第1讲 随机事件及其概率
概率论第一章随机事件及其概率
B
和事件 A∪B={| ∈ A或B } A = { HHH }，B = { TTT } ； A∪B = { HHH，TTT } 三次都是同一面
特别的，对任意的随机事件 A ， A∪A = A， A∪ = A， A∪S = S 当 A、B 不相容时，记成 A∪B = A＋B
S
(3).事件的积运算 得到一个新事件，它的发生表示 这些事件中每一个都要发生，
解. 由减法公式， P (B – A ) = P (B ) – P (AB ) 只需要计算出概率 P (AB ) 。 (1) A、B互不相容即 AB = ，则 P (B – A ) = 0.5； (2) A B 等价于 AB = A，得到 P (B – A ) = 0.2； (3) 利用加法公式的另一形式： P (A∪B ) = P (A ) + P (B – A )， 得到P (B – A ) = 0.4。
性质5 设A，B是两个事件，若 A B， 则 P (A ) ≤ P (B ) 性质6 对任意的事件A ，有P (A ) ≤1。 证明思路 利用概率定义中的无穷可加以及非负性等。
思考
性质4中如何推广到n个事件的加法公式
例1.11 假定 P (A ) = 0.3，P (B ) = 0.5 ， 分别计算 (1) A、B 不相容；(2) A B； (3) P (A∪B) = 0.7 时概率P (B – A) 的值。
例如从 26 个英文字母中任取2 个排列， 所有不同方式一共有 P262 = 26×25 = 650。
(2) 可以重复的排列
从 n 个不同元素中允许放回任意取 m 个 出来排成有顺序的一列( 即取出的这些元素 可以相同 )。所有不同的排列方式一共有 n×n×…×n = nm
概率论知识点
第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。
是人们通常说的偶然现象。
其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。
对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。
样本空间: 概率论术语。
我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。
样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。
随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。
互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。
互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。
概率论与数理统计第1章随机事件及其概率
(ii) S2 {( 正品,次品 ),( 正品,正品 )} .
若用“1 ”表示“正品”，“ 0 ”表示“次品”，这里的两个样本空
间又可表示为
(i) S1 {(1,0),(1,1),(0,1)} ；(ii) S2 {(1,0),(1,1)}. (4) (i) S1 {t t 0}；(ii) S2 { 合格品, 不合格品} . 若用“1 ”表示“合格品”，“ 0 ”表示“不合格品”， S2 又可表示为 S2 {1,0} . (5) S5 {(x, y) x2 y2 100}.
字母 E T A O I N S R H
使用频率 0.126 8 0.097 8 0.078 8 0.077 6 0.070 7 0.070 6 0.063 4 0.059 4 0.057 3
字母 L D U C F M W Y G
使用频率 0.039 4 0.038 9 0.028 0 0.026 8 0.025 6 0.024 4 0.021 4 0.020 2 0.018 7
第1章 随机事件及其概率
§1.1 随机事件
1.1.1 随机现象
在自然界以及生产实践和科学实验中普遍存在着两类现象.一类是 在一定条件下,重复进行试验,某一结果必然发生或必然不发生,即是可 以事前预言的,称为确定性现象.
除去确定性现象,人们发现还存在另一类现象,它是事前不可预言 的,即在相同条件下重复进行试验,每次的结果不一定相同,这一类现象 我们称之为偶然性现象或随机现象.
在一定条件下，随机现象有多种可能的结果发生,事前不能预知 将出现哪种结果,但通过大量的重复观察,出现的结果会呈现出某种 规律,称为随机现象的统计规律性.
