2.4.1抛物线及其标准方程
学案10：2.4.1 抛物线及其标准方程
2.4.1 抛物线及其标准方程预习导引区 核心必知1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题．(1)观察教材，点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH ⊥l ，线段FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹． ①M 的轨迹是什么形状？②|MH |与|MF |之间有什么关系？③抛物线上任意一点M 到点F 和直线l 的距离都相等吗？(2)观察教材，直线l 的方程为x ＝－p2，定点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，设M (x ，y )，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MH |，则M 点的轨迹方程是什么？2．归纳总结，核心必记 (1)抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ) 的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程图形标准方程 焦点坐标准线方程y 2＝2px (p >0)⎝⎛⎭⎫p 2，0 x ＝－p2y 2＝－2px (p >0)⎝⎛⎭⎫－p 2，0 x ＝p 2 续表图形标准方程 焦点坐标准线方程x 2＝2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p >0)⎝⎛⎭⎫0，－p 2y ＝p2问题思考(1)在抛物线定义中，若去掉条件“l 不经过点F ”，点的轨迹还是抛物线吗？(2)到定点A (3，0)和定直线l ：x ＝－3距离相等的点的轨迹是什么？轨迹方程又是什么？(3)若抛物线的焦点坐标为(2，0)，则它的标准方程是什么？课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程 思考1 抛物线的标准方程有哪几种类型？思考2 抛物线方程中p 的几何意义是什么？思考3 如何根据抛物线标准方程求焦点坐标和准线方程？ 讲一讲1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)y 2＝－14x ；(2)5x 2－2y ＝0; (3)y 2＝ax (a >0)．类题·通法根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，首先要看抛物线方程是否为标准形式，如果不是，要先化为标准形式；然后判断抛物线的对称轴和开口方向，再利用p的几何意义，求出焦点坐标和准线方程．练一练1．求抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标和准线方程．知识点2 求抛物线的标准方程思考1抛物线标准方程有什么特点？思考2如何求抛物线的标准方程？讲一讲2．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点M(－6，6);(2)焦点F在直线l：3x－2y－6＝0上．类题·通法求抛物线标准方程的两种方法(1)当焦点位置确定时，可利用待定系数法，设出抛物线的标准方程，由已知条件建立关于参数p的方程，求出p的值，进而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，可设抛物线的方程为y2＝mx或x2＝ny，利用已知条件求出m，n 的值．练一练2．根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝－1;(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是3.知识点3 抛物线定义的应用讲一讲3．已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|P A|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标．类题通法(1)抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．(2)解决与抛物线焦点、准线距离有关的最值、定值问题时，首先要注意应用抛物线的定义进行转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短；三角形中三边间的不等关系；点与直线上点的连线中，垂线段最短等．练一练3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值．知识点4 抛物线方程的实际应用讲一讲4．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过截面为抛物线型的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．类题通法在建立抛物线的方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得方程不含常数项，形式更为简单，便于计算．练一练4．喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5 m，且与OA所在的直线相距4 m，水流落在以O为圆心，半径为9 m的圆上，则管柱OA的长是多少？—————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是抛物线标准方程的求法和焦点坐标、准线的求法．