最新人教A版必修5高中数学 2.5 等比数列前n项和(第1课时)教案(精品)

高中数学 2.5 等比数列前n项和（第1课时）教案新人教A版必修5一、课标要求:（1）通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程.a，q，n，n a，n S中知道三个数求另外两个数的一（2）通过教学解决等比数列的1些简单问题.（2）通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合能力，提高学生的数学素质.（3）通过教学进一步渗透从特殊到一般，再从一般到特殊的辩证观点，培养学生严谨的学习态度.二、教学重点，难点:教学重点是公式的推导及运用，难点是公式推导的思路.三、教学思路：本课时要使学生熟悉等比数列前n项和的公式并知道求和公式的推导的方法：错位相减法。

与生活中的实例引入课题，用比较简单的数据引导学生发现并总结出等比数列的求和a，q，n，n a，n S中知道3个就可以求出其余2个公式，并观察公式使用的条件：变量1变量。

四、教学过程:Ⅰ、课题的引入引例：某企业拟给学校一批捐款，假如有以下两种方案：方案1．第一次捐100万元，第二次捐200万元，第三次捐300万元……全部捐款分64次到位；方案2. 第一次捐1元，第二次捐2元，第三次捐4元……依此每一次的金额是前一次的两倍，全部捐款分64次到位。

试问：采纳哪一种方案，学校得到的捐款较多？（问题导出等比数列前n 项求和的计算)学生建立数学模型：方案1：求首项为1a =100 ，公差d=100的等差数列的前64项和；计算 2)1(1d n n na S n -+= 方案2：求首项为1a =1，公比q=2的等比数列的前64项和。

那么怎样计算方案2的n S 呢？Ⅱ、新课讲解：1、数列前n 项和的定义：一般地，对于等比数列 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,4321n a a a a a ，它的前 项和是 n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321（通过简单数列的分析使学生自己发现总结等比数列求和公式）观察下列2个数列的特征：数列1： 1 2 4 8 16 32数列2： 2 4 8 16 32 64学生思考后：数列1，数列2都是公比为2的等比数列；数列2中的每一项都是数列1中对应项的2倍；数列2中第n 项和数列1中的n+1项相等；问题：数列1的和为1S ，数列2的和为2S ，那么2S 与1S 的关系，12S S -=？， 学生回答：2S =21S （q=2）； 12S S -=64-1=63思考过程分析：12S S -=2+4+8+16+32+64-1-2-4-8-16-321S =（64-1）+（2-2）+（4-4）+（8-8）+（16-16）+（32-32） =63这里我们可以知道1S 的求和除了数列的每项相加之外，还可以利用一个新的数列的和2S （2S =q 1S ），通过做差的方式得到数列1的和。

2、公式的推导： 方法一：对于一般的等比数列，其前 项和① 构造新的数列的前n 项和：② ①—②我们可以得到：③ （提出问题通过③能否直接推出）当时，可知：当时，由③得 .综上所述：等比数列的前n 项和为我们把这种数列求和的方法叫做“错位相减法”公式简单的变化：时, =qqa a q q a n n --=--11)1(11 方法二： 有等比数列的定义，q a a a a a a n n ====-12312 根据等比的性质，有q a S a S a a a a a a nn n n n =--=++++++-112132 即 q a S a S nn n =--1⇒q a a S q n n -=-1)1(（结论同上） 围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．3、应用举例：学习了等你数列前n 项和的公式，我们回头来看看开始引用的例题：方案2：求首项为1a =1，公比q=2的等比数列的前64项和。

