安徽省2019年中考数学一轮复习第二讲空间与图形第六章圆6.3与圆有关的计算课件
2019年安徽数学中考一轮复习《第6章第3节与圆有关的计算》课件
C．4 cm
D．6 cm
数学
第六章
圆
【解析】
(1)设圆锥底面圆的半径为 r，底面圆的周长为 2πr；(2)
再用 r 的代数式表示半圆的弧长；(3)根据圆锥的侧面展开图的弧长等于 圆锥的底面圆的周长列方程解即可． 设圆锥底面圆的半径为 r， 根据题意， 1 得 2πr＝ ·2π·12，解得 r＝6. 2
数学
第六章
圆
●考点二
圆柱、圆锥的有关计算
1．设圆柱的高为l，底面半径为R，如图1，则有：
2πRl ； (1)S圆柱侧＝________ (2)S圆柱全＝________ຫໍສະໝຸດ _______. 2πR2＋2πRl
数学
第六章
圆
2 ．设圆锥的母线长为 l ，底面半径为 R ，高为 h ，如图 2，则有： πRl ； (1)S圆锥侧＝________ (2)S圆锥全＝________________. πRl＋πR2
数学
第六章
圆
基础知识梳理
数学
第六章
圆
●考点一
弧长、扇形面积的计算
1．半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长 l 的计 n πR 180 算公式为 l＝________. 2．扇形的面积 (1)半径为 R 的圆中，圆心角为 n° 的扇形面积为： n πR2 360 S 扇形＝________ ； 1 lR 2 (2)半径为 R，弧长为 l 的扇形面积为：S 扇形＝________.
数学
第六章
圆
【温馨提示】在求不规则图形的面积或周长时，利用数学的转化思
想显得特别重要 ； 对于不规则图形 ， 我们可以把它分割 (转化 )成若干个 规则图形 ， 或填补 (转化 )成包含这个不规则图形的较大的规则图形减去 多余的规则图形．
2019年安徽数学中考一轮复习《第6章第3节与圆有关的计算》课件
数学
第六章 圆
●考点三
正多边形的有关计算
各角 也相等的多边形是正多边形 各边都相等且________
1.定义
中心 对称图形 正多边形都是轴对称图形， 正偶数多边形是________ 360° 2.性质 中心角＝ ＝每个外角的度数 n 360° 180° － n 每个内角的度数＝________ 3.作法 将圆周 n 等分，依次连接各等分点，首尾相接得到正 n 边形
填空 填空
★★ ★★★
数学
第六章 圆
说明：由以上分析可以看出，安徽的中考，每年都会考一个“与圆
有关的计算”的题目，有时是选择题或填空题 ，有时是解答题，有时是 单独考查，有时是与前面的知识联合或综合考查，2015年考的弧长求法 属于单独考查，难度在中等及以下 ；综合考查的由于其综合性 ，难度自 然不会小了 ， 如 2014 年的解答题 ( 本部分的正多边形的知识仅占一部
︵
数学
第六章 圆
nπR 【解析】 先计算圆心角为 120° ， 根据弧长公式＝ ， 可得结果． 连 180 接 OD，∵∠ABD＝30° ，∴∠AOD＝2∠ABD＝60° ，∴∠BOD＝120° ， 120π×4 8π ∴BD 的长＝ ＝ . 180 3
【答案】 【点拨】 D 本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公
分)，综合性强难度大；2016年该知识点与切线的性质、直角三角形两锐
角互余结合考察；2017年与等边三角形及圆的其它性质综合考察，难度
适中；2018年该知识点安徽卷没有考察．
数学
第六章 圆
由以上分析可以预测 ，2019年的中考，会延续前几年的情况，也会 考一个“与圆有关的的计算”的题目，如果单独考查这部分知识 ，会比 较简单，题型可能是选择题或填空题 ；如果与其他知识结合考查或综合 考查，可能会是解答题，难度会在中等以上．
安徽省2019年中考数学复习第二讲空间与图形第六章圆6.3与圆有关的计算测试
6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)12倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°. 2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4.4,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA 上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边形ABCDEF=6S△AOB=6×3=18.4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△BOE=AE·BE=×2×2.5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。
安徽中考数学复习知识系统课件：第六章圆
5.切线长定理.
PA=PB , ∠APO=∠BPO .
