2016-2017学年贵州省高三(上)期末数学试卷(理科)Word版(解析版)
2016-2017学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷与解析word
2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y26．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．27．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f （x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有名同学参赛．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=．13．（4分）已知，那么=．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B=；②若B={1，2}，则A ∩B=．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．【解答】解：原式==a，故选：A3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：y1=log0.70.8∈（0，1）；y2=log1.10.9＜0；y3=1.10.9＞1，可得y3＞y1＞y2．故选：A．6．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：．故选A．7．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=﹣∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选B．10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f （x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．故答案为：17．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=7．【解答】解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣7=7故答案为：713．（4分）已知，那么=．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为2．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B={0，1} ；②若B={1，2}，则A∩B={1}或∅．【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，通过对应关系f：x→，B={0，1，}，所以A∩B={0，1}；②根据题意，B={1，2}时，过对应关系f：x→，得A={1}或{4}或{1，4}；所以A∩B={1}或∅．故答案为：{0，1}，{1}或∅．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取x∈D，则﹣x∈D，且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）+（﹣）=；∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2+sin cos=+sinx=sinx﹣cosx+=sin（x﹣）+，由T==2π，知f（x）的最小正周期是2π；（Ⅱ）由f（x）=sin（x﹣）+，且x∈[，π]，∴≤x﹣≤，∴≤sin（x﹣）≤1，∴1≤sin（x﹣）+≤，∴当x=时，f（x）取得最大值，x=π时，f（x）取得最小值1．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣=0，∴a=2；（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，如图所示，m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，∴关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．【解答】解：（1）在y=x2﹣中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，（2）令y=0，即x2﹣=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），（3）在y=x2﹣中，当0＜x＜1时，＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，＜1＜x2，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x轴的上方，（4）在y=x2﹣中，若x∈（0，+∞），则当x逐渐增大时逐渐减小，x2﹣，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，（5）由函数y=x2﹣可知f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
海南省三亚市2023-2024学年四上数学第七单元《条形统计图》人教版基础知识试卷
海南省三亚市2023-2024学年四上数学第七单元《条形统计图》人教版基础知识试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.填出下列条形统计图中一格表示多少，直条表示多少。
1格表示：____ 1格表示：____ 1格表示：____ 1格表示：____直条表示：____ 直条表示：____ 直条表示：____ 直条表示：____2.在画条形统计图时，用2厘米长的直条表示500万元，要表示2000万元产值，直条应画 厘米．3.条形统计图用2格表示30人，平均每格表示( )人，照这样计算，要表示120人需要画( )格．4.观察统计图，先填写统计表，再回答问题。
(1)某餐厅经营收入情况统计表年份2015201620172018经营收入/万元( )( )( )( )(2)1格代表( )万元。
(3)( )年经营收入最多。
(4)2018年的经营收入比2016年多( )万元。
5.下面是几种动物的最高时速统计图．如果它们赛跑，( )是冠军；( )是亚军；( )跑最后．6.下面是四种动物的最高时速统计图，请根据统计图填空。
（1）横轴上1格表示( )千米/小时。
（2）( )的速度最快，( )的速度最慢。
（3）有( )种动物跑的比鸵鸟快。
7.填出下列条形统计图中一格表示多少，直条表示多少。
1格表示：______；1格表示：______； 1格表示：_____；1格表示：______直条表示：______；直条表示：______；直条表示：______；直条表示：______。
8.根据下面的统计图，回答如下问题。
桔子的个数是( )个。
9.某小学各年级采集树种情况统计图：请看图回答下列问题：①_____年级采的最多；_____年级采的最少。
②五年级比二年级多采_____千克；一年级比三年级少采_____千克。
贵州省遵义市2016届高三(上)期末数学试卷(理)含答案解析
