江苏省南通市海安县2021届高三上学期期中调研考试 数学
江苏省海安县南莫中学2021届高三数学上学期期中
南莫中学2021届高三期中考试试题数 学〔选修〕(总分值160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每题5分,共70分．请将答案填写在答题卡相应位置. 1. 函数()()12sin π4f x x =+的最小正周期是 ▲ .2．设集合{}07U x x x =<<∈Z ，，A ={2，3，5}，B ={1，4}，那么()()U UA B = ▲ .3．复数2i 1i ++〔i 是虚数单位〕的实部是 ▲ .4．命题“220x x ∃∈-=Q ，〞的否认是 ▲ . 5．向量a=，b ⊥a ，且|b |=2，那么向量b 的坐标是 ▲ .6．将函数()π2sin 24y x =+的图象按向量p =()π28--，平移后所得图象的解析式是 ▲ .7．假设向量a ，b 满足|a |=1，|b |=2，且a 与b 的夹角为π3，那么|a +b |= ▲ .8. 在等比数列{a n }中，假设a 3a 83a 13=243，那么2910a a 的值为 ▲ . 9. 假设函数2()5f x mx x =++在[2)-+∞，上是增函数，那么m 的取值范围是 ▲ . 10. 某地区为了了解70～80岁老人的日平均睡眠时间〔单位：h 〕，随机选择了50位老人进行调查. 下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中，一局部计算见算法流程图，那么 输出的S 的值是 ▲ .11. 假设关于x 的方程kx －ln x =0有解，那么k 的取值范围是 ▲ .12. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设22m n m n S n S m ≠==，，，那么m n S += ▲ . 13. 设()f x 是定义在(]2-∞，上的减函数，且22(sin 1)(cos )f a x f a x --+≤对一切x ∈R 都成立，那么a 的取值范围是 ▲ .14. 设函数()22f x x x bx c =-++，那么以下命题中正确命题的序号是 ▲ .①当0b <时，()f x 在R 上有最大值； ②函数()f x 的图象关于点()0c ，对称； ③方程()f x =0可能有4个实根； ④当0b >时，()f x 在R 上无最大值；⑤一定存在实数a ，使()f x 在[)a +∞，上单调递减.二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 〔此题总分值14分〕设{a n }是公比为q 的等比数列，试用a 1，q ，n (*n ∈N )表示S n =1ni i a =∑.16．〔本小题总分值14分〕如图，一个半径为10m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的 距离为d 〔m 〕〔P 在水下，那么d 为负数〕，那么d 与时间t 〔s 〕之间满足关系式： ()()ππsin 0022d A t b A ωϕωϕ=++>>-<<，，，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间.现有以下四个结论：①10A =；②=ω512π；③=ϕ6π；④b =5.〔1〕直接写出正确结论的序号；〔2〕对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论.17. 〔此题总分值14分〕定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(01)x ∈，时，()22x x f x -=+.〔1〕求()f x 在[－1，0)上的解析式；〔2〕判断()f x 在(－2，－1)上的单调性，并给予证明． 18．〔此题总分值14分〕△ABC 的面积为93()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和 (1cos cos )A B =，n 是共线向量.〔1〕求角C 的大小；〔2〕求△ABC 的三边长. 19．〔此题总分值16分〕二次函数()y f x =的图象经过点(0,1)，其导函数()62f x x '=-，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )*()n ∈N 均在函数()y f x =的图象上. 〔1〕求数列{a n }的通项公式a n 和n S ； 〔2〕设13n n n b a a +=，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得21nm T <对所有*n ∈N 都成立的最小正整数m .20．〔本小题总分值18分〕函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). 〔1〕求证：函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； 〔2〕设函数在3x π=处有极值.①对于一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()π()4f x x >+恒成立，求b 的取值范围；②假设函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.2021届高三期中考试数学〔选修物理〕参考答案及评分建议【填空题答案】1．2 2．{6} 3. 32 4．220x x ∀∈-≠Q ，5. 或(6. 2cos22y x =-7.8. 3 9. 104⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 10. 6.4211. (1e ⎤-∞⎥⎦， 12.2()m n -+ 13. ⎡⎢⎣⎦14. ①③⑤ 二、解答题：本大题共6题，共90分. 请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 〔此题总分值14分〕设{a n }是公比为q 的等比数列，试用a 1，n ，q (*n ∈N )表示S n =1ni i a =∑.【解】因为{a n }是公比为q 的等比数列，所以1*1()n n a a q n -=∈N .……………………2分 于是S n =12311ni n n i a a a a a a -==+++++∑即22111111n n n S a a q a q a q a q --=+++++. ① …………………4分在上式两边同乘以q ，得 23111111n n n qS a q a q a q a q a q -=+++++， ②……………………6分由①－②得 11(1).n n q S a a q -=- …………………………8分 所以，当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-. ……………………… 10分显然，当q =1时，1.n S na = ……………………… 12分 故11(1)(1)(1).1n n na q S a q q q=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩，，， ……………………… 14分16．〔本小题总分值14分〕如图，一个半径为10m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的 距离为d 〔m 〕〔P 在水下，那么d 为负数〕，那么d 与时间t 〔s 〕之间满足关系式： ()()ππsin 0022d A t b A ωϕωϕ=++>>-<<，，，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间.现有以下四个结论：①10A =；②=ω512π；③=ϕ6π；④b =5.〔1〕直接写出正确结论的序号；〔2〕对你认为正确的结论予以证明，并改正错误的结论.【解】〔1〕① ④. …………………………6分 〔2〕由题意得，点P 在最高位置时，d =15m ， 点P 在最低位置时，d =－5m ，于是有155A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，，解得A =10，b =5，故①和④都是正确的. ……………………… 10分 由于水轮按逆时针方向每分钟转4圈，故它的周期是T =15. 所以2π2π1515ωω==，. ……………………… 12分 由题意得t =0时，d =0，所以110sin 50sin 2ϕϕ+==，.因为ππ22ϕ-<<，所以π6ϕ=-. ……………………… 14分17. 〔此题总分值14分〕定义在R 上的奇函数()f x 有最小正周期2，且当(01)x ∈，时，()22x x f x -=+. 〔1〕求()f x 在[－1，0)上的解析式；〔2〕判断()f x 在(－2，－1)上的单调性，并给予证明． 【解】〔1〕因为奇函数()f x 的定义域为R ，周期为2，所以(1)(12)(1)f f f -=-+=，且(1)(1)f f -=-，于是(1)0.f -=……………………2分 当(10)x ∈-，时，(01)x -∈，，()()()2222x x x x f x f x --=--=-+=--. …………………………5分所以()f x 在[－1，0)上的解析式为0(1)()22(10).x xx f x x -=-⎧=⎨---<<⎩，，，……………………7分 〔2〕()f x 在(－2，－1)上是单调增函数. …………………………9分 先讨论()f x 在(0,1)上的单调性. [方法1]设1201x x <<<，那么()()11221212121()()22222212x x x x x x x x f x f x --+-=+-+=--因为1201x x <<<，所以12122221x x x x +<>，，于是12121220102x x x x +-<->，，从而12()()0f x f x -<，所以()f x 在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12分 因为()f x 的周期为2，所以()f x 在(－2，－1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 [方法2]当(01)x ∈，时，()()22ln 2x x f x -'=-.因为ln2>0，220x x -->，所以()()22ln 20x x f x -'=->，所以()f x 在(0,1)上是单调增函数. ……………………… 12分 因为()f x 的周期为2，所以()f x 在(－2，－1)上亦为单调增函数. ……………… 14分 【注】第(2)小题亦可利用周期性求出22()22(21)x x f x x +--=+-<<-，再利用定义或导数确定单调性.18．〔此题总分值14分〕△ABC 的面积为()18AC AB CB ⋅-=，向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和 (1cos cos )A B =，n 是共线向量.〔1〕求角C 的大小； 〔2〕求△ABC 的三边长.【解】〔1〕因为向量(tan tan sin 2)A B C =+，m 和(1cos cos )A B =，n 是共线向量， 所以()cos cos tan tan sin20A B A B C +-=， …………………………2分 即sin A cos B +cos A sin B －2sin C cos C =0，化简得sin C －2sin C cos C =0，即sin C (1－2cos C )=0. …………………………4分 因为0πC <<，所以sin C >0，从而1cos 2C =，π.3C = …………………………6分〔2〕()()218AC AB CB AC BC BA AC =⋅-=⋅-=，于是AC = ………………8分因为△ABC 的面积为1sin 2CA CB C ⋅，即1πsin 23CB =⋅，解得CB = ……………………… 11分在△ABC 中，由余弦定理得所以AB = ……………………… 14分 19．〔此题总分值16分〕二次函数()y f x =的图象经过点(0,1)，其导函数()62f x x '=-，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )*()n ∈N 均在函数()y f x =的图象上. 〔1〕求数列{a n }的通项公式a n 和n S ； 〔2〕设13n n n b a a +=，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得21nm T <对所有*n N ∈都成立的最小正整数m .【解】〔1〕由题意，可设2()f x ax bx c =++.