2-2-2-椭圆的简单几何性质
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
2.1.2《椭圆的简单几何性质》教学设计
2.1.2《椭圆的简单几何性质》第一课时科目：高二数学****************完成时间：2022年4月25日课型：新授课教学工具：多媒体设备◆知识与技能目标通过对椭圆标准方程的讨论,理解并掌握椭圆的几何性质，用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念.◆过程与方法目标能够根据椭圆的标准方程求焦点、顶点坐标、离心率并能根据其性质画图.引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中要通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解,而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点P的思考问题，探究椭的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过39圆的扁平程度量椭圆的离心率．◆情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．培养学生分析问题、解决问题的能力,并为学习其它圆锥曲线作方法上的准备.必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．教学过程设计教学步骤教师活动学生活动设计意图（一）导入一、情景导入：1.国家大剧院的半椭圆正视图；1. 2.椭圆的标准方程.在解析几何里，是利用曲线的方程来研究曲线的几何性质的，我们现在利用焦点在x轴上的椭圆的标准方程来研究其几何性质.通过提出问题、分析问题、解决问题激发学生的学习兴趣,在掌握新知识的同时培养能力.（二）椭圆的大小思考1：如何将一个长、宽分别为10cm，８cm的矩形纸板制作成一个最大的椭圆呢？1.范围由椭圆的标准方程可知，椭圆上点的坐标(x,y)都适合不等式22ax≤1,22by≤1即x2≤a2,y2≤b2所以|x|≤a，|y|≤b即－a≤x≤a, －b≤y≤b这说明椭圆位于直线x＝±a, y＝±b所围成的矩形里。
学案6：2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2 椭圆的简单几何性质【课标点击】1.掌握椭圆的中心、顶点、长短轴、离心率的概念2.理解椭圆的范围和对称性【预习导学】►基础梳理1．椭圆的两个标准方程的几何性质与特征比较.2.椭圆的离心率e.(1)因为a>c>0，所以0<e<1．(2)e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁．(3)当e＝0时，即c＝0，a＝b时，两焦点重合，椭圆方程变成x2＋y2＝a2，成为一个圆．(4)当e＝1时，即a＝c，b＝0时，椭圆压扁成一条线段．(5)离心率e刻画的是椭圆的扁平程度，与焦点所在轴无关．3．直线与椭圆．设直线方程y＝kx＋m，若直线与椭圆方程联立，消去y得关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点；(2)Δ＝0，直线与椭圆有一个公共点；(3)Δ＜0，直线与椭圆无公共点．►自测自评1．椭圆x 26＋y 2＝1的长轴端点的坐标为( )A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(0，－6)，(0，6)D ．(－6，0)(6，0)2．离心率为32，焦点在x 轴上，且过点(2，0)的椭圆标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C ．x 2＋4y 2＝1D.x 24＋y 2＝1或x 24＋y 216＝13．椭圆x 216＋y 28＝12►随堂巩固1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长，短轴长，离心率依次是( )A ．5，3，45B ．10，6，45C ．5，3，35D ．10，6，352．已知椭圆的焦点在x 轴上，离心率为12，且长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 2＝1 D.x 216＋y 24＝1 3．在一椭圆中以焦点F 1，F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e 等于________．4．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞c )过点(0，4)，离心率为35.(1)求C 得方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．5．如图所示F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．►课时训练1．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0＜k ＜9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.123．若椭圆x 216＋y 2m ＝1的离心率为13，则m 的值为( )A.1289B.1289或18 C ．18 D.1283或64．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1 C.x 232＋y 236＝1 D.x 236＋y 232＝1 5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴6．已知点P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则该椭圆的离心率等于( )A.13B.12C.23D.537．已知椭圆上一点P 到两个焦点的距离的和为4，其中一个焦点的坐标为(3，0)，则椭圆的离心率为________．8．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________________________________________________________________________．9．过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．10．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e ＝23，短轴长为85，求椭圆的方程．11．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝12，且椭圆经过点N (2，－3)．(1)求椭圆C 的方程；(2)求椭圆以M (－1，2)为中点的弦所在直线的方程．12．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．►体验高考1．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2离心率为33，过F 2的直线l交C 与A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x212＋y28＝1 D.x 212＋y 24＝1 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．3．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E于A ，B 两点，|AF 1|＝3|BF 1|.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率．4．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .答 案►自测自评 1．【答案】D 2．【答案】A3．【答案】解：∵x 216＋y 28＝1中，a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝a 2－b 2＝8.∴e ＝c a ＝224＝22.►随堂巩固 1．【答案】B 2．【答案】A【解析】圆：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径r ＝4⇒a ＝2，又因为e ＝c a ＝12，c ＝1，所以a2＝4，b 2＝3，故选A.3．【解析】由题可知b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，a ＝2c .∴e ＝c a ＝22.【答案】224．【答案】解：(1)将(0，4)代入C 的方程得16b2＝1，∴b ＝4.