______p_r_____
图1
2.直角三角形的内切圆(如图2)
设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=
题图
【分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案. 极据题意,可知点C应满足两个条件,一是在线段AB的垂直平分线上;二是在两 条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的 点在线段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的 角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的 点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.
.
【解】(1)4π
(2)15
(3)6π
扇形面积
(2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=
15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为
cm2.
【分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影= S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.
或S扇形=
.
知识点2:圆锥的侧面积和全面积
1.圆柱的侧面展开图是 矩形 ,这个矩形的长等于圆柱的_底__面__周__长___ C,宽是圆柱的 高 l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl. (如图1)
2.圆锥的侧面展开图是 扇形 ,这个扇形的 弧长 等于圆锥的底面周长C, 扇形半径 等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,
安徽省中考数学一轮复习第二讲空间与图形第六章圆.与圆有关的位置关系
考点扫描
【答案】 ( 1 )连接 DO.
∵AD∥OC,∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD.
又∵OA=OD,∴∠DAO=∠ADO,∴∠COD=∠COB.
������������ = ������������,
在△COD 和△COB 中, ∠������������������ = ∠������������������,
5.( 2017·安徽第20题 )如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C 作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE. ( 1 )求证:四边形AECD为平行四边形. ( 2 )连接CO.求证:CO平分∠BCE.
解:( 1 )由圆周角定理得∠B=∠E,
又∵∠B=∠D,∴∠E=∠D. ∵CE∥AD, ∴∠D+∠ECD=180°, ∴∠E+∠ECD=180°, ∴AE∥CD, ∴四边形AECD为平行四边形.
提分训练 2.☉O中的两条弦AB与CD相交于点E,若AE=6 cm,BE=2 cm,CD=7 cm,那么CE= 3或4
cm.
【解析】由相交弦定理,得AE·BE=CE·DE,∵AE=6 cm,BE=2 cm,CD=7 cm, ∴DE=CD-CE=7-CE,∴6×2=CE( 7-CE ),即CE2-7CE+12=0,解得CE=3 cm或CE=4 cm.
r=a+2b-c.
考点扫描
考点1 考点2
典例2 ( 2018·山东烟台 )如图,四边形ABCD内接于☉O,点I是△ABC的内
心,∠AIC=124°,点E在AD的延长线上,则∠CDE的度数为 (
)
A.56° B.62° C.68° D.78°
【解析】∵点I是△ABC的内心,∴∠BAC=2∠IAC,∠ACB=2∠ICA,
2019年安徽数学中考一轮复习《第6章第2节与圆有关的位置关系》课件
【解析】
(1)DE 与 ⊙ O的公共点为 D ， 所以连接
DO，证明DE⊥OD即可；(2)显然图中阴影部分的面积 等于扇形AOD的面积减去△DOF的面积，然后去为求 两个面积而准备条件．
数学
第六章 圆
【答案】
解： (1)DE 与⊙ O 相切，理由：连接
DO，∵AD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵OD＝
【答案】 【点拨】
D 本题考查了点与圆的位置关系、矩形
的性质以及三角形三边关系 ，利用三角形三边关系找
出PN的最小值是解题的关键．
数学
第六章 圆
二、直线与圆的位置关系 【例 2】 以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 y＝－x ( ) B．－2 2≤b≤2 2 D．－2 2＜b＜2 2 ＋b 与⊙O 相交，则 b 的取值范围是 A．0≤b＜2 2 C．－2 3＜b＜2 3
【方法点拨】判定切线的方法有以下几种：
(1)若直线与圆只有一个公共点 ，则这条直线是圆
的切线；
(2)连接圆心和圆与直线的公共点即为半径 ，再证 它们互相垂直．简称“连半径证垂直 ”； 圆的半径 (3)当直线与圆的公共点没有确定时 ，首先过圆心 作出直线的垂线 ， 再证垂线段的长等于半径 ． 简称
“作垂直证半径”．
(2) 切 线 的 性 质 定 理 ： 圆 的 切 线 垂 直 于
数学
第六章 圆
3．切线长及切线长定理
线段(1)切线长：从圆外一点引圆的两条切线，这一点 到切点之间的______的长，叫做切线长； 相等 平分 (2) 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切 线，它们的切线长 ________ ，这一点和圆心的连线 ________两条切线的夹角．
数学
安徽省2019年中考数学一轮复习 第二讲 空间与图形 第六章 圆 6.3 与圆有关的计算测试