难点是抛物线定义的应用和抛物线方程的实际应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)由抛物线方程求焦点坐标和准线方程，如讲1；(2)求抛物线的标准方程，如讲2；(3)利用抛物线的定义解决最值问题，如讲3.3．由抛物线方程求焦点坐标和准线方程时，如果不是标准方程应先转化为标准方程，这是本节课的易错点．参考答案预习导引区核心必知1．(1)①提示：抛物线． ②提示：相等． ③提示：都相等． (2)提示：y 2＝2px (p >0)．2．(1)距离相等 焦点 准线 问题思考(1)提示：不一定是抛物线，当直线l 经过点F 时，点的轨迹是过点F 且垂直于定直线的一条直线，l 不过定点F 时，点的轨迹是抛物线． (2)提示：轨迹是抛物线，轨迹方程为：y 2＝12x ．(3)提示：由焦点在x 轴正半轴上，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，则p2＝2，故p ＝4.所以抛物线的标准方程是y 2＝8x ． 课堂互动区知识点1 求抛物线的焦点坐标及标准方程思考1 名师指津：y 2＝2px (p >0)；y 2＝－2px (p >0)；x 2＝2py (p >0)；x 2＝－2py (p >0)． 思考2 名师指津：p 的几何意义是：焦点到准线的距离．思考3 名师指津：先确定抛物线的对称轴和开口方向，然后求p ，利用焦点坐标及准线的定义求解． 讲一讲1．解：(1)因为p ＝7，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫－72，0，准线方程是x ＝72. (2)抛物线方程化为标准形式为x 2＝25y ，因为p ＝15，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，110， 准线方程是y ＝－110.(3)由a >0知p ＝a 2，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a 4. 练一练1．解：把抛物线方程y ＝ax 2化成标准方程x 2＝1a y .当a >0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a ； 当a <0时，焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a. 综上知，所求抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a . 知识点2 求抛物线的标准方程思考1 名师指津：等号一边是某个变量的完全平方，等号的另一边是另一个变量的一次项． 思考2 名师指津：(1)确定抛物线的对称轴和开口方向；(2)求p 的值． 讲一讲2．解：(1)∵点M (－6，6)在第二象限， ∴过M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在x 轴上， 设其方程为y 2＝－2px (p >0)，将点M (－6，6)代入，可得36＝－2p ×(－6)， ∴p ＝3.∴抛物线的方程为y 2＝－6x .若抛物线开口向上，焦点在y 轴上，设其方程为x 2＝2py (p >0)， 将点M (－6，6)代入可得，36＝2p ×6，∴p ＝3， ∴抛物线的方程为x 2＝6y .综上所述，抛物线的标准方程为y 2＝－6x 或x 2＝6y . (2)①∵直线l 与x 轴的交点为(2，0)， ∴抛物线的焦点是F (2，0)， ∴p2＝2， ∴p ＝4，∴抛物线的标准方程是y 2＝8x . ②∵直线l 与y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是F (0，－3)， ∴p2＝3，∴p ＝6， ∴抛物线的标准方程是x 2＝－12y .综上所述，所求抛物线的标准方程是y 2＝8x 或x 2＝－12y . 练一练2．解：(1)由准线方程为y ＝－1知抛物线焦点在y 轴正半轴上，且p2＝1，则p ＝2.故抛物线的标准方程为x 2＝4y .(2)设焦点在x 轴的正半轴上的抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 则焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p 2， 则焦点到准线的距离是⎪⎪⎪⎪－p 2－p2＝p ＝3， 因此所求的抛物线的标准方程是y 2＝6x .知识点3 抛物线定义的应用 讲一讲3．解：如图，作PN ⊥l 于N (l 为准线)，作AB ⊥l 于B ，则|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PN |≥|AB |，当且仅当P 为AB 与抛物线的交点时，取等号． ∴()|P A |＋|PF |min＝|AB |＝3＋12＝72.此时y P ＝2，代入抛物线得x P ＝2，∴P 点坐标为(2，2)． 练一练3．解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离．由图可知， 当点P ，A (0，2)，和抛物线的焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0三点共线时距离之和最小．所以最小距离d ＝⎝⎛⎭⎫0－122＋（2－0）2＝172. 知识点4 抛物线方程的实际应用 讲一讲4．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，－a4，由点B 在抛物线上， 得⎝⎛⎭⎫a 22＝－2p ⎝⎛⎭⎫－a 4，所以p ＝a2，所以抛物线方程为x 2＝－ay .将点(0.8，y )代入抛物线方程，得y ＝－0.64a .欲使卡车通过隧道，应有a 4－|y |＝a 4－0.64a >3.解得a >12.21，或a <－0.21(舍去)． ∵a 取整数， ∴a 的最小值为13. 练一练4．解：如图所示，建立直角坐标系，设水流所形成的抛物线的方程为x 2＝－2py (p >0)，因为点C (5，－5)在抛物线上， 所以25＝－2p ·(－5)，因此2p ＝5， 所以抛物线的方程为x 2＝－5y ， 点A (－4，y 0)在抛物线上， 所以16＝－5y 0，即y 0＝－165，所以OA 的长为5－165＝1.8(m)．所以管柱OA 的长为1.8 m.。