11概率
第十一章概率知识网络概率事件与概率古典概型随机事件的性质基本事件古典概型的定义及特征古典概型的计算公式几何概型随机事件及其概率随机数的含义几何概型的定义及特征几何概型的计算公式第1讲随机事件及其概率★知识梳理★1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件发生的频率总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件的概率，记作．特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式=来进行计算3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率为，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5互斥事件:不可能同时发生的两个事件．一般地：如果事件中的任何两个都是互斥的，那么就说事件彼此互斥特别提醒：若事件A与B不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算的值时绝对不可以使用这个公式6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．7．互斥事件的概率的求法:如果事件彼此互斥，那么＝特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系;2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A、B两个事件互斥，则表示A、B这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.二．对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作，从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成集合的补集，即A∪=U，A∩=.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A、B的和记作A+B，表示事件A、B至少有一个发生.当A、B为互斥事件时，事件A+B 是由“A发生而B不发生”以及“B发生而A不发生”构成的.★重难点突破★1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。
概率论第一章
下面我们讨论事件之间的关系与运算
1、包含关系
⑶ 两个特殊事件
必然事件U ★ 必然事件U ★ 不可能事φ 不可能事φ
3、随机试验
如果一个试验可能的结果不止一个， 如果一个试验可能的结果不止一个，且事先不能肯定 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。 会出现哪一个结果，这样的试验称为随机试验。
例如, 掷硬币试验 例如, 寿命试验 测试在同一工艺条件下生产 掷骰子试验 掷一枚硬币，观察出正还是反. 掷一枚硬币，观察出正还是反 出的灯泡的寿命. 出的灯泡的寿命 掷一颗骰子， 掷一颗骰子，观察出现的点数
第一章 随机事件及其概率
随机事件及样本空间 频率与概率 条件概率及贝努利概型
§1 随机事件及样本空间
一、随机事件及其有关概念
1、随机事件的定义
试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件” 试验中可能出现或可能不出现的情况叫“随机事件”, 简称“事件” 记作A 简称“事件”。记作A、B、C等任何事件均可表示为样本空 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A 间的某个子集。称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中 的元素。 的元素。
例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 例如，一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球。 10个大小 将球编号为1 10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。 将球编号为1－10。把球搅匀，蒙上眼睛，从中任取一球。
因为抽取时这些球是完全平等的， 因为抽取时这些球是完全平等的， 我们没有理由认为10个球中的某一个会 我们没有理由认为10个球中的某一个会 10 比另一个更容易取得。也就是说，10个 比另一个更容易取得。也就是说，10个 球中的任一个被取出的机会是相等的， 球中的任一个被取出的机会是相等的， 均为1/10 1/10。 均为1/10。
概率论-第一章-随机事件与概率
第一章随机事件及其概率自然界和社会上发生的现象可以分为两大类：一类是，事先可以预言其必然会发生某种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，它的结果总是确定的。
这类现象称为确定性现象，另一类是，事先不能预言其会出现哪种结果，即在保持条件不变的情况下重复实验或观察，或出现这种结果或出现那种结果。
这类现象称为随机现象.随机现象虽然对某次实验或观察来说，无法预言其会出现哪种结果，但在相同条件下重复进行大量的实验或观察，其结果却又呈现出某种规律性。
随机现象所呈现出的这种规律性，称为随机现象的统计规律性。
概率论与数理统计就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。
§1随机事件一、随机试验与样本空间我们把对随机现象进行的一次实验或观察统称为一次随机试验，简称试验，通常用大写字母E表示。
举例如下：E\：抛一枚硬币，观察正面〃、反面卩出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃、反面7出现的情况；£：将一枚硬币抛掷两次，观察正面〃出现的次数；£.：投掷一颗骰子，观察它出现的点数；£：记录某超市一天内进入的顾客人数；&：在一批灯泡里，任取一只，测试它的寿命。
随机试验具有以下三个特点：（1）每次试验的结果具有多种可能性，并且能事先明确知道试验的所有可能结果；（2）每次试验前，不能确定哪种结果会出现；%（3）试验可以在相同的条件下重复进行。
随机试验£的所有可能结果的集合称为£的样本空间，记作0。
样本空间的元素，即£的每个结果，称为样本点，一般用e表示，可记C = {e}。
上面试验对应的样本空间：n, ={w,T}；D.2={HH、HT、TH、TT}；o, ={0,1,2}；也={123,4,5,6}；={0,1234 …};o6 = {/|/>o}o注意，试验的目的决定试验所对应的样本空间。
二、随机事件试验£样本空间。
第三章 概率 第一讲 随机事件的概率
第三章概率第一讲随机事件概率【考点透视】一、相关定义1.在一定条件下一定发生的事件叫做必然事件。
2.在一定条件下一定不发生的事件叫做不可能事件。
3.在一定条件下可能发生，也可不发生的事件叫做随机事件。