2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4 D．13．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A． B．C．D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．126．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．167．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）A．13 B．12 C．11 D．109．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．11．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且+=，当数列{}的前n项和大于62时，n的最小值是（）A．9 B．8 C．7 D．6二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若a=x2dx，则二项式（a﹣）6的展开式中的常数项为．14．已知正方形ABCD的坐标分別是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：k MB•k MD=﹣，则动点M所在的轨迹方程为．15．设数列{a n}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列，则数列{a n}的通项公式为．16．定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为，求的值．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A 8 12 40 32 8产品B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．21．已知函数f（x）=cosx+﹣1，g（x）=e ax．（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段EF的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线的普通方程．【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．2015-2016学年贵州省遵义市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}，则M∩N（）A．{﹣1，0} B．{1}C．{﹣1，0，1}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，列举出N中的元素确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）≤0，解得：﹣1≤x≤1，即M=[﹣1，1]，由题意得：N={﹣1，0}，则M∩N={﹣1，0}，故选：A．2．已知复数z=，是z的共轭复数，则z•=（）A．B．C．4 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，求得z的值，可得，从而求得z•的值．【解答】解：z====﹣i，则=i，则则z•=1，故选：D．3．已知向量+=（2，﹣8），﹣=（﹣8，16），则与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量坐标关系，求出=（﹣3，4），=（5，﹣12），再利用cosθ=求解即可．【解答】解：由向量，，得=（﹣3，4），=（5，﹣12），所以||=5，||=13，=﹣63，即与夹角的余弦值cosθ==．故选：B．4．函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则实数φ的值为（）A． B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得实数φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π），若将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为偶函数，故+φ=kπ+，即φ=kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．5．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．2 B．4 C．6 D．12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，棱锥高为2，底面为梯形，代入体积公式计算．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的底面是直角梯形，棱锥的高是2，∴V==4．故选B．6．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1=1，则S4=（）A．15 B．7 C．8 D．16【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用4a1，2a2，a3成等差数列求出公比即可得到结论．【解答】解：∵4a1，2a2，a3成等差数列．a1=1，∴4a1+a3=2×2a2，即4+q2﹣4q=0，即q2﹣4q+4=0，（q﹣2）2=0，解得q=2，∴a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，∴S4=1+2+4+8=15．故选：A7．已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，a，b∈{1，2，3，4}，则直线l1与直线l2没有公共点的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是16，利用列举法写出满足条件的事件数，得到结果．【解答】解：直线l1的斜率，直线l2的斜率．a，b∈{1，2，3，4}的总事件数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种．若直线l1与直线l2没有公共点，则l1∥l2，即k1=k2，即b=2a．满足条件的实数对（a，b）有（1，2）、（2，4）、共2种情形．∴对应的概率P==．故选：C8．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值为（）A．13 B．12 C．11 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=时，根据题意，求得此时k的值，应该满足条件k＞a，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，k=1不满足条件k＞a，S=1+=2，k=2不满足条件k＞a，S=1++=2，k=3不满足条件k＞a，S=1++=2，k=4不满足条件k＞a，S=1+++=2﹣，k=5不满足条件k＞a，S=1++++=2，k=6不满足条件k＞a，S=1+++++=2﹣，k=8…最后一次循环，不满足条件k＞a，S=2﹣=，k=x+1满足条件k＞a，退出循环，输出S的值为．可解得：x=12，即由题意可得a的值为11．故选：C．9．已知椭圆+=1（a＞b＞0，c为椭圆的半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是菱形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．