《运筹学》复习参考资料知识点及习题
运筹学复习资料资料讲解
运筹学复习一、填空题1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线.2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则3、对偶问题为最小化问题。
m n个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。
4、在运输问题模型中，15、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。
6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题；7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。
8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。
9、一个无圈且连通的图称为树。
10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法．11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低．12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。
13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量．14、原问题与对偶问题是相互对应的．线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题．15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高．16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法．17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个．18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题．19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k）变量，正确选择状态（Sk）变量，正确选择_ 决策（UK）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程．20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图．21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。
运筹学 本(复习资料)
《运筹学》课程复习资料一、判断题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
[ ]2.线性规划问题的每一个基本解对应可行解域的一个顶点。
[ ]3.任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。
[ ]4.已知y i*为线性规划的对偶问题的最优解，若y i*＞0，说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。
[ ] 5.运输问题是一种特殊的线性规划问题，因而其求解结果也可能出现下列四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
[ ]6.动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。
[ ]7.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
[ ]8.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
[ ]9.对于原问题是求Min，若第i个约束是“＝”，则第i个对偶变量yi≤0。
[ ]10.用大M法或两阶段法单纯形迭代中若人工变量不能出基(人工变量的值不为0)，则问题无可行解。
[ ]11.如图中某点vi 有若干个相邻点,与其距离最远的相邻点为vj,则边[vi,vj]必不包含在最小支撑树内。
[ ]12.在允许缺货发生短缺的存贮模型中，订货批量的确定应使由于存贮量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。
[ ] 13.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
[ ] 14.在线性规划的最优解中，若某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，改变其价值系数cj，反映到最终单纯形表中，除xj的检验数有变化外，对其它各数字无影响。
[ ]15.单纯形迭代中添加人工变量的目的是为了得到问题的一个基本可行解。
[ ]16.订购费为每订一次货所发生的费用，它同每次订货的数量无关。
[ ]17.一个动态规划问题若能用网络表达时，节点代表各阶段的状态值，各条弧代表了可行方案的选择。
运筹学期末考试复习资料
《运筹学》课程综合复习资料一、判断题1.求解LP 问题时，对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ，其中：0≥"'j j x x ，在用单纯形法求得的最优解中，有可能同时出现0>"'j jx x 。
答案：错2．在PERT 计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足0)(),()(=--i t j i t j t E L 节点连接而成的线路是关键线路。
答案：对3．在一个随机服务系统中，当其输入过程是一普阿松流时，即有(){}()t n en t n t N P λλ-==!，则同一时间区间内，相继两名顾客到达的时间间隔是相互独立且服从参数为λ的负指数分布，即有()te t X p λλ-==.答案：对4.已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y ＝０，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余。
答案：对5.用单纯形法求解单纯形表时，若选定唯一入基变量k x （检验数>0），但该列的1,2...m=i 0ik a ≤，则该LP 问题无解。
答案：对6.对偶单纯形法中，若选定唯一出基变量i x （i x <0），但i x 所在行的元素（系数矩阵中）全部大于或等于0，则此问题无解。
答案：对7.LP 问题的可行域是凸集。
答案：对8.动态规划实质是阶段上枚举，过程上寻优。
答案：对9.动态规划中，定义状态变量时应保证在各个阶段中所做决策的相互独立性。
答案：对10.目标规划中正偏差变量应取正值，负偏差变量应取负值。
答案：错11.LP问题的基可行解对应可行域的顶点。
答案：对12.若LP问题有两个最优解，则它一定有无穷多个最优解。
答案：对13.若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。
答案：对14.对偶问题的对偶问题一定是原问题。