因为函数()y f x =的图象经过点(0,1)，所以(0)1c f ==. 而62()2x f x ax b '-==+，所以a =3，b =－2.于是2()321f x x x =-+. …………………………3分 因为点(n ，S n )*()n ∈N 均在函数()y f x =的图象上，所以S n 2321n n =-+.…………5分所以a 1=S 1=2，当1n ≥时，2213213(1)2(1)165n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-+----+=-⎣⎦，故2(1)65(1).n n a n n n =⎧=⎨->∈⎩N ，，，， …………………………8分〔2〕()133(1)(1)271433111(1)(1).(65)(61)26561n n n n n b a a n n n n n n n n +⎧⎧==⎪⎪⨯===⎨⎨>∈⎪⎪->∈-+-+⎩⎩N N ，，，，，，，， ……………………… 10分所以当n >1时，()()()3111111127271313196561n T n n ⎡⎤=+-+-++-⎢⎥⨯-+⎣⎦2172(61)n =-+. ……………………… 12分 21n m T <对所有*n N ∈都成立32114212172(61)m m n ⎧>⎪⇔⎨>-⎪+⎩，对所有*n N ∈都成立故所求最小正整数m 为6. ……………………… 16分 20．〔本小题总分值18分〕函数()sin f x a x x b =-+(a ，b 均为正常数). 〔1〕求证：函数f(x )在(0，a +b ]内至少有一个零点； 〔2〕设函数在3x π=处有极值.①对于一切02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，不等式()π()4f x x >+恒成立，求b 的取值范围； ②假设函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数，求实数m 的取值范围.【证】〔1〕因为(0)0f b =>，[]()sin()()sin()10f a b a a b a b b a a b +=+-++=+-≤，所以函数f (x )在(0，a +b ]内至少有一个零点. …………………………4分【解】〔2〕()cos 1f x a x '=-. …………………………6分 因为函数在3x π=处有极值，所以()π03f '=，即πcos 103a -=，所以a =2.于是()2sin f x x x b =-+. …………………………8分()πsin cos 4x x x +=+，于是本小题等价于cos sin b x x x >+-对一切π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立. 记()cos sin g x x x x =+-，那么()π()1sin cos 1.4g'x x x x =--=-+因为π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以ππ3π444x +≤≤()πsin 14x +≤，所以()π14x +()0g'x ≤，即g (x )在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数. 所以[]max ()(0)1g x g ==，于是b >1，故b 的取值范围是(1).+∞，………………… 12分 ②()1()2cos 12cos 2f x x x '=-=-，由()f x '≥0得1cos 2x ≥，即ππ2π2π.33k x k k -++∈Z ≤≤， ……………………… 14分因为函数f (x )在区间()121ππ33m m --，上是单调增函数， 所以()121ππππ2π2π3333m m k k k --⎡⎤⊆-++∈⎢⎥⎣⎦Z ，，，， 那么有1ππ2π3321ππ2π33121π<π33m k m k k m m -⎧+⎪⎪⎪-+∈⎨⎪--⎪⎪⎩Z ≥-，≤，，， 即6310k m k k m +⎧∈⎨>⎩Z ≤≤，，，只有k =0时，01m <≤适合，故m 的取值范围是(]01.，……………………… 18分。
江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期中学业质量监测数学试卷(解析版)
2022届高三期中学业质量监测试卷数学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题卷交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在答题卷上。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4．作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设a，b∈R，集合P＝{0，1，a}，Q＝{－1，0，－b}，若P＝Q，则a＋b＝A．－2B．－1C．0D．22．已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为A．2i＋3B．－2i－3C．2i－3D．－2i＋33．已知实数a，b满足a2＋b2为定值，则abA．有最大值，没有最小值B．有最小值，没有最大值C．既有最大值，又有最小值D．既没有最大值，也没有最小值4．“冰墩墩”是2022年北京冬奥会吉祥物，在冬奥特许商品中，已知一款“冰墩墩”盲盒外包装上标注隐藏款抽中的概率为16，出厂时每箱装有6个盲盒．小明买了一箱该款盲盒，他抽中k (0≤k ≤6，k ∈N )个隐藏款的概率最大，则k 的值为A ．0B ．1C ．2D ．35．已知函数f (x )的定义域为R ，f (x ＋1)为奇函数，f (x －1)为偶函数，则A ．f (－3)＝0B ．f (－1)＝0C ．f (0)＝0D ．f (3)＝06．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则在下列向量中，与b 垂直的是A ．12a ＋bB ．－12a ＋bC ．a ＋12bD ．a －12b7．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，Q 分别为棱AB ，B 1B ，C 1D 1的中点，过点M ，N ，Q 作该正方体的截面，则所得截面的形状是A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形【答案】D【解析】8．已知lnπ＞π－2，设a＝eπ,b＝π°，c＝3πc，其中e为自然对数的底数，则A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【高三】江苏省海安县届高三上学期期中测试数学理试题
【高三】江苏省海安县届高三上学期期中测试数学理试题试卷说明：海安县第一学期高三期中测试数学（理）1．已知集合A ?{1，2，4 }，B ?{ 2，3，4，5 }，则A∩B ▲ ．2．命题“?x?R，x2≥0”的否定是“▲ ”．3．在复平面内，复数z （i为虚数单位）对应点的坐标是▲ ．4．函数的最小正周期是▲ 5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线（e是自然对数的底数）是曲线y ln x的一条切线，则实数b的值为▲ ．6．如图所示的算法中，若输入的a，b，c 的值依次是3，?5，6，则输出的S 的值为▲ ．7．设幂函数y f (x)的图象经过点，则的值为▲ ．8．对于数集X，若?xX ，存在常数a，使得a xX ，则称集合X具有性质 A．设集合X ?{ 2，4，m}具有性质A，则m的取值集合为▲ ．9．函数f (x) = Asin (wx ?φ) (A，w，φ为常数) 的部分图象如图所示，则f (π)的值为▲ ．10．已知函数，若存在实数a，b，?x?R，a f (x) b，则b a 的最小值为▲．11．如图，在矩形ABCD 中，AB ?1，BC ?，点Q在BC边上，且BQ=，点P 在矩形内（含边界），则的最大值为▲ ．12. 在△ABC中，若tan A 2 tan B 3tanC ，则cos A的值为▲ ．13. 函数f (x) 的单调减区间为▲ ．14. 与函数f (x)有关的奇偶性，有下列三个命题：①若f (x)为奇函数，则f (0) 0；②若f (x)的定义域内含有非负实数，则必为偶函数；③若f (?x)有意义，则f (x)必能写成一个奇函数与一个偶函数之和．其中，真命题为▲ （写出你认为正确的所有命题的代号）二、解答题15. （本小题满分14分）设，且，?．（1）求cosa 的值；（2）证明：．16. （本小题满分14分）设数列满足且a1，a2 5，a3 成等差数列．（1）求a1的值；（2）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式．17. （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设A (1，2 )，B ( 4，5 )， (m?R)．（1）求m的值，使得点P在函数的图象上；（2）以O，A，B，P为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的m的值；若不能，请说明理由．18. （本小题满分16分）已知定义域为R 的函数f (x)有一个零点为1， f (x)的导函数．（1）求函数f (x)的解析式；（2）若数列{an}的各项均为正数，其前n项的和(n?N*），求数列{an}的通项公式．19. （本小题满分16分）题：设实数x，y 满足，求x y的最大值．题设条件“”有以下两种等价变形：①；②．请按上述变形提示，用两种不同的方法分别解答原题．20. （本小题满分16分）设函数在x ?1处取得极值（其中e为自然对数的底数）．（1）求实数a 的值；（2）若函数y f (x) m有两个零点，求实数m的取值范围；参考答案【填空题答案】1. {2，4} 2. x?R，x2 0 3. （1，1） 4. π 5.0 6. 7 7. 8 8. {0，3，6} 9. 6210. 5 11. 2 12. 3613. ?0，3?或?0，314. ②③二、解答题答案15、(1),==(2),又，所以，＝＝＝＝16、（1）解得：＝1（2）数列是以为首项，3为公比的等比数列＝3×3n-117、（1）设P（），依题意，有（）＝m（1，2）＋（3,3）＝（m＋3,2m＋3）所以，，解得：m＝－1或m＝－3（2）设P（），依题意，有（）＝（m＋3,2m＋3）所以，，平行四边形OAPB中，，即（1,2）＝（x－4，y－5），则x＝5，y＝7，所以，m＝218\(1)因为f (x)的导函数，所以，，又函数f (x)有一个零点为1，所以，，所以，（2），则可求得两式相减，得，即所以，＝0因为，数列{an}的各项均为正数，所以，数列{an}是等差数列所以，19、20、（1）x>0时，f'(x)=(2xa)+(x2－2ax) ＝∵x=1是f(x)的极值点∴f'(1)=0即1(2a－2)－2a=0a=（2）函数y=f(x)m有2个零点即f(x)的图像与直线y=m有2个交点b b=0时，则m的取值范围-0时，f(x)= x在(-∞,0]上为增函数f(x)的图像与直线y=m有2个交点需m=或m=0 每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的高考资源每天发布最有价值的Read a，b，ca←bb←cS←a+b+cPrint S江苏省海安县届高三上学期期中测试数学理试题感谢您的阅读，祝您生活愉快。
江苏省南通市2021届高三数学上学期初调研试题含解析