又e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程，得x225＋（x －3）225＝1，即x 2－3x －8＝0，解得x 1＝3－412，x 2＝3＋412，∴AB 的中点坐标x 0＝x 1＋x 22＝32，y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65，即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.5．【答案】解：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c .则焦点为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，M 点的坐标为(c ，23b )，则△MF 1F 2为直角三角形．∴|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2.而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理得3c 3＝3a 2－2ab .又c 2＝a 2－b 2，所以3b ＝2a ，所以b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.►课时训练1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】A【解析】将x 2a 2＋y 2b 2＝k (k ＞0)化为x 2a 2k ＋y 2b 2k＝1.则c 2＝(a 2－b 2)k ，∴e 2＝（a 2－b 2）k a 2k ＝c 2a2.6．【答案】D7.【答案】328．【答案】x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1.9．【解析】若点P 在第二象限，则由题意可得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以2cb 2a＝tan 60°＝3，化简得3c 2＋2ac －3a 2＝0，即3e 2＋2e －3＝0，e ∈(0，1)，解得e ＝33，故填33. 【答案】3310．【答案】解：∵2b ＝85，∴b ＝4 5. 又c a ＝23，由a 2－c 2＝b 2， 得a 2＝144，b 2＝80. ∴x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. 11．【答案】解：(1)由椭圆经过点N (2，－3)， 得22a 2＋（－3）2b2＝1 又e ＝c a ＝12，解得a 2＝16，b 2＝12.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)显然M 在椭圆内，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是以M 为中点的弦的两个端点， 则x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1. 相减得（x 2－x 1）（x 2＋x 1）16＋（y 2－y 1）（y 2＋y 1）12＝0.整理得k AB ＝－12·（x 1＋x 2）16·（y 1＋y 2）＝38，则所求直线的方程为y －2＝38(x ＋1)，即3x －8y ＋19＝012．【答案】解：(1)依题意可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点F 的坐标为(a 2－1，0)，由题意得|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的标准的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设P (x P ，y p )、M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，其中P 为弦MN 的中点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0. ∵Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)＞0， 即m 2＜3k 2＋1 ①，x M ＋x N ＝－6mk 3k 2＋1，∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN ，因而－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1 ②，把②式代入①式得m 2＜2m ，解得0＜m ＜2，由②式得k 2＝2m －13＞0，解得m ＞12，综上所述，求得m 的取值范围为12＜m ＜2.►体验高考 1．【答案】A A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵e ＝c a ＝33，∴c ＝1，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．【解析】由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.不妨设点B 在第一象限，由AB ⊥x 轴，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . 由于AB //y 轴，|F 1O |＝|OF 2|，∴点D 为线段BF 1的中点，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 22a ，由于AD ⊥F 1B ，知F 1B →·DA →＝0，则⎝⎛⎭⎪⎫2c ，b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－3b 22a ＝2c 2－3b 42a 2＝0，即2ac ＝3b 2，∴2ac ＝3(a 2－c 2)， 又e ＝c a，且e ∈(0，1)， ∴3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)． 【答案】333．【答案】解：(1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4， 得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. ∵△ABF 2的周长为16.∴4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8， 故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k ＞0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k ， 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k ， 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )·(2a －k )，化简可得(a ＋k )·(a －3k )＝0，而a ＋k ＞0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k ，因此|BF 2|2＝|AF 2|2＋|AB |2，可得AF 1⊥AF 2.∴△AF 1F 2为等腰直角三角形，∴c ＝22a ，e ＝22.4．【解析】解：(1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a由k MN ＝34，得b 22ac ＝34，则2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，ca＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2//y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0，2)是线段MF 1的中点，故b 2a＝4.于是b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，即b ＝27.∴a ＝7，b ＝27.。
《椭圆的简单几何性质》知识点总结
《椭圆的简单几何性质》知识点总结椭圆的简单几何性质中的考查点:
（一）、对性质的考查：
1、范围：要注意方程与函数的区别与联系；与椭圆有关的求最值是变量的取值范围；作椭圆的草图。
2、对称性：椭圆的中心及其对称性；判断曲线关于x轴、y轴及原点对称的依据；如果曲线具有关于x轴、y轴及原点对称中的任意两种，那么它也具有另一种对称性；注意椭圆不因坐标轴改变的固有性质。
3、顶点：椭圆的顶点坐标；一般二次曲线的顶点即是曲线与对称轴的交点；椭圆中a、b、c的几何意义（椭圆的特征三角形及离心率的三角函数表示）。
4、离心率：离心率的定义；椭圆离心率的取值范围：（0，1）；椭圆的离心率的变化对椭圆的影响：当e趋向于1时：c趋向于a，此时，椭圆越扁平；当e趋向于0时：c趋向于0，此时，椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，椭圆变成圆。
