及任意角的三角函数》习题含答案解析

专题5.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．（2021·宁夏高三三模（文））已知角α终边经过点()1,2,P-则cosα=（）A．12B．12-C D．【答案】D【解析】直接利用三角函数的定义即可.【详解】由三角函数定义，cos5α==-.故选：D.2.（2021·中牟县教育体育局教学研究室高一期中）已知角α的终边经过点()3,1P-，则cosα=（）A B．C．D【答案】C【解析】由三角函数的定义即可求得cosα的值．【详解】角α的终边经过点(3,1)P-，cosα∴==故选：C．3．（2020·全国高一课时练习）若α＝－2，则α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】练基础根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad≈57.30°，所以－2 rad≈－114.60°，故α的终边在第三象限．故选：C.4．（2021·江苏高一期中）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于90︒的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过2小时，时针转过的角度为60︒；⑥若5α=，则α是第四象限角．其中正确的题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】结合象限角和任意角的概念逐个判断即可.【详解】对于①：钝角是大于90小于180的角，显然钝角是第二象限角. 故①正确；对于②：锐角是大于0小于90的角，小于90的角也可能是负角. 故②错误；对于③：359-显然是第一象限角. 故③错误；对于④：135是第二象限角，361是第一象限角，但是135361<. 故④错误；对于⑤：时针转过的角是负角. 故⑤错误；对于⑥：因为157.3rad≈，所以5557.3=286.5rad≈⨯，是第四象限角. 故⑥正确.综上，①⑥正确.故选：B.5．（2021·辽宁高三其他模拟）装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为23π，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩光的小灯泡且在背面用导线将小灯泡串连（弧的两端各一个灯泡，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为30厘米，则连接导线大致需要的长度约为（）A．55厘米B．63厘米C．69厘米D．76厘米【答案】B【解析】由于实际问题中扇形弧长较小，可将导线的长视为扇形弧长，利用弧长公式计算即可.【详解】因为在弧长比较短的情况下分成6等份，每部分的弦长和弧长相差很小，所以可以用弧长近似代替弦长，所以导线的长度为23020633ππ⨯=≈(厘米）．故选：B6．（2021·上海格致中学高三三模）半径为2，中心角为3π的扇形的面积等于（） A ．43π B ．πC ．23π D ．3π 【答案】C 【解析】根据扇形的面积公式即可求解. 【详解】解：因为扇形的半径2r ，中心角3πα=，所以扇形的面积2211222233S r ππα==⨯⨯=，故选：C.7．（2021·辽宁高三其他模拟）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中OA ＝20cm ，∠AOB ＝120°，M 为OA 的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（）A ．50πcm 2B ．100πcm 2C ．150πcm 2D ．200πcm 2【答案】B 【解析】根据扇形面积公式计算可得；【详解】解：扇环的面积为22211332400100222883r S r r παααπ⎛⎫=-==⨯⨯= ⎪⎝⎭．故选：B8．（2021·重庆八中高三其他模拟）如图所示，扇环ABCD 的两条弧长分别是4和10，两条直边AD 与BC 的长都是3，则此扇环的面积为（）A ．84B ．63C ．42D ．21【答案】D 【解析】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，依题意可得4αr =且()310αr +=，解得α、r ，进而可得结果. 【详解】设扇环的圆心角为α，小圆弧的半径为r ，由题可得4αr =且()310αr +=，解得2α=，2r ，从而扇环面积()221252212S =⨯⨯-=. 故选：D ．9．（2021·浙江高二期末）已知角α的终边过点(1,)P y ，若sin 3α=，则y =___________．【答案】【解析】利用三角函数的定义可求y . 【详解】由三角函数的定义可得sin α==y =故答案为：10．（2021·山东日照市·高三月考）已知函数()3sin,06log ,0xx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则13f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．【答案】12- 【解析】利用分段函数直接进行求值即可．【详解】∵函数()3,06log ,0xsinx f x x x π⎧≤⎪=⎨⎪>⎩， ∴311log 133f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝， ∴611(1)sin 32f f f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故答案为：12-.1．（2021·河南洛阳市·高一期中（文））点P 为圆221x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（）A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】先求出旋转角，就可以计算点的坐标了. 【详解】设旋转角为θ，则22123θπππ⨯⨯=，得23πθ=，从而可得1(,22P '-. 故选：B.2．（2021·上海高二课时练习）若A 是三角形的最小内角，则A 的取值范围是（）练提升A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】由给定条件结合三角形三内角和定理即可作答. 【详解】设B ，C 是三角形的另外两个内角，则必有,A B A C ≤≤，又A B C π++=, 则3A A A A A B C π=++≤++=，即3A π≤，当且仅当3C B A π===，即A 是正三角形内角时取“=”，又0A >，于是有03A π<≤，所以A 的取值范围是(0,]3π.故选：D3．（2021·北京清华附中高三其他模拟）已知,R αβ∈．则“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】求解出sin 2sin 2αβ=成立的充要条件，再与,k k Z αβπ=+∈分析比对即可得解. 【详解】,R αβ∈，sin 2sin 2sin[()()]sin[()()]αβαβαβαβαβ=⇔++-=+--⇔2cos()sin()0αβαβ+-=，则sin()0αβ-=或cos()0αβ+=，由sin()0αβ-=得,k k k Z αβπαβπ-=⇔=+∈，由cos()0αβ+=得,22k k k Z ππαβπαβπ+=+⇔=-+∈，显然s ,in 2sin 2k k Z απαββ=+∈=⇒，sin 2s ,in 2k k Z αβαβπ=+=∈，所以“,k k Z αβπ=+∈”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件. 故选：A4．（2021·安徽池州市·池州一中高三其他模拟（理））已知一个半径为3的扇形的圆心角为()02θθπ<<，面积为98π，若()tan 3θϕ+=，则tan ϕ=（） A ．12-B ．34C ．12D ．43【答案】C 【解析】由扇形的面积公式得4πθ=,进而根据正切的和角公式解方程得1tan 2ϕ=. 【详解】解:由扇形的面积公式212S r θ=得9928πθ=,解得4πθ=, 所以()tan tan 1tan tan 31tan tan 1tan θϕϕθϕθϕϕ+++===--,解得1tan 2ϕ=故选:C5．