江苏省南通市2021届高三数学上学期期初调研试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．1205．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(2π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像 A ．向右平移56π B ．向左平移56π C ．向左平移512π D ．向右平移512π第5题 第6题6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为 A ．18 B ．14 C ．38 D ．127．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．48．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞)C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ．14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知函数2()fx x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x xg x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值． 21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x -=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 22．（本小题满分12分）已知点P 是抛物线C 1：24y x =的准线上任意一点，过点P 作抛物线的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）证明：直线AB 过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB 交椭圆C 2：22143x y +=于C 、D 两点，S 1，S 2分别是△PAB ，△PCD 的面积，求12S S 的最小值．江苏省南通市2021届高三上学期开学考试数学试题2020．9一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．记全集U ＝R ，集合A ＝{}216x x ≥，集合B ＝{}22x x ≥，则U (A)B ＝A ．[4，+∞)B ．(1，4]C ．[1，4)D ．(1，4)答案：C解析：∵集合A ＝{}{}21644x x x x x ≥=≥≤-或，∴{}UA 44x x =-<<，又∵B ＝{}{}221x x x x ≥=≥，∴U (A)B ＝[1，4)，故选C ．2．已知5log 2a =，7log 2b =，20.5a c -=，则a ，b ，c 的大小关系为A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b 答案：A解析：∵555log 2log 1<=，∴1a <，∴210.50.52a -->=，∴2c >，又57log 2log 2>，a b >，∴b ＜a ＜c ，故选A ．3．若3cos()5αβ+=，5sin()413πβ-=，α，β∈(0，2π)，则cos()4πα+＝ A ．3365- B ．3365 C ．5665 D ．1665-答案：C解析：∵α，β∈(0，2π)，∴αβ+∈(0，π)，4πβ-∈(4π-，4π)，∴4sin()5αβ+=，12cos()413πβ-=，∴cos()cos[()()]cos()cos()sin()444πππααββαββαβ+=+--=+-++3124556sin()451351365πβ-=⨯+⨯=，故选C ．4．我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 答案：B解析：有两种情况，①一艘航母配2搜驱逐舰和1搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和2搜核潜艇，②一艘航母配2搜驱逐舰和2搜核潜艇，另一艘航母配3搜驱逐舰和1搜核潜艇，2122535360C C C C +=，故选B ．5．函数()2sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜π)的部分图像如图所示，且()f x 的图像过A(2π，1)，B(π，﹣1)两点，为了得到()2sin g x x ω=的图像，只需将()f x 的图像A ．向右平移56πB ．向左平移56πC ．向左平移512πD ．向右平移512π 答案：C解析：由题意知22T π=，T π=，∴ω＝2，2226k ππϕπ⨯+=+，526k ϕππ=-+， ∵ϕ＜π，∴56ϕπ=-，∴55()2sin(2)2sin 2()612f x x x ππ=-=-，故选C ．6．《易经》是中国传统文化中的精髓，上图是易轻八卦图(含乾、坤、舞、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成( -表示一根阳线，--表示一根阴线)，从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为A ．18 B ．14 C ．38 D ．12 答案：C 解析：P ＝38，故选C ． 7．设F 1，F 2分别为双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与圆O ：222x y a +=相切，l 与C 的渐近线在第一象限内的交点是P ，若PF 2⊥x 轴，则双曲线的离心率等于AB ．2 C．．4 答案：A解析：12tan P F F 2bc a a b c∠==，222b a =，223c a =，e =A ． 8．对于函数()y f x =，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k ＞0)，则称()y f x =为k 倍值函数．若()e 2xf x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是 A ．(e ＋1，+∞) B ．(e ＋2，+∞) C ．(1e e +，+∞) D ．(2e e+，+∞) 答案：B解析：()e 2xf x x =+是单调增函数，故e 2e 2a b a ka b kb⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故a ，b 是方程e 2xx kx +=的两个根，令()e (2)x g x k x =+-，()e (2)xg x k '=+-，当k ＞2，x ＝ln(2)k -时，()g x 有最小值为(ln(2))2(2)ln(2)0g k k k k -=----<，解得k ＞e ＋2，故选B ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是A ．将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍B ．设有一个回归方程y ＝3﹣5x ，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，2σ)(σ＞0)，则P(ξ＞1)＝0.5 答案：BD解析：选项A ，方差变为原来的a 2倍，故A 错误；线性相关系数r 的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数r 的绝对值越接近0，线性相关性越弱，由此可见C 错误，故选BD ． 10．已知抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，则下列结论正确的是 A ．点P 到抛物线焦点的距离为32B ．过点P 作过抛物线焦点的直线交抛物线于点Q ，则△OPQ 的面积为532C ．过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0D ．过P 作两条斜率互为相反数的直线交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的斜率为定值 答案：BCD解析：∵抛物线C ：22y px =过点P(1，1)，∴12p =，∴2y x =，故该抛物线焦点坐标为(14，0)，准线方程为x ＝14-，故点P 到抛物线焦点的距离为54，故A 错误；△OPQ 的面积215442sin 3225p S θ===⨯，故B 正确；设过点P 的直线方程为1y kx k =+-，与抛物线联立并化简得210ky y k -+-=，14(1)0k k --=，解得k ＝12，故过点P 与抛物线相切的直线方程为x ﹣2y ＋1＝0，C 正确；设PM 的斜率为k ，则PN 的斜率为﹣k ，求得M(22(1)k k -，1k k -)，N(22(1)k k+，1k k +-)，求得MN 的斜率为12-，D 正确，故选BCD ． 11．在△ABC 中，已知b cosC ＋c cosB ＝2b ，且111tan A tan B sin C+=，则 A ．a ，b ，c 成等比数列B ．sinA ：sinB ：sinC ＝2：1C ．若a ＝4，则S △ABCD ．A ，B ，C 成等差数列答案：BC 解析：由111tan A tan B sin C +=得，cos cos 1sin sin sin A B A B C+=，2sin sin sin A B C =，故ab ＝c 2，故a ，c ，b 成等比数列，故A 错误；∵b cosC ＋c cosB ＝2b ，∴a ＝2b ，又ab ＝c 2，∴cb ，∴a ：b ：c ＝2：1，∴sinA ：sinB ：sinC ＝2：1，故B正确；cosC ＝222412322214a b c ab +-+-==⨯⨯，sinC＝，∴S ＝11sin 422a b C ⨯⨯=⨯⨯2=，故C 正确；cosB＝22228a c b ac +-==，故B ≠60°，故D 错误，故选BC ． 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．1212()()0f x f x x x -<- B ．1122()()x f x x f x +<+C ．2112()()x f x x f x <D ．当211ex x >>时，11222112()()()()x f x x f x x f x x f x +>+ 答案：CD解析：首先注意到函数()ln f x x x =，在(0，1e )单调递减，在(1e，+∞)单调递增，故A 错误，112221121112()()()()()[()()]0x f x x f x x f x x f x x x f x f x +>+⇒-->，故D 正确；令()()ln g x f x x x x x =+=+，不是单调函数，故B 错误；令()()ln f x h x x x==，是单调增函数，故C 正确，故选CD ． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班人数的16，而且三好学生中女生占一半．现在从该班任选一名同学参加某一座谈会．则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为 ． 答案：18解析：P ＝51408=． 14．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 ． 答案：2y x =解析：ln 1y x x =++，11y x'=+，设切点横坐标为0x ，001121x x +=⇒=，所以切点(1，2)，故切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．15．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 ． 答案：(﹣2，6)解析：点P 与点F 重合时，AP AB ⋅有最小值为﹣2，当点P 与点C 重合时，AP AB ⋅有最大值为6，故AP AB ⋅的取值范围是(﹣2，6)．16．椭圆与双曲线有相同的焦点F 1(﹣c ，0)，F 2(c ，0)，椭圆的一个短轴端点为B ，直线F 1B与双曲线的一条渐近线平行．若椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则12e e ＝ ；且22123e e +的最小值为 ．答案：1；解析：设椭圆方程为2222111x y a b +=，双曲线方程为2222221x y a b -=，则由直线F 1B 与双曲线的一条渐近线平行，得222222212121222222222211b b b b a c c a e c a c a c a e --=⇒=⇒=⇒=，∴12e e ＝1；所以2212123e e e +≥=21223e e ⎧=⎪⎨⎪=⎩取等号．四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(A)2f =，C ＝4π，c ＝2，求△ABC 的面积．解：（1）∵()221f x sin x =+-=x ﹣cos2x＝2sin （2x 6π-）， 令2k π2π-≤2x 6π-≤2k π2π+，k ∈Z ，解得k π6π-≤x ≤k π3π+，k ∈Z ，∴函数f （x ）的单调递增区间为：[k π6π-，k π3π+]，k ∈Z ．（2）∵f （A ）＝2sin （2A 6π-）＝2， ∴sin （2A 6π-）＝1， ∵A ∈（0，π），2A 6π-∈（6π-，116π），∴2A 62ππ-=，解得A 3π=，∵C 4π=，c ＝2，∴由正弦定理sin a b sinA B =，可得2sin sin 1c B b sinC ππ⎛⎫⨯+ ⎪⋅===+∴S △ABC12=ab sinC 12=（1=． 18．