课件1：2.4.1 抛物线及其标准方程
4．抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M 的横坐标为－9， 它到焦点的距离为 10，求此抛物线方程和 M 点的坐标． 【解】 设焦点为 F(－2p，0)， M 点到准线的距离为 d， 则 d＝|MF|＝10，即 9＋p2＝10，∴p＝2， ∴抛物线方程为 y2＝－4x. 将 M(－9，y)代入抛物线的方程， 得 y＝±6.∴M 点坐标为(－9,6)或(－9，－6)．
(p2，0)
x＝－p2
y2＝－2px(p>0) (－p2，0) x＝p2
x2＝2py(p>0)
(0，p2)
y＝－p2
x2＝－2py(p>0) (0，－p2)
y＝p2
互动探究
题型一：求抛物线的标准方程
例 1 求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上．
课堂小结
1．利用抛物线定义可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为 到准线的距离，这一相互转化关系能给解题带来很大的方便， 要注意运用定义解题． 2．在求抛物线的标准方程时，由于其标准方程有四种形式， 易于混淆，解题时一定要做到数形结合，按照“定形(抛物线 焦点位置)→定量(参数 p 的值)”的程序求解．
第二章 圆锥曲线与方程
§2.4.1 抛物线及其标准方程
高中数学选修2-1·同步课件
自主导学
1.掌握抛物线的定义及其标 课标 准方程．(重点、难点) 解读 2．会由抛物线方程求焦点
坐标和准线方程．(易错点)
知识点1：抛物线的定义
【问题导思】 如图 2－4－1，把一根直尺固定在图板内直线 l 的位置，一 块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，再把一条绳子的一 端固定于三角板的另一条直角边上的点 A，截取绳子的长等 于 A 到直线 l 的距离 AC，并且把绳子的另一端固定在图板 上的一点 F，用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直 角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺上下滑动，这样 铅笔描出一条曲线，思考下面两个问题：
2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版_选修2-1)
2.4.1 抛物线及其标准方程屯溪一中 丁 俊一、三维目标（一）知识与技能（1）掌握抛物线的定义、几何图形； （2）会推导抛物线的标准方程；（3）能够利用给定条件求抛物线的标准方程。
（二）过程与方法通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力、运算能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会类比、对称和变换的思想，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。
（三）情感态度与价值观进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯；同时通过欣赏生活中一些抛物线型图片，不但加强了学生对抛物线的感性认识，而且使学生感到数学美，陶冶了情操。
二、教学重点抛物线的定义及标准方程三、教学难点抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）四、教学过程1.情景导入情境导入（吸引学生的注意力，激发学生的学习热情） 这就是我们今天要研究的内容。
（板书课题：2.4.1 抛物线及其标准方程） 2、新课引入图片展示（增强学生的感性认识，培养学生美的情操，以愉悦的心情进入今天的课堂）3、新授课：（1）复习切入：我们刚刚学习过椭圆和双曲线这两种曲线，我们知道,椭圆、双曲线都有共同的几何特征：都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹. (其中定点不在定直线上)e dMF= 当10<<e 时，轨迹是椭圆，当1>e 时轨迹是双曲线那么,当e =1时，它又是什么曲线 ？（类比设置疑问，激发学生探索新知） （2）、动手感知：让学生动手操作（激发学生积极主动地参与数学学习活动，养成良好的学习习惯，培养学生合作、交流的能力和团队精神） （几何画板进行演示）可以发现,点M 满足|MF |=|MH |,即点M 与点F 和定直线l 的距离相等.点M 生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)，我们把这样的一条曲线叫做抛物线.（3）、概念形成我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
第2章2.4.1 抛物线及其标准方程
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 抛物线的焦点 F 的坐标为(p2，0)，线段 FA 的中
点 B 的坐标为(4p，1)，代入抛物线方程，得 1＝2p×p4，解得 p＝ 2，
故点
B
的坐标为(
42，1)，故点
B
到该抛物线准线的距离为
42＋
2 2
＝3
4
2 .