（2021·新蔡县第一高级中学高一月考）一个圆心角为60的扇形，它的弧长是4π，则扇形的内切圆（与扇形的弧和半径的相切）的半径等于（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【答案】B 【解析】设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，求得3r x =，结合弧长公式，列出方程，即可求解. 【详解】如图所示，设扇形内切圆的半径为x ，扇形所在圆的半径为r ，过点O 作OD CD ⊥，在直角CDO 中，可得2sin 30ODCO x ==，所以扇形的半径为23r x x x =+=，又由扇形的弧长公式，可得343x ππ⨯=，解得4x =，即扇形的内切圆的半径等于4. 故选：B.6．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））已知顶点在原点的锐角α，始边在x 轴的非负半轴，始终绕原点逆时针转过3π后交单位圆于1(,)3P y -，则sin α的值为（）A ．6B C ．16D ．16【答案】B 【解析】根据任意角的三角函数的定义求出1cos()33πα+=-，然后凑角结合两角差的正弦公式求出sin α. 【详解】由题意得1cos()33πα+=-(α为锐角) ∵α为锐角，∴5336πππα，∴sin()03πα+>sin()sin sin ()3333πππααα⎡⎤⇒+=⇒=+-⎢⎥⎣⎦1132326⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭ 故选：B7．（2020·安徽高三其他模拟（文））已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边经过点A (1，-3)，则tan()4πα+=（）A ．12B ．12-C ．1D ．-1【解析】根据终边上的点求出tan 3α=-，再结合正切和公式求解即可．【详解】由题知tan 3α=-，则tan tan3114tan()41321tan tan 4παπαπα+-++===-+-. 故选：B8．（2021·合肥一六八中学高三其他模拟（理））已知顶点在原点，始边在x 轴非负半轴的锐角α绕原点逆时针转π3后，终边交单位圆于P x ⎛ ⎝⎭，则sin α的值为（） ABCD．【答案】C 【解析】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，由2113x +=，则x =，分x 的值结合三角函数的定义，求解即可，根据条件进行取舍. 【详解】设锐角α绕原点逆时针转π3后得角β，则3πβα=+，由α为锐角，根据题意角β终边交单位圆于,3P x ⎛ ⎝⎭，则2113x +=，则3x =±若3x =，则sin ,cos 33ββ==所以sin sin sin cos cos sin 03336πππαβββ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，与α为锐角不符合.若x =，则sin ββ==所以sin sin sin cos cos sin 0333πππαβββ⎛⎫=-=-=> ⎪⎝⎭,满足条件.9．（2021·安徽宣城市·高三二模（文））刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当n 很大时，用圆内接正n 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 3.1416π≈．在《九章算术注》中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限思想．运用此思想，当π取3.1416时，可得sin 2︒的近似值为（）A ．0.00873B ．0.01745C ．0.02618D ．0.03491【答案】D 【解析】由圆的垂径定理，求得2sin 2AB =︒，根据扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，列出方程，即可求解. 【详解】将一个单位圆分成90个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为4︒由圆的垂径定理，可得每个圆心角所对的弦长221sin 22sin 2AB AC ==⨯⨯︒=︒，因为这90个扇形对应的弦长之和近似于单位圆的周长，所以9021sin 2180sin 22π⨯⨯⨯︒=︒≈，所以22 3.1416sin 20.03491180180π⨯︒≈=≈．故选：D ．10．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心､QT 长为直径的半圆，QT =.QST 的圆心为P ，2dm PQ PT ==.QRT与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为___________2dm .6π 【解析】连接PO ，可得PO QT ⊥，求出23QPT π∠=，利用割补法即可求出月牙的面积. 【详解】解：连接PO ，可得PO QT ⊥，因为sin 2QO QPO PQ ∠==，所以3QPO π∠=，23QPT π∠=，所以月牙的面积为2221121(21)dm 22326S πππ=⨯⨯-⨯⨯-⨯=.6π.1．（全国高考真题）已知角α的终边经过点(−4,3)，则cosα=（）A ．45B ．35C ．−35D ．−45 练真题【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以cosα=x r =−45.故选D. 2．（2020·全国高考真题（理））若α为第四象限角，则（）A ．cos2α>0B ．cos2α<0C ．sin2α>0D ．sin2α<0 【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈，所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α<故选：D. 方法二：当6πα=-时，cos 2cos 03πα⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，选项B 错误；当3πα=-时，2cos 2cos 03πα⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，选项A 错误；由α在第四象限可得：sin 0,cos 0αα<>，则sin 22sin cos 0ααα=<，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.3.（2015·上海高考真题（文））已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）. A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】由题意，设OA 与x 轴所成的角为，显然，，故，故纵坐标为4．（2018·全国高考真题（文））已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1 ， a)，B(2 ， b)，且cos2α=23，则|a −b |= A ．15 B ．√55 C ．2√55D ．1 【答案】B【解析】由O,A,B 三点共线，从而得到b =2a ，因为cos2α=2cos 2α−1=2⋅(√a 2+1)2−1=23，解得a 2=15，即|a |=√55，所以|a −b |=|a −2a |=√55，故选B.5.（2017·北京高考真题（理））在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则()cos αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 6．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】根据,P Q 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解. 【详解】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π. 故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.。