6.3与圆有关的计算[过关演练](30分钟75分)1.(xx·湖北天门)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是(B)A.120°B.180°C.240°D.300°【解析】设母线长为R,底面半径为r,∴底面周长=2πr,底面积=πr2,侧面积=πrR,∵侧面积是底面积的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,设圆心角为n,则=2πr=πR,解得n=180°.2.如图,PA,PB是☉O的切线,切点分别为A,B.若OA=2,∠P=60°,则劣弧的长为(C)A. B.π C. D.【解析】∵PA,PB是☉O的切线,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠AOB=360°-∠OAP-∠OBP-∠P=360°-90°-90°-60°=120°,∴劣弧的长为.3.在矩形ABCD中,AB=16,如图所示裁出一扇形ABE,将扇形围成一个圆锥(AB和AE重合),则此圆锥的底面圆半径为(A)A.4B.16C.4D.8【解析】由题意知的长为=8π,即围成的圆锥的底面圆的周长为8π,则底面圆的半径为=4..(xx·四川资阳)如图,ABCDEF为☉O的内接正六边形,AB=a,则图中阴影部分的面积是(B)A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】∵正六边形的边长为a,∴☉O的半径为a,∴☉O的面积为π×a2=πa2,∵空白正六边形为六个边长为a的正三角形,∴每个三角形面积为×a×a×sin 60°=a2,∴正六边形面积为a2,∴阴影面积为a2.5.如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=2,以BC的中点O为圆心分别与AB,AC相切于D,E 两点,则的长为(B)A. B.C.πD.2π【解析】连接OD,OE,设半径为r.∵☉O分别与AB,AC相切于D,E两点,∴OE⊥AC,OD⊥AB,∴∠DOE=90°,OD∥AC,∵点O是BC的中点,∴OD是△ABC的中位线,∴OD=AC,∴AC=2r,同理可得AB=2r,∴AB=AC,∴∠B=45°,∵BC=2,由勾股定理可得AB=2,∴r=1,∴的长为.6.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是(A)A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形【解析】正三角形的中心角的度数为360°÷3=120°,正方形的中心角的度数为360°÷4=90°,正五边形的中心角的度数为360°÷5=72°,正六边形的中心角的度数为360°÷6=60°.7.如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA,ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是(A)A.8-πB.C.3+πD.π【解析】作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB=,由旋转的性质可知OE=OB=2,DE=EF=AB=,∵∠OFE+∠FEO=∠OED+∠FEO=90°,∴∠OFE=∠OED,∴△DHE≌△EOF,∴DH=OE=2,阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+=8-π.8.(xx·合肥模拟)如图,在圆心角为45°的扇形内有一正方形CDEF,其中点C,D在半径OA上,点F在半径OB上,点E在上,则扇形与正方形的面积比是(B)A.3π∶8B.5π∶8C.π∶4D.π∶4【解析】连接OE,设正方形CDEF的边长为x,∴O D=2x,∴OE=x,∴S正方形=x2,S扇=πx2,∴S扇∶S正方形=5π∶8.9.如图,正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,则B,E两点间的距离为8.【解析】连接BE,AE,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠AFE=120°,FA=FE,∴∠FAE=∠FEA=30°,∴∠BAE=90°,∴BE是正六边形ABCDEF的外接圆的直径,∵正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆,∴BE=8,即B,E两点间的距离为8.10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,将△ABC沿直线CB向右作无滑动滚动一次,则点C经过的路径长是.【解析】∵∠ACB=90°,∠A=60°,AB=2,∴∠ABC=30°,BC=3,由旋转得△A'BC'≌△ABC,∴∠C'BA'=30°,∴∠CBC'=150°,∴点C经过的路径长为.11.如图,点B,C把分成三等分,ED是☉O的切线,过点B,C分别作半径的垂线段,已知∠E=45°,半径OD=1,则图中阴影部分的面积是.【解析】∵ED是☉O的切线,∴∠EDO=90°,∵∠E=45°,∴∠EOD=45°,又∵点B,C把分成三等分,∴∠AOB=∠BOC=∠COD=45°,∴S阴影=π·OD2-2××1×1-.12.如图,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,点P为切点,AB=12,OP=6,则劣弧的长为8π.(结果保留π)【解析】连接OA,OB.∵大圆的弦AB是小圆的切线,∴OP⊥AB,根据垂径定理,得BP=AB=6.在Rt△OBP中,OB==12,tan ∠POB=,∴∠POB=60°.∵OA=OB,OP⊥AB,∴∠AOB=2∠POB=120°,∴劣弧的长为=8π.13.(xx·四川宜宾)刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积,则S=2.(结果保留根号)【解析】依照题意画出图象,如图所示.∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形,∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6××1=2.14.(8分)(xx·浙江湖州)如图,已知AB是☉O的直径,C,D是☉O上的点,OC∥BD,交AD于点E,连接BC.(1)求证:AE=ED;(2)若AB=10,∠CBD=36°,求的长.解:(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°,即OC⊥AD,∴AE=ED.(2)∵OC⊥AD,∴,∴∠ABC=∠CBD=36°,∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°,∴=2π.15.(10分)(xx·江西)图1是一种折叠门,由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成,整个活页门的右轴固定在门框上,通过推动左侧活页门开关.图2是其俯视简化示意图,已知轨道AB=120 cm,两扇活页门的宽OC=OB=60 cm,点B固定,当点C在AB上左右运动时,OC与OB 的长度不变.(1)若∠OBC=50°,求AC的长;(2)当点C从点A向右运动60 cm时,求点O在此过程中运动的路径长.(结果保留小数点后一位,参考数据:sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.19,π取3.14)解:(1)作OH⊥BC于点H,∵OB=OC,∴BH=CH,在Rt△OBH中,∵cos ∠OBH=,∴BH=60·cos 50°=60×0.64=38.4,∴BC=2BH=2×38.4=76.8,∴AC=AB-BC=120-76.8=43.2(cm).(2)∵OB=OC=60,BC=60,∴△OBC为等边三角形,∴∠OBC=60°,∴当点C从点A向右运动60 cm时,点O在此过程中运动路径是以B点为圆心,BO为半径,圆心角为60°的弧,∴点O在此过程中运动的路径长为=20π≈62.8(cm).[名师预测]1.如图,用—个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升,滑轮上一点P旋转了108°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了(C)A.π cmB.2π cmC.3π cmD.5π cm【解析】当滑轮上一点P旋转了108°时,重物上升的距离就是点P旋转的弧长,即为=3π(cm).2.如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,以AC长为半径画弧交AB 的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积为(A)A.4π-4B.4π-8C.8π-4D.8π-8【解析】利用对称性可知:阴影部分的面积=扇形AEF的面积-△ABD的面积=×4×2=4π-4.3.已知圆的半径是2,则该圆的内接正六边形的面积是(C)A.3B.9C.18D.36【解析】如图,圆O的内接正六边形为ABCDEF,圆O的半径为2.连接OA,OB,过点O作OG⊥AB,垂足为G.∵OA=OB=2,∠AOB==60°,∴△AOB是等边三角形,∴AB=2.∵OG⊥AB,∴AG=AB=.在Rt△AOG中,根据勾股定理,得OG==3,∴S△AOB=AB×OG=×2×3=3.∴S六边=6S△AOB=6×3=18.形ABCDEF4.如图,在平行四边形ABCD中,AB<AD,∠D=30°,CD=4,以AB为直径的☉O交BC于点E,则阴影部分的面积为.【解析】连接OE,AE,∵AB是☉O的直径,∴∠AEB=90°,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD=4,∠B=∠D=30°,∴AE=AB=2,BE==2,∵OA=OB=OE,∴∠B=∠OEB=30°,∴∠BOE=120°,∴S阴影=S扇形OBE-S△=AE·BE=×2×2.BOE5.如图,边长为1的菱形ABCD的两个顶点B,C恰好落在扇形AEF的上.若∠BAD=120°,则的长度等于.(结果保留π)【解析】连接AC,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠ABC=60°,∵AB=BC,∴△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴的长度为.6.如图,正方形ABCD内接于☉O,M为的中点,连接BM,CM.(1)求证:BM=CM;(2)当☉O的半径为2时,求的长.解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=CD,∴,∵M为的中点,∴,∴,∴BM=CM.(2)连接OM,OB,OC.∵,∴∠BOM=∠COM,∵正方形ABCD内接于☉O,∴∠BOC==90°,∴∠BOM=135°.由弧长公式得的长为.7.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC 于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.解:(1)连接OE,过点O作OM⊥AC于点M,则∠AMO=90°,∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°,∵∠FDC=15°,∴∠C=180°-90°-15°=75°,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°,∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°,∴OM=OA=×3=,AM=OM=,∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=3,∴∠BAC=∠AEO=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°,∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE=×3=3π-.