（本小题满分12分）2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为11：13，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线（1）完成2×2列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为ξ．求出ξ的分布列及期望值．附公式及表：22()n ad bc K -=，其中n a b c d =+++．解：（1）因为男生人数为：120551113⨯=+，所以女生人数为1205565-=，于是可完成22⨯列联表，如下： 根据列联表中的数据，得到2K 的观测值2120(30152550)960 6.713 6.63555658040143k ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”（2）由（1）可知男生抽3人，女生抽5人，依题可知ξ的可能取值为0,1,2,3，并且ξ服从超几何分布，()()335380,1,2,3k kC C P k k C ξ-===，即 3215533388515(0),(1)2828C C C P P C C ξξ======, 1235333388151(2),(3)5656C C C P P C C ξξ======. 可得分布列为可得5151519()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.19．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，其焦点与双曲线22221x y -=的焦点重合，点P(0)在椭圆C 上，动直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于不同两点A ，B ，且OA OB 0⋅=(O 为坐标原点)．（1）求椭圆的方程；（2）讨论7m 2﹣12k 2是否为定值；若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解：（1）因为双曲线22221xy -=的焦点为()1,0，所以在椭圆C 中1c =，设椭圆C 的方程为()2222110y x a a a +=>-，由点(P 在椭圆C 上得2311a =-，解得242a a =⇒=，则b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=（2）22712m k -为定值，理由如下：设()()1122,,,A x y B x y ，由0OA OB ⋅=可知12120x x y y +=，联立方程组()222223484120143y kx mk x mkx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， 由()()2222644344120m k km∆=-+->得2234m k <+，21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，① 由12120x x y y +=及y kx m =+得()()12120x x kx m kx m +++=， 整理得()()22121210kx xkm x x m ++++=，将①式代入上式可得()222224128103434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++， 同时乘以234k +可化简得()()222222214128340kmk m m m k +--++=，所以22712=12m k -，即22712m k -为定值.20．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，且()0f x ≤的解集为[﹣1，2]． （1）求函数()f x 的解析式；（2）解关于x 的不等式()2(1)mf x x m >--(m ≥0)； （3）设()31()2f x x g x +-=，若对于任意的1x ，2x ∈[﹣2，1]都有12()()g x g x M -≤，求M 的最小值．解：（1）因为()0f x ≤的解集为[1,2]-，所以20x bx c ++=的根为1-，2， 所以1b -=，2c =-，即1b =-，2c =-；所以2()2f x x x =--；（2）()2(1)mf x x m >--，化简有2(2)2(1)m x x x m -->--，整理(2)(1)0mx x -->，所以当0m =时，不等式的解集为(,1)-∞， 当02m <<时，不等式的解集为2(,1),m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭， 当2m =时，不等式的解集为(,1)(1,)-∞+∞，当2m >时，不等式的解集为()2(,)1,m-∞+∞，（3）因为[2,1]x ∈-时2()3123f x x x x +-=+-，根据二次函数的图像性质，有2()3123[4,0]f x x x x +-=+-∈-，则有2()3123()22f x x xx g x +-+-==，所以，1(),116g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 因为对于任意的12,[2,1]x x ∈-都有12|()()|g x g x M -≤， 即求12|()()|Max g x g x M -≤，转化为()()Max Min g x g x M -≤， 而()(1)1Max g x g ==，1()(1)16Min g x g =-=，所以， 此时可得1516M ≥， 所以M 的最小值为1516.21．（本小题满分12分）已知221()(ln )x f x a x x x-=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当a ＝1时，证明3()()2f x f x '>+对于任意的x ∈[1，2]成立． 解：（1）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. ① ，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；②时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；③ 时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述， 当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增； 当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（2）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x=-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+， 由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x --+=，设，则在x ∈单调递减，因为， 所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xg h->+=，即3()'()2f x f x>+对于任意的恒成立22．（本小题满分12分）已知点P是抛物线C1：24y x=的准线上任意一点，过点P作抛物线的两条切线PA、PB ，其中A、B为切点．（1）证明：直线AB过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线AB交椭圆C2：22143x y+=于C、D两点，S1，S2分别是△PAB，△PCD的面积，求12SS的最小值．解：（1）证明：设点()11,A x y、()22,B x y，则以A为切点的切线方程为()1112y y x xy-=-，即()112y y x x=+，同理以B为切点的切线方程为()222y y x x=+，两条切线均过点()1,P t-，()()11222121ty xty x⎧=-+⎪∴⎨=-+⎪⎩，即1122220220x tyx ty--=⎧⎨--=⎩，所以，点A、B的坐标满足直线220x ty--=的方程，所以，直线AB的方程为220x ty--=，在直线AB的方程中，令0y=，可得1x=，所以，直线AB过定点()1,0；（2）设点P 到直线AB 的距离为d ，则1212PAB PCDd AB AB S S CD d CD ⋅==⋅△△. 由题意可知，直线AB 不与x 轴重合，可设直线AB 的方程为1x my =+，设()33,C x y 、()44,D x y ，由241y x x my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=，()21610m ∆=+>恒成立，由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，由弦长公式可得()21241AB y m =-==+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2234690m y my ++-=，()()22236363414410m m m ∆=++=+>恒成立.由韦达定理得342634m y y m +=-+，342934y y m =-+，由弦长公式得()234212134m CD y m +=-==+.()()2222241344433312134PAB PCD m AB S m m S CD m m ++∴====+≥++△△，当且仅当0m =时，等号成立.因此，12S S 的最小值为43.。
2021届江苏省南通市普通高中高三上学期期中学情检测数学试题及答案
绝密★启用前江苏省南通市普通高中2021届高三年级上学期期中学情调研检测数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含［单选题（1~8）多选题9~12，填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。
本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。
在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。
在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.若B A ⊆，则m =（ ）A. B. 2 C. 0或2 D. 1或22．设x R ∈，则2"log (2)1"x -<是"2"x >的（ ）条件.A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3．已知41)75cos(=+α ，则=-)230cos(α （ ）．A ．43B ．45C ．58D ．784．把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量。
设(,)e A B =是直线l 的一个方向向量，那么(,)n B A =- 就是直线l 的一个法向量。
借助直线的法向量,我们可以方便地计算点到直线的距离。
已知P 是直线l 外一点,n 是直线l 的一个法向量,在直线l 上任取一点Q ,那么PQ 在法向量n 上的投影向量为cos n PQ n θ⋅（）(θ为向量n 与PQ 的夹角）,其模就是点P 到直线l 的距离d ,即PQ nd n ⋅=。
江苏省海安高级中学2021届高三上学期期中学业质量监测数学
2021届江苏省海安高级中学高三期中学业质量监测数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。