（二）、课本例题的变形考查：
1、近日点、远日点的概念：椭圆上任意一点p（x，y）到椭圆一焦1
————来源网络整理，仅供供参考
点距离的最大值：a+c与最小值：a-c及取最值时点p的坐标；
2、椭圆的第二定义及其应用；椭圆的准线方程及两准线间的距离、焦准距：焦半径公式。
3、已知椭圆内一点m，在椭圆上求一点p，使点p到点m与到椭圆准线的距离的和最小的求法。
4、椭圆的参数方程及椭圆的离心角：椭圆的参数方程的简单应用：
5、直线与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交时的弦长及弦中点问题。
————来源网络整理，仅供供参考 2。
人教版高中数学选修一3.1.2 椭圆的简单几何性质(二)教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（2）本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习椭圆的简单几何性质教材的地位和作用地位：本节课是在椭圆的概念和标准方程的基础上，运用代数的方法，研究椭圆的简单几何性质及简单应用 . 本节课内容的掌握程度直接影响学习双曲线和抛物线几何性质。
作用：提高学生的数学素质,培养学生的数形结合思想，及分析问题和解决问题的能力。
因此，内容在解析几何中占有非常重要的地位。
重点：椭圆的方程及其性质的应用 难点：直线与椭圆的位置关系多媒体典例解析例7. 已知直线l：y＝2x＋时，直线l与椭圆C：法二：由已知可设2F B n =，则两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴ 所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．5．椭圆x 2＋4y 2＝16被直线y ＝12x ＋1截得的弦长为________．35 [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝16，y ＝12x ＋1，消去y 并化简得x 2＋2x －6＝0.设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－6. ∴弦长|MN |＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝544＋24＝35.]6．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求椭圆C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点的坐标．[解] (1)将(0,4)代入C 的方程，得16b 2＝1，∴b ＝4.由e ＝c a ＝35，得a 2－b 2a 2＝925，即1－16a 2＝925，∴a ＝5，∴椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，通过椭圆几何性质的应用，培养学生数学建模能力，并介绍椭圆的定义二定义，体会圆锥曲线的统一性。
第2章2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)
高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
例 2 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的 椭圆方程．
(1)焦点在 x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直， 且半焦距为 6；
(2)与椭圆x92＋y42＝1 有相同的焦点，且离心率 e＝ 55； (3)以直线 3x＋4y－12＝0 与两坐标轴的交点分别作为顶点 和焦点．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
互动 2 (1)ba与bc的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什 么？
(2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝ca越大，椭圆 越扁？e＝ac越小，椭圆越圆？
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)都能．由ba＝ a2－a2 c2＝ 1－e2(0<e<1)可知， 当 e 越趋近于 1 时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦 点重合，图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.
【解析】 把已知方程化成标准方程为2y52 ＋x2＝1. 这里 a＝5，b＝1，所以 c＝ 25－1＝2 6. 因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是 2a＝10 和 2b＝2，两个焦 点分别是 F1(0，－2 6)，F2(0，2 6)，椭圆的四个顶点是 A1(0，－ 5)，A2(0，5)，B1(－1，0)和 B2(1，0)．
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高考调研 ·新课标 ·数学选修2-1
【解析】 (1)将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程x92＋y42
＝1，则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心率 e ＝ 35；椭圆2x52＋2y02 ＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5，c＝ a2－b2
《2.1.2椭圆的简单性质 》教学设计
1．2椭圆的简单性质●三维目标1．知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，并能利用它们解决简单的问题．2．过程与方法：进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法．3．情感、态度与价值观：感受解析法研究问题的思想，感知椭圆曲线的对称美，培养学生的学习兴趣．●重点难点重点：椭圆的简单性质．难点：性质的应用．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平和所需知识特点入手，引导学生从椭圆标准方程、定义，不断地观察分析总结椭圆的简单性质．通过例题与练习进一步深化其性质的应用．●教学建议本节内容安排在椭圆及其标准方程之后，是对椭圆的进一步认识和完善，教学时先引导学生分析得出如下结论：变量x，y的取值范围曲线的范围；方程的对称性曲线的对称性；x＝0或y＝0时方程的解曲线的顶点；待证数a，b，c曲线的几何形状．引导学生观察、分析、归纳认识椭圆的简单性质．●教学流程创设问题情境，提出问题通过回答问题，认识、理解椭圆的简单性质通过例1及互动探究，使学生掌握由椭圆标准方程求其简单性质通过例2及变式训练，使学生掌握椭圆性质的简单应用完成例3及变式训练，使学生掌握椭圆离心率的求法归纳整理，进行课堂小结，从整体认识所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识中国第一颗探月卫星——“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是：近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.此时椭圆的长轴长是多少？此时椭圆的离心率为多少？ 【提示】 ⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100，∴2a ＝18 042 km ，a ＝9 021，c ＝2 450，∴e ＝ca ＝0.271 6. 1.当椭圆的离心率越接近于1，则椭圆越扁；当椭圆的离心率越接近于0，则椭圆越接近于圆．求椭圆x16＋y9＝1的长轴长、短轴长和离心率、焦点和顶点的坐标，并画出椭圆的草图．【思路探究】由方程求a，b――→根据c2＝a2－b2求c―→求2a ，2b ，e 的值及焦点、顶点坐标――→根据顶点对称性画草图【自主解答】 由方程x 216＋y 29＝1，知a 2＝16，b 2＝9， ∴a ＝4，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝16－9＝7.∴长轴长2a ＝8，短轴长2b ＝6，离心率e ＝c a ＝74，焦点F 1(－7，0)，F 2(7，0)，顶点A 1(－4，0)，A 2(4，0)，B 1(0，－3)，B 2(0，3)，画出四个顶点，结合对称性，可画出椭圆的草图，如图所示．