【解答】解：由题意得，椭圆+=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，则A（a，0），F（﹣c，0），∵抛物线y2=（a+c）x与椭圆交于B，C两点，∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，﹣n）∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a﹣c，则，将B（m，n）代入抛物线方程得，n2=（a+c）m=（a+c）（a﹣c）=（a2﹣c2），∴，则不妨设B（，），再代入椭圆方程得，+=1，化简得，即4e2﹣8e+3=0，解得e=或1（舍去），故选：D．10．过平面区域内一点作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B，记∠APB=α，则当α最小时，cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到P，联立方程组求得P的坐标，进一步求出sin，代入二倍角余弦公式求得cosα的值．【解答】解：如图，联立，解得P（﹣4，﹣2），|OP|=，∴sin=．则cosα=．故选：A．11．如图，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD 折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为（）A．B．3πC．D．2π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】说明折叠后几何体的特征，求出三棱锥的外接球的半径，然后求出球的体积．【解答】解：由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为：=．故选A12．已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，并满足：f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）和f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），且+=，当数列{}的前n项和大于62时，n的最小值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】数列的求和；利用导数研究函数的单调性．【分析】通过对f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1）变形可知a x=（a＞0，且a≠1），利用f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0）可知a＞1，进而利用+=可知a=2，通过等比数列的求和公式计算即得结论．【解答】解：∵f（x）=a x•g（x）（a＞0，且a≠1），∴a x=（a＞0，且a≠1），又∵f′（x）•g（x）＞f（x）•g′（x）（g（x）≠0），∴=＞0，∴y=a x为增函数，即a＞1，∵+=，∴a+=，解得：a=2或a=（舍），∴=2x，数列{}是首项、公比均为2的等比数列，∵＞62，∴2n+1＞64，即n＞5，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若a=x2dx，则二项式（a﹣）6的展开式中的常数项为﹣．【考点】定积分．【分析】由定积分可得a值，由二项式定理可得．【解答】解：求定积分可得a=x2dx=x3=，∴（a﹣）6=（﹣）6，展开式通项T k+1=（）6﹣k（﹣）k=（﹣1）k•（）6﹣k x3﹣k，令3﹣k=0可得k=3，代入可得常数项为（﹣1）3•（）3=﹣故答案为：﹣14．已知正方形ABCD的坐标分別是（﹣1，0），（0，1），（1，0），（0，﹣1），动点M满足：k MB•k MD=﹣，则动点M所在的轨迹方程为=1（x≠0）．【考点】轨迹方程．【分析】利用直接法求出动点M的轨迹方程．【解答】解：设点M的坐标为（x，y），∵动点M满足：k MB•k MD=﹣，∴．整理，得=1（x≠0），故答案为：=1（x≠0）．15．设数列{a n}满足a1=6，a2=4，a3=3，且数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列，则数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．【考点】等差数列的通项公式．【分析】先求出数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）的首项和公差，然后求出数列{a n+1﹣a n}的通项公式，然后利用叠加法可求出数列{a n}的通项公式．【解答】解：a2﹣a1=4﹣6=﹣2a3﹣a2=3﹣4=﹣1∴d=（a3﹣a2）﹣（a2﹣a1）=﹣1﹣（﹣2）=1∵数列{a n+1﹣a n}（n∈N*）是等差数列∴数列{a n+1﹣a n}的首项为﹣2，公差为1的等差数列=n﹣4则a n+1﹣a n=n﹣3，则a2﹣a1=4﹣6=﹣2，a3﹣a2=3﹣4=﹣1，…a n﹣a n﹣1相加得a n=6+（﹣2）+（﹣1）+…+（n﹣4）=故答案为：a n=（n∈N*）16．定义在R上的奇函数f（x），对于∀x∈R，都有，且满足f（4）＞﹣2，，则实数m的取值范围是{m|m＜﹣1或0＜m＜3} ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据，然后用代换x便可得到，再用代换x便可得出f（x+3）=f（x），从而便得到f（x）是以3为周期的周期函数，这样即可得到f（1）＞﹣2，，从而解不等式便可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵；用代换x得：；用代换x得：；即f（x）=f（x+3）；∴函数f（x）是以3为周期的周期函数；∴f（4）=f（1）＞﹣2，f（2）=﹣f（﹣2）=﹣f（﹣2+3）=﹣f（1）＜2；∴；解得m＜﹣1，或0＜m＜3；∴实数m的取值范围为{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．故答案为：{m|m＜﹣1，或0＜m＜3}．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC．（1）求角B的大小，（2）若a=3，△ABC的面积为，求的值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理和两角和的正弦公式，化简整理，即可得到B；（Ⅱ）运用三角形的面积公式和余弦定理，结合向量的数量积的定义，即可计算得到．【解答】解：（1）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinB•cosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，∵0＜A＜π，∴sinA＞0，∴2cosB=1，cosB=，又0＜B＜π，∴B=；（2）法一：∵a=3，△ABC的面积为，∴•3c•sin=，∴c=2，b2=22+32﹣2×2×3cos=7，∴b=，∴cosA==，∴•=bccos（π﹣A）=2×（﹣）=﹣1．法二：•=（﹣）=||•||•cos＜，＞﹣=2×3×﹣22=﹣1．18．某技术公司新开发了A，B两种新产品，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]产品A 8 12 40 32 8产品B 7 18 40 29 6（1）试分别估计产品A，产品B为正品的概率；（2）生产一件产品A，若是正品可盈利80元，次品则亏损10元；生产一件产品B，若是正品可盈利100元，次品则亏损20元；在（1）的前提下．