1． 已知复数z 满足(2i )12i z +=-，其中i 为虚数单位，则z =A ．1B ．-1C ．iD ．-i 2． 已知集合{}20A x x x =->，则A =RA ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤≤C ．{}01x x x <>或D ．{}01x x x ≤或≥3． 在1，2，3，…，2 020这2 020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列{ a n }，则50a =A ．289B ．295C ．301D ．307 4． 重阳节，农历九月初九，二九相重，谐音是“久久”，有长久之意，人们常在此日感恩敬老，是我国民间的传统节日．某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿 服务活动，要求每所敬老院至少安排2人，则不同的分配方案数是A ． 35B ．40C ．50D ．70 5． 函数222xy x x -=+的图象大致为A ．B ．C ．D yO xO y xyO xOxy6． 某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛．高三（1）班的45名同学中，只参加了其中一项比赛的同学有20人，两项比赛都没参加的有19人，则两项比赛中参加人数最多 的一项比赛人数不可能．．．是 A ．15 B ．17 C ．21 D ．267． 克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号．根据以上材料，完成下题：如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA =2，B 为半圆上一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ，则当线段OC 的长取最大值时，AOC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8． 已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的焦点为12F F ，，其渐近线上横坐标为12的点P满足120PF PF ⋅=，则a =A ．14B ．12C ．2D ．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省海安市2023年高三《数学》上学期期中试卷与参考答案
江苏省海安市2023年高三《数学》上学期期中试题与参考答案一、选择题本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设为虚数单位，若，则实数的值为（ ）A. -2B. -1C. 0D. 1【答案】B【详解】，依题意，，而，于是得，解得，所以实数的值为.故选：B2. 设全集，集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【详解】解不等式得：或，即或，则，而，i ()()1i i 2i a -+=a ()()1i i 1(1)i a a a -+=++-1(1)i 2i a a ++-=R a ∈1012a a +=⎧⎨-=⎩1a =-a 1-R U ={}1M x x =≤(){}20N x x x =-≥()U M N = ð{}01x x <≤{}2x x <{}01x x ≤≤{}2x x ≤()20x x -≥0x ≤2x ≥{|0N x x =≤2}x ≥{|02}U N x x =<<ð{}1M x x =≤所以.故选：A3. 已知圆锥的轴截面是斜边为）A. B.C. D.【答案】C【详解】因圆锥的轴截面是斜边为的直角三角形，则该圆锥的轴截面是等腰直角三角形，所以该圆锥的体积为.故选：C4.“双减”政策实施后，学生的课外阅读增多.某班50名学生到图书馆借书数量统计如下：借书数量（单位：本）5678910频数（单位：人）58131194则这50名学生的借书数量的上四分位数（第75百分位数）是（ ）A. 8B. 8.5C. 9D. 10【答案】C【详解】由，故第75百分位数在借书数量从小到大排序后的第38人，又，(){}01U M N x x ⋂=<≤ð21π3V =⨯=5075%37.5⨯=5813113738581311946+++=<<++++=故四分位数（第75百分位数）是9.故选：C5. 设函数，，则函数的减区间为（）A. B. C. D. 【答案】B【详解】依题意，，则得：，即函数的定义域为，显然函数在上单调递增，在上单调递减，而在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的减区间为.故选：B6. 在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（）A. B. C. D. 【答案】D【详解】的展开式通项为，因此，展开式中所有奇数项的系数和为.故选：D.()228f x x x =-++()()log 01a g x x a =<<()()y g f x =(),1-∞()2,1-()1,+∞()1,4()()2log (28)a g f x x x =-++2280x x -++>24x -<<()()y g f x =(2,4)-()f x ()2,1-()1,4()()log 01a g x x a =<<()0,∞+()()y g f x =()2,1-()1,4()()y g f x =()2,1-61⎛- ⎝365-364-36436561⎛ ⎝()12166C C 2kk k k k T x -+⎛=⋅=⋅-⋅ ⎝()()()24602466666C C 2C 2C 2365+⋅-+⋅-+⋅-=7. 已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（ ）A. 3 B. 2C.D. 1【答案】A【详解】由给定的图象知，，，即，因函数图象的对称轴方程为，则的最小正周期，，而，显然有即，解得，所以.故选：A()cos (0)f x A xx ωωω=->()y f x =()5ππZ 122k x k =+∈()0f =32(0)0f A =>()cos )f x A x x x ωωωϕ=-=+max ()f x =()y f x =()5ππZ 122k x k =+∈()y f x =πT =2π2Tω==()cos 5π5π5π1)1266A A f =+=|()512|πf =1)|A +=3A =(0)3f =8. 设，）A. B.C. D.【答案】B【详解】解：令，则，所以在定义域上单调递减，所以当时，，即，所以，又，，且，，所以；故选：B二、选择题本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在正方体中，已知为棱的中点，上底面的中心，下列图形中，的是（）A. B.C. D.【答案】ADa=19sin10b=c=b a c<<b c a<<c a b<<c b a<<()sinfx x x=-()cos10f x x'=-≤()f xx>()()00f x f<=sin x x<1199sin91101010b=<⨯=<1a=>=1c=>=45510a=4594533910c==⨯<a c b>>M N PQ MN⊥【详解】若分别是的中点，易知且，所以共面，易知：面面，而，，所以，面面，面，则面，又面，故，即A 选项中正确；又，若正方体棱长为2，则，故，所以不垂直，即不垂直，即B 选项中错误；由，则，故，所以不垂直，即不垂直，即C 选项中错误；由，而，又面，面，则，，面，则面，又面，则，故，即D 选项中正确故选：AD.,,,H F G Q 111111,,,A D B C BB CC //HM GF N HF ∈,,,,M G F N H MGFH ⊥11BCC B 1//GF BC 11BC B C ⊥1GF B C ⊥MGFH ⋂11BCC B GF =1B C ⊂11BCC B 1B C ⊥MGFH MN ⊂MGFH 1B C MN ⊥PQ MN ⊥1//NG BD MN NG ==2MG =222MN NG MG +≠,MN NG 1,MN BD PQ MN ⊥1//NQ A C MN NQ ==MQ =222MN NQ MQ +≠,MN NQ 1,MN AC PQ MN ⊥11//BD B D 1111B D AC ⊥1A M ⊥1111D C B A 11B D ⊂1111D C B A 111AM B D ⊥1111A C A M A ⋂=111,A C A M ⊂1A NM 11B D ⊥1A NM MN ⊂1A NM 11B D ⊥MN BD MN ⊥PQ MN ⊥10. 已知抛物线：的焦点为，为上一点，下列说法正确的是（ ）A. 的准线方程为B. 直线与相切C. 若，则的最小值为D. 若，则的周长的最小值为11【答案】BCD【详解】解：抛物线：，即，所以焦点坐标为，准线方程为，故A 错误；由，即，解得，所以直线与相切，故B 正确；设点，所以，所以C 正确；C 214y x =F P C C 116y =-1y x =-C ()0,4M PM ()3,5M PMF △C 214y x =24x y =()0,1F 1y =-2141y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩2440x x -+=()24440∆=--⨯=1y x =-C (),P x y ()()22222441621212x P y y y y M =+-=-+=-+≥minPM=如图过点作准线，交于点，，，所以，当且仅当、、三点共线时取等号，故D 正确；故选：BCD11. 某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”学生书画作品比赛，经评审，评出一、二、三等奖作品若干（一、二等奖作品数相等），其中男生作品分别占，，，现从获奖作品中任取一件，记“取出一等奖作品”为事件，“取出男生作品”为事件，若，则（）A. B. 一等奖与三等奖的作品数之比为C. D. 【答案】ABD【详解】解：设一、二等奖作品有件，三等奖作品有件，则男生获一、二、三等奖的作品数为、、，女生获一、二、三等奖的作品数为、、，因为，所以，所以，故A 正确；P PN ^N NP PF =5MF ==5611PFM C MF MP PF MF MP PN MF MN =++=++≥+=+=V M P N 40%60%60%A B ()0.12PAB =()0.4P B A =3:4()0.25P A B =()0.54P B =x y 0.4x 0.6x 0.6y 0.6x 0.4x 0.4y ()0.40.12xP AB x x y==++43x y =()0.4|0.4xP B A x==，故C 错误；一等奖与三等奖的作品数之比为，故B 正确；，故D 正确；故选：ABD12. 设定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）A. 为奇函数B. 的解析式唯一C. 若是周期为的函数，则D. 若时，，则是上的增函数【答案】ACD【详解】解：因为，令，可得，解得，再令，所以，即，所以，所以为奇函数，故A 正确；令，则，()0.40.420.2540.690.63x x P A B x x y x ===≠++⨯:3:4x y =()40.60.630.544223x xx y P B x y x x+⨯+===++R ()f x ()()()()22f x y f x y f x f y +-=-()10f ≠()f x ()f x ()f x T 1T ≠0x >()0f x >()f x R ()()()()22f x y f x y f x f y +-=-0x y ==()()()()220000f f f f =-()00f =0x =()()()()220f y f y f f y -=-()()()2f y f y f y -=-()()f y f y -=-()f x ()(0)f x kx k =>222222222()()()f x f y k x k y k x y -=-=-，满足，故的解析式不唯一，即B 错误；若是周期为的函数，则，所以，又，所以，故C 正确；因为当时，，所以当时，则，设任意的，且，则，所以，因为，且，所以，，，，，所以，即，所以在上单调递增，则在上单调递增，又，且当时，，当时，则，所以是上的增函数，故D 正确；故选：ACD222()()()()()f x y f x y k x y k x y k x y +-=+⋅-=-()()()()22f x y f x y f x f y +-=-()f x ()f x T ()()f x T f x +=()()0f T f =()10f ≠1T ≠0x >()0f x >0x <0x ->()()0f x f x =--<()12,0,x x ∈+∞12x x <()()()()()()()()221212121212f x x f x x f x f x f x f x f x f x +-=-=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()()12121212f x x f x x f x f x f x f x +--=+()12,0,x x ∈+∞12x x <120x x -<()120f x x +>()10f x >()20f x >()120f x x -<()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x ()0,∞+()f x (),0∞-()00f =0x >()0f x >0x <()0f x <()f x R三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在边长为6的等边三角形中，若，则_________.