1. 本题中长轴长(2a )和长半轴长(a )，短轴长(2b )和短半轴长(b )易混淆．2. 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，焦点位置不确定的要分类讨论．本例中，若椭圆方程改为x 216＋k ＋y 29＋k ＝1，则椭圆的焦点坐标是否发生变化？【解】 ∵16＋k >9＋k ，∴椭圆的焦点仍在x 轴上并且a 2＝16＋k ，b 2＝9＋k ， ∴c 2＝(16＋k )－(9＋k )＝7，∴焦点坐标仍为(－7，0)，(7，0)． 即椭圆的焦点坐标不变．根据下列条件求椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3，0)，离心率e＝6 3；(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6且cos ∠OF A＝2 3.【思路探究】只需确定求椭圆标准方程所需的条件，结合椭圆的几何性质进行求解．当椭圆焦点所在轴不确定时，应分情况讨论．【自主解答】(1)当椭圆的焦点在x轴上时，∵a＝3，ca＝63，∴c＝6，从而b2＝a2－c2＝9－6＝3，∴椭圆的方程为x29＋y23＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，∵b＝3，ca＝63，∴a2－b2a＝63，∴a2＝27.∴椭圆的方程为x29＋y227＝1.∴所求椭圆的方程为x29＋y227＝1或x29＋y23＝1.(2)∵椭圆的长轴长是6，cos∠OF A＝2 3，∴点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴c3＝2 3.∴c＝2，b2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x29＋y25＝1或x25＋y29＝1.1. 本题中没有说明焦点在x轴或y轴上，此时两种情况都要考虑，不能遗漏．2. 求椭圆的标准方程，需要解决定位问题和定量问题．由顶点、焦点坐标可确定焦点在哪个坐标轴上，定量问题可由长轴长、离心率、顶点、焦距等来确定．求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的2倍且经过点A(2，0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3.【解】(1)若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．∵椭圆过点A(2，0)，∴4a2＝1，a＝2.∵2a＝2·2b，∴b＝1.∴椭圆的方程为x24＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)，∵椭圆过点A(2，0)，∴02a2＋4b2＝1.∴b＝2，2a＝2·2b.∴a＝4.∴椭圆的方程为y216＋x24＝1.综上所述，椭圆方程为x24＋y2＝1或y216＋x24＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(2012·新课标全国卷)设F 1、F 2是椭圆E ：x a 2＋y b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45【思路探究】 结合图形得到△F 2PF 1中相关线段的长度，求出a ，c 间的关系即可．【自主解答】如图所示，设直线x ＝3a2交直线F 1F 2于点D ，因为△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则有|F 2F 1|＝|F 2P |，因为∠PF 1F 2＝30°，所以∠PF 2D ＝60°，∠DPF 2＝30°，所以|F 2D |＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|，即3a 2－c ＝12×2c ＝c ，所以3a 2＝2c ，即c a ＝34，所以椭圆的离心率为e ＝34. 【答案】 C离心率是椭圆的一个重要性质，相关的题型较多，求e 常用方法： (1)定义法：寻求a ，c 的关系式，求出a ，c 的值，或整体得到c a ，2c2a ，有时会用e2＝c2a2＝a2－b2a2＝1－b2a2求e；(2)方程法：依据a，c，b，e的关系，构造关于e(或e2)的方程，解方程即可，注意离心率的取值范围为0<e<1.已知椭圆的两个焦点为F1，F2，A为椭圆上一点，且AF1⊥AF2，∠AF2F1＝60°，求该椭圆的离心率．【解】不妨设椭圆的焦点在x轴上，画出草图如图所示．由AF1⊥AF2知△AF1F2为直角三角形，且∠AF2F1＝60°.由椭圆的定义知|AF1|＋|AF2|＝2a，|F1F2|＝2c.则在Rt△AF1F2中，由∠AF2F1＝60°得|AF2|＝c，|AF1|＝3c，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝(3＋1)c，所以离心率e＝ca＝3－1.相关点法求轨迹方程(12分)已知点M在椭圆x236＋y29＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求点P的轨迹方程．【思路点拨】找出点P的坐标与点M的坐标之间的关系代入椭圆方程即可．【规范解答】设点P的坐标为(x，y)，M点的坐标为(x0，y0)，由题意可知P′点坐标为(x，0)．因为点M在椭圆x236＋y29＝1上，所以x2036＋y209＝1.4分又因为M 是线段PP ′的中点，所以⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y 2，7分将⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝y 2代入x 2036＋y 209＝1，得x 2＋y 2＝36.11分 所以点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.12分．在某些较复杂的求轨迹方程的问题中，可以先确定一个较易求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求轨迹上的点为相关点求得轨迹方程．1. 已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求a ，b .2. 求离心率e 时，注意方程思想的运用．1. 椭圆的短轴长是2，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的焦距是() A．23B．43 C.3D．2 5【解析】由题意知a＝2，b＝1，∴c＝22－1＝3，∴2c＝2 3.【答案】 A2. 椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13 B.12 C.33 D.22【解析】在x216＋y28＝1中，a2＝16，b2＝8，c2＝a2－b2＝16－8＝8，∵c＝22，∴e＝ca＝224＝22，故选D.【答案】 D3. (2012·南宁高二检测)已知椭圆的焦距为8，离心率为23，则该椭圆的标准方程为________．【解析】∵2c＝8且e＝ca＝23，∴c＝4，a＝6，b2＝a2－c2＝20.∴椭圆的标准方程为x236＋y220＝1或y236＋x220＝1.【答案】x236＋y220＝1或y236＋x220＝1.4. 求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．【解】把已知方程化为标准方程x252＋y242＝1，这里a＝5，b＝4，所以c＝3.因此长轴长2a＝10，短轴长2b＝8，离心率e＝ca＝35，焦点F1(－3，0)和F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－4)，B2(0，4)．一、选择题1. 椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()A.14 B.12C．2D．4【解析】y21m＋x2＝1，∵2a＝4b，∴1m＝4，∴m＝14.【答案】 A2. 椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为()A.x2100＋y284＝1B.x225＋y29＝1C.x2100＋y284＝1或x284＋y2100＝1D.x225＋y29＝1或y225＋x29＝1【解析】由题意知a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝9.当焦点在x轴上时，椭圆方程为x225＋y29＝1；当焦点在y轴上时，椭圆方程为y225＋x29＝1.【答案】 D3. (2012·哈尔滨高二检测)若椭圆x29＋y2m＋9＝1的离心率为12，则m的值等于( )A.－94B.14C.－94或3D.14或3 【解析】 当m >0时，m m ＋9＝14，∴m ＝3；当m <0时，－m 9＝14，∴m ＝－94. 