最新北师大版八年级下册精编课件《直角三角形》第二课时参考课件2
直角三角形的性质与判定、互逆命题课件2021—2022学年北师大版八年级数学下册
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的
__结___论___和___条__件___，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称 为另一个命题的__逆__命___题___．
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两
个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理．
学习新知
(2)已知：如图1，在△ABC中，AB 2＋AC 2＝BC 2. 求证：△ABC是直角三角形．
图1
图2
学习新知
证明：如图2，作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′＝AC， 则A′B′2＋A′C′2＝B′C′2(勾股定理)． ∵AB2＋AC2＝BC2， ∴BC2＝B′C′2.∴BC＝B′C′. ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)． ∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)． 因此，△ABC是直角三角形．
学习新知
算一算，猜一猜 已知在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b， (1)填表：
a b c a2＋b2与c2关系
3 45 5 12 13
___＝_____ ___＝_____
8 15 17
___＝_____
三角形形状 ____直_角__三_角__形____ ____直_角__三_角__形____ ____直_角__三_角__形____
归纳总结
定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是___直__角___三角形．
经典例题
例1 如图所示，已知AB＝4，BC＝12，CD＝13，DA＝3， AB⊥AD，判断BC⊥BD是否成立，简述你的理由．
经典例题
解：BC⊥BD成立．理由如下： 在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，BD2＝AB2＋AD2＝42＋32＝25. 又BD＞0， ∴BD＝5. ∵BD2＋BC2＝52＋122＝169＝132＝CD2， ∴∠DBC＝90°， ∴BC⊥BD.
最新北师大版八年级数学下册《直角三角形》精品教学课件
∴∠ABP＝∠ACP＝90°
∵PB＝PC，AP＝AP
∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)
∴∠APB＝∠APC
PB＝PC，
在△PBD和△PCD中，
∠DPB＝∠DPC， DP＝DP，
∴△PBD≌△PCD(SAS)
∴∠BDP＝∠CDP
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？
实践探究，交流新知
猜想： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
1．分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等； 结论：这两个直角三角形全等．
2．数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝A′C′，AB＝A′B′； 求证：△ABC≌△A′B′C′.
开放训练，体现应用
例2 如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E
，CF⊥AD于点F.求证：AF＝BE.
证明：∵∠BAC＝90°
∴∠BAE＋∠FAC＝90°
∵BE⊥AD，CF⊥AD
∴∠BEA＝∠AFC＝90°
∴∠BAE＋∠EBA＝90°
∴∠EBA＝∠FAC.
∴∠BFD＝∠CED＝90°
DF＝DE，
在△BDF和△CDE中 ∠BFD＝∠CED，
BF＝CE，
∴△BDF≌△CDE(SAS)
∴∠B＝∠C
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：Rt△ABE≌Rt△CDF.
开放训练，体现应用
例1 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方 向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABCБайду номын сангаас∠EFD的大小有什么关系？
北师大版八年级下册直角三角形(第2课时)课件
第一章 三角形的证明
1.2 直角三角形（第2课时）
学习目标
1.会证明直角三角形全等的判定定理；（难点） 2.会用判定定理（HL）解决有关问题。（重点）
新课导入
知识回顾 1、判定一般三角形全等的条件有哪几种？ SSS、SAS、ASA 、 AAS
2、判断：如图具有下列条件的Rt△ABC与Rt△A′B′C′ （其中∠C＝∠C′＝90°）是否全等，在（ ）里填写理 由；如果不全等，在（ ）里打“×”：
几何语言:
在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900
∵ BC=B′C ′, AB=A′B′
B
∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.（HL）
C
B′
A C′
A
例 如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平 方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角 ∠B和∠F的大小有什么关系？
解：根据题意，可知∠BAC= ∠EDF=90°， ∴Rt △BAC ≌Rt △EDF（HL） ∴ ∠B= ∠DEF（全等三角形的对应角相等） ∵ ∠DEF+ ∠F=90°（直角三角形的两锐角互余） ∴ ∠B+ ∠F=90°.
