苏教版高中数学必修2教案立体几何初步第7课时 平面的基本性质(三)

第7课时平面的基本性质（三）
教学目标：
使学生能够进行性质与推论的简单应用、正确运用平面的基本性质及三个推论进行共面、共线、共点问题的证明；要通过知识的应用，使学生掌握方法、规律，学会正确推理，以理服人。

教学重点、难点：共面、共线、共点问题的证明。

教学过程：
一、复习回顾：
三个公理及推论；各个公理及推论的作用。

二、新课讨论：
例1：直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.
［师］空间的几个点和几条直线，如果都在同一个平面内，那么可以简单地说它们“共面”.
分析：两两相交，是说每两条直线都相交.
此题是让我们证明三条直线共面，我们学过的公理和推论中都没有关于三条直线的，怎么办呢？
［生丙］先由两条直线确定一个平面，再证第三条直线也在这个平面内（学生已作了预习，回答出这样的思路应该是没有问题的）.
［师］生丙同学的回答正确吗？若正确，怎样证明第三条直线也在这个平面内呢？
［生丁］生丙的回答正确.先由两条直线确定一个平面是容易的，要证第三条直线也在这个平面内，只要证第三条直线上有两点在这个平面内就行了，如图，先由AB、AC 确定一个平面，由于B点、C点在确定的平面内，根据公理1可知，直线BC也在这个平面内.
［师］生丁所述有道理吗？
［生］有道理，完全正确.
［师］下面我们根据生丙、生丁两位同学的思路，写出此题的证明过程.
证明：∵AB、AC相交，
∴AB、AC确定一个平面，设为α
∵B∈AB,C∈AC
∴B∈α，C∈α
∴BC α
因此AB、AC、BC都在平面α内.
即AB、AC、BC共面.
注意：确定的平面叫成什么是无所谓的.不一定非要叫α不可，叫成其他如β、γ都行.
［师］谁还有其他不同于生丙同学的意见？
［生戊］每两条相交直线都能确定一个平面，若能证明这些平面重合，则也能说明这三条直线共面.
［师］同学们想一想，生戊同学的思路可行吗？（同学们积极思考，但无人回答，留出几分钟时间，让同学们继续思考是非常必要的）
［生戊］AB、AC可确定一个平面，AB、BC也可确定一个平面，由于点A、B、C 既在第一个平面内，又在第二个平面内.根据公理3，经过A、B、C三点有且只有一个平面，所以这两个平面重合，即AB、AC、BC共面.
［师］很好！下面我们根据生戊同学的思路，写出此题的另一种证明.
证明：∵AB、AC相交
∴AB、AC确定一个平面α
∴点A、B、C∈α，且不共线
∵AB、BC相交
∴AB、BC确定一个平面β
∴点A、B、C∈β，且不共线
根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，
∴面α与面β重合
∴AB、AC、BC共面.
［师］从刚才我们的分析讨论中，可以知道，证明共面问题的方法至少有两种：
①先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内.
②所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.
两种证明方法的关键都在“然后”，要注意练习掌握.这两种证明方法比较，第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情.
希望大家都能像生戊同学那样.遇到问题善于思考，多动脑子去想，办法总会是有的.下面再来看一个例子.
例2：如图，已知△ABC的各顶点在平面α外，直线AB、BC、AC分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线.
分析：平面几何中证明三点共线是怎样证明的？
［生］先由两点确定一条直线，然后证明第三点也在这条直
线上.
［师］这里的三点共线能用这种办法证明吗？比如说，连结
点P、点Q，得直线PQ，大家能够证明点R也在直线PQ上吗？
［生己］能！由已知条件可知，直线PQ实质上是面ABC与
面α的交线，只要证明点R是面ABC与面α的交点，那么R必在直线PQ上.
［生庚］既然这样，只要证明点P、Q、R都是面ABC与面α的交点，那么点P、Q、R就共线，它们都在面ABC与面α的交线上.
［师］两位同学分析得都很好！在立体几何中，要证明三点共线，只要证明三点都是某两个平面的公共点即可.证明若干点共线的问题，思路同样也是这样的.
下面大家一起来写出此题的证明：
证明：∵AB∩α＝P ∴P∈AB，P∈平面α
又AB 平面ABC ∴P∈平面ABC
∴由公理2可知，点P在平面ABC与平面α的交线上
∴P、Q、R三点共线
例3：三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点. 已知：平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行.
求证：l1、l2、l3相交于一点
证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3，
∵l1⊂β，l2⊂β，且l1、l2不平行
∴l1与l2必相交，设l1∩l2=P，①则P∈l1⊂α,P∈l2⊂γ
∴P∈α∩γ= l3 ②∴l1、l2、l3相交于一点P.
例4：已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.
已知：直线a∥b∥c，直线l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.
求证：l与a、b、c共面.
证明：∵a∥b
∴a、b确定一个平面，设为α
又l∩a＝A，l∩b＝B ∴A∈α，B∈α
又A∈l，B∈l ∴AB⊂α，即l⊂α
同理b、c确定一个平面β，l⊂β.
∴平面α与β都过两相交直线b与l.
由推论2，两条相交直线确定一个平面.
∴α与β重合.
故l与a、b、c共面.
例5：画出四面体ABCD中过E、F、G三点的截面。