【答案】【详解】由，所以.故答案为：14. 已知，，则_________.【答案】【详解】因为，则，所以，，所以，故答案为：15. 在平面直角坐标系中，已知圆过点，为圆上一点，且弧的中点为，则点的坐标为_________.【答案】ABC 2133AD AB AC =+AB BD ⋅= 6-11()33BD AD AB AC AB BC =-=-=1166cos120633AB BD AB BC ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=- 6-π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5sin 313α⎛⎫-= ⎪⎝⎭πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πππ336α-<-<π12cos 313α⎛⎫-== ⎪⎝⎭ππ2ππ2ππ2πcos cos cos cos sin sin 3333333αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭121513213⎛⎫=⋅--= ⎪⎝⎭xOy O ()5,0A B O AB (B ()3,4【详解】解：设的中点为，即，所以，又，所以，所以直线为，又圆：，所以，解得或，所以.故答案为：16. 已知函数的零点为、、，且，则的最小值是_________.【答案】【详解】由可得，构造函数，该函数的定义域为，，所以，函数为上的奇函数，则，因为函数有三个零点、、且，故函数有三个零点、、且，且，，故，所以，，令，其中，则，»AB M (M 12OM k ==OM AB ⊥12AB OMk k =-=-AB ()25y x =--O 2225x y +=()222525y x x y ⎧=--⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩50x y =⎧⎨=⎩()3,4B ()3,4()()()()21210x xf x a x a =--+>1x 2x 3x 123x x x <<312e x x x +1e-()0f x =21021x xx a --=+()2121x x xg x a-=-+R ()()()()22121212121221x xx x x x x x x x xg x g x a a a---------=-=+=-+=-+++()g x R ()00g =()f x 1x 2x 3x 123x x x <<()g x 1x 2x 3x 123x x x <<20x =130x x +=30x >33312e e x x x x x +=-()e x x p x =-0x >()1e xx p x -'=当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，.故答案为：.四、解答题本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记的内角A ，B ，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，求角的取值范围.【答案】（1）（2）【小问1详解】由正弦定理结合，可得,即，故，所以，故.【小问2详解】由（1）得，故，01x <<()0p x '<()p x 1x >()0p x '>()p x ()()min11e p x p ==-1e -ABC V C a b c 2sin sin cos sin cos b B a B C c A B =+a b1c =B π(0]4，2sin sin cos sin cos b B a B C c A B =+2sin sin sin sin cos sin sin cos B B A B C C A B =+2sin sin sin (sin cos sin cos )sin (sin )B B A B C C B A B C =+=+222sin sin B A =222b a =ab=a =2221cos )2a c b B b ac b +-===+≥当且仅当即时取等号，故.18. 某药厂研制了治疗一种疾病的新药，该药的治愈率为.现用此药给位病人治疗，记被治愈的人数为.（1）若，从这人中随机选人进行用药体验访谈，求被选中的治愈人数的分布列和数学期望；（2）当为何值时，概率最大？并说明理由.【答案】（1）分布列答案见解析， （2）【小问1详解】由题意可知的可能取值有、、、，，，，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.【小问2详解】解：由题意可得，1b b =1b =π(04B ∈，85%10X 6X =103Y k ()P X k =()95E Y =9k =Y 0123()34310C 10C 30P Y ===()2146310C C 31C 10P Y ===()1246310C C 12C 2P Y ===()36310136C P Y C ===Y Y123P1303101216()1311901233010265E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=()1010317C 2020kkkP X k -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭由题意可得，即，解得，因为，故当时，最大.19. 已知数列是等差数列，是等比数列的前项和，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）（i ）求证：；（ii ）求所有满足的正整数，.【答案】（1），； （2）（i ）证明见解析；（ii ）或.【小问1详解】设等比数列的公比为，因，，则，解得，即有，设等差数列的公差为，因，，则，解得，即，所以数列，的通项公式分别为，.()()()()11P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=-⎪⎨=≥=+⎪⎩1011111010109111010317317C C 20202020317317C C 20202020k k k k k k k k k k k k ------++⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅≥⋅⋅⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⋅⋅≥⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩1671872020k ≤≤N k ∈9k =()P X k ={}n a n S {}n b n 6116a b ==23a b =312S ={}n a {}n b 816n S ≤≤k m a S =k m 32n a n =-1116()2n n b -=⋅-4k m ==6,1==k m {}n b q 116b =312S =216161612q q ++=12q =-1116(2n n b -=⋅-{}n a d 616a =23a b =115164a d a d +=⎧⎨+=⎩11,3==a d 13(1)32n a n n =+-=-{}n a {}n b 32n a n =-1116()2n n b -=⋅-【小问2详解】（i ）由（1）知，，当时，，此时数列是递减的，恒有，当时，，此时数列是递增的，恒有，又，，即，所以，.（ii ）由（i ）知，，当时，，若，则，解得，即有，当时，，即，解得，当时，，即，即，无整数解，当时，，即，解得，所以或.20. 如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，平面，，且，，为棱的中点.116[1()]3212[1(]1321()2n n n S --==----21,N n k k *=-∈321[1(]32n n S =+{}n S 116n S S ≤=2,N n k k *=∈321[1()]32n n S =-{}n S 28n S S ≥=N k *∈22122213213211[1()][1()]32()032322k k k k k S S ---=--+=-⋅<221k k S S -<N n *∀∈816n S ≤≤N ,816m m S *∈≤≤N k *∈32k a k =-k m a S =83216k ≤-≤1063k ≤≤{4,5,6}k ∈4k =410m S a ==321[1()]1032m --=4m =5k =513m S a ==321[1(]1332m --=17()232m -=-6k =616m S a ==321[1()]1632m --=1m =4k m ==6,1==k m P ABCD -PAD △AB ⊥PAD //AB CD AB CD >BC CP =O PA（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2.【小问1详解】在四棱锥中，取PB 的中点E ，连OE ，CE ，如图，因为棱的中点，则，，因平面，有平面，而平面，则，则有，在直角梯形中，，又是边长为2的等边三角形，//OD PBC BC PC ⊥PBC PAD P ABCD -O PA ////OE AB CD 12OE AB =AB ⊥PAD CD ⊥PAD ,,PA AD PD ⊂PAD ,,AB AD AB PA CD PD ⊥⊥⊥222PC CD PD =+ABCD 222()BC AD AB CD =+-PAD △即，又，因此，而，则，于是得四边形为平行四边形，有，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】因，，则，由（1）知，即，解得，有，延长BC ，AD 交于点Q ，连PQ ，由且得：点D 是AQ 中点，即有，因此，即，由平面，平面，得,而，平面，则平面，平面，即得，因此是二面角的平面角，所以平面与平面21. 已知椭圆：2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.2PD AD ==BC CP =22()AB CD CD -=AB CD >12CD AB OE ==CDOE //OD CE CE ⊂PBC OD ⊄PBC //OD PBC BC PC ⊥BC CP =PB =22222222()PA AB PB PC CD PD +===+22442(4)CD CD +=+CD =AB =PB =//AB CD 12CD AB =12PD AQ =90APQ ∠=PA PQ ⊥AB ⊥PAD PQ ⊂PAD AB PQ ⊥AB AP A =I ,AB AP ⊂PAB PQ ⊥PAB PB ⊂PAB PB PQ ⊥APB ∠A PQ B --cos PA APB PB ∠===PBC PAD E ()222210x y a b a b +=>>E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC =P BC OP ON 1k 2k 12k k【答案】（1）（2）证明见解析【小问1详解】由椭圆：2，可知 ，则，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，，则，所以，又，所以，解得，从而 ，故，即为定值.2214x y +=E ()222210x y a b a b +=>>22c b a ==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,)414114)4(41k k k k x y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC =31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k22. 已知函数.（1）求证：函数存在唯一的极大值点；（2）若恒成立，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）1【小问1详解】证明：因为，故，令，易得在上为减函数，且，，故在上有唯一零点.故在上，上单调递增；在上，上单调递减，故函数存在唯一的极大值点.【小问2详解】恒成立即，设，则.，，易得在定义域上为增函数，且，，故在上有唯一零点.故在上，单调递减；在上，单调递增.()()ln 1e xx f x +=()f x ()()R f x kx k ≤∈k ()()ln 1e x x f x +=()()e1ln 11xx x f x -++=()()1ln 11g x x x =-++()g x ()1,-+∞()010g =>()112ln 2221ln 41l 2n 20g --=-==<()g x ()0,10x ()01,x -()0g x >()f x ()0,x +∞()0g x <()f x ()f x 0x ()()R f x kx k ≤∈()e ln 10xx kx +-≤()()n 1el xx h x kx +=-()00h =()()1ln 11e x x x h x k -++'=-()()()221ln e 111xx x x h x +--++''=()()()221ln 111x x x x ϕ=+--++()1,-+∞()51ln 204ϕ=-<()72ln 309ϕ=->()x ϕ()1,20x ()01,x -()0h x ''<()h x '()0,x +∞()0h x ''>()h x '21又，且，若恒成立，则为极大值点，此时，解得，此时在上，单调递增，在上，单调递减，故恒成立.故.()01h k '=-()00h =()0h x ≤0x =()010h k '=-=1k =()1,0-()0h x '>()h x ()0,∞+()0h x '<()h x ()()00h x h ≤=1k =。