（1）AC＝A′C′,∠A＝A′ （ ASA ）
（2）AC＝A′C′，BC＝B′C′ （ SAS ） （3）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （ × ）
（4）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （ ？ ）
合作探究
1、两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
证明: 这是一个假命题, 只要举一个反例即可. 如图:
“ AAS ”
“ SSS ”
“ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
北师大版八年级下册数学《1.2第2课时直角三角形全等的判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》说课稿一. 教材分析北师大版八年级下册数学《1.2 第2课时直角三角形全等的判定》这一节的内容是在学生已经掌握了全等图形的概念和性质的基础上进行讲解的。
在全等图形的概念和性质的学习过程中，学生已经了解了全等图形的大小、形状、位置关系是相同的，而且已经学会了使用SSS、SAS、ASA、AAS等方法来判定两个图形是否全等。
本节课的内容是让学生学习直角三角形全等的判定方法，主要包括HL和RHS两种方法。
这两种方法是判定直角三角形全等的基本方法，对于学生理解和掌握全等图形的判定方法有重要的意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等图形的概念和性质，也已经学习了判定两个图形全等的方法。
但是，对于直角三角形全等的判定方法，学生可能还不是很熟悉，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
此外，学生在学习过程中可能存在对于全等图形判定方法的混淆，需要教师在教学过程中进行引导和纠正。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握直角三角形全等的判定方法HL和RHS，能够运用这两种方法判定两个直角三角形是否全等。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的观察能力、动手能力、思维能力和交流能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形全等的判定方法HL和RHS。
2.教学难点：对于不同情况下直角三角形全等的判定方法的灵活运用。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、示范法、练习法、小组合作法等教学方法，结合多媒体课件、几何画板等教学手段，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、交流等过程，掌握直角三角形全等的判定方法。
六. 说教学过程1.导入：通过复习全等图形的概念和性质，引导学生进入本节课的学习。
2.讲解：讲解直角三角形全等的判定方法HL和RHS，并通过示例进行说明。
北师大版八年级数学下册1.2《直角三角形》课件(共14张PPT)
观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧； 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。
思考：上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的 关系吗？
作业：
1，下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A 2，3，4
B 1.5, 2，3
C 9, 12, 15
D 7， 8， 9
2，在△ABC中，三边长分别是8,15,17，则这个三角形是＿＿
它的面积是＿＿。
3，若三角形的三边长分别为n+1,n+2,n+3,当n=＿＿时，此三 角形是直角三角形。
4， 在△ABC中，BC=6,AC=5,BC边上中线长为4，则S△ABC=____ 5，已知：在△ABC中，AB=15cm,AC=20cm,BC=25cm
角时，那么这两个三角形全等吗？
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°， AB=A′B′，BC=B′C′。 求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′。
定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全 等.这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表 示．
如图所示，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度 AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的 倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
想一想
思考：两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两 个三角形全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角 呢？
两个三角形中，如果有两边及其中一边的对角相等，这两个三 角形是不一定全等的．如图所示：
北师大版八年级下册2直角三角形课件
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
注意：（1）勾股定理是研究直角三角形三边之间的关系,只在直 角三角形 中成立.
（2）运用勾股定理时要分清直角边和斜边,然后再使用；若没有告 诉斜边的情况下，经常有两解，勿漏解.
（3）勾股定理将“形”转化为“数”,已知直角三角形任意两边, 可以求出第三边.
CB
B 90
AB2 BC2 AC2
C
B
AC AB2 BC2 62 82 10
变式1：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，BC=8，求AB；
变式2：在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，AB=6，求BC；
变式3：在Rt△ABC中，∠B=90°，其中一条边为5，另一条边 为3，求第三边.
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三 千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折 成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就 等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于我 国古代著名的数学著作《周髀算经》中。
例 1 在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求AC.
A
在RtABC中
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
a2 c2 b2 b2 c2 a2
c a2 b2 a c2 b2
B
b c2 a2
A
c b
a
C
两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯学派，他们第一发 现了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉 斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票。
思考：三个正方形P， Q，R面积之间有什么等量关系呢? SP+SQ=SR.
