不定积分习题课
第四章不定积分习题课-带解答
. 1 .第四章 不定积分 习题课1．原函数 若，则称为的一个原函数．)()(x f x F =')(x F )(x f 若是的一个原函数，则的所有原函数都可表示为)(x F )(x f )(x f ．C x F +)(2．不定积分 的带有任意常数项的原函数叫做的不定积)(x f )(x f 分，记作．⎰dx x f )(若是的一个原函数，则，)(x F )(x f C x F dx x f +=⎰)()(3．基本性质1），或；)(])([x f dx x f ='⎰dx x f dx x f d )(])([=⎰2），或；C x F x dF +=⎰)()(C x F dx x F +='⎰)()(3）；⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([4），（，常数）．⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(0≠k 4．基本积分公式（20个）原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一．5. 例题例1 已知的一个原函数是，求．)(x f x 2ln )(x f '解 ， ．x x x x f 1ln 2)(ln )(2⋅='=)ln 1(2ln 2)(2x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛='. 2 .例2 设，求．C x dx x f +=⎰2sin 2)()(x f 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以．2cos ]2sin2[])([)(x C x dx x f x f ='+='=⎰例3 若的一个原函数是，求．)(x f x 2⎰'dx x f )(解 因为是的原函数，故，所以x 2)(x f 2ln 2)2()(x x x f ='=．C C x f dx x f x +=+='⎰2ln 2)()(例4 求不定积分．⎰-dx e x x 3解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即．⎰⎰--=dx e dx e xxx)3(31C e e x+=--)3()3ln(111C e x x +-=-3ln 13例5 求不定积分．⎰'⎪⎭⎫⎝⎛dx x x 2sin 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得．C x x dx x x +='⎪⎭⎫⎝⎛⎰22sin sin 例6 求不定积分．⎰⋅dx xxx 533解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．．C x dx x dx x dx xxx +===⋅⎰⎰⎰-+15261511533115332615. 3 .例7 求不定积分．⎰++++dx xx x x x 32313解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即⎰⎰+++++=++++dx xx xx x x dx x x x x x 3233232113．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=dx x x 12112C x x x +++=arctan 2||ln 例8 求不定积分．⎰-dx x2cos 11解 用三角恒等式将被积函数变形，然后积分．x x 2sin 212cos -=．⎰⎰=-dx xdx x 2sin 212cos 11⎰=xdx 2csc 21C x +-=cot 21例9 求不定积分．⎰+dx x x )sec (tan 22解 用三角恒等式将被积函数统一化为的函数，1sec tan 22-=x x x 2sec 再积分．⎰⎰+-=+dxx x dx x x )sec 1(sec )sec (tan2222．⎰-=dx x )1sec 2(2C x x +-=tan 2例10 求不定积分．⎰++dx x x x )1(21222解 ．⎰⎰+++=++dx x x x x dx x x x )1(1)1(212222222⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++=dx x x 22111C x x +-=1arctan. 4 .例11 求不定积分．⎰+dx x x )1(124解 类似于例10，拆项后再积分⎰⎰++--+=+dxx x x x x x dx x x )1(1)1(124442224．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=dx x x x 2241111C x x x +++-=arctan 1313例12 一连续曲线过点，且在任一点处的切线斜率等于，)3,(2e x2求该曲线的方程．解 设曲线方程为，则，积分得)(x f y =xx f 2)(='． （曲线连续，过点，故C x dx xx f +==⎰ln 22)()3,(2e ）0>x 将代入，得，解出．所以，曲线方程为3)(2=e f C e +=2ln 231-=C ．1ln 2-=x y 例13 判断下列计算结果是否正确1）； 2）．C x dx xx +=+⎰322)(arctan 311)(arctan ()C e dx ex x++=+⎰1ln 11解 1），所以计算结果正确．2231)(arctan )(arctan 31x x C x +='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2）， 计算结果不正确，即[]xx x xe e e C e +≠+='++111)1ln(．()C e dx ex x++≠+⎰1ln 11. 5 .以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式1）时，．0≠a ⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f 2）．⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 3）=⎰xdx x f sin )(cos 4）⎰=dx xx f 1)(ln 5），时，0>a 1≠a =⎰dx a a f x x )(6）时，0≠μ1()f x x dx μμ-=⎰7）=⎰xdx x f 2sec )(tan 8）=⎰xdx x f 2csc )(cot 9）=-⎰dx xx f 211)(arcsin 10）=+⎰dx xx f 211)(arctan 11）='⎰dx x f x f )()(例14 求．⎰dx xx xcos sin tan ln 解 ⎰⎰⋅=xdx x x dx x x x 2sec tan tan ln cos sin tan ln ⎰=xd xxtan tan tan ln ．⎰=)tan (ln tan ln x d x ()C x +=2tan ln 21. 6 .注由于被积函数中含有，表明，故x tan ln 0tan >x ．x d x d xtan ln tan tan 1=例15 求下列不定积分1）； 2）．⎰+dx xx xln 1ln ⎰+dx x x 100)1(解 1） (请注意加1、减1的技巧)⎰⎰⋅+-+=+dx xx x dx xx x1ln 111ln ln 1ln⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=)ln 1(ln 11ln 1x d x x ．C x x ++-+=2123)ln 1(2)ln 1(322）dxx x dx x x 100100)1()11()1(+-+=+⎰⎰)1()1()1()1(100101++-++=⎰⎰x d x x d x．C x x ++-+=101102)1(1011)1(1021例16 设，不求出，试计算不定积分C x dx x f +=⎰2)()(x f ．⎰-dx xxf )1(2解 （将看作变量）2221(1)(1)(1)2xf x dx f x d x -=---⎰⎰21x -u ．C x +--=22)1(21例17 设，求．x e x f -=)(⎰'dx xx f )(ln 解 先凑微分，然后利用写出计算结果．即C u f u d u f +='⎰)()(. 7 .．⎰⎰'='x d x f dx x x f ln )(ln )(ln C x f +=)(ln C e x +=-ln C x+=1例18 计算不定积分．⎰+dx x x )1(124 【提示】 分母中有时，考虑用“倒代换”．k x tx 1=解 设，则，t x 1=dt tdx 21-=4224211111(1)1dx dt x x t t t ⎛⎫=- ⎪+⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+-=dt t t 241⎰++--=dt t t 24111⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=dt t t 221113arctan 3t t t C =-+-+．3111arctan 3C x x x=-+-+例19 求不定积分．⎰+dx x x )4(16解 ⎰⎰+=+dx x x x dx x x )4()4(16656⎰+=)()4(161666x d x x()⎰+=dt t t tx41616⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dt t t 411241 ． 1ln 244t C t =++661ln 244x C x =++分部积分．⎰⎰⎰⎰'-=-'vdx u uv vduuv udvdxv u vu 、交换凑微分目的，使公式右边的积分要比左边的积分容易计算，u vdx '⎰⎰'dx v u 关键在于正确地选取和凑出．u. 8 .例 20 求不定积分．⎰dx xxarcsin 解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令，x t =则，，2t x =tdt dx 2= ⎰⎰=tdt t tdx xx2arcsin arcsin ⎰=v ut d t arcsin 2()⎰-=td t t t arcsin arcsin 2⎰--=dtttt t 212arcsin 222arcsin (1)t t t =+- Ct t t +-+=212arcsin 2．C x x x +-+=12arcsin 2解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即⎰⎰=xd x dx xxarcsin 2arcsin ⎰=dt t tx arcsin 2 ⎰--=dt tt t t 212arcsin 2．C t t t +-+=212arcsin 2C x x x +-+=12arcsin 2例 21 已知的一个原函数是，求．)(x f 2x e-⎰'dx x f x )(【提 示】 不必求出，直接运用分部积分公式．)(x f '解 由已知条件，，且，故)(x f ()'=-2x e ⎰dx x f )(C e x +=-2⎰⎰=')()(x xdf dx x f x ⎰-=dxx f x xf )()(()Ceex x x +-'=--22. 9 .．C e e x x x +--=--2222例 22 设，求．x x x f ln )1()(ln +=')(x f 解 先求出的表达式．设，则，)(x f 't x =ln t e x =)1()(+='t e t t f ⎰+=dt e t t f t )1()(⎰⎰+=tdttde t,22t dt e te tt +-=⎰C t e te tt ++-=22所以．C x e xe x f x x++-=2)(2例23 求不定积分．5432x x dx x x+--⎰解 将分子凑成，23332()()2x x x x x x x x x x -+-+-++-把分式化为多项式与真分式的和；542233221x x x x x x x x x x+-+-=+++--再将真分式化为最简分式的和，232x x x x+--，232(2)(1)22(1)21(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-++-====--+-+++于是5423221(1)1x x dx x x dx x x x x +-=+++--+⎰⎰．