任意角三角函数习题课

任意角三角函数习题课题型一、已知某一三角函数值求另外两个三角函数值例1、已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值题型二、利用同角三角函数的基本关系化简例2、若0sin tan <⋅αα，化简ααααsin 1sin 1sin 1sin 1-+++-题型三、利用同角三角函数的基本关系证明例3、求证：()θθθθθθθθcos sin 1sin cos 2cos 1sin sin 1cos ++-=+-+变式训练：（1）xx x x x x tan 1tan 1sin cos cos sin 2122-+=-+（2）已知1sin sin cos cos 2424=+βαβα，求证：1sin sin cos cos 2424=+αβαβ题型四、已知αtan 的值，求ααcos ,sin 齐次式的值例4、已知3tan =α，求下列各式的值（1）ααααcos 5sin 3cos sin 4+-（2）αααααα2222sin 3cos 4cos cos sin 2sin ---（3）αα22cos 21sin 43+变式训练：若5sin 2cos =+αα，求αtan 的值.题型五、与参数有关的三角函数问题（难点、易错点）例5、若31cos ,31sin --=-+=k k k k αα求1tan 1tan +-αα的值题型六、利用韦达定理求解例6、已知()01322=++-m x x 的两个根分别是θθcos ,sin ，求θθθθtan 1cos tan 11sin -+-的值变式训练：已知关于x 的方程04122=+-bx x 的两个根为⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππθθθ,4,cos sin 、（1）求实数b 的值；（2）求θθcos sin -的值.题型七、θθθθθθcos sin cos sin cos sin 、、-+知一求二例7、已知()πθθθ,0,51cos sin ∈=+求θθ22cos sin -的值变式训练：若103cos sin =θθ，求θθθθcos sin cos sin -+的值。