【答案】
32 4
第15页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
第18页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
②下图，当圆 P 与圆 A 内切时，有
||PPAB||＝＝rr－1⇒|PA|－|PB|＝－1， 即 （x－3）2＋y2－(x＋2)＝－1. 即 y2＝8(x－1)．
第19页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
题型二 求抛物线的标准方程 例 2 根据下列条件，求出抛物线的标准方程． (1)过点(－3，2)； (2)焦点在 x 轴上，且抛物线上一点 A(3，m)到焦点的距离为 5.
第24页
高考调研 ·新课标 ·数学选2-1
(2)直线 x－y＋2＝0 与两坐标轴的交点为(－2，0)，(0，2)． 若抛物线的焦点为(－2，0)，设其方程 y2＝－2px. 由－p2＝－2，得－2p＝－8，所求方程为 y2＝－8x； 若抛物线的焦点为(0，2)，设其方程为 x2＝2py. 由p2＝2，得 2p＝8，所求方程为 x2＝8y.
第23页
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)设抛物线方程为 x2＝2py 或 y2＝－2px(p＞0)． 将点(－2，3)代入抛物线方程 x2＝2py，得 2p＝34.∴x2＝34y. 将点(－2，3)代入抛物线方程 y2＝－2px，得 2p＝92. ∴y2＝－29x. ∴满足条件的抛物线的标准方程为 x2＝43y 或 y2＝－29x.
2.4.1抛物线及其标准方程
y
F o
x
投篮时篮球的运动轨迹
桥拱
卫星接收天线的轴截面
文件名
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条 定直线l 距离相等的 H 点的轨迹叫做抛物线.
M
·
F ·
l
· F
l
M
抛物线的定义:
在平面内,与一个定点F和一条 定直线l (l不经过点F) 距离相等的 H 点的轨迹叫做抛物线.
建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛 物线的顶点）与原点重合. 设抛物线的标准方程是y2=2px（p>0）.由已 知条件得，点A的坐标是（0.5,3），代入方 程，得 32=2p×0.5 即 p=9
y o
A Fx B
所以，所求抛物线的标准方程是y2=18x，焦 点坐标是（4.5,0）
拓展提高：
已知抛物线y2=2px
抛物线方程的推导： 抛物线的标准方程：
建系
l
y
M
2 设点
y =2px（p>0）
o
F
( x, y )
列方程 化简
x
p 焦点坐标：F ( , 0) 2
p 准线方程： x 2 检验
设 温馨提示： KF p( p 0),
小试牛刀：判断下列方程是否为抛物线，若是，
求出焦点坐标和准线方程.
1、y2=4x
求（1）点M到准线的距离. （2）点M的横坐标.
p (p>0)上一点M到焦点距离是a( a ) 2
y
l
答案： （1）
a
p a 2
H
N
M
a
K O
F
x
（2）
练习：
2.4.1抛物线及其标准方程
1、抛物线定义,标准方程的焦点、准线， P的几何意义。 2、抛物线的定义,标准方程类型与图 象的对应关系以及判断方法
3、焦半径公式
4、注重数形结合的思想。
一、定义
平面内与一个定点F 和一条定直 l 线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。 N 定点F 叫做抛物线的焦点。
M
定直线l 叫做抛物线的准线。
MF ︳ ︳ 若 1, 则点 ︳ ︳ MN
· F ·
即:
M 的轨迹是抛物线。
方程 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程
2 y
其中 p 为正常数，它的几何意 义是:
焦点到准线的距离
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形
o
焦
点
准 线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
y
﹒
o
x
问题：
根据上表中抛物线的标准方程 的不同形式与图形，焦点坐标，准 线方程对应关系如何判断抛物线的 焦点位置，开口方向？ 第一：一次项的变量为X（或Y） 则X轴（或Y轴）为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上 第二：一次项的系数决定了开口 方向
课堂作业：
课本P73 3 、8
练习 1 若抛物线y2=8x上一点M到原点的 距离 等于点M到准线的距离则点M的坐 标是
2 已知定点A(3,2)和抛物线y2=2x, F是 抛物线焦点，试在抛物线上求一点P,使 PA与PF的 距离之和最小，并求出这个最 小值。 若 A(3,7)呢？
例1:已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论 抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 1 1 2= x 即2p= a 解：抛物线的方程化为：y a
①当a>0时,
2.4.1抛物线及其标准方程
（1）已知抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的一点 (5, m) 例2: 到焦点的距离是 6，则 p =____.