答案：对15．对于同一个动态规划问题，逆序法与顺序法的解不一样。
运筹学
《运筹学》综合复习资料一、是非判断1、动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已作出的决策。
2、对于同一个动态规划问题，逆序法与顺序法的解不一样。
3、PERT计算中，总时差是线路上的时差，可以串用，但单时差是工序的时差，不能串用4、在PERT计算中，将最早节点时刻等于最迟节点时刻、且满足)(),()(=--itji tjtEL节点连接而成的线路是关键线路5、LP问题的可行域是凸集。
6、LP问题的基本可行解对应可行域的顶点。
7、LP问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。
8、若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解.9、求解LP问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=jjjxxx,其中∶≥"'jjxx,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现"'jjxx.10、当用两阶段法求解带有大M的LP模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP模型一定有最优解。
二、建立模型1.某采油区已建有n个计量站B1，B2…B n，各站目前尚未被利用的能力为b1，b2…b n（吨液量/日）。
为适应油田开发的需要，规划在该油区打m口调整井A1，A2…A m，且这些井的位置已经确定。
根据预测，调整井的产量分别为a1，a2…a m（吨液量/日）。
考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。
按规划要求，每口井只能属于一个计量站。
假定A i到B j 的距离d ij已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。
(设定变量，写出模型)2. 某工厂生产两种产品，其原材料供应、设备工时及单件利润等有关数据如下表。
计划人员要求考虑如下的意见（以先后为序）：(1)由于产品Ⅱ销售疲软，故希望产品Ⅱ的产量不超过产品I的一半；(2)最好能节约4小时设备工时；(3)计划利润不少于48元。
运筹学复习资料资料讲解
运筹学复习一、 填空题1、线性规划中，满足非负条件的基本解称为基本可行解，对应的基称为可行基线.2、性规划的目标函数的系数是其对偶问题的右端常数；而若线性规划为最大化问题，则3、对偶问题为最小化问题。
4、在运输问题模型中，1m n +-个变量构成基变量的充要条件是不含闭回路。
5、动态规划方法的步骤可以总结为：逆序求解最优目标函数，顺序求__最优策略、最优路线和最优目标函数值。
6、工程路线问题也称为最短路问题，根据问题的不同分为定步数问题和不定步数问题；7、对不定步数问题，用迭代法求解，有函数迭代法和策略迭代法两种方法。
8、在图论方法中，通常用点表示人们研究的对象，用边表示对象之间的某种联系。
9、一个无圈且连通的图称为树。
10、图解法提供了求解只含有两个决策变量的线性规划问题的方法．11、图解法求解生产成本最小线性规划问题时，等成本线越往左下角移动，成本越低．12、如果线性规划问题有有限最优解，则该最优解一定在可行域的边界上上达到。
13、线性规划中，任何基对应的决策变量称为基变量．14、原问题与对偶问题是相互对应的． 线性规划中，对偶问题的对偶问题是原问题．15、在线性规划问题中，若某种资源的影子价格为10，则适当增加该资源量，企业的收益将_会 (“会”或“不会”)提高．16、表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法．17、产销平衡运输问题的基变量共有m+n-1个．18、动态规划不仅可以用来解决和时间有关的多阶段决策问题，也可以处理与时间无关的多阶段决策问题．19、构成动态规划模型，需要进行以下几方面的工作：正确选择阶段（k ）变量，正确选择状态（Sk ）变量，正确选择_ 决策（UK ）变量，列出状态转移方程, 列出_阶段指标函数_，建立函数基本方程．20、动态规划方法可以用来解决和某些与时间有关的问题，但也可以用来解决和某些与时间无关的问题.在图论方法中，图是指由点与边和点与弧组成的示意图．21、网络最短路径是指从网络起点至终点的一条权之和最小的路线．简述单纯形法的计算步骤：第一步：找出初始可行解，建立初始单纯形表。
(完整word版)最全的运筹学复习题及答案
5、线性规划数学模型具备哪几个要素？答：（1）.求一组决策变量x i或x ij的值（i =1，2，…m j=1，2…n）使目标函数达到极大或极小；（2）。
表示约束条件的数学式都是线性等式或不等式；(3）。
表示问题最优化指标的目标函数都是决策变量的线性函数第二章线性规划的基本概念一、填空题1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。
2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题.3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。
4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零.5．在线性规划问题中,基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。
7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。
8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解.9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。
10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时,引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。
11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。
12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。
13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。
14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式,目标函数求极大值,而所有变量必须非负。
15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解16．在用图解法求解线性规划问题时,如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解. 17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。
18。
如果某个约束条件是“≤"情形,若化为标准形式，需要引入一松弛变量。
19。
如果某个变量X j 为自由变量，则应引进两个非负变量X j ′ ， X j 〞， 同时令X j ＝X j ′－ X j 。
运筹学 复习资料
s.t.