以后我们用A、B、C等大写字母表示事件。
4.事件A的频数：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现nA的次数为事件A出现的频数(frequency)。
5.事件A的频率：称事件A出现的比例为事件A出现的频率(relative frequency)。
6.概率的定义：对于给定的随机事件A，如果随着实验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率。
（1）求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验；（2）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（3）0≤P(A)≤1 不可能事件的概率为0，必然事件为1，随机事件的概率大于0而小于1。
7.频率与概率的关系(1)频率本身是随机变化的,在试验前不能确定.(2)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关.(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值二、答疑（一）必然事件、不可能事件和随机事件问题1考察下列事件：(1)导体通电时发热；(2)向上抛出的石头会下落；(3)在标准大气压下水温升高到100 ℃会沸腾．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是必然要发生的事件．问题2我们把上述事件叫做必然事件，你能说出必然事件的一般含义吗？答在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件．问题3考察下列事件：(1)在没有水分的真空中种子发芽；(2)在常温常压下钢铁融化；(3)服用一种药物使人永远年轻．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是不可能发生的事件．问题4我们把上述事件叫做不可能事件，你能表达不可能事件的一般含义吗？答在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件．问题5考察下列事件：(1)某人射击一次命中目标；(2)山东地区一年里7月15日这一天最热；(3)抛掷一个骰子出现的点数为偶数．这些事件就其发生与否有什么共同特点？答都是可能发生也可能不发生的事件．问题6我们把上述事件叫做随机事件，你能指出随机事件的一般含义吗？答在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件．小结在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件；在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件；确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C，…表示．问题7现在有10件相同的产品，其中8件是正品，2件是次品．我们要在其中任意抽出3件．那么，我们可能会抽到怎样的样本？答有三种可能：A.3件正品；B.2件正品，1件次品；C．1件正品，2件次品．问题8我们再仔细观察上题中抽到样本的可能情况，还能得到一些什么结论？答结论1:必然有1件正品;结论2:不可能抽到3件次品.问题9在问题7抽到样本的几种情况中及问题8的结论中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？答抽到的样本情况：A.3件正品；B.2件正品，1件次品；C.1件正品，2件次品，都是随机事件．结论1：必然有1件正品；结论2：不可能抽到3件次品都是必然事件．（二）探究点二事件A发生的频率与概率导引物体的大小常用质量、体积等来度量，学习水平的高低常用考试分数来衡量．对于随机事件，它发生的可能性有多大，我们也希望用一个数量来反映，最直接的方法就是试验，下面我们进行抛掷一枚硬币的试验．问题1请班内四位同学依次、分别抛掷一枚硬币20次，其它同学观看并且记录硬币正面朝上的次数，比较他们的结果一致吗？为什么会出现这样的情况？答通过实际比较可知一致的可能性小，因为抛掷硬币是随机事件，在每一次抛掷前不知道抛掷后会出现什么结果，因此四位同学的结果一致的可能性比较小．问题2历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表所示：在上述抛掷硬币的大量重复试验中，你发现了什么规律？答 当试验次数很多时,出现正面的比例在0.5附近摆动.问题3 在抛掷硬币试验中，把正面向上的比例称作正面向上的频率，你能给频率下个定义吗？答 在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A)＝nAn 为事件A 出现的频率．问题4 频率的取值范围是什么？答 [0,1]．问题5 抛掷硬币试验表明，正面朝上在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，正面朝上发生的频率呈现出一定的规律性，这个规律性是如何体现出来的？答 事件A 发生的频率较稳定，在某个常数附近摆动．问题6 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称做硬币正面朝上的概率,你能给随机事件A 发生的概率下个定义吗?答 对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记做P(A)，称为事件A 的概率，简称为A 的概率．问题7 在实际问题中，随机事件A 发生的概率往往是未知的(如在一定条件下射击命中目标的概率)，你如何得到事件A 发生的概率？答通过大量重复试验得到事件A发生的频率的稳定值，即概率．问题8在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率fn(A)是否一定相等？事件A在先后两次试验中发生的概率P(A)是否一定相等？答频率具有随机性，做同样次数的重复试验，事件A发生的频率可能不相同；概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关．问题9必然事件、不可能事件发生的概率分别为多少？概率的取值范围是什么？答必然事件、不可能事件发生的概率分别为1、0，概率的取值范围是[0,1]．问题10概率为1的事件是否一定发生？概率为0的事件是否一定不发生？为什么？答都不一定．因为概率是频率的稳定值，当频率的稳定值接近1时，我们就说概率为1，但也不能确定一定发生，只是发生的可能性很大，同样的道理概率为0的事件也不是一定不发生．【经典例题】例1李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学，下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布：经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的高等数学课，用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位)．