计算：2121116411-⨯-=--=q q a a S n n 通过对比方案1我们就可以知道选取方案2学校得到的捐款更多。

（以一个例题来熟悉等比数列前n 和的公式）板书： 例题1：求下列等比数列前8项的和，⑴、⋅⋅⋅,81,41,21； ⑵、0,2431,2791<==q a a ； 解答（略） 例题2：（课本64页例2）4、公式中的变量：等比通项公式中11-=n n q a a 变量为1a ，q ，n ，n a ，他们四个中知道了3个就可以求出其另外一个，而前n 项和中的变量是1a ，q ，n ，n a ，n S ，这五个变量中最少知道几个就可以求出其余的？假如：已知等比数列中的n S ，n a ，q 能不能求1a ，n 呢（学生讨论）已知等比数列中的1a ，n ，n S 能不能求q ，n a 呢（学生讨论）总结学生的结论：5个变量中只需要知道其中任意的3个就可以知道其余的2个Ⅲ、课堂练习：课本66页练习1Ⅳ、课堂小结：1、等比数列前n 项和公式2、等比数列求和的方法：错位相减法V 、作业：课本69页A 组第1、2、3、5、题B 组第1题五、习题：A 组一、选择题：1、等比数列⋅⋅⋅--1,1,1,1,1的前2n 项和为 （ ）A 、0B 、1C 、1-D 、不确定2、等比数列{}n a 中，,243,952==a a 则前4项的和等于 （ ）A 、81B 、120C 、168D 、1923、若数列{}n a 是等比数列，公比为q ，则下列命题中是真命题的是 （ ）A 、若q>1，则n n a a >+1B 、若0<q<1,则n n a a <+1C 、若q=1，则n n S S =+1D 、若－1<q<0,则||||1n n a a <+4、若数列⋅⋅⋅,81,41,21的前n 项和为256255，则n 等于 （ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、95、某工厂在年度之初借款A 元，从该年末开始，每年度偿还一定金额，恰在n 年内还清，年利率为r （以复息计算），则每次偿还的金额为 （ ）A 、()1)1(11-++-n n r r Ar 元B 、()1)1(11-++-n n r r Ar 元C 、()1)1(1-++n n r r Ar 元D 、()n r A n+1元 二、填空题：6、在等比数列{a n }中，若S 4=240，18042=+a a ，则 1a =＿＿＿＿＿ ,q= ＿＿＿＿＿＿；7、已知等比数列的公比为2，前4项的和为1，则前8项的和为＿＿＿＿＿＿；8、等比数列⋅⋅⋅-,3,1,31的前6项之和是：＿＿＿＿＿＿；三、解答题： 9、在等比数列{}n a 中，已知29,2333==S a ，求公比q 及1a 的值. 10、求数列()⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅,2112,,815,413,211n n 的前n 项和. 11、某人于2004年5月1日去银行存款a 元，存一年的定期储蓄，2005年5月1日他将到期存款的本息取出，在加入a 元后，还存一年定期，此后每年都用同样的方法存款，设银行的一年定期存款年利率r 不变，求到2010年5月1日，他将所有的存款和利息全部取出时，总共可以取出多少钱？参考答案1、A ；2、B ；3、D ；4、C ；5、C ；6、6；3；7、17；8、3182-9、解：依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=++===29)1(23213213q q a S q a a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==1231q a 或⎪⎩⎪⎨⎧-==2161q a10、解：()()[]nn n n n n n S n S n S ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅++++-+⋅⋅⋅+++=-+⋅⋅⋅+++=211218141211253121128154132112 11、解： rr r a S r r r a S r a r a r a S ]1)1)[(1()1(1])1(1)[1()1()1()1(6662-++=+-+-+=++⋅⋅⋅++++=B 组一、选择题：1、等比数列⋅⋅⋅,21,1,2的前n 项和为 （ ） A 、2214--n B 、n 211- C 、1212-+n D 、1214--n 2、等比数列{}n a 中，,26,231==S a 则公比q 等于 （ ）A 、3B 、－4C 、3或－4D 、3或－23、等比数列{}n a 中，前3项的和等于首项的3倍，则该数列的公比为 （ ）A 、2B 、1C 、－2或1D 、2或－14、若数列⋅⋅⋅--,81,41,21,1的前n 项和为256255，则n 等于 （ ） A 、12 B 、14 C 、16 D 、185、一个等比数列前几项和S n =ab n +c ，a≠0，b≠0且b≠1，a 、b 、c 为常数，那么a 、b 、c 必须满足 （ ）A 、a+b=0B 、c+b=0C 、c+a=0D 、a+b+c=0二、填空题：6、等比数列{}n a 中,,4,3241256=-=-a a a a 则=n S ＿＿＿＿＿＿；7、数列⋅⋅⋅,81,4,41,2,21,1的前2n 项的和为＿＿＿＿＿＿； 8、等比数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,,,132n a a a a 的前n 项和为＿＿＿＿＿＿；三、解答题：9、在等比数列{}n a 中，已知126,128,66121===+-n n n S a a a a ，求q 和n 的值.10、已知等比数列{}n a 的前n 项的和n S ，若146,293==S S ，求6S 得值.11、已知数列1，1+2，2221++，322221+++，···，122221-+⋅⋅⋅+++n（1）、求这个数列的通项公式n a ; （2）、求这个数列的前n 项和n S .参考答案1、A ；2、C ；3、C ；4、C ；5、C ；6、13-n 或41)3(--n ；7、n n 212-；8、⎪⎩⎪⎨⎧≠--=)1(11)1(a aa a n n ，， 9、解：,112n n a a a a =- 1281=∴n a a解方程组：⎩⎨⎧=+=6612811n n a a a a 得到 ⎩⎨⎧==2641n a a 或 ⎩⎨⎧==6421n a a当2,641==n a a 时： 代入qq a a S n n --=11得到 21=q ；代入11-=n n q a a 得到 6=n ； 同理得到：2=q ；6=n ；因此：6=n ；2=q 或21=q ； 10、解：若,1=q 则19139,3a S a S ==，而231469⨯≠=S ，所以1≠q ；由题意，得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==--=21114611313919q q a S q q a S 所以07236=-+q q 解得83=q 或 93-=q ； 当83=q 时：得18,7261=∴=S a ；11 当93-=q 时：得16,51161-=∴=-S q a ； 11、解：（1）、12222112-=+⋅⋅⋅+++=-n n n a （2）、n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321()()()()1212121232-+⋅⋅⋅+-+-+-=n ()n n -+⋅⋅⋅+++=222232n n --=+221。