【答案】 C4. 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15【解析】 由2a ，2b ，2c 成等差数列， 所以2b ＝a ＋c .又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝4(a 2－c 2)． 所以a ＝53c .所以e ＝c a ＝35.【答案】 B5. (2013·大纲全国卷)已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1【解析】 由题意知椭圆焦点在x 轴上，且c ＝1，可设C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)，由过F 2且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长|AB |＝3，知点(1，32)必在椭圆上，代入椭圆方程化简得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.【答案】 C二、填空题6. 椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．【解析】设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是x24＋y2＝1或y24＋x2＝1.【答案】x24＋y2＝1或y24＋x2＝17. 过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若F(c，0)是椭圆的右焦点，则△F AB的最大面积是________．【解析】当AB为短轴时，点A，B的纵坐标的绝对值最大，所以△F AB的最大面积S＝12·c·2b＝bc.【答案】bc8. 椭圆y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的两焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)(c>0)，离心率e＝32，焦点到椭圆上点的最短距离为2－3，则椭圆的方程是________．【解析】由题意可知ca＝32，a－c＝2－3，解得a＝2，c＝3，从而b2＝1.又∵焦点在y轴上，所以所求的方程为y24＋x2＝1.【答案】y24＋x2＝1三、解答题9. 求椭圆25x2＋16y2＝400的长轴和短轴的长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．【解】 椭圆方程化简为x 216＋y 225＝1，则a 2＝25，b 2＝16，c 2＝a 2－b 2＝9， 长轴长：2a ＝10，短轴长：2b ＝8， 离心率e ＝c a ＝35， 焦点坐标为(0，±3)， 顶点坐标为(0，±5)，(±4，0)．10. 求经过点M (1，2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．【解】 设所求椭圆方程为x 212＋y 26＝k 1(k 1>0)或y 212＋x 26＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112＋46＝k 1或412＋16＝k 2，解得k 1＝34，k 2＝12，故所求椭圆方程为x 212＋y 26＝34或y 212＋x 26＝12，即x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1.11. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程．【解】如图，∵AF 2→·F 1F 2→＝0， ∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)， 由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b 2＝1， ∴y ＝b 2a ，∵△AOF 2的面积为22， ∴S △AOF 2＝12c ×y ＝22， 即12c ·b 2a ＝22， ∵c a ＝22，∴b 2＝8，∴a 2＝2b 2＝16，故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1.(教师用书独具)已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．【思路探究】 要求m 的取值范围，从方程的角度看，需将问题转化为关于x 的一元二次方程解的判断，而求弦最长时的直线方程，就是将弦长表示成关于m 的函数，求出当弦长最大时的m 值，从而确定直线方程．【规范解答】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－25m ，x 1x 2＝m 2－15.所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（x 1－x 2）2＋（x 1＋m －x 2－m ）2 ＝2（x 1－x 2）2 ＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[4m 225－45（m 2－1）] ＝2510－8m 2.因为Δ＝4m 2－20(m 2－1)>0， 所以－52<m <52.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x .已知斜率为1的直线l 经过椭圆x 2＋4y 2＝4的右焦点交椭圆于A ，B 两点，求弦长|AB|.【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由椭圆方程知：a2＝4，b2＝1，∴c2＝3，∴右焦点F(3，0)．∴直线l的方程为y＝x－3，代入椭圆方程得5x2－83x＋8＝0.∴x1＋x2＝835，x1x2＝85，∴|AB|＝2|x2－x1|＝2（x1＋x2）2－8x1x2＝85.。
(部编版)2020学年高中数学第二章2.2.2椭圆的简单几何性质第一课时椭圆的简单几何性质学案含解析
第一课时椭圆的简单几何性质[提出问题]图中椭圆的标准方程为x2 a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．问题1：椭圆具有对称性吗？提示：有．椭圆是以原点为对称中心的中心对称图形，也是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形．问题2：可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y＝0得x＝±a，故A1(－a,0)，A2(a,0)，同理可得B1(0，－b)，B2(0，b)．问题3：椭圆方程中x，y的取值范围是什么？提示：x∈[－a，a]，y∈[－b，b]．问题4：当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？提示：b越小，椭圆越扁．[导入新知]椭圆的简单几何性质1．由不等式x 2a 2＝1－y 2b 2≤1可得|x |≤a ，由y 2b 2＝1－x 2a2≤1可得|y |≤b ，从而可得椭圆的范围．2．椭圆有四个顶点、两个焦点共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置，注意长轴长是2a ，而不是a .3．椭圆的离心率e 的大小，描述了椭圆的扁平程度．e 越接近1，则c 就越接近a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此，椭圆越扁；反之，e 越接近0，则c 就越接近0，从而b 越接近a ，这时椭圆越接近圆．特别地，当a ＝b 时，c ＝0，椭圆就变为圆了，此时方程为x 2＋y 2＝a 2.[例1] 求椭圆4x 2＋9y 2＝36 [解] 椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝ a 2－b 2＝9－4＝ 5.∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25， 焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)， 离心率e ＝c a ＝53. [类题通法]求椭圆的性质时，应把椭圆化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，这样便于直观地写出a ，b 的数值，进而求出c ，求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．[活学活用]已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上．(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质．