①90分以上；②60分～69分；③60分以上．解总人数为43＋182＋260＋90＋62＋8＝645，根据公式可计算出选修李老师的高等数学课的人的考试成绩在各个段上的频率依次为：43645≈0.067，182645≈0.282，260645≈0.403，90645≈0.140，62645≈0.096，8645≈0.012. 用已有的信息，可以估计出王小慧下学期选修李老师的高等数学课得分的概率如下：①将“90分以上”记为事件A ，则P(A)≈0.067； ②将“60分～69分”记为事件B ，则P(B)≈0.140；③将“60分以上”记为事件C ，则P(C)＝0.067＋0.282＋0.403＋0.140＝0.892.小结 随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性，可以用事件发生的频率去“测量”，因此可以通过计算事件发生的频率去估算概率．本讲总结：随机事件A 在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A 发生的频率逐渐稳定在区间[0,1]内的某个常数上(即事件A 的概率),这个常数越接近于1,事件A 发生的概率就越大,也就是事件A 发生的可能性就越大;反之,概率越接近于0,事件A 发生的可能性就越小.因此,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量,根据随机事件发生的频率只能得到概率的估计值.【小露一手】一、基础过关1．下面五个事件：(1)某地明年2月3日将下雪；(2)函数y＝a x(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba.其中必然事件是()A．(3)(5) B．(2)(3)(4) C．(1)(2) D．(2)(5)2．下列事件中，随机事件的个数为()①在标准大气压下，水在0℃结冰；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④一个三角形的大边对小角，小边对大角．A．1 B．2 C．3 D．43．气象台预测“本市明天降雨的概率是90%”，对预测的正确理解是() A．本市明天将有90%的地区降雨B．本市明天将有90%的时间降雨C．明天出行不带雨具肯定会淋雨D．明天出行不带雨具可能会淋雨4．给出关于满足A B的非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题是()A．①③B．①③④C．①②④D．①④5．设某厂产品的次品率为2%，则该厂8 000件产品中合格品的件数约为________．6．在掷一颗骰子观察点数的试验中，若令A＝{2,4,6}，则用语言叙述事件A对应的含义为________．7．指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15次呼叫； (5)在标准大气压下，水的温度达到50℃时沸腾．8．某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？ (2)30 000个鱼卵大约能孵化多少尾鱼苗？(3)要孵化5 000尾鱼苗，大概需备多少鱼卵？(精确到整数)二、能力提升9．某医院治疗一种疾病的治愈率为15，那么，前4个病人都没有治愈，第5个病人治愈的概率是( )A ．1B.15C.45D ．010．从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取，先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率( ) A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为251 002D ．都相等且为14011．“从盛有3个排球、2个足球的筐子里任取一球”的事件中，一次试验是指__________，试验结果是指________________．12．一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下：时间范围 1年内 2年内 3年内 4年内 新生婴儿数n 5 544 9 607 13 520 17 190 男婴数n A2 8834 9706 9948 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的频率是否稳定在一个常数上？三、探究与拓展13．用一台自动机床加工一批螺母，从中抽出100个逐个进行直径检验，结果如下：直径个数直径个数6.88<d≤6.891 6.93<d≤6.94266.89<d≤6.902 6.94<d≤6.95156.90<d≤6.9110 6.95<d≤6.9686.91<d≤6.9217 6.96<d≤6.97 26.92<d≤6.9317 6.97<d≤6.98 2从这100个螺母中任意抽取一个，求：(1)事件A(6.92<d≤6.94)的频率；(2)事件B(6.90<d≤6.96)的频率；(3)事件C(d>6.96)的频率；(4)事件D(d≤6.89)的频率．答 案1．A 2．A 3．D 4．B 5．7 8406．掷出的点数为偶数7．解 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知(1)是必然事件；(3)、(5)是不可能事件；(2)、(4)是随机事件．8．解 (1)这种鱼卵的孵化频率为8 51310 000＝0.851 3，它近似的为孵化的概率．(2)设能孵化x 个，则x 30 000＝8 51310 000， ∴x ＝25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化25 539尾鱼苗． (3)设需备y 个鱼卵，则5 000y ＝8 51310 000，∴y ≈5 873， 即大概需备5 873个鱼卵． 9．B 10．C11．取出一球 得到一排球或者一足球12．解 (1)男婴出生的频率依次是：0.520 0，0.517 3,0.517 3，0.517 3.(2)各个频率均稳定在常数0.517 3上． 13．解 (1)事件A 的频率f (A )＝17＋26100＝0.43. (2)事件B 的频率f (B )＝10＋17＋17＋26＋15＋8100＝0.93.(3)事件C 的频率f (C )＝2＋2100＝0.04. (4)事件D 的频率f (D )＝1100＝0.01.。
第一章 随机事件及概率讲解
（2）事件的相等：若 A B 且 B A ， 则称A与B相等，记为A=B。
包含关系的性质： (a) A ; (b)A A (c)若A B且B C,则A C (d )若A B且B A,则A B
(3) n个元素的全排列数为 Anr n(n 1) 3 21 n!
c. 组合
（1）从n个元素中取出r个元素而不考虑其顺序，称为组 合，其总数为
C
r n
n r
Anr r!
n(n 1) (n r 1) r!
n! r!(n r)!