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿
北师大版数学八年级下册1.2《直角三角形》说课稿一. 教材分析《直角三角形》是北师大版数学八年级下册第1章第2节的内容。
本节课主要介绍直角三角形的性质，包括直角三角形的定义、直角三角形的边角关系、直角三角形的应用等。
通过学习本节课，学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的基本概念和性质，对三角形有一定的认识。
但是，学生可能对直角三角形的性质和应用还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要通过引导学生观察、思考、讨论等方式，帮助学生理解和掌握直角三角形的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解直角三角形的概念，掌握直角三角形的性质，并能运用直角三角形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生能够通过观察、思考、讨论等方式，培养自己的观察能力和思维能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的性质及其应用。
2.教学难点：直角三角形的边角关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的基本概念和性质，引出直角三角形的定义。
2.探究直角三角形的性质：引导学生观察、思考直角三角形的性质，并通过几何画板软件进行演示。
3.小组讨论：学生分组讨论直角三角形的应用，分享自己的解题心得。
4.总结直角三角形的性质：引导学生总结直角三角形的性质，并进行解释。
5.练习与拓展：布置一些有关直角三角形的练习题，帮助学生巩固所学知识，并拓展学生的思维。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：有一个角是直角的三角形a.两个锐角的和为90度b.直角对边最长c.直角三角形的一条直角边等于另一条直角边的平方根乘以斜边d.计算直角三角形的边长e.证明几何命题八. 说教学评价教学评价主要通过学生的课堂表现、练习题的完成情况和课后作业的完成情况进行评估。
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A′
用三角尺作角平分线
如图:在已知∠AOB的两边OA,OB上分别取点M,N,使OM=ON;
再过点M作OA的垂线, 过点N作OB的垂线,两垂线交于点P,
M O
● ● ●
A
那么射线OP就是∠AOB的平分线.
请你证明OP平分∠AOB.
P
先把它转化为一个纯数学问题:
已知:如图,OM=ON,PM⊥OM,PN⊥ON. 求证:∠AOP=∠BOP.
若AD,BC相交于点O,图中还有全等的三角形吗?
你能写出图中所有相等的线段,相等的角吗?
你能分别写出它们的证明过程吗?
知识在于积累
判断下列命题的真假,并说明理由: 两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等;
两直角边对应相等的两个直角三角形全等;
需要证明内错角∠A=∠C;
而由△ABF≌△CDE可得证.
小结
拓展
的判定定理: 定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为: 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等; 命题:两边及其中一边的对角对应相等的两 个三角形不一定全等.
老师提示:举反例证明假命题千万不可忘记噢!
命题的证明
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.但如 果其中一边的所对的角是直角,那么这两个三角形全等. 已知:如图,在△ABC和△A′B′C′中, AC=A′C ′, AB=A′B′, ∠C=∠C′=900. 求证:△ABC≌△A′B′C′. 分析: B 要证明△ABC≌△A′B′C′ ,只 ′ 要能满足公理 (SSS),(SAS),(ASA)和推论 (AAS)中的一个即可.由已知和 根据勾股定理易知,第三条边 C 也对应相等. B′
一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等 的两个直角三角形全等.
课堂练习1
A 1.已知:如图,D是△ABC的BC边上 的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别 为E,F,且DE=DF. 求证: △ABC是等腰三角形. F 分析:要证明△ABC是等腰三角形, D B 就需要证明AB=AC; 从而需要证明∠B=∠C; 进而需要证明∠B∠C所在的△BDF≌△CDE;
A C′
A′
直角三角形全等的判定定理及其三种语言
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
(斜边,直角边或HL).
如图,在△ABC和△A′B′C′中, ∠C=∠C′=900 , ∵AC=A′C ′, AB=A′B′(已知), ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).
B B′
C
A C′
E C
而△BDF≌△CDE的条件: BD=CD,DF=DE均为已知.因此, △ABC是等腰三角形可证.
课堂练习2
2.已知:如图,AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂 足分别为E,F,DE=BF. D 求证:(1)AE=AF;(2)AB∥CD.
分析:(1)要证明AE=CF,
E
A
C F B
由已知条件, AB=CD,DE⊥AC,BF⊥AC, DE=BF. 可证得△ABF≌△CDE,从而可得AF=CE. 由此AE=CF可证. (2)要证明AB∥CD,
直角三角形（二）
命题的证明
命题:两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等. 证明:这是一个假命题,只要举一个反例即可.如图:
B B′ B′
A
●
C A′ (1)
●
(2)
C′ A′
●
(3) C′
由图(1)和图(2)可知,这两个三角形全等; 由图(1)和图(3)可知,这两个三角形不全等; 因此,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
N
B
老师期望:你能写出它的证明过程吗?
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蓄势待发
如图,已知∠ACB=∠BDA=900 , 要使△ABC≌△BDA, 还需要什么条件?把它们分别写出来. 增加AC=BD; C D O 增加BC=AD; 增加∠ABC=∠BAD ; B A 增加∠CAB=∠DBA ; 你能分别写出它们的证明过程吗?
作业 P24习题1.5 3题.
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