江苏省南通市2020-2021学年度第一学期期中考试高三数学试题
江苏省南通市2021-2021学年度第一学期期中测试高三考前热身练数学试题本次测试时间120分钟,总分值150分.第I 卷〔选择题共60分〕一、单项选择题〔本大题共8小题,每题5分,共40分〕1.假设集合 A = {0」,2}, B={X L V 2-3A <0|,那么 AC 栗为〔〕A. {1,2〕B. 〔0,1,2〕C. {0,1,2,3〕D. *IO«} 2 .复数z 满足〔2 — i 〕z=l+2i 〔i 为虚数单位〕,那么z 的虚部为〔〕A. 1B. -1C. 0D. i3 .定义域为R 的奇函数f 〔x 〕,当A >0时,满足於〕=3 —Iog2〔7 —2A 〕,v 3那么共1〕+?2〕+人3〕+…+/〔2 020〕等于〔〕/〔x-3〕, x 石,A. Iog25B. — Iogi5C. -2D. 0S r 2 V 2 4 .两正数小〃的等差中项为京等比中项为曲且g 九那么双曲线方=1的 离心率6为〔〕A 1 R 5 M D 近 ZB • D.3 L* ・ 3 i-X a 35 .设函数外尸Sin&+可一/cos&+“ie 阊的图象关于原点对称,那么e 的值 为〔〕兀 c 兀一 兀 e 兀 A./ Bq C, -3 Dj6 .过抛物线V=4x 的焦点作两条互相垂直的弦AB, CD,那么四边形AC8.面积 的最小值为〔〕A. 8B. 16C. 32D. 647.数列{斯}的前〃项和为S〃,m = l,当,22时,如+2S H—if,那么Soi9的值为〔〕A. 1 008B. 1 009C. 1 010D. 1 Oil8.设点尸为函数人X〕=52+2C.与g〔x〕 = 3〃21n x+伙〞>0〕的图象的公共点,以尸为切点可作直线与两曲线都相切,那么实数b的最大值为〔〕2 i3 2 2 2 3 1A.ze3B.re3C.Te2D.ze2 J 乙J 乙二、多项选择题〔本大题共4小题,每题5分,共20分.全部选对的得5分, 局部选对的得3分,有选错的得.分〕9.c>l,那么以下各式中不成立的是〔〕A. a b<b°B. c b>c aC. \ogac>\oghcD. b\ogca>a\og e b10.以下四个命题中正确的选项是〔〕A.函数y="〔4>0且aW 1〕与函数y=logn"〔a>0且1〕的定义域相同B.函数〕,=也与函数〕,=3、的值域相同C.函数y=Lr+ll与函数y=2「i在区间［0,+8〕上都是增函数D. y=l广^是奇函数•—x11 .设/, 〃?,〃表示不同的直线,a,4,y表示不同的平面,给出以下四个命题中正确的选项是〔〕A.假设〃】〃/,且〃?_La,那么/_LaB.假设〃1 〃/,且机〃a,那么/〃aC.假设 aC0=h夕Ay=〃?,yOa=n f那么/〃〃?〃,?D.假设 aC0=m, pCy=l, yAa=〃,且〃〃夕,那么/〃12.把函数〕,=sin〔x+g〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的提纵坐标不变〕,再将图象向右平移今个单位长度得到函数g〔x〕的图象,那么以下说法不正确的选项是〔〕 A. g〔x〕在〔一专野上单调递增B.g〕的图象关于玲0〕对称C.g〔x〕的最小正周期为4KD.g〔x〕的图象关于y轴对称第1[卷〔非选择题共90分〕三、填空题〔本大题共4小题,每题5分,共20分〕1 413.假设4, 8互为对立事件,其概率分别为P〔A〕=] 且心>0,〕>0,那么x+y的最小值为.14.正方形ABC.的边长为2,尸为平面A8CO内一点,那么〔可+而〕.〔元+用〕的最小值为.15.将数列｛小｝中的所有项排成如下数阵：其中每一行项数是上一行项数的2倍, 且从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列..8,.9,.10,.11,.12,“13,.14,415记数阵中的第1歹US,他,…构成的数列为｛尻｝,〃为数歹IJ｛4｝的前〃项和, 〃=5标+3〃,那么氏=, 01025=.〔此题第一空2分,第二空3分〕01nxl, OoWe,16.函数右a, 〃,c 互不相等,且h〕=/〔c〕,12 —In x, x>e,那么a+b+c的取值范围是________ .四、解做题〔本大题共6小题,共70分〕17.〔10分〕等差数列｛〃“｝的首项为m,公差为4〔0 £Z, d£Z〕,前〃项的和为 Sn ,S7=49,24<S5<26.〔1〕求数列｛斯｝的通项公式；〔2〕设数列的前〃项的和为Tn,求Tn.18.〔12分〕△ABC的内角A, B, C的对边分别为小b, c,反os 4+半〞=(1)求cos B：(2)如图,.为△ABC外一点,假设在平面四边形ABC.中,D=2B,且AO=1, CD =3, BC=水,求48的长.19.(12分)如图,四棱锥S—48.的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的也倍,尸为侧棱S.上的点.(1)求证：AC±SD,(2)假设SOJ_平面勿C,求二面角尸一4.一5的大小；(3)在(2)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得8E〃平面以C假设存在,求sc:s石的值；假设不存在,试说明理由.20.(12分)在全国第五个“扶贫日〞到来之前,某省开展“精准扶贫,携手同行〞的主题活动,某贫困县调查基层干部走访贫困户数量.H镇有基层干部60人,B 镇有基层干部60人,C镇有基层干部80人,每人都走访了假设干贫困户,根据分层抽样,从A, B, C三镇共选40名基层干部,统计他们走访贫困户的数量,并将走访数量分成5组,[5,15), [15,25), [25,35), [35,45), [45,55],绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这40人中有多少人来自.镇,并估计A, B, C三镇的基层干部平均每人走访多少贫困户；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)如果把走访贫困户到达或超过25户视为工作出色,以频率估计概率,从A, B, C三镇的所有基层干部中随机选取3人,记这3人中工作出色的人数为X,求X 的概率分布及均值.21.(12分)设椭圆7+/=1(心历＞0)的离心率“=],椭圆上的点到左焦点Fi的距离的最大值为3.(1)求椭圆.的方程：⑵求椭圆C的外切矩形ABC.的面积S的取值范围.22. (12分)函数入t)=e、-ov—a(其中e为自然对数的底数).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)假设对任意x£(0,2],不等式人¥)"-4恒成立,求实数4的取值范围;⑶设〃GN*,证实：份+自+郎+・♦,+恰＜言？高三年级数学考前热身练答案精析I. B 2,A 3.B 4.D 5.D 6.C7. C [当〃22 时,斯+2S〃—i=〃,①故“〃+i+2S〃=〃+1,②由②一①得,“n+i—斯+2(S“-Si)= 1,即1 += 1(〃 22),所以52021=.1 + (.2+.3)+(.4+.5)3 ----- 卜(.2021+.2021)=1 010.] 8. B [设尸(沏,加),由于点尸为切点,贝陈3+28尸？/]!! Xo +.,又点尸的切线相同,那么/(M)) = g'(刈),nr , 3/即xo+2a= , xo即(xo+3a)(xo—a)=0,又6/>0, x()>0, .\xo=a,于是,b=^a2~3a2\n a(a>0),设/z(x)=#一3/ln A(.V>0),那么h' (x)=2x(1 —31n X)(A>0),1 】所以3)在(0,奇上单调递增,在(J, +8)上单调递减,1 3 2b的最大值为//(e3) = ^e3.]9.ABC [由于0v/x〃<l, O1,根据指数函数与黑函数的图象与性质有应选项A错误；根据指数函数的图象与性质有「?.,应选项B错误；根据对数函数的图象与性质有logaC<log〃C,应选项C错误；由于c>l,那么为gM>logcb",即 blogca>alogcb,应选项D 正确.] 10.ACD [A 项,函数y=1(aX)且aWl),),=10须/(4>0且〃W1)的定义域都是R,故A正确；B项,函数•值域为[0, +°°),函数y=3*的值域为(0, +8),故B错误；C,当x£[0, +8〕时,函数y=e+l|=x+l是增函数,函数丁=2什1是增函数,故C正确；1 +x 1 +xD项,〕=怆17的定义域是〔一1,1〕,令应?=怆=,1 人 1 人1 ~X〔1+工〕_] 1 +x犬—、〕=怆干==—1 丐=rw,1 +x故函数〕,=lg1是奇函数,故D正确.]1 X11.AD [A正确,B中直线/可能平行于a也可能在a内,故B错；C中直线/, 〃?,〃可能平行也可能相交于一点,故C错；D正确.]12.BCD [把函数y=sinQ+?的图象上各点的横坐标缩短为原来的;得到y= sin〔2H~m 的图象,再将图象向右平移:个单位长度得到函数g〔x〕=sin 2〔入一：〕+金=sin〔2x—5的图象.U 〔兀兀、…兀〔兀兀]假设xe1一m 那么〃_?£〔一5, 4〔x〕〔*,"上单调递增,故A正确；由痣知’如〕的图象不关于点值,q对称,故B错误；g〔x〕的最小正周期为兀,故C错误；•♦•飘.〕=一*±1,•••式工〕的图象不关于丁轴对称,故D错误.]13.9解析由事件A, 8互为对立事件,其概率分别P〔A〕=：,4 1 4P⑻且x>0,〕>0,所以P〔A〕 + P〔8〕 = ;;+;：=1, A y A当且仅当x=6, y=3时取等号,所以x+y的最小值为9.14.-4解析由题意,以A为坐标原点,AB方向为x轴,方向为y轴,建立平面直角坐标系, 由于正方形488的边长为2,所以可得40,0), 8(2,0), C(2,2), 0(0,2),设P(x, y),那么=(—x, —>,)»二(2—x, —y)»= (2—A;2—y)»=(—x,2—y),所以+ =(2—2x, — 2y)» +=(2—2x,4—2y),因此(+>(+)=4(1 — x)2—4),(2-y)=4(x-l)2+4(y—l)2-42-4, 当且仅当x=y=l时,取得最小值一4.15.10n—2 216解析丁〃为数列｛d｝的前〃项的和,〃=5〃2+3〃, bn=T,-Tn-\= (5/+3H)-[5(n -1)?+3(〃 - 1)] = 10〃 - 2(« 2 2),验证〃=1时,〃i = Ti=8也符合,故方=10〃-2,024 = 811= 108, a\ 025 = 2.1 024 = 216.16.(2e+1, e2+2jlln xl, 0<xWe, 解析画出函数/3)= 的图象(如下图).2 —In x, x>efc不妨令a<b<c,那么由和图象,得0<a< 1 </?<e<c<e2, 且一lna=lnb=2—Inc,那么帅=1, bc=er,1 e2 1 +e?那么.+〃+.=石+〃+不=〃+—^―,1 +e2令g(x)=x+1—人1+e2由于屋(幻=1一一「〈0在工£(1, e)时恒成立,人所以g(x)在(1, e)上单调递减,1 ] +e2所以2e+-<〃+~<2+e2.e17.解(1)由题意得＜। 7X61=49,,5X424V5.1 + 丁xl<26, = 1,•••aiWZ, d£Z,解得j2,- 1)4=2〃- 1(〃 WN").⑵,=斯+] = (2〃一1)(2〃 +1)=工2〃 - 1 - 2〃 +11(「口尸引11,1 I . 1 1 . 一针与一针厂尹…+2n — 1 2n + In2〃+「18.解(1)在△ABC中,由正弦定理得巧sin Bcos A +亨sin A = sin C,又C=TT—(A+3),所以sin 8cos A+坐sin A = sin (A+8),故sinBcos A H-^sin A = sin Acos B+cosAsin B,所以sin Acos B=^sin A,又SO_L 平面PAC.