（2） M 与点 F (4,0) 的距离比它到直线 l : x 5 0 点 的距离小 1，求点 M 的轨迹方程.
A( 3,2) ，抛物线 y 2 2 x 的焦点为 F ， （3）已知点
点 P 为抛物线上的动点，则 | PA | | PF | 的 最小值是_________.
课堂小结：
1. 抛物线及其焦点、准线的有关概念；
2. 抛物线的标准方程的推导过程； 3. 建系求曲线方程的一些常用思路。
o
l y o
F
x
l
(0,
x2=－2py x (p>0)
P (0, － 2 )
例1:（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，
求它的焦点坐标及准线方程.
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F (0,2) , 求抛物线的标准方程.
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ， 求抛物线的标准方程. （4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程.
p F（ 2 ，0），l：x = p 2
其中p为正常数，它的几何意义是
焦点到准线的距离
图形
y o l y l
F F
标准方程 y2=2px (p>0)
焦点坐标
P ( 2 ,0) P (－ 2 , 0) P 2 )
准线方程
P x =－ 2 P x= 2 P y =－ 2 P y= 2
x
o
y
F
y2=－2px x (p>0) x2=2py (p>0)
实验：
1、画出定直线 l 和定点 F ( F l ) ； 2、在定直线 l 上任取一点 P1； 3、将白纸对折，使 P1 和 F 重合，并留下 一条折痕； 4、过 P1 作定直线的垂线交折痕于点 M1； 5、再在定直线 l 上任取其它点 P2 、P3 、 P4 、P5 、P6 ，重复 2-4 的步骤，便可得 到一个点列 M1、M2、M3…，这个点列能 连成一个很美的图形.
2.4.1抛物线及其标准方程
y 2 = 4 x的焦点,与抛物线相交 的焦点, (3)斜率为 的直线经过抛物线 )斜率为1的直线经过抛物线
于两点A 求线段AB的长 的长. 于两点 ,B,求线段 的长.
D
y
A F B
x
y 2 = 2 px( p > 0) 的 归纳总结: 归纳总结:抛物线
焦点弦长公式____________ 焦点弦长公式
2
x
F(1,0) ( , )
p x = 1 + x0 2 (2)抛物线 y = 2 px( p > 0) 上一点 P ( x0 , m ) 到焦点F 的距离是 2 ) .
p 焦点 ( ,0 ) 2 p 准线 x = 2
p PD = x0 2
y
D
P ( x , m )
0
y 2 = 2 px
AB = x1 + x2 + p
O
C
引申探究: 引申探究: 的焦点的弦AB的中 (4)求经过抛物线y = 4 x 的焦点的弦 的中 ) 点的轨迹方程. 点的轨迹方程. y l
2
H1
A
C
K
H2
O
B
M
x
F
y2 = 4x
学习小结: 学习小结:
1.抛物线的定义: 1.抛物线的定义: 抛物线的定义 2.p的几何意义是: 2. 的几何意义是:焦 点 到 准 线 的 距 离 的几何意义是 作业: 作业: 1.(作业本 作业本)P73A组1(2)(4),3,4(1). 作业本 组 补充: 补充: 2.同步:P53-54. 同步: 同步
课题: 课题:抛物线的标准方程和几何性质 抛物线的定义: (二)抛物线的定义 在平面内,与一个定点 在平面内 与一个定点F 和一条 与一个定点 不经过点F 定直线l的 不经过点 的定直线 的距离相等 d 为 M 到 l 的距离 的点的轨迹叫抛物线 抛物线. 的点的轨迹叫抛物线 d M C 定点F 叫抛物线的焦点 定点 叫抛物线的焦点 , H 焦 定直线l 叫抛物线的准线 定直线 叫抛物线的准线 点
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1 （2）准线方程 是x = ； 4
（3）焦点到准线的距离是2。 y2
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（ 1 ） y2 = 20x （ 2 ） x 2=
1 y 2
（3）x2 +8y =0
焦点坐标
准线方程
（1）
（ 5， 0 ）
1 （0，—） 8 (0 , -2)
x= -5
1 y= - — 8
（2）
（3）
y=2
例2、求过点A（-3，2）的抛物线的
标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2） 代入x2 =2py，得p=
9 4
．
A
y
O
x
当焦点在x轴的负半轴上时， 把A（-3，2）代入y2 = -2px，
4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = x 3 2
﹒ ﹒ ﹒
y
图 形 o
焦
点
准
线
标准方程
x
y
o
x
y
o
x
﹒
o
y
x
想一想:
根据上表中抛物线的标准方程的不同 形式与图形、焦点坐标、准线方程对 应关系，如何判断抛物线的焦点位置， 开口方向？ 第一：一次项的变量为抛物线的对 称轴，焦点就在对称轴上; 第二：一次项系数的正负决定了抛 物线的开口方向.