322ln ln 132x x x x x C =+++-++. 10 .例24 求不定积分．⎰+-dx x x x )1(188解=+-⎰dx x x x )1(188⎰+-dx x x x x 7888)1(1⎰+-=)()1(1818888x d x x x （换元，令）⎰+-=du u u u )1(1818x u =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=du u u 12181 C u u ++-=)1ln(41ln 81()C x x ++-=881ln 41ln 81．()C x x ++-=81ln 41||ln 例25 求不定积分．⎰+dx xsin 11解 ⎰⎰--=+dx xx dx x 2sin 1sin 1sin 11⎰-=dx x x2cos sin 1．⎰-=dx x x x )sec tan (sec 2C x x +-=sec tan 例26 求不定积分．⎰+++++dx x x x)11()1(11365解 为同时去掉三个根式，设，则，，t x =+6116-=t x dt t dx 56= dt t t t t dx x x x52533656)1(1)11()1(11++=+++++⎰⎰32161t t t dt t +-+=+⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=dt t t t t 221116()C t t t +++-=arctan 61ln 3322．()3311ln 313x x ++-+=C x +++61arctan 6。
不定积分习题课PPT文档共54页
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
不定积分习题课
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
微积分不定积分-习题课
不定积分的几何意义
总结词
不定积分在几何上表示曲线下的面积。
详细描述
不定积分在几何上具有深刻的含义，它表示曲线下的面积。具体来说，对于一个给定的函数，其不定积分表示该 函数下的所有面积的代数和。这个概念在解决微积分问题时非常重要，尤其是在计算面积、体积和解决物理问题 时非常有用。
02
不定积分的计算方法
总结词
涵盖了不定积分的基本概念和计算方法，适 合初学者练习。
详细描述
这些习题主要涉及基本的不定积分计算，包 括直接积分法、换元积分法和分部积分法等。 通过这些练习，学生可以加深对不定积分概 念的理解，掌握基本计算技巧。
进阶习题解析
总结词
难度有所提高，需要学生灵活运用不定积分 的知识。
详细描述
这些习题涉及较为复杂的不定积分计算，需 要学生灵活运用不定积分的计算方法和技巧 。通过这些练习，学生可以提高解决复杂问
不定积分的性质
总结词
不定积分具有一些重要的性质，包括线性性质、可加 性、可乘性等。
详细描述
不定积分具有一些重要的性质，这些性质在解决微积分 问题时非常有用。其中，线性性质是指不定积分运算满 足线性性质，即对两个函数的和或差进行不定积分时， 可以分别对每个函数进行不定积分运算后再求和或求差 。可加性是指对一个函数在两个区间上进行不定积分时 ，其结果可以相加。可乘性则是指对一个函数进行不定 积分后得到的原函数，与另一个函数相乘时，其结果可 以再次进行不定积分。
直接积分法
总结词
直接积分法是最基础的不定积分计算方法，通过将原函数进行凑微分，然后进行 积分得到不定积分的结果。
详细描述
直接积分法主要依赖于不定积分的性质和基本初等函数的积分公式。通过观察被 积函数的特征，选择适当的基本初等函数进行凑微分，然后进行积分，即可得到 不定积分的结果。
第五章不定积分习题课
(15) cot xdx lnsin x C
(22)
(16) sec xdx ln(sec x tan x) C
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln
x x
a a
C
a2
1
x 2 dx
1 2a
ln
a a
x x
C
(17)
csc xdx ln(csc x cot x) C (23)
第五章 不定积分
第15页
（2） 三角函数有理式的积分
定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算
构成的函数称之．一般记为 R(sin x,cos x)
令u tan x 2
sin
x
1
2u u2
x 2arctan u
cos
x
1 1
u2 u2
2 dx 1 u2 du
R(sin
第五章 不定积分
第1页
第五章 不定积分 习题课
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第五章 不定积分
第2页
一、主要内容
原函数
不定积分
选
择 u
分部 积分法
积分法
直接 积分法
基 本
有
积
效 方 法
第一换元法 第二换元法
几种特殊类型 函数的积分
分 表
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第五章 不定积分
第3页
1、原函数
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第五章 不定积分
不定积分习题课市公开课一等奖市赛课金奖课件
解
x 1 x(1 xex
)
dx
令
=
dt t(1
t
)
=
dt t
t
dt 1
= ln t ln t 1 C
= ln xex ln xex 1 C
例6
思索题：P97 6、（2）
解
原式 =
x9dx = 1 x10 (2 x10 ) 10
d ( x10 ) x10 (2 x10 )
= 1 ( 1 1 )d (x10 ) 20 x10 2 x10
dt ,
t2 4 3
t2 t2 22
9
dx
=3
dt ,
x2 9x2 4
t2 t2 22
上式右端积分旳被积函数中有 t 2 22 , 在积分表 (六)类中，查到公式 41，当 a = 2(x 相当于 t)时，
得 教材第185页
t2
dt t2 Βιβλιοθήκη 2=t2 4 C = 4t
9x2 4 C. 12 x
代入原积分中，得
dx
=3
dt = 9x2 4 C.