解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1， 性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.[例2] (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. [解] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5.又∵e ＝c a ＝45，∴c ＝4.∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(2)依题意可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 则c ＝b ＝3，a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.[类题通法](1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置．②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)．③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c a等．(2)在椭圆的简单性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆方程可能有两个．[活学活用]求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率e ＝22； (2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，因此，椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝5×2b ，25a 2＋0b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1.故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a＝5×2b ，0a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25，b ＝5.故所求椭圆的标准方程为y 2625＋x 225＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x 225＋y 2＝1或y 2625＋x 225＝1.[例3] 如图，已知F 1P 为椭圆上的一点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．[解] 由已知可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 则由题意可知P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .∵△PF 1O ∽△BOA ，∴PF 1BO ＝F 1OOA ，∴b 2a b ＝c a，即b ＝c ， ∴a 2＝2c 2，∴e ＝ca ＝22. [类题通法]椭圆的离心率的求法求椭圆的离心率，关键是寻找a 与c 的关系，一般地： (1)若已知a ，c ，则直接代入e ＝c a求解； (2)若已知a ，b ，则由e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2求解；(3)若已知a ，b ，c 的关系，则可转化为a ，c 的齐次式，再转化为含e 的方程求解即可． [活学活用]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) A.12 B.32 C.34 D.64 解析：选A 依题意，△BF 1F 2是正三角形．∵在Rt △OBF 2中，|OF 2|＝c ，|BF 2|＝a ，∠OF 2B ＝60°，∴a cos 60°＝c ，∴c a＝12，即椭圆的离心率e ＝12.4.忽视椭圆焦点位置致误[典例] 已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e ＝32，且过P (2,3)，求此椭圆的标准方程． [解] (1)当焦点在x 轴上时， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，4a 2＋9b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝10，a 2＝40.所以所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1. (2)当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，9a 2＋4b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝254，a 2＝25.所以所求椭圆的标准方程为y 225＋x 2254＝1. 综上，所求椭圆的标准方程为x 240＋y 210＝1或y 225＋x 2254＝1.[易错防范]求解时不讨论焦点的位置，而默认为椭圆的焦点在x 轴上，这是最常见的错解． [成功破障] 若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝12，则k 的值等于________． 解析：分两种情况进行讨论：当焦点在x 轴上时，a 2＝k ＋8，b 2＝9，得c 2＝k －1， 又∵e ＝12，∴k －1k ＋8＝12，解得k ＝4. 当焦点在y 轴上时，a 2＝9，b 2＝k ＋8，得c 2＝1－k ， 又∵e ＝12，解得k ＝－54.∴k ＝4或k ＝－54.答案：4或－54[随堂即时演练]1．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是( ) A.x 281＋y 272＝1 B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 解析：选A 因为2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6，所以a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.2．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)( )A ．有相同的长轴B ．有相同的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的离心率解析：选C 25－9＝(25－k )－(9－k )，故两椭圆有相同的焦点． 3．椭圆x 2＋4y 2＝16的短轴长为________． 解析：由x 216＋y 24＝1可知b ＝2， ∴短轴长2b ＝4. 答案：44．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：由题意知椭圆焦点在x 轴上， ∴在直线x ＋2y －2＝0中， 令y ＝0得c ＝2；令x ＝0得b ＝1. ∴a ＝b 2＋c 2＝ 5.∴e ＝c a ＝255.答案：2555．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12； (2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)． 解：(1)由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， ∵椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12， ∴2a ＝12，即a ＝6. ∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝36－b 26＝32，∴b 2＝9.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1.(2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9.因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130， ∴椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1.[课时达标检测]一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( ) A ．(±13,0) B ．(0，±10) C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10， 则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，∴a ＝ 3. 