任意角的三角函数课后练习

2：设02πα<<，则tan ,sin ,ααα的大小关系是（）.sin tan A ααα<< .s i n t a n B ααα<<.sin tan C ααα<< .t a n s i n D ααα<<参考答案：1、答案：C详解：2cos3tan cot 3tan(3)2sin 32πα-==-=-，则32πα=-2、答案：B详解：在单位圆内作一圆心角为锐角的扇形，设圆心为O ，扇形弧的端点分别为A 、B ，圆心角为α（弧度）。

过B 点作OB 的垂线，延长OA 交这条垂线于D ，那么三角形OAB 的面积为sinα/2，扇形的面积为α/2，三角形DOB 的面积为tanα/2，则根据图形，可以得到三个面积的大小排序为：sinα/2<α/2<tanα/2即sinα<α<tanα3、答案：C详解：00000000000000cos1cos 2cos3cos179cos180(cos1cos179)(cos 2cos178)(cos89cos91)cos90cos180cos1801+++++=++++++++==- 4、答案：B详解：由2(sin cos )12sin cos 2αααα+=+=得1sin cos 2αα=， 22sin cossin cos tan cot 2cos sin sin cos αααααααααα++=+== 5、答案：A详解：cos csc csc cos αααα==±，故当α在第一、四象限时，取“+”号；当α在第二、三象限时，取“-”号；6、答案：5详解：由sec 2tan 1a αα-=得，cos 2sin a αα=+；由sec tan 2b αα+=得，2cos sin b αα=-，2222(cos 2sin )(2cos sin )5a b αααα∴+=++-=。

人教A版必修四任意角的三角函数课时作业

1.2.1 任意角的三角函数A 级基础巩固一、选择题1.若α是第二象限角，则点P (sin α，cos α)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析：因为α是第二象限角，所以cos α＜0，sin α＞0，所以点P 在第四象限. 答案：D2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0，所以MP ＞0＞OM . 答案：D3.已知角α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上，则sin αcos α等于 ( ) A.－310B.－1010 C.310D.1010解析：由题意可得，角α的终边上的一点为(1，－3)，则sin α＝－312＋（－3）2＝－310，cos α＝112＋（－3）2＝110，所以sin αcos α＝－310.答案：A4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈Z C.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1. 又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127.已知角α的终边经过点(－32，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.解析：由三角函数定义知，r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322]＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122]))＝1，则sin α＝y r ＝－12，cos α＝x r ＝－32，tan α＝y x＝－12－32＝33. 答案：－12 －32 338．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10.设角x 的终边不在坐标轴上，求函数y ＝sin x |sin x |＋cos x |cos x |＋tan x|tan x |的值域.解：当x 为第一象限角时，sin x ，cos x ，tan x 均为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝3.当x 为第二象限角时，sin x 为正值，cos x ，tan x 为负值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第三象限角时，sin x ，cos x 为负值，tan x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.当x 为第四象限角时，sin x ，tan x 为负值，cos x 为正值，所以sin x |sin x |＋cos x|cos x |＋tan x|tan x |＝－1.综上，y 的值域为{－1，3}[B 级能力提升]1.已知θ为锐角，则下列选项提供的各值中，可能为sin θ＋cos θ的值的是( ) A.43 B.35 C.45 D.12解析：由于θ为锐角，所以由三角函数及三角形中两边之和大于第三边可知，sin θ＋cos θ＞1，故选A.答案：A2.若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)，且sin θ＝24m ，则cos θ的值为_________.解析：因为角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)，且sin θ＝24m ，所以x ＝－3，y ＝m ，r ＝3＋m 2，sin θ＝m3＋m 2＝24m ，所以1r ＝13＋m 2＝24，所以cos θ＝－3r ＝－64.答案：－643.设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，试比较a ，b ，c 三数的大小. 解：因为a ＝sin33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，作出三角函数线(如图)，结合图象可得c ＞b ＞a .。