平面SAC 的一个法向量=(—理a, 0, 0),那么 cos 〈,〉= = 2, 又二面角尸一AC-S 为锐二面角,那么二面角P —AC —S 为60..(3)解在棱SC 上存在一点E 使8E 〃平面PAC.二(一乎〞,乎 4, 0)那么= + = +/又BE 〃平面以.,所以・=0,解得,=；.即当 SC ： SE=3 ： 2 时,J_, 而BE 不在平面布C 内,故8七〃平面%C.所以侧棱SC 上存在点E,当 SC ： CE=3 ： 2 时,有 BE 〃平面 PAC.20.解(1)由于4, B, C 三镇分别有基层干部60人,60人,80人,共200人,40利用分层抽样的方法选40人,那么C 镇应选取80X 而=16(人),所以这40人中 有16人来自C 镇,由于盘= 10X0.15 + 20X0.25 + 30X0.3+40X0.2+50X0.l=28.5,所以三镇基层干部平均每人走访贫困户28.5户.3⑵由直方图得,从三镇的所有基层干部中随机选出1人,其工作出色的概率为本 显然X 可取0,123,且X 〜5(3, 那么P 〔X =O 〕 = 〔|〕3=I |g, 那么平面PAC 的一个法向量=由(2)知是平面勿.的一个法向量,,设=f,_〔 J2 啦八、 ~[~2a "看"〔I-,〕,P〔x=D=c既〕俄=需, P〔X=2〕=喏〕◎=急P〔X=3〕=◎3=恁所以X的概率分布为8 36 54 27 9所以均值凤出=0乂声+1乂d+2乂不+3又正=7. 1乙J L乙J L乙J X乙J Jc 121.解〔1〕由题设条件可得；;=5, 〃+c=3, c< 乙解得〃=2, c=i..\b2=a2—c2=3,所以椭圆.的方程为3+^=1.〔2〕当矩形A8CO的一组对边所在直线的斜率不存在时,得矩形48CO的面积5= 8小,当矩形A8CO四边所在直线的斜率都存在时,不防设A8, C.所在直线的斜率为k,那么8C, A.所在直线的斜率为一：,设直线A8的方程为 >=履+机,与椭圆联立y=kx+m,< A2y2可得〔43 + 3〕A2+8k"?x+4〃/ —12=0, ,+亍=晨由」二〔8也?〕2—4〔4炉+3〕〔4〃?2- 12〕=0,得加2=4/ + 3, 显然直线CD的直线方程为y=kx-m.直线A8, CO间的距离21川/ nr/4一+ 3"尸而r 2y西7=官订,同理可求得8C, AO间的距离为所以四边形48CO的面积为1+4已4+3公S ABCD—个重〜HT /12-+25/+12 /~~' 1?=4、R+2R+1 =勺12+、+2/+1=4 /12+ 1 <4\/12+1= 14«VE二+2(当且仅当攵=±1时等号成立),又88(7)>4/=85,综上可得外切矩形面积的取值范围是［8小,14］.22. (1)解由于/(x)=e'—or—.,所以,(x)=e*—〃, ①当时,/'.)>0,函数«r)在区间R上单调递增; ②当〃>0 时,令r (x)>o, x>ln«,令r (x)v.,xvlnc/,所以/(x)在(一8, Ina)上单调递减,在(Ina,+8)上单调递增. (2)解由于对任意的x£(0,2］,不等式4恒成立, 即不等式(a+l)xve工恒成立.即当x£(0,2］时,.?一1恒成立.e' 〔x— 1 〕e〞令g〔x〕=：—l〔x£〔0,2］〕,那么/〔A-〕 = -2—人人令g f (x)>O,loW2, g' (A)<0,,0<v< 1, 所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2］上单调递增. ,x=l时,g(x)取最小值e—1.所以实数〃的取值范围是(-8, e-1).⑶证实在(1)中,令“=1可知对任意实数x都有e'—x—120, 即x+l<e'(当且仅当x=0时等号成立).令工+1=［〔攵=1,2,3,…,〃〕,那么哦〕"＜门=5,故卧+侍+@'+…+〔"©+e2+e+“+e"〕=：：；〕*〔;〕•。
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江苏省南通市海安县2021届高三期中调研考试
数学
注意事项:
1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.
2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.
一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数z满足(2+i)z=1-2i,其中i为虚数单位,则z等于()
A. 1
B. -1
C. i
D. -i
2.已知集合A={x|x2-x>0},则∁R A等于()
A. {x|0<x<1}
B. {x|0≤x≤1}
C. {x|x<0或x>1}
D. {x|x≤0或x≥1}
3.在1,2,3,…,2 020这2 020个自然数中,将能被2除余1,且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列,构成数列{a n},则a50= ()
A. 289
B. 295
C. 301
D. 307
4.重阳节,农历九月初九,二九相重,谐音是“久久”,有长久之意,人们常在此日感恩敬老,是我国民间的传统节日.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是()
A. 35
B. 40
C. 50
D. 70
的图象大致为()
5.函数y=2x
x2+x-2
A B
C D
6.某校先后举办定点投篮比赛和定点射门比赛.高三(1)班的45名同学中,只参加了其中一项比赛的同学有20人,两项比赛都没参加的有19人,则两项比赛中参加人数最多的一项比赛人数不可能是()
A. 15
B. 17
C. 21
D. 26
(第7题)
7. 克罗狄斯·托勒密(Ptolemy )所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号.根据以上材料,完成下题:如图,半圆O 的直径为2,A 为直径延长线上的一点,OA =2,B 为半圆上一点 ,以AB 为一边作等边三角形ABC ,则当线段OC 的长取最大值时,∠AOC 等于
( )
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
8. 已知双曲线x 2a 2-y 2b
2=1(a >0,b >0)的焦点为F 1,F 2,其渐近线上横坐标为12
的点P 满足PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则a 等于 ( ) A. 1
4
B. 12
C. 2
D. 4
二、 多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,不选或有错选的得0分. 9. 下列四个函数中,以π为周期,且在区间(π
2
,
3π
4
)上单调递减的是 ( )
A. y =|sin x |
B. y =cos2x
C. y =-tan x
D. y =sin|2x |
10. 若(2x √
x )n
的展开式中第
6项的二项式系数最大,则n 的可能取值为
( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
11. 已知a >0,b >0,且a 2
+b 2
=1,则 ( ) A. a +b ≤√2 B. 1
2<2a -b
<2 C. log 2√a +log 2√b ≥-12
D. a 2
-b 2
>-1
12. 我们知道,任何一个正实数N 都可以表示成N =a ×10n
(1≤a <10,n ∈Z ).定
义:W (N )={N 的整数部分的位数,n ≥0,N 的非有效数字0的个数,n <0,
如:W (1.2×102)=3,W (1.23×10)=2,W (3×10-2
)=2,W (3.001×10-1
)=1,则下列说法中正确的是 ( )
A. 当n >0,M >1,N >1时,W (M ·N )=W (M )+W (N )
B. 当n <0时,W (M )=-n
C. 若N =2100
,lg2≈0.301,则W (N )=31
D. 当k ∈N *
时,W (2k
)=W (2-k
)
三、 填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知抛物线y 2
=2px (p >0)上横坐标为1的点到焦点的距离为5
2,则p = .
14. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x (单位:年)与维护费用y (单位:千元)之间有如下数据:
使用年限x (单位:年) 2 4 5 6 8 维护费用y (单位:千元)
3
4.5
6.5
7.5
9
x 与y 之间具有线性相关关系,且y 关于x 的线性回归方程为y =1.05x +a (a 为常数).据此估计,当使用年限为
7年时,维护费用约为 千元.
(参考公式:线性回归方程y =bx +a 中的系数b =
∑i=1
n
(x i -x )(y i -y )
∑i=1
n
(x i -x )
2
,a =y -bx)
(第15题)
15. 如图,水平广场上有一盏路灯挂在10 m 长的电线杆上,记电线杆的底部为点A.把路灯看作一个点光源,身高1.5 m 的女孩站在离点A 5 m 的点B 处.若女孩向点A 前行4 m 到达点D ,然后从点D 出发,沿着以BD 为对角线的正方形走一圈,则女孩走一圈时头顶(视为一点)的影子所围成封闭图形的面积为 m 2
.
16. 已知在三棱锥P -ABC 中,PA ,PB ,PC 两两垂直,且PA =PB =PC =1,以P 为球心,√2
2
为半径的球面与该三棱锥表面
的交线的长度之和为 .
四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)已知公比q 大于1的等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2=4.
(1) 求{a n }的通项公式;
(2) 设b n = ,求数列{b n }的前n 项和S n .请在①n ·a n ;②|2log 2a n -9|;③a n
(2n
+1)(2n+1+1)
这
三个条件中选择一个,补充在上面的横线上,并完成解答. 注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
18. (本小题满分12分)在△ABC 中,设角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(c -b )sin C =(a -b )(sin A +sin B ).
(1) 求角A 的大小;
(2)若b=2,且△ABC为锐角三角形,求△ABC的面积S的取值范围.
19.(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,AD⊥
CD,AB=AD=1,CD=2,PD⊥平面ABCD.
(1)求证:BC⊥平面PBD;
(2)已知PD=2,点E为棱PB的中点,求直线AE与平面DCE所成角的正弦值.
(第19题)
20.(本小题满分12分)根据历史资料显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医院将此药给10位病人服用,试验方案为:若这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有效,提高了治愈率;否则,则认为该药无效.
(1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人的个数为X,求X的概率分布及数学期望;
(2)如果新药有效,将治愈率提高到了50%,求通过试验却认定新药无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.
(参考结论:通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:x 2
a2+y
2
b2
=1(a>b>0)的离心率为√2
2
,
且经过点A(1,√2).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设F为椭圆C的右焦点,直线l与椭圆C相切于点P(点P在第一象限),过原点O作直线l 的平行线与直线PF相交于点Q,问:线段PQ的长是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=a e x+1,g(x)=ln x a-1,其中a>0.
(1)若a=1,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点O分别作函数y=f(x)与y=g(x)的图象的切线l1,l2,求l1,l2的斜率之积;
(2)若f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求a的最小值.。