记X为生产一件产品A和一件产品B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由检测结果统计表，利用等可能事件概率计算公式能估计产品A，产品B为正品的概率．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E（X）．【解答】解：（1）由检测结果统计表，得产品A为正品的概率为：=，产品B为正品的概率为：=．（2）随机变量X的所有取值为180，90，60，﹣30，P（X=180）==，P（X=90）==，P（X=60）==，P（X=﹣30）==，∴X的分布列为：X 180 90 60 ﹣30PE（X）==132．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（Ⅰ）证明：AG∥平面BDE；（Ⅱ）求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可证明AG∥平面BDE；（Ⅱ）求出平面的法向量，利用向量法即可求平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值．【解答】解：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD．…根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0）G（0，2，1）…．（Ⅰ）设平面BDE的法向量为，∵，∴，即，∴x=y=z，∴平面BDE的一个法向量为…..∵∴，∴，∵AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（Ⅱ）设平面BAG的法向量为，平面BDE和平面BAG所成锐二面角为θ…．因为，，由得，…．∴平面BAG的一个法向量为，∴．故平面BDE和平面BAG所成锐二面角的余弦值为…．20．如图，已知椭圆C的方程为=1（a＞b＞0），双曲线=1的两条渐近线为l1，l2．过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于点P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．（Ⅰ）若l1与l2的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）由已知得∠POF=30°，从而a=．由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=，直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（），由此入手结合已知条件能求出的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为双曲线方程为，所以双曲线的渐近线方程为y=．因为两渐近线的夹角为60°且，所以∠POF=30°．所以．所以a=．因为c=2，所以a2+b2=4，所以a=，b=1．所以椭圆C的方程为．…（Ⅱ）因为l⊥l1，所以直线l的方程为y=，其中c=．…直线l2的方程为y=，联立直线l与l2的方程，解得点P（）．…设=λ，则=．…因为点F（c，0），设点A（x0，y0），则有（x0﹣c，y0）=λ（，）．解得，y0=．…因为点A（x0，y0）在椭圆上，所以+=1．即（c2+λa2）2+λ2a4=（1+λ）2a2c2．等式两边同除以a4，得（e2+λ）2+λ2=e2（1+λ）2，e∈（0，1），所以=﹣（2﹣e2+）+3≤=3﹣2=（）2．…所以当2﹣e2=，即e=时，λ取得最大值．故的最大值为．…21．已知函数f（x）=cosx+﹣1，g（x）=e ax．（Ⅰ）当x≥0时，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意x≥0，不等式g（x）≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）若不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，证明f'（x）=x﹣sinx为增函数，从而可得f（x）在x≥0时为增函数，即可证明当x≥0时，f（x）≥0；（Ⅱ）根据函数的单调性分别证明+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立，设F（x）=e x﹣﹣x﹣1，得到F（x）≥F（0）=0即可；（Ⅲ）解法一：证明以+x+1≥sinx﹣cosx+2，设G（x）=e x﹣﹣x﹣1，证明G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，再分类讨论，利用不等式e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立，即可求实数a的取值范围；解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2），设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=cosx+﹣1，（x≥0），则f′（x）=x﹣sinx，设h（x）=x﹣sinx，则h′（x）=1﹣cosx，当x≥0时，h′（x）=1﹣cosx≥0，即f′（x）为增函数，所以f′（x）≥f′（0）=0，即f（x）在x≥0时为增函数，所以f（x）≥f（0）=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得x≥0时，f（x）≥f（0）=0，f′（x）≥f′（0）=0，∴sinx≤x，cosx≥﹣+1，即x≥sinx， +1≥﹣cosx+2，∴x≥0时， +x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立，设F（x）=e x﹣﹣x﹣1，则F′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，则h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，∴h（x）在（0，+∞）递增，∴h（x）≥h（0）=0，∴F（x）是增函数，F（x）≥F（0）=0，∴对任意x≥0，e x≥+x+1≥sinx﹣cosx+2恒成立；（Ⅲ）解法一：由（Ⅰ）知x≥0时，sinx≤x，cosx≥﹣+1，所以+x+1≥sinx﹣cosx+2，设G（x）=e x﹣﹣x﹣1，则G'（x）=e x﹣x﹣1，设g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，当x≥0时g'（x）=e x﹣1≥0，所以g（x）=e x﹣x﹣1为增函数，所以g（x）≥g（0）=0，所以G（x）为增函数，所以G（x）≥G（0）=0，所以e x≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．又x≥0，a≥1时，e ax≥e x，所以a≥1时e ax≥sinx﹣cosx+2对任意的x≥0恒成立．当a＜1时，设h（x）=e ax﹣sinx+cosx﹣2，则h'（x）=ae ax﹣cosx﹣sinx，h'（0）=a﹣1＜0，所以存在实数x0＞0，使得任意x∈（0，x0），均有h'（x）＜0，所以h（x）在（0，x0）为减函数，所以在x∈（0，x0）时h（x）＜h（0）=0，所以a＜1时不符合题意．综上，实数a的取值范围为[1，+∞）．