课时作业6：任意角、弧度制及任意角的三角函数

4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin π6，cos π6，则角α的最小正值为( ) A.11π6 B.5π6 C.π3 D.π6 2．下列三角函数值的符号判断错误的是( )A ．sin165°＞0B ．cos280°＞0C ．tan170°＞0D ．tan310°＜03．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角4．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )A ．2B ．1 C.12D ．35．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )且sin α·cos α＝34，则a 的值为( ) A ．4 3B ．±43C ．－43或－433D.36．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )A ．sin α＋cos α<0B ．tan α－sin α<0C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<07. 已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B.12 C ．－32D.328．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π 4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4D.7π49．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点P (x,4)，且cos α＝x5，则tan α的值为（）A.43B.34 C ．－34D ．－4310．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45二、填空题11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝__________.12．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第__________象限．13．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为__________．14．已知角α的终边在直线y ＝－34x 上，则2sin α＋cos α＝__________.三、解答题15．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，(1)求AB ︵的弧长； (2)求弓形OAB 的面积．16. 已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.(1)若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值； (2)求|BC |2的取值范围．答案一、选择题 1．【解析】由tan α＝cos π6sin π6＝3212＝3，故角α的最小正值为π3，选C. 【答案】C 2．【解析】165°是第二象限角，因此sin165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan310°＜0正确．【答案】C 3．【解析】由于θ是第三象限角，所以2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2(k ∈Z )，k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2＜θ2＜2k π＋3π4，(k ∈Z )，即θ2是第二象限角．【答案】B 4．【解析】设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2，从而α＝l r ＝21＝2.【答案】A 5．【解析】依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－433. 【答案】C 6．【解析】在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D ，故选B. 【答案】B 7.【解析】∵r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，即m ＝12.【答案】B 8．【解析】由sin3π 4>0，cos 3π4<0知角θ是第四象限的角， ∵tan θ＝cos3π4sin 3π 4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.【答案】D 9．【解析】由题意，得x x 2＋16＝x 5(x ＜0)，解得x ＝－3，因此，tan α＝4x ＝－43，故选D.【答案】D 10．【解析】取终边上一点(a,2a )，a ≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55，故cos2θ＝2cos 2θ－1＝－35.【答案】B 二、填空题 11．【解析】P (4，y )是角θ终边上一点，由三角函数的定义知sin θ＝y 16＋y 2，又sin θ＝－255，∴y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.【答案】－8 12．【解析】由题意知，tan α＜0，cos α＜0，所以α是第二象限角．【答案】二 13．【解析】根据题意得Q ⎝⎛⎭⎫cos π3，sin π3，即Q ⎝⎛⎭⎫12，32. 【答案】⎝⎛⎭⎫12，3214．【解析】由题意知tan α＝－34，∴α在第二象限或第四象限，故sin α＝35，cos α＝－45或sin α＝－35，cos α＝45，∴2sin α＋cos α＝25或－25.【答案】25或－25三、解答题 15．【解析】(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴AB ︵的弧长为l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×32＝93，∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3. 【答案】(1)4π；(2)12π－9 3. 16.【解析】(1)∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝43.∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α ＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20.(2)设A 点的坐标为(x ，y )， ∵△AOB 为正三角形，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，且C (1,0)． ∴|BC |2＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－12＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3 ＝2－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3. 而A 、B 分别在第一、二象限，∴α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2. ∴α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π6. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎝⎛⎭⎫－32，0. ∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3)．【答案】(1)20；(2)(2,2＋3)．。

高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数一训练含解析新人教A版必修

学习资料第一章三角函数1．2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数（一）［A组学业达标]1．已知角α的终边经过点(－4，3）,则cos α等于（）A。