(2)连接OD,∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD,∵DF⊥AC,∴DF⊥OD,∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)连接BE,∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°,∴BE⊥AC,∵DF⊥AC,∴BE∥DF,∴∠FDC=∠EBC,∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC,∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC,∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C,∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.8.如图,AB为☉O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为O,P为半圆上任意一点,过点P作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM,PM.(1)求∠OMP的度数;(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,求内心M所经过的路径长.解:(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,∴∠PMO=180°-∠MPO-∠MOP=180°-(∠EOP+∠OPE),∵PE⊥OC,即∠PEO=90°,∴∠OMP=180°-(∠EOP+∠OPE)=180°-(180°-90°)=135°.(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,∠MOP=∠MOC,∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°,∴点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°的两段劣弧上().当点M在扇形BOC内时,过C,M,O三点作☉O',连O'C,O'O,在优弧CO上取点D,连接DC,DO,∵∠CMO=135°,∴∠CDO=180°-135°=45°,∴∠CO'O=90°,又∵OA=2 cm,∴O'O=OC=×2=,∴弧OMC的长=π(cm),同理:点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为π cm,所以内心M所经过的路径长为2×π=π cm.。
2019年安徽九年级数学中考一轮复习《第6章第2节与圆有关的位置关系》课件
数学
第六章 圆
点与圆的位置关系 点 B 在圆上
图形
d 与 r 的大小关系 d＝OB＝r
点 C 在圆外
d＝OC＞r
数学
第六章 圆
●考点二
直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系如下表
直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 相交 相切 相离
2 ________
1 ________
0 ________
数学
第六章 圆
直线与圆的 位置关系 圆心到直线的 距离d与 半径r的关系
相交
＜ r d________ 交点 ________
相切
＝ r d________ 切点 ________
相离
＞ d________ r
公共点名称
直线名称
无
无
________ 交线
关系”的题目，有的年份有，有的年份没有，2019年如果出这部分的题
目，一个可能是单独考查这部分的知识的题目 ，再一个可能就是与其他 知识相综合的题目，题型是选择题或填空题，难度在中等左右．
数学
第六章 圆
基础知识梳理
数学
第六章 圆
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
●考点一 点与圆的位置关系
内 上 、点在 点与圆有三种位置关系：点在圆 ________ 、点在圆________ 外 圆________. 其对应关系可简明表示如下表
数学
第六章 圆
3．切线长及切线长定理
(1) 切线长：从圆外一点引圆的两条切线 ，这一点到切点之间的 线段 的长，叫做切线长； ______ (2) 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 ________ 相等 ，这一点和圆心的连线________ 平分 两条切线的夹角．
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考点1 考点2
【解析】连接 OD,BD,∵点 C 为 OB 的中点,∴OC=2OB=2OD,
1
1
∵CD⊥OB,∴∠CDO=30°,∠DOC=60°, ∴△BDO 为等边三角形,OD=OB=12,OC=CB=6,∴CD=6 3, ∴S ∴S 阴影=S 扇形 AOD+S△COD-S 扇形 COE=16π+18 3-10π=6π+18 3.
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考点1 考点2
名师指导 一些不规则图形的阴影面积求法 采用“割补法”“等积变形法”“拼凑法”“构建方程法”,将不规则图形的阴影面积转化为规 则图形的面积进行求解.将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、 熟悉的、简单的问题,这种思想就是转化思想.
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考点1 考点2
典例 2
则劣弧������������长为
【答案】 B
60π×1 180
= .