解法二：因为e ax≥sinx﹣cosx+2等价于ax≥ln（sinx﹣cosx+2）设g（x）=ax﹣ln（sinx﹣cosx+2），则g′（x）=a﹣，可求∈[﹣1，1]，所以当a≥1时，g′（x）≥0恒成立，g（x）在[0，+∞）是增函数，所以g（x）≥g（0）=0，即ax≥ln（sinx﹣cosx+2），即e ax≥sinx﹣cosx+2所以a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．当a＜1时，一定存在x0＞0，满足在（0，x0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）是减函数，此时一定有g（x）＜g（0）=0，即ax＜ln（sinx﹣cosx+2），即e ax＜sinx﹣cosx+2，不符合题意，故a＜1不能满足题意，综上所述，a≥1时，e ax≥sinx﹣cosx+2对任意x≥0恒成立．请考生在第22、23、24题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题几份，作答时请写清楚题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，四边形为边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的圆O交于C，F，连接CF并延长交AB于点E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段EF的长．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】（1）根据∠CDO=∠FDO，BC是的切线，且CF是圆D的弦，得到，即∠CDO=∠BCE，得到两个三角形全等，得到线段相等，得到结论．（2）根据两个角对应相等，得到两个三角形相似，得到对应边成比例，根据所给的长度，代入比例式，得到要求的线段．然后利用勾股定理在直角三角形BFE中求EF即可．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO=∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以EB=OC=AB．所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，∴BF=a．∵BE=a，∴EF====．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．选修4﹣4：坐标系与参数方程已知曲线C1的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正方向建立平面直角坐标系，直线的参数方程是：（为参数）．（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线C1交于A，B两点，点M的直角坐标为（2，1），若，求直线的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系：ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得．（Ⅱ）设A（2+t A cosθ，1+t A sinθ），B（2+t B cosθ，1+t B sinθ）．把直线的参数方程代入曲线C1的方程，根据t的几何意义即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ∴曲线C1的直角坐标方程是x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4（Ⅱ）设A（2+t A cosθ，1+t A sinθ），B（2+t B cosθ，1+t B sinθ）由已知，注意到M（2，1）是直线参数方程恒过的定点，∴t A=﹣2t B①联立直线的参数方程与曲线C1的直角坐标方程得：t2cos2θ+（1+tsinθ）2=4，整理得：t2+2tsinθ﹣3=0，∴t A+t B=﹣2sinθ，t A•t B=﹣3，与①联立得：，∴直线的参数方程为，（为参数）或，（为参数）．消去参数得的普通方程为或【选修4-5：不等式选讲】24．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…2016年8月12日。
2017年贵州省高考数学试卷与解析word(理科)(全国新课标Ⅲ)
2017年贵州省高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．02．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（）A．B．C．D．23．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为（）A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．805．（5分）已知双曲线C：﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y=x，且与椭圆+=1有公共焦点，则C的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=16．（5分）设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是（）A．f（x）的一个周期为﹣2πB．y=f（x）的图象关于直线x=对称C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（，π）单调递减7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．28．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．πB． C．D．9．（5分）等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}前6项的和为（）A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．810．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（）A．﹣ B．C．D．112．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A．3 B．2 C．D．2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
贵州省毕节市2017届高三上学期期末数学试卷(文科)Word版含解析