错误!B。

错误!C．－错误!D．－错误!答案：D2．sin错误!的值是(）A．－错误!B。

错误!C．－错误! D.错误!答案:B3．已知角α的终边与单位圆交于点错误!,则tan α等于(）A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!答案：D4．若角α的终边过点P（2，错误!)，点Q(－4错误!，10）在角β的终边上，则有(）A．sin α<sin βB．sin α＝sin βC．sin α〉sin βD．不能确定解析：∵角α终边上的点P到原点的距离r1＝错误!＝3，∴sin α＝错误!。

∵角β终边上的点Q到原点的距离r2＝错误!＝6错误!，∴sin β＝错误!＝错误!.∴sin α＝sin β.答案：B5．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是（) A．sin α＋cos α〈0 B．tan α－sin α<0C．cos α－tan α<0 D．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α〈0,cos α<0，tan α〉0，由此可知选B.答案：B6．sin 750°＝________．答案：错误!7．若α是第二象限角，P(x，错误!）为其终边上一点，且cos α＝错误!x，则x的值为________．解析：∵α是第二象限角,∴x<0。

又r＝错误!，∴cos α＝错误!＝错误!＝错误!x,解得x＝－错误!.答案：－错误!8．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2），且sin α〉0，cos α≤0,则实数a的取值范围是________．解析:由sin α〉0，cos α≤0可知α的终边在第二象限或y轴正半轴上，∴错误!，∴－2〈a ≤3.答案：（－2，3]9．判断下列各式的符号．（1）sin 285°·cos （－105°）；(2）sin 3·cos 4·tan 错误!。

任意角的三角函数习题课

新课讲授
1.下面利用平面直角坐标系，研究任意角的三角函数。
y P(x,y) r
a的终边上任意一点P的坐标为(x,y), 它与原点的距离是
x
α o
r x y 0
2 2
y y (1)比值叫做的正弦，记作 sin , 即sin ; r r x x (2)比值叫做的余弦，记作 cos ,即 cos ; r r
6
1 2
4
2 2 2 2
3
3 2
1 2
2 1

1
0
tanα
3 2 3 3
0
1
3 不存在
0 1 0 1 1 0 0 不存在 0
3 2
2
3.终边相同的角的三角函数值
与终边相同的角可以表示为：
α
y
k 360，k Z (角度制表示 )
0
x
2k，k Z (弧度制表示 )
终边相同点的坐标相同
P(x,y)
同一函数值相同（角度制）
公式一（弧度制）
sin( k 2 ) sin cos( k 2 ) cos tan( k 2 ) tan (k z )
变式训练
如果角 α 的终边过点 P(2sin30° ，－2cos30° )，则 cosα 的值等于( 1 A. 2 3 C．－ 2 )
1 B．－ 2 3 D．－ 3
类型三三角函数值的符号问题例2：若sin2α>0，且cosα<0，试确定角α终边所在的象限．
变式训练
(1)已知点P(tanα，cosα)在第三象限，则角α的终边在第几象限； (2)判断sin3·cos4·tan5的符号．