•（1）写出此问题的对偶问题； •（2）求出此问题和它的对偶问题的最优解 和最优值。
(1)对偶问题为：
max z 2 y1 4 y2 5 y3 y1 3 y2 y3 6 2y 2y 4 2 3 3 y1 y2 2 y3 7 y1 , y2 , y3 0 (1) (2) (3)
X 都有CX Yb。
而
2 Yb 0,1, 0 1 1 2
•所以z的最大值不大于1。
(10分)设有某个求极大值线性规划问题，它的某一次迭代结果如下表，试再 进行一次迭代，判断迭代的结果是否已求得最优解，写出解的全部内容。
2 Cj 基 0 5 0 x3 x2 x5 Cj- Z b 4 6 6 x1 1 0 3 2 x2 0 1 0 0 x3 1 0 0 0 x4 0 1/2 -1 -5/2 x5 0 0 1 0 5 0 0 0
且规定每人只能做一项工作，一项工作任务只需一人操 作，试求使 总收益最大的分派方案。
解 此问题是一个非标准的指派问题，虚设两项任务Ⅴ，Ⅵ 并设任务的收益为0， 化为标准的指派问题。 标准的指派问题的收益矩阵为：
3 5 4 5 6 7 6 8 8 9 8 10 cij 10 10 9 11 12 11 10 12 13 12 11 13
•再用标号法在上图中找增广链，标号法中断，表明已找不出增广链，故上图 中的可行流即为最大流，其流量为5+3+5=13。最小割为：
运筹学-总复习(整理全部重点题目)-
《管理运筹学》总复习第一天：1)（★★★★★）课本Page59第5题（租赁问题）：某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。
已知各个月所需的仓库面积数字如下所示：设第个月签订的打算租用个月合同仓库面积为，那么这个月共有可能有如下合同：第一个月：第二个月：第三个月：第一个月：因此目标函数为：约束条件为：2)（★★★）讲义Page8例1（人力资源问题）：福安商场是个中型百货商场，他对销售员的需求经过统计分析如下表。
为了保证售货人员充分的休息，售货人员每周工作5天，休息2天，并且要求休息的两天是连续的。
问如何安排售货人员的工作作息，才能做到既满足工作需要，又使配备的工作人员最少？解：设在星期开始休息的人数为，表示星期一到星期日那么，目标函数为：约束条件为：周一：周二：周三：周四：周五：周六：周日：非负约束：3)（★）【据说出题时会和整数规划相融合】讲义Page10例5（投资问题）：某部门现有资金200万，今后五年内考虑给以下项目投资。
已知，项目A：从第一年到第五年都每年年初都可以投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年都每年年初都可以投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万；项目C：需在第三年初投资，第五年末收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万；项目D：须知第二年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万；据测定每万元每次投资的风险指数如下表：1)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？2)应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万的基础上使得其投资总的风险系数最小？解：设第年初投资在项目上的金额为，其中，。
第一年初：，，不能浪费资金，所以有，第一年年末收回：第二年初：，，，用第一年年末的收回投资，所以有：，第二年年末收回：第三年初：，，，用第二年年末收回投资，所以有：，第三年年末收回：第四年初：，，用第三年年末收回进行投资，所以有：，第四年年末收回：第五年初：用第四年年末回收进行投资，所以有：，第五年年末收回：同时，根据项目的要求，有：第（1）问答如下：目标函数为：约束条件为：第（2）问答如下：目标函数为：约束条件为：4)（★★★★）讲义Page11分析讨论题3（工厂布局问题）：设有某种原料产地A1,A2,A3，把这种原料经过加工，制成成品，再运往销地。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若为“≥”，则减松弛变量，使方程成为“＝”。
我们在前面标准型中是规定目标函数求极大值。如果在实际问题中遇到的是求极小值，则为非标准型。可作如下处理：
由目标函数min z= 变成等价的目标函数max（－z）=
令－z=z/，∴min z=－max z/
2、等式约束——大M法：
2、确定可行解域；
3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；
注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。
4、确定最优解及目标函数值。
㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）
例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：
0
x5
300
3
（10）
0
0
1
300/10 =30
0
0
0
0
0
7
12↑
0
0
0
0
x3
240
78/10
0
1
0
-2/5
240/78/10=2400/78
0
x4
50
（5/2）
0
0
1
-1/2
50/5/2=20
12
x2
30
3/10
1
0
0
1/10
30/3/10=100
18/5
12
0
0
6/5
17/5↑
0
0
0
－6/5
0
x3
min w = 540y1+450y2+720y3
s.t.
用大M法，先化为等效的标准模型：
max w/=－540y1－450y2－720y3
s.t.
增加人工变量y6、y7，得到：
max z/=－540y1－450y2－720y3－My6－My7
s.t
大M法单纯形表求解过程如下：
CB
XB
b
－540
－450
z1
z2
…
zn+m
σ1
σ2
…
σn+m
注①：zj=cn+1a1j+cn+2a2j+…+cn+mamj= ，（j=1，2，…，n+m）
σj=cj－zj,当σj≤0时，当前解最优。
注②：由max{σj}确定所对应的行的变量为“入基变量”；
由θL= 确定所对应的行的变量为“出基变量”，行、列交叉处为主元素，迭代时要求将主元素变为1，此列其余元素变为0。
通过加人工变量的方法，构造人造基，从而产生初始可行基。人工变量的价值系数为－M，M是很大的正数，从原理上理解又称为“惩罚系数”。（课本P29）
类型一：目标函数仍为max z，约束条件组≤与＝。
例1：max z =3x1+5x2
s.t.
