平行线分线段成比例经典例题与变式练习

平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理及其推论
1. 平行线分线段成比例定理
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
. l 3
l 2l 1F
E D C
B A
2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
A
B
C
D
E
E
D
C B A
3. 平行的判定定理：如上图，如果有
BC
DE
AC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

E
D
C
B
A
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111
c
a
b
=+.
F
E C
B
A
【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E
D
C
B
A
【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O
F
E
D C
B
A
【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。

Q
P
F
E
D C
B
A
专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）
（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ）
A.5
2 B.1 C.32
D.2
(1)
M
E
D
C B
A
(2)
F E
D C
A
【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .
（1）当1A 2AE C =时，求
AO
AD 的值；
（2）当11A 34AE C =、时，求
AO
AD
的值； E A
O
（3）试猜想
1A 1AE C n =
+时AO
AD
的值，并证明你的猜想.
【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F
是BE 延长线与AC 的交点.
（1）如果E 是AD 的中点，求证：
1
2
AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，
12AF AE
FC ED
=⋅
成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.
F E D
A
【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

求证：AF EF =。

F
E
D
C
B
A
【例7】 （宁德市中考题）如图，ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ， 延长AB 交CE 的延长线于P 。

若2AD DE =，求证:3AP AB =。

P
E
D
C
B
A
【巩固】（济南市中考题；安徽省中考题）如图， ABC ∆中，BC a =，若11D E ，分 别是AB AC ，的中点，则111
2
D E a =；
若22D E 、分别是11D B E C 、的中点，则2213
224a D E a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 若33D E 、分别是22D B E C 、的中点，则3313724
8
D E a a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；
…………
若n n D E 、分别是-1-1n n D B E C 、的中点，则n n D E =_________.
专题三、利用平行线转化比例 【例8】 如图，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，直线l 平行于BD ，且 与AB 、DC 、BC 、AD 及AC 的延长线分别相交于点M 、N 、R 、S 和P . 求证：PM PN PR PS ⋅=⋅
l
S
R P
N
M
O D
C B
A
【巩固】已知，如图，四边形ABCD ，两组对边延长后交于E 、F ，对角线BD EF ∥， AC 的延长线交EF 于G ．求证：EG GF =．
E n D n E 3D 3E 2D 2E 1
D 1C
B
A
G F
E
C
D
B
A
【例9】 已知：P 为ABC ∆的中位线MN 上任意一点，BP 、CP 的延长线分别交对 边AC 、AB 于D 、E ，求证：
1AD AE
DC EB
+= P
N
M
E D C
B
A
【例10】 在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
M
H G F
E
C
B
A
【例11】 如图，M 、N 为ABC ∆边BC 上的两点，且满足BM MN NC ==，一条 平行于AC 的直线分别交AB 、AM 和AN 的延长线于点D 、E 和F . 求证：3EF DE =.
F N
M
E
D C
B
A
【例12】 已知：如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，M 是AB 的中点，分别连 接AC 、BD 、MD 、MC ，且AC 与MD 交于点E ，DB 与MC 交于F . （1）求证：//EF CD
（2）若AB a =,CD b =，求EF 的长.
F
E
M
D
C
B
A
【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，
396AD BC AB ===，，,4CD =，若EF BC ∥，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相
等，求EF 的长。

F E D
C
B
A
【例13】 （山东省竞赛题）如图，ABCD 的对角线相交于点O ，在AB 的延 长线上任取一点E ，连接OE 交BC 于点F ，若AB a AD c BE b ===，，,求BF 的值。

O
F
E D
C
B
A
【例14】 已知等腰直角ABC ∆中，E 、D 分别为直角边BC 、AC 上的点，且 CE CD =，过E 、D 分别作AE 的垂线，交斜边AB 于L ，K ． 求证：BL LK =．
L K
E
D
C B
A
【习题1】 如已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥.
D
O
E
C
B A
【习题2】 在ABC ∆中，BD CE =，DE 的延长线交BC 的延长线于P ，
求证：AD BP AE CP ⋅=⋅.
【习题3】 如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =， 直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：
BP BD
CP CE
=
P
E
D
C
A
P
E D C
B
A。