x2 9x2 4
t2 t2 22
4x
3.用递推公式
例4
查表求
dx sin4
x
.
解 被积函数中含三角函数，在积分表(十一)类
中查到公式 97，递推公式为 教材第187页
dx
sinn x
=
1 n
1
cos x sinn1 x
n n
2 1
f
( x)dx=
f
(x)
d[ f ( x)dx] = f ( x)dx
F ( x)dx = F ( x) C
dF ( x) = F ( x) C
《不定积分习题》课件
详细描述
不定积分具有一系列重要的性质，包括线性性质、可加性、可乘性等。线性性质是指∫[af(x) + bf'(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫f'(x)dx；可加性是指∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx；可乘性是指∫f(x) * g(x)dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx。这些性质在解决不定积分问题时非常有用。
PART THREE
不定积分的基本公式与法则
3.1关键技术 3.2技术难点 3.3案例分析
积分公式表
包括基本积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等，这些公式是解决不定积分问题的基础。
常用积分公式
如贝塞尔函数、勒让德函数等，这些特殊函数在解决某些不定积分问题时非常有用。
特殊函数积分公式
不定积分的计算方法
总结词：不定积分的计算方法包括直接积分法、换元积分法、分部积分法等。 详细描述：不定积分的计算方法有多种，其中最常用的是直接积分法、换元积分法和分部积分法。直接积分法是将不定积分转化为求导的逆运算，即利用微分公式和基本初等函数的导数公式来计算不定积分。换元积分法是通过引入新的变量来简化不定积分，即通过换元将复杂的不定积分转化为简单的不定积分。分部积分法是将不定积分转化为乘积的形式，即通过分部相乘来计算不定积分。这些方法在解决实际问题中非常有用，可以帮助我们更好地理解和应用不定积分的概念和性质。
通过递推关系式，可以方便地求出一些复杂函数的积分。
递推积分公式
包括乘的积分问题化简为简单的积分问题。
线性积分法则
幂函数的积分可以通过分部积分法进行求解，幂函数的不定积分可以通过幂函数的原函数进行求解。
不定积分习题课公开课一等奖课件省赛课获奖课件
1)9
C
；
（Hale Waihona Puke ）1 36(4x1
1)11
C
.
17
二、求下列不定积分：
1、
1 x2
cos
1 x
dx
;
2、
x2
dx 2x
;
5
3、
ln( x 1 x2 ) 5 dx; 1 x2
4、
(1
x2 x
2
)2
dx
;
5、
1
dx ; 1 x2
6、
x2
x
1 x2
1
dx
;
7、
e
x
dx (1 e
2
x
;
)
1 x2
tan 1 x2 d 1 x2 ln cos 1 x2 C
4
第四章 不定积分 习题课
例3
x2 1
x4
dx 1
分子分母同除以 x2
解 原式
1
1 x2
dx
x2
1 x2
d( x 1 ) x
(x 1 )2 2 x
1
x 1 arctan x C
2
2
1 2
arctan
x
2 1 2x
C
5
第四章 不定积分 习题课
例4
xe x (1 x)2 dx
解
xe x
(1 x)2 dx
(1
x x
)2
de
x
v
u
原式
xe
x
d( 1
1
) x
xe 1
x
x
( xe x ) dx
1 x
不定积分-习题课
(11) 1dx2x
解: 令 t 2x,则 x1t2 (t0)， 2
原式
tdt 1 t
(111t)dt
dt11td(1t)
tln1 (t)C
2xln1 ( 2x)C
4 、 (1) x3coxsdx
解: 原式 x 3 d six nx 3six n 3x 2sixnd
( 1 )9 cx d s x c l|n cx s c c x o | C t
1 dx
x2 a2
ln(x x2 a2)C
1、直接积分法
由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不 定积分的方法.