2016-2017学年贵州省毕节市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2＜x}，N={x||x|＜1}，则（）A．M∩N=∅ B．M∪N=M C．M∩N=M D．M∪N=R2．i表示虚数单位，则复数=（）A．B．﹣ C．D．﹣3．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（）A．1 B．4 C．8 D．114．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣2=﹣4，S m=0，S m+2=12．则公差d=（）A．B．1 C．2 D．85．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线x+3y=0上，则cos2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣6．已知，是夹角为的单位向量，若=+3，=2﹣，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．7．程序框图如图所示，若输入值t∈（1，3），则输出值S的取值范围是（）A．（3，4]B．（3，4） C．[1，9]D．（1，9）8．已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A．（1，）B．（1，）C．（，）D．（，）9．在如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1与B1C的交点，给出编号为①②③④⑤的五个图，则四面体A1﹣CC1E的侧视图和俯视图分别为（）A．①和⑤B．②和③C．④和⑤D．④和③10．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题错误的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等11．方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）A．B． C．D．12．对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．[e，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题∀x∈R，|x|＜0的否定是．14．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出来x=2，类似地不难得到=．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a4=a2•a5，3a5+2a4=1，则T n=a1a2…a n的最大值为．16．已知直线l：y=k（x+1）+与圆x2+y2=4交于A、B两点，过A、B分别做l 的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB﹣cosB=1，a=2．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，求△ABC的面积．18．某单位委托一家网络调查公司对单位1000名员工进行了QQ运动数据调查，绘制了日均行走步数（千步）的频率分布直方图，如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示运动量在[4，6）之间（单位：千步））（Ⅰ）求单位职员日均行走步数在[6，8）的人数（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数（Ⅲ）记日均行走步数在[4，8）的为欠缺运动群体，[8，12）的为适度运动群体，[12，16）的为过量运动群体，从欠缺运动群体和过量运动群体中用分层抽样方法抽取5名员工，并在这5名员工中随机抽取2名与健康监测医生面谈，求过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率．19．（文科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）设BC=3，求四棱锥B﹣DAA1C1的体积．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l：x+y﹣4=0对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．21．已知m为实数，函数f（x）=x3﹣2m2x2+x2﹣6mx+1（Ⅰ）当m=1时，求f（x）过点（1，f（1））的切线方程（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，求实数m的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标项点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标系方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，f（x）﹣m≥0恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）m的最大值为n，解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1．2016-2017学年贵州省毕节市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合M={x|x2＜x}，N={x||x|＜1}，则（）A．M∩N=∅ B．M∪N=M C．M∩N=M D．M∪N=R【考点】集合的表示法；集合的包含关系判断及应用．【分析】解x2＜x可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＜1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2＜x⇔0＜x＜1，则集合M={x|0＜x＜1}，|x|＜1⇔﹣1＜x＜1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}，则M∩N={x|0＜x＜1}=M，故选C．2．i表示虚数单位，则复数=（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：=，故选：D．3．设x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最大值为（）A．1 B．4 C．8 D．11【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设利用数形结合即可的得到结论．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z=3x﹣2y得y=x﹣，平移y=x﹣，当y=x﹣经过可行域的A时，z取得最大值，由，解得A（5，2）．此时z的最大值为：3×5﹣2×2=11．故选：D．4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣2=﹣4，S m=0，S m+2=12．则公差d=（）A．B．1 C．2 D．8【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S m﹣2=﹣4，S m=0，S m+2=12，∴a m+a m﹣1=S m﹣S m﹣2=0+4=4，a m+2+a m+1=S m+2﹣S m=12﹣0=12，即，解得d=2．故选：C．5．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线x+3y=0上，则cos2α的值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【考点】二倍角的余弦；任意角的三角函数的定义．【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到tanα的值，然后根据同角三角函数间的基本关系和二倍角的余弦，将cos2α化为关于tanα的式子，代入求值．【解答】解：由题意知：直线的斜率k=tanα=﹣，∴cos2α=cos2α﹣sin2α====．故选：C．6．已知，是夹角为的单位向量，若=+3，=2﹣，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量数量积的定义公式求向量夹角的余弦值即可．【解答】解：∵，是夹角为的单位向量，∴•=1×1×cos=，||=|+3|===，||=|2﹣|===，•=（+3）•（2﹣）=2+5•﹣3=2×1+5×﹣3×1=；∴向量与夹角θ的余弦值为：cosθ===．