解：加入松弛变量x3，x4，得到等效的标准模型：
max z =3x1+5x2
《运筹学》复习参考资料知识点及习题
第一部分线性规划问题的求解
一、两个变量的线性规划问题的图解法：
㈠概念准备：
定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。
定义：达到目标的可行解为最优解。
㈡图解法：
图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。
1、将约束条件（取等号）用直线绘出；
84
0
0
1
－78/25
29/25
7
x1
20
1
0
0
2/5
- 1/5
12
x2
24
0
1
0
－3/25
4/28
428
7
12
0
34/25
11/35
0
0
0
－34/25
－11/35
∴X*=（20，24，84，0，0）T
∴max z =7×20+12×24=428
三、非标准型线性规划问题的解法：
1、一般地，对于约束条件组：
品
产
耗
消
备
设
A B C
利润
（万元）
甲
乙
3 5 9
9 5 3
70
30
有效总工时
540 450 720
——
问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？
（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）
解：设x1、x2为生产甲、乙产品的数量。
max z = 70x1+30x2
s.t.
s.t.
解：减去松弛变量x3，x4，并化为等效的标准模型：
max z/=－4x1－3x2
s.t.
增加人工变量x5、x6，得到：
max z/=－4x1－3x2－Mx5－Mx6
s.t
单纯形表求解过程如下：
CB
XB
b
－4
0
0
－M
－M
θL
x1
x2
x3
x4
x5
x6
－M
x5
16
2
（4）
－1
0
1
0
16/4=4
－M
0
0
9/2↑
0
－M－5/2
3
0
5
x1
2
1
0
0
－1/3
1/3
x3
2
0
0
1
1/3
－1/3
x2
6
0
1
0
1/2
0
36
3
5
0
3/2
1
0
0
0
－3/2
－M－1
∴X*=（2，6，2，0）T
∴max z =3×2+5×6=36
类型二：目标函数min z，约束条件组≥与＝。
例2：用单纯形法求解
min z =4x1+3x2
例1：用单纯形法求解（本题即是本资料P2“图解法”例1的单纯形解法；也可化“对偶问题”求解）
max z =70x1+30x2
s.t.
解：加入松弛变量x3，x4，x5，得到等效的标准模型：
max z =70x1+30x2+0x3+0x4+0x5
s.t.
列表计算如下：
CB
XB
b
70
30
0
0
0
θL
x1
x2
0
－M
3M＋3↑
5＋2M
0
0
0
3
x1
4
1
0
1
0
0
——
0
x4
12
0
2
0
1
0
12/2=6
－M
x5
6
0
（2）
－3
0
1
6/2=3
3
－2M
3＋3M
0
－M
0
5↑
－3－3M
0
0
3
x1
4
1
0
1
0
0
4/1=4
0
x4
6
0
0
（3）
1
－1
6/3=2
5
x2
3
0
1
－3/2
0
1/2
3/(－2/3) =－9/2
3
5
－9/2
0
5/2
解：用“表上作业法”求解。
⑴先用最低费用法（最小元素法）求此问题的初始基础可行解：
地
产
用
费
地
销
B1
B2
B3
B4
产量
Si
A1
15
20
－67
3
30
－65
－1/10
3/10
－5700
－360
－450
－720
75
15
－75
－15
－180
0
0
－75
－15
75－M
15－M
∴该对偶问题的最优解是y*=（0，2， ，0，0）T
最优目标函数值min w =－（－5700）=5700
五、运输规划问题：
运输规划问题的特殊解法——“表上作业法”解题步骤：
1、找出初始调运方案。即在(m×n)产销平衡表上给出m+n-1个数字格。（最小元素法）
2、完成给定的工作，所消耗的资源最少。
引例（与本资料P2例1“图解法”、P7例1“单纯形法”同）：某工厂生产甲、乙两种产品，这些产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工时需要不同的工时，这些产品售后所能获得的利润值以及这三种加工设备因各种条件下所能使用的有效总工时数如下表：
可行解域为oabcd0，最优解为b点。
由方程组
解出x1=75，x2=15
∴X*= =（75，15）T
∴max z=Z*= 70×75+30×15=5700
例2：用图解法求解
max z =6x1+4x2
s.t.
解：
可行解域为oabcd0，最优解为b点。
由方程组
解出x1=2，x2=6
∴X*= =（2，6）T
例2：用单纯形法求解
max z =7x1+12x2