2、第一类换元法
定 理 1 设 f(u)具 有 原 函 数 ， u(x)可 导 ，
(4) 11x2dxarcx tC an(1)0sextcaxnds xex cC
(5) 11x2dxarc x sC in (1)1csxco xtdx cs x c C
(6) coxsdxsixn C
(1)2exdx ex C
(1)3axdx lan
(t 1)e2t C 2
( x1)e2 x C 2
(9)
exsin2xdx解: 原式
1(ex exco2sxd)x 2
令 Iexco2xsd,则 x
Ic2 o xx s d e xc e2 o x 2 se xs2 ixn xd
而 exsi2n xx d co 2xsd x e
ln|x2x1|24lnx3C 7 x4
(3)
2 dx x3 1
解: 令 x321xA 1xB 2 xxC 1
(AB)x2(B x 3 C 1A)xAC
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【教学目的】
1. 理解原函数的概念，理解不定积分的概念。
2. 掌握不定积分的基本方法——直接求解法、换元积分法 【教学重点】不定积分的基本方法（直接求解法、换元积分法） 【教学难点】换元积分法 【教学过程】 一、预备知识
1. 原函数
()()x f x F ='或()()()dx x f dx x F x dF ='=，称()x F 为()
x f 在定义区间上的原函数
2. 原函数定理：相差一个常数（积分常数）
即()()x g x f '='→()()C x g x f +=
3. 导数公式P86 二、不定积分的概念
1.
()()C x F dx
x f +=⎰
2. 积分和求导或微分运算（互逆性）
()()C x F dx
x F +='⎰
()()C x F x dF +=⎰（先导后积还原+C ） ()[]()x f dx x f =
'⎰
（先积后导还原） ()()dx x f dx
x f d
=⎰
（先积后微还原dx ）
三、不定积分的基本方法
1. 直接积分法
通过简单变形，利用基本积分公式和运算法则求不定积分的方法
a) 积分的基本公式P142 b) 积分的运算法则P143 练习：
⎰⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
+
+dx x x
x x
211sin 310 ()dx x
x
x ⎰
-2
1
()
dx e
x
x
2
2
⎰-
2. 换元积分法
()()[]()dt
t t f dx x f ϕϕ'−−−−−−
←−−−−−→
−⎰⎰第二类换元积分发
第一类换元积分法
a) 第一类换元积分法（凑微分法） 常见的凑微分形式例题讲解： 例：求下列不定积分
（1）
()⎰-3
32y dy
注：()b ax d a
dx +=
1
（2）
⎰
dx x x
2
ln
注：
()x d dx x
ln 1=
（3）
⎰-du u
u
52
注：(
)1
1
1
++=
αα
αx
d dx x
特例：()2
2
1x
d xdx =
()x d
dx x
21=
（4）
⎰xdx e
x
cos sin
注：()x d xdx cos sin -= ()x d xdx sin cos =
b) 第二类换元积分法（掌握根式换元） 直接令根式为t ，化根式为有理式 例：求下列不定积分
⎰+dx x x
1
例：求下列不定积分 ()
⎰
+dx x x 11
解法1： 令x u =
，dx x
du 2
1=
原积分⎰
+==
du u
x
u 2
112=C u +arctan 2C x x
u +==arctan 2
解法2： 令x t =，2
t x =，tdt dx 2=
原积分
()()⎰+=
=
tdt t t x
t 211
2
=C t +arctan
2C x x
t +==arctan 2
四、小结
化简直接积分，熟练积分公式 根据复合抓住u ，凑完微分配系数 使用公式要准确，积分消失加常数 【课外作业】（学习指导与训练P87）
2/(2)、（3）、（4）、（5） 3/（1）、（3）。