（2）若r1 r2 rk n，把n个不同的元素分成k个部分，
事件的交(积) ：事件A与B都发生，称
为A与B的积（交）事件，记为 A B
。
推广：
事件 A1, A2,, An 同时发生：
n
A1 A2 An Ai i 1
事件 A1, A2, 同时发生：
A1 A2 Ai i 1
5、差事件：事件A发生但B不发生 称为A与B之差，记为A-B
例2.9：某城市共发行A,B,C三种报纸，调 查表明居民家庭中订购C报的占30%，同 时订购A,B两报的占10%,同时订购A,C及 B,C两报的各占8%，5%，三报都订的占 3%.今在该城中任找一户，问该户(1)只订 A、B两报；(2)只订C报的概率各为多少？
第一章 概率论的基本概 念
1 理解随机事件的概念，了解样本空间的 概念，掌握事件之间的关系和运算。
2 理解概率的定义，掌握概率的基本性质， 并能应用这些性质进行概率计算。
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第十一章概率知识网络第1讲 随机事件及其概率★ 知 识 梳 理 ★12 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；必然事件：在一定条件下必然发生的事件；不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn 总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．特别提醒：只有在每一种可能出现的概率都相同的前提下，计算出的基本事件的个数才是正确的，才能用等可能事件的概率计算公式()P A =mn 来进行计算3. 概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形5 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥特别提醒：若事件A 与B 不是互斥事件而是相互独立事件，那么在计算()P A B +的值时绝对不可以使用()()()P A B P A P B +=+这个公式6．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=- 7．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么12()n P A A A +++ ＝12()()()n P A P A P A +++特别提醒：一. 对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解： 1．互斥事件研究的是两个事件之间的关系; 2．所研究的两个事件是在一次试验中涉及的;3．两个事件互斥是从试验的结果不能同时出现来确定的.从集合角度来看，A 、B 两个事件互斥，则表示A 、B 这两个事件所含结果组成的集合的交集是空集.二． 对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合A 的对立事件记作A ，从集合的角度来看，事件A 所含结果的集合正是全集U 中由事件A 所含结果组成集合的补集，即A ∪A =U ，A ∩A =∅.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件.三.事件A 、B 的和记作A+B ，表示事件A 、B 至少有一个发生.当A 、B 为互斥事件时，事件A+B 是由“A 发生而B 不发生”以及“B 发生而A 不发生”构成的.★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：了解随机事件，了解两个互斥事件的概率加法公式。
2.难点：会用基本公式计算相关的概率问题.3.重难点：.(1) “有序”与“无序”混同.问题1: 从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。
错解：因为第一次有10种取法，第二次有9种取法，第三次有8种取法，第四次有7种取法，由乘法原理可知从10件取4件共有10×9×8×7种取法，故从10件产品（其中次品3件）中，一件一件地不放回地任意取出4件含有 10×9×8×7个可能的结果。
设A=“取出的4件中恰有1件次品”，则A 含有3713C C ⨯种结果（先从3件次品中取1件，再从7件正品中取3件），.48178910)(3713=⨯⨯⨯⨯=C C A P点拨：计算所有可能结果个数是用排列的方法，即考虑了抽取的顺序；而计算事件A 所包含结果个数时是用组合的方法，即没有考虑抽取的顺序。
正解：（1）都用排列方法所有可能的结果共有410A 个，事件A 包含371314A A A ⋅⋅个结果（4件中要恰有1件次品，可以看成四次抽取中有一次抽到次品，有14A 种方式，对于每一方式，从3件次品中取一件，再从7件正品中一件一件地取3件，共有371314A A A ⋅⋅种取法） 21)(410371314=⋅⋅=∴A A A A A P （2）都用组合方法一件一件不放回地抽取4件，可以看成一次抽取4件，故共有410C 个可能的结果，事件A 含有3713C C ⋅种结果。
.21)(4103713=⋅=∴C C C A P（2）“互斥”与“对立”混同问题2: 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有1个白球，都是白球B ．至少有1个白球，至少有1个红球C ．恰有1个白球，恰有2个白球D ．至少有1个白球，都是红球 错误答案（D ）点拨： 本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同 要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。