π 3
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考点1 考点2
( 2018· 湖北十堰 )如图,扇形 OAB 中,∠AOB=100°,OA=12,C 是 OB 的中 点,CD⊥OB 交������������于点 D,以 OC 为半径的������������交 OA 于点 E,则图中阴影部分的面积是 ( ) A.12π+18 3 B.12π+36 3 C.6π+18 3 D.6π+36 3
与圆有关的计算( 8年4考 ) 1.圆的弧长计算及扇形面积
图形
圆周长 C=2πr
圆的弧长 l=180
n ������ r
圆面积 S=πr
2
扇形面积 S 扇形= 360 =2lr
n ������ r 2 1
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考点1 考点2
2.不规则图形面积的计算 求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的 图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有: ( 1 )直接用公式求解; ( 2 )将所求面积分割后,利用规则图形的面积相互加减求解; ( 3 )将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解; ( 4 )将所求面积分割后,利用旋转将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解; ( 5 )将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分,用整体和差法求解.
6.3 与圆有关的计算
掌握弧长及扇形面积的计算公式,了解正多边形的概念、正多边形与圆的关系.
2016—2018 年安徽中考命题分析 年份 考查点 题型 题号 2018 — — — 圆的性质与 填空 2017 13 弧长公式 题 圆的切线与 填空 2016 13 弧长公式 题
分值 — 5 5
2019 年安徽中考命题预测 考查内容:弧长公式. 考查题型:从安徽省近几年的中考试 题来看,有关本节考点的题目,几乎每 年都考,题型以填空题为主,题目比较 基础. 中考趋势:预测 2019 年的中考会延续 这种趋势,难度较低.
【答案】 C 【方法指导】 与圆有关的计算,是直线形的续延; 弧长扇形面积算,圆柱圆锥侧面展; 正多边形圆相关,半径边心距半边; 掌握这些并不难,弄清关系能过关.
40· π· 122 1 1 = = 16 π , S = · OC · CD= ×6×6 扇形 AOD △COD 360 2 2
3=18 3,S
100· π· 62 =10π, 扇形 COE= 360
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考点1 考点2
提分训练 2.( 2018· 合肥模拟 )如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,垂足为P,若AB=2,AC= ( 1 )求∠A的度数. ( 2 )求弧CBD的长. ( 3 )求弓形CBD的面积. 【答案】 ( 1 )连接 BC,BD,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∵AB=2,AC= 3,∴BC=1,∴∠A=30°. ( 2 )连接 OC,OD,∵CD⊥AB,AB 是直径,∴∠BOC=2∠A=60°,
A. C.
243
29 243 2
8
B.
81 3 29 84 3 28
D.
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考点1 考点2
【解析】连接 OE1,OD1,OD2,∵六边形 A1B1C1D1E1F1 为正六边形, ∴∠E1OD1=60°, ∴△E1OD1 为等边三角形, ∵正六边形 A2B2C2D2E2F2 的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1 的各边相切,
∴OD2⊥E1D1,∴OD2= 2 E1D1= 2 ×2, ∴正六边形
3
3
3 A2B2C2D2E2F2 的边长= ×2, 2 3 2
2
同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3 的边长= 则正六边形 A11B11C11D11E11F11 的边长=
3 2
×2, ×2=
243 29
10
.
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考点1 考点形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的 各边相切,…,按这样的规律进行下去,A11B11C11D11E11F11的边长为 ( A)
( π A.
2 π C. 4
如图,AB 与☉O 相切于点 B,OA=2,∠OAB=30°,弦 BC∥OA,则劣弧������������的长是 ) π B.
3 π D. 6
【解析】连接OB,OC,∵AB为圆O的切线, ∴∠ABO=90°, 在Rt△ABO中,OA=2,∠OAB=30°,∴OB=1,∠AOB=60°, ∵BC∥OA,∴∠OBC=∠AOB=60°, 又∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴∠BOC=60°,
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考点1 考点2
与正多边形有关的计算
图形
正 n 边形的 正 n 边形的中 中心角的一 心角 半 α=
360 ° n
计算的思路方法 作出一条边的边心距和过这边的端点的半 径,与这边的一半构成了直角三角形,其中 心角的一半,即 α=
2 1 360 ° 2n
=正 n
边形的外角的 度数
1 2
α=
360 ° 2n
,利用勾股定理或
解直角三角形,即可解决有关问题
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考点1 考点2
典例1 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角 形,则该三角形是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三 角形分别求出边心距的长,由勾股定理的逆定理可得该三角形是直角三角形. 【答案】 C