又∵e ＝33， ∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16 B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25 D ．a 2＝25，b 2＝9解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A.32 B.22C.13D.12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→， ∴|AP ―→|＝2|PB ―→|. 又∵PO ∥BF ， ∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即aa ＋c ＝23， ∴e ＝c a ＝12.5．椭圆mx 2＋ny 2＋mn ＝0(m <n <0)的焦点坐标是( ) A ．(0，±m －n ) B ．(±m －n ，0) C ．(0，±n －m )D ．(±n －m ，0)解析：选C 化为标准方程是x2－n ＋y2－m＝1，∵m <n <0，∴0<－n <－m .∴焦点在y 轴上，且c ＝－m －－n ＝n －m . 二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1.又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1. 答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________.解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3； 当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163. 综上，m ＝3或m ＝163.答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________． 解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15， ∴5a 2－5b 2＝a 2， 即4a 2＝5b 2.设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a2＝1(a ＞0)．∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1，解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1. 答案：x 245＋y 236＝1三、解答题※ 推 荐 ※ 下 载 ※ 椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12， 从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12. 由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，∴b 2＝8. 故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1. 10．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围． 解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22， 所以y 2＝ax －x 2.① 又因为P 点在椭圆上，故x 2a 2＋y 2b2＝1.② 把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0.∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b2，又0＜x ＜a ， ∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b 2＜a 2. 由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，所以e ＞22. 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1.。
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第二章
圆锥曲线与方程
4．椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的 离心率 ． 5．依据椭圆的几何性质填充下表
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方程
圆锥曲线与方程
x2 y2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2 y2 x2 ＋ ＝1(a>b>0) a2 b2
图形
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范围 对称性 顶点 离心率
－a≤x≤a，－b≤y≤b 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) c e＝ (0<e<1) a
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2．利用待定系数法求椭圆标准方程一定要注意先“定
型”，“再定量”，在焦点位置不确定时，要注意分类讨 论．
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圆锥曲线与方程
3．椭圆上两个重要的三角形
(1)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1，F2构成的 △PF1F2称为焦点三角形，周长为2(a＋c)． (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成了一 个直角三角形，称为椭圆的特征三角形，边长满足a2 ＝b2
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圆锥曲线与方程
设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F1 作椭圆长轴的垂 线交椭圆于点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离 心率为 ( 2 A. 2 C．2－ 2 2－1 B. 2 D. 2－1 )
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[答案] D
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圆锥曲线与方程
[点评] 椭圆上一点P与椭圆两焦点F1、F2构成
△PF1F2，我们通常称其为焦点三角形，在这个三角形中， 既可运用到椭圆定义，又能用到正、余弦定理．
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＋c2.
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圆锥曲线与方程
4．离心率对椭圆扁圆程度的影响 c c 如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ ， 越大， a a c ∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小，∠BF2O 越大，椭圆越圆． a
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c 6 ∵e＝a＝ 3 ， ∴c＝ 6，∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. x2 y2 ∴椭圆的方程为 ＋ ＝1. 9 3 若焦点在 y 轴上，则 b＝3， c ∵e＝a＝ b2 1－a2＝ 9 6 1－a2＝ 3 ，
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解得 a2＝27. y2 x2 ∴椭圆的方程为27＋ 9 ＝1.
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y2 x2 如图所示，点 P 是椭圆 5 ＋ 4 ＝1 上的一点，F1 和 F2 是 焦点，且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
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[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2.