正解（A ），（B ）不互斥，当然也不对立，（C ）互斥而不对立，（D ）不但互斥而且对立 所以正确答案应为（C ）。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点一：随机事件的概率 题型1.椭机事件的判断[例1]（1）给出下列四个命题：①“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是必然事件；②“当R x ∈时，1cos sin ≤+x x ”是不可能事件；③“当R x ∈时，2cos sin <+x x ”是随机事件；④“当R x ∈时，2cos si n <+x x ”是必然事件；其中正确的命题个数是：0 B 1 C 2 D 3（2）判断是否正确：“若某疾病的死亡率是90℅，一地区已有9人患此病死亡，则第10个病人必能成活。
”(3) 判断是否正确:“某次摸彩的彩票共有10万张，中大奖的概率是10万分子1，若已有9万9千张彩票已被摸出而且没有大奖，某人包下剩下的1千张彩票，那么此人必能中大奖。
” （4问：随着这位运动员投篮次数的无穷增加，他的进球的概率会是多少？ [解题思路]：正确理解概率的相关概念． 解析：（1）B ；（2）否；（3）是；（4）0.8.[例2] (四川省成都市新都一中高2008级12月月考)已知非空集合A 、B 满足A ≠⊂B ，给出以下四个命题：①若任取x ∈A ，则x ∈B 是必然事件 ②若x ∉A ，则x ∈B 是不可能事件③若任取x ∈B ，则x ∈A 是随机事件 ④若x ∉B ，则x ∉A 是必然事件 其中正确的个数是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 答案：C[解题思路]：本题主要考查命题、随机事件等基本概念及其灵活运用. 解析：①③④正确，②错误.【名师指引】正确理解概率辩证的概念，它既不是机械的也不是虚无缥缈的．此类题目多见于选择判断题，比较简单，但要求对相关的的概念要掌握牢固，否则易出现混淆。
【新题导练】1． (江苏省南通通州市2008届高三年级第二次统一测试)从一堆苹果中任取了20只，并得则这堆苹果中，质量小于120克的苹果数约占苹果总数的 ％． 答案：302．（2009年广东省广州市高三年级调研测试数学（文 科））某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后, 随机地 在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学 生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形 图如图5所示,其中120～130(包括120分但不包括130分) 的频率为0.05,此分数段的人数为5人. 0(1) 问各班被抽取的学生人数各为多少人?(2) 在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率.解:(1) 由频率分布条形图知,抽取的学生总数为51000.05=人. ……4分∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为d , 由4226d ⨯+=100,解得2d =.∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人. ……8分(2) 在抽取的学生中,任取一名学生, 则分数不小于90分的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. 题型2。
求随机事件的概率[例3] (广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求3个旅游团选择3条不同的线路的概率 （2）求恰有2条线路没有被选择的概率.[解题思路]：分别找出总事件和所求事件的个数，即可求出随机事件的概率。
频率分数901001101201300.050.100.150.200.250.300.350.408070解析：（1）3个旅游团选择3条不同线路的概率为：3413348Ap==（2）恰有两条线路没有被选择的概率为：222432239416C C Ap⋅⋅==【名师指引】在确定应用公式P（A）=mn后，关键是要把,m n的值求正确。
【新题导练】3. （广东省北江中学2009届高三月考）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（Ⅰ）两数之和为8的概率；（Ⅱ）两数之和是3的倍数的概率；解: 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件-----------1分记“两数之和为8”为事件A，则事件A中含有5个基本事件，所以P（A）=5 36；答：两数之和为6的概率为536。
--------------------------------------- 5分（2）记“两数之和是3的倍数”为事件B，则事件B中含有12个基本事件，所以P（B）=1 3；答：两数之和是3的倍数的概率为13。
------------------------------9分4．（珠海市斗门中学2009届高三上学期第三次模拟）小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．（1）若小明恰好抽到黑桃4；①请绘制出这种情况的树状图②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率．（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由．解：（1）①小明抽出的牌小华抽出的牌结果2 （4，2）4 5 （4，5）5 （4，5）3分②由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：236分（2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）故小明获胜的概率为：512，因为571212<，所以不公平. 13分考点二: 互斥事件、对立事件的概率题型1:互斥事件、对立事件的概念考查[例4]18个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是；[解题思路]：正确理解互斥事件、对立事件的概念。