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数学学科教案设计(首页)
班级：课吋：1 授课吋间：年月日
课题：§6.2.5 习题目的要求：
巩固复习任意角的三角函数的概念、特殊角的三角函数值、三角函数在各象限的符号、单位圆和三角函数线及同角三角函数的基本关系式.进一步掌握求任意角的三角函数的常规方法与技巧，计算与化简三角函数式的常规方法与技巧，以及判断任意角的三角函数值的符号的常规方法与技巧.
重点难点：
教学重点是巩固理解任意角的三角函数的概念与同角三角函数的基本关系式，并熟记特殊角的三角函数值与三角函数在各彖限的符号.牢固掌握求任意角的三角函数的常规方法与技巧，及判断任意角的三角函数值的符号的常规方法与技巧.
教学难点是灵活运用同角三角函数的基木关系计算与化简三角函数式的常规方法与技巧.
教学方法及教具:
采用复习法、练习法与讨论法相结合完成教学，多媒体设备与作图工具辅
助完成教学.
教学反思:
作业或思考题：
(1)读书部分:复习教材中章节§6.2.1、§6.2.2、§6.2.3、§6. 2.4；
(2)书而作业：修改课堂练习并完成学习手册第18-19页中习题3-6.
数学学科教案设计（副页）
特殊角的三角函数值
3.三角函数在各象限的符号
教学过程
教师活动学生
活动
设计意图 *知识回顾理论升华 ―
前面学习了任意角三角函数的概念及同角三角函数质疑的关系的有关知识，请尝试回忆：
1.任意角的三角函数的概念
在直角坐标系My 中，任意角的终边为0A ,在0A 上
任意取一点P,如果点P 的坐标为（兀，y ）, P 点到原点0
的距离为厂（厂=>0）,那么兀、y 、厂这三个数可以定义以下三角函数：
正弦函数sina=』；余弦函数coscz=-；正切函数
x
引导
总结
冋忆回答记忆通过对任意角的三角函数的概念以及同角三角函
数基本
关系式小单元知识的复习，有助于知识的巩固与
运用.
教学时间
10 分
钟
—+
X
tana
COS6Z
s\na
数学学科教案设计（副页）
(T
儿
5.同角三角凶数的基本关系
平方关系：sin 2 a + cos 2 a = \. 商数关系：tan a =
血°
cos a
说明：使用同角三角函数变换公式时应注意 ①必须在同角条件下使用;
②同一个公式有三种不同的表达形式，注意灵活运
教学过程
教师活动学生设计活
动意图教学时间
4.三角函数线
y
X
/ /
T /
D
4 x
用.
*巩固知识精选例题
例题1选择题
（1）已知角a 的终边过点（-1,
-1），则
质疑
思考
sin or -coscr =( ).
A . ></2
B • 0
C . ——— D.
2
(2)已知cosatanavO,则 Q 是第(
）象限
的角
分析
回答
A •—或二 B.二或三 D.三或四
（3）已知角©的终边过（-5, 2）,则（ ).
A • sin0・cos0<0
B • cos© tan (/)<0
C . sin0・cos0>0
D . sin• tan>0
讲解
掌握
15 通过综分钟合习题题型的讲解，进一步巩固计算与化简三角函数式值的常规方法及根据三角函数值的符号判断角所在象限的常规方法与技巧.
⑶己知讪=嶋且&是第三象限角，— 解：（1）因为tana = 2,所以
sina + cosa
sin a + cos cr cos a tan cr +1 2 + 1 sin a 一 cos a sin a- cos a tan a — 1 2-1
cos a （2）因为0是第四象限的角,所以sin0vO. <1 -cos 2 0 Jsin? & z .八 cos0 八
=—— =(-sinc/| --------- = -cos& • smd v 7 sin<9 COS0
(3) 因为sin^ = --,且0是第三象限的角，所以
17
_15
Hn
门 sin& 17 15
即 tanO = ------- = —^ =—
cos 0 _ § 8
数学学科教案设计（副
页）
教学过程
已知角"牛则航的终边与单位圆的交
(4) 解: (1) B
；
B.
D.
(2) (4)
例题2填空题
贝0 sincr+
cosa
sin (7-cos <7
综题的，步运角函本式求化方技过习型解一固同角基系行、的与. 通合题讲进巩用三数关进值简法巧
（2）化简：&一曲°
tan^
（&是第四象限的角）.
cos ^ = -^1-sin 2 0 =- 1-
「17丿
=
~n
coscr tan&
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教师活动学生
活动
设计意图教学时间
50。

B. 130° C . 230° D. 390° (4) 己知tan«=5,则沁土竺
£
~29 \
2•填空题
(1) 与-9。

终边相同的角的集合是
终边在第
象限;
(2) 将下列各角的角度化为弧度(写为龙的倍数):
255°=
, 480°=
, -510° =
(3) 将下列各角的弧度化为角度:
13兀
6
(4)
已知 cos0 = ^^,则 tan (p = 3
*运用知识强化练习
1.选择题 (1) -1285°是( 质疑
思考
A.第一象限的角
B. 第二象限的角 15 分钟
C .第三彖限的角
(2)已知圆的直径为2加, D. 第四象限的角
则圆心角60。

所对的弧
巡视求解
长是(
)
込 D. '
3
3
(3)与-230。

终边相同的角的最小正角是( 指导
父流
了解学
生对任意角的三角函数小单元知识的掌握情况，并及时查漏补缺.
教学过程
A. 7
B. 5
(5)如图6-20所示,
Z^OA = 135°,边 OA
与单位圆相交于A 点, 则点A 的坐标为(
D.
71 12 B.
cos a
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