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
抛物线极其标准方程
小结：
靖宇中学高二备课 2008/11/
抛物线的生活实例
抛球运动
复习、引题：
一个动点 M 到一个定点 F 和一条定直线 的距离之比 为常数
M2
M
M1
F
l
e:
当 0<e<1 时是椭圆
l
当 e>1 时是双曲线 当 e=1 是？
画抛物线
抛物线的定义：
平面内到定点 F与到定直线 L 的距 离的比值为 1 的点的轨迹叫抛物线.
N
l y
M
K o
· · F
x
焦点到准线的距离
方程y2 = 2px（p＞0）表示抛物 线的焦点在 X轴的正半轴上
p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2
一条抛物线，由于它在坐标平 面内的位置不同，方程也不同，所 以抛物线的标准方程还有其它形式.
抛物线的标准方程还有 几种不同的形式?它们是 如何建系的?
2 得p= 3
。
思考题、M是抛物线y2 = 2px（P＞0）上一点，若点
M 的横坐标为X0，则点M到焦点的距离是
X0 +
————————————
— 2
p
y
O F
． ．
M
x
小 结 ：
1、抛物线的定义,标准方程类型与图象的对应 关系以及判断方法
2、抛物线的定义、标准方程和它 的焦点、准线、方程
3、求标准方程（1）用定义；
l y
M
K o
· · F
x
p2 p ( x ) y2 x 2 2
化简得
y2 =Байду номын сангаас2px（p＞0）
抛物线及其标准方程
一.定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛 物线的焦点定直线l 叫做抛物线的准线。
二.标准方程:
方程 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是: y2
l
N
· · F
M
如何建立直角 坐标系？
求曲线方程的基 本步骤是怎样的？
标准方程
y y y
N
Ko F
M
x
N K oF
M
N
x Ko F
M
x
L
(1)
L
(2)
L
(3)
二、标准方程
取过焦点F且垂直于准线l的直线
为x轴，线段KF的中垂线y轴 设︱KF︱= p p p 则F（ 2 ，0），l：x = 2 设点M的坐标为（x，y）， 由定义可知， N
3 解：因为ｐ＝３，故焦点坐标为（－,０） 2 3 准线方程为x=- － 2.
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的方程是y = －6x2， 求它的焦点坐标和准线方程；
1 1 解:方程可化为:x =- －y,故p=－ ,焦点坐标 12 6 1 1 为(0, -24 －),准线方程为y= － 24.
2
（3）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。
解:因焦点在y轴的负半轴上,且p=4,故其标准 方程为:x 2 = - 8y
练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
y2 =12x y2 =x =4x、 y2 = -4x、 x2 =4y 或 x2 = -4y
定点 F 叫做 抛 物线的焦点； 定直线 L 叫做 抛物线的准线．
N M
K
F
L
平面上与一个定点F和一条定直线l（F 不在l上）的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线。
F在l上时，轨迹是过点F垂
注意
直于L的一条直线。
二、标准方程
想 一 想 ？
步骤：
（1）建系 （2）设点 （3）列式 （4）化简 （5）证明
o
x
（2）用待定系数法
P71思考：
什么是抛物线？
2
2 y ax (a 0) 二次函数
的图像为
1 1 y ax (a 0) x y 2 p a a
2
当a>0时与当a<0时，结论都 为：
1 1 焦点（0， )准线y=4a 4a
y
y=ax2
y=ax2+c y=ax2+bx+c