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圆锥曲线与方程
[点评] 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为
标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴 上，再利用a，b，c之间的关系求椭圆的几何性质．
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圆锥曲线与方程
求椭圆9x2＋y2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶 点坐标和离心率．
x2 y2 [解析] 将 9x2＋y2＝81 化为标准方程32＋92＝1， ∴椭圆长轴在 y 轴上，其中 a＝9，b＝3，c＝6 2， ∴长轴长 2a＝18，短轴长 2b＝6，焦点坐标为 F1(0，－
心率、焦点和顶点坐标． [分析]
方程；②研究椭圆的几何性质．解答本题可先把方程化成
标准形式然后再写出性质．
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圆锥曲线与方程
[解析]
x2 y2 把已知方程化成标准方程16＋ 9 ＝1，
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于是 a＝4，b＝3，c＝ 16－9＝ 7， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a＝8 和 2b＝6，离心 c 7 率 e＝a＝ 4 ， 两个焦点坐标分别是(－ 7，0)，( 7，0)， 四个顶点坐标分别是(－4,0)，(4,0)，(0，－3)，(0,3)．
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圆锥曲线与方程
[分析] 由题目可获取以下主要信息：
①(1)(2)均已知椭圆的某些主要性质； ②求椭圆的标准方程． 解答本题要先确定椭圆的焦点位置，不能确定的要分 情况讨论，然后设出标准方程，再用待定系数法确定a，b，
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c.
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[解析]
(1)若焦点在 x 轴上，则 a＝3，
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1．知识与技能
掌握椭圆的几何性质，掌握标准方程中的a，b以及c， e的几何意义，a，b，c，e之间的相互关系． 2．过程与方法 能根据椭圆的方程讨论椭圆的几何性质
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会用代数方法研究曲线的特殊几何性质，如：对称中
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圆锥曲线与方程
[解析]
如图，∵椭圆长轴长为 6，
∴|AF|＝3， |OF| c 2 ∴cos∠OFA＝ |AF| ＝3＝3， ∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝5. x2 y2 ∴椭圆的标准方程为 9 ＋ 5 ＝1.
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[例3]
F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆
－b≤x≤b，－a≤y≤a 关于 x 轴、y 轴、坐标原点对称 A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
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圆锥曲线与方程
[例1]
求椭圆9x2 ＋16y2 ＝144的长轴长、短轴长、离 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆的
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于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率．
[分析]
由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上
两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本 题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．
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[解析]
如图所示， 设|PF1|＝m， 则|PQ|＝m， 1Q|＝ 2m. |F
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即(2 2－2)2a2＋(4－2 2)2a2＝4c2. c2 所以a2＝9－6 2＝3( 2－1)2. c 所以 e＝a＝ 6－ 3.
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圆锥曲线与方程
[点评] 所谓求椭圆的离心率e的值，即求的值，所以，
解答这类题目的主要思路是将已知条件转化为a、b、c之间 的关系．如特征三角形中边边关系、椭圆的定义、c2＝a2－ b2等关系都与离心率有直接联系，同时，a、b、c之间是平 方关系，所以，在求e值时，也常先考查它的平方值．
∴c＝ a2－b2＝1. 又∵点 P 在椭圆上． ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5.① 由余弦定理知|PF1|2 ＋|PF2|2 －2|PF1|· 2|· |PF cos30° 1F2|2 ＝|F ＝(2c)2＝4.②
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式①两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· 2|＝20，③ |PF 式③－②得(2＋ 3)|PF1|· 2|＝16， |PF ∴|PF1|· 2|＝16(2－ 3)， |PF 1 ∴S△F1PF2＝ |PF1|· 2|sin30° |PF ＝8－4 3. 2
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[例 4]
x2 y2 已知椭圆 2＋ 2＝1 上一点 P，F1、F2 为椭圆的 a b
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焦点，若∠F1PF2＝θ，求△F1PF2 的面积．
[分析]
计算三角形的面积有多种公式可供选择， 其中与
1 已知条件联系最密切的当为 S△＝ |PF1|· 2|· |PF sinθ，所以应围 2 绕|PF1|· 2|进行计算． |PF
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x2 y2 (2)设椭圆的方程为a2＋b2＝1(a>b>0)． 如图所示，△A1FA2 为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2 的中线(高)， 且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， ∴c＝b＝4，∴a2＝b2＋c2＝32， x2 y2 故所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 32 16
心，对称轴，范围等． 会利用椭圆有关知识解决简单的实际问题．
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重点：利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质．
难点：椭圆的几何性质的实际应用． 1．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地 画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根 据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a. 所以|PF1|＋|PQ|＋|F1Q|＝4a. 即( 2＋2)m＝4a. 所以 m＝(4－2 2)a. 又|PF2|＝2a－m＝(2 2－2)a.在 Rt△PF1F2 中， |PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2.
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1．椭圆的对称中心叫做椭圆的 圆是 中心 2．椭圆 称，又关于 y轴 对称图形．
中心
，所以椭 x轴 对称图 对
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＝1(a>b>0)既关于 对称，所以椭圆又是 轴
形．
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