例6：如图正方体中，点C在与A、B不共面的其余8条棱上，画出过A、B、C三点的截面。

三、课堂练习：
课本P28习题6.
四、课堂小结：
本节课我们讨论了平面基本性质——三个公理及其推论的简单应用，讨论了共面、共线、共点问题的证明，请同学们注意：
对于共面问题的证明，一般地是先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内；
对于点共线问题的证明，只要证明这些点都是某两个平面的公共点即可；
对于线共点问题的证明，一般地是先证明某两条直线相交，然后再证明这个交点在其余直线上或者证明其余直线过这个交点.
无论怎样的问题的证明、推理必须严谨严密、有条有理、完整无纰漏，绝对不能东拉西扯、杂乱无章.
五、课后作业：
补充：
1．不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内.
已知：直线a、b、c、d两两相交，且不过同一点.（注意：两两相交的意思是，如果n 条直线两两相交，那么任一条直线与另外（n－1）条直线都相交，都有公共点.）求证：直线a、b、c、d共面.
(证明略)
2．如图，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A、D与B、C分别在面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R. 求证：P、Q、R三点共线.
证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P ∴AB∩CD＝P
∴AB、CD可确定一个平面，设为β.
∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD
∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β
∴AC⊂β，BD⊂β，平面α、β相交，
∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R
∴P、Q、R三点是平面α与平面β的公共点
∴P、Q、R都在α与β的交线上
故P、Q、R三点共线.
3．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1C与面DBC1交于O点，AC、BD交于M，
求证：C1、O、M三点共线.
证明：∵C1、O、M∈面BDC1
又C1、O、M∈面A1ACC1
由公理2，C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.
∴C1、O、M三点共线.
4．已知：a ⊂α,b ⊂α,a ∩b =A ,P ∈b ,PQ ∥a ，
求证：PQ ⊂α.
证明：∵PQ ∥a ，∴PQ 、a 确定一个平面，设为β，
∴P ∈β，a ⊂β，P ∉a
又P ∈α，a ⊂α，P ∉a
由推论1：过P 、a 有且只有一个平面
∴α、β重合. ∴PQ ⊂α.
5．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ，
（1）画出l 的位置；
（2）设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长.
解：（1）平面DMN 与平面AD 1的交线为DM ，设DM ∩D 1A 1=Q . 则平面DMN 与平面A 1C 1的交线为QN .
QN 即为所求作的直线l .
（2）设QN ∩A 1B 1＝P .
∵△MA 1Q ≌△MAD ，∴A 1Q ＝AD ＝a ＝A 1D 1
∴A 1是QD 1的中点，又A 1P ∥D 1N
∴A 1P ＝12 D 1N ＝14 C 1D 1＝14
a ∴PB 1＝A 1B 1－A 1P ＝a －14 a ＝34
a （二）1.预习课本P 24~P 25空间直线——空间两条直线的位置关系和平行直线.
2.预习提纲
（1）空间两条直线的位置关系有几种？各有什么特征？
（2）怎样理解两条直线不同在任何一个平面？
（3）公理4的具体内容是什么？
（4）公理4用符号语言如何表示？。