故选：D ．7．程序框图如图所示，若输入值t ∈（1，3），则输出值S 的取值范围是（ ）A ．（3，4]B ．（3，4）C ．[1，9]D ．（1，9） 【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=的值，由t 的范围，利用二次函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出S=的值，可得：当t ∈（1，3）时，S=4t ﹣t 2=4﹣（t ﹣2）2∈（3，4]． 故选：A ．8．已知过双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．（1，）B ．（1，） C ．（，） D ．（，）【考点】双曲线的简单性质．【分析】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．【解答】解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜tan45°=1，即b＜a，∴＜a，整理得c＜a，∴e=＜∵双曲线中e＞1∴e的范围是（1，）．故选：B．9．在如图所示正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC1与B1C的交点，给出编号为①②③④⑤的五个图，则四面体A1﹣CC1E的侧视图和俯视图分别为（）A．①和⑤B．②和③C．④和⑤D．④和③【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据三视图的画图规则，即可得出结论．【解答】解：根据三视图的画图规则，可得四面体的侧视图和俯视图分别为②和③．故选：B．10．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题错误的是（）A．如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥βB．如果m⊥α，n∥α，那么m⊥nC．α∥β，m⊂α，那么m∥βD．如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线与平面的位置关系的判定方法及几何特征，分析判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：对于A，如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；对于B，如果n∥α，则存在直线l⊂α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m ⊥n．故正确；对于C，如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确对于D，如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；故选：A．11．方程C：y2=x2+所对应的曲线是（）A．B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】根据函数的奇偶性和函数的最值即可判断．【解答】解：当y＞0时，y=（x2+），该为函数为偶函数，故关于y轴对称，且y2=x2+≥2=2，当且仅当x=±1时，取等号，故最小值为2，y2=x2+也关于x轴对称，故选：D12．对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，）B．[，+∞）C．（﹣∞，]D．[e，+∞）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题转化为对任意x∈R*，不等式lnx﹣ax≤0恒成立，令f（x）=lnx﹣ax，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：对任意x∈R*，不等式lnx≤ax恒成立，即对任意x∈R*，不等式lnx﹣ax≤0恒成立，令f（x）=lnx﹣ax，（x＞0），则f′（x）=﹣a，a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，无最大值，不合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故f（x）max=f（）=ln﹣1≤0，解得：a≥，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题∀x∈R，|x|＜0的否定是∃x0∈R，|x0|≥0．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，去判断．【解答】解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x0∈R，|x0|≥0．故答案为：∃x0∈R，|x0|≥0．14．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x，这可以通过方程=x确定出来x=2，类似地不难得到=．【考点】类比推理．【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．【解答】解：可以令1+=t（t＞0），由1+=t解的其值为，故答案为．15．等比数列{a n}的各项均为正数，且a4=a2•a5，3a5+2a4=1，则T n=a1a2…a n的最大值为27．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由a4=a2•a5，得即a4=q，再结合已知条件求出等比数列的通项公式，进一步求出T n=a1a2…a n的最大值即可．【解答】解：由a4=a2•a5，得即a4=q．∴3即a4=q=．∴．则T n=a1a2…a n的最大值为：．故答案为：27．16．已知直线l：y=k（x+1）+与圆x2+y2=4交于A、B两点，过A、B分别做l的垂线与x轴交于C、D两点，若|AB|=4，则|CD|=8．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线与圆相交，圆x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2，弦长为|AB|=4=2r，说明直线l过圆心O所以可以得到直线AB的倾斜角，求出|OC|，即可得到|CD|的长度．【解答】解：由圆的方程x2+y2=4可知：圆心为（0，0），半径r=2．∵弦长为|AB|=4=2r，∴可以得知直线l经过圆心O．∴0=k（0+1）+，解得k=﹣，∴直线AB的方程为：y=﹣x，设直线AB的倾斜角为θ，则tanθ=﹣，∴θ=120°，∴在Rt△AOC中：|CO|==4，那么：|CD|=2|OC|=8，故答案为：8．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinB﹣cosB=1，a=2．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知得：sin（B﹣）=，结合范围B﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质可求B的值．（2）由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，结合b2=ac，可求a=c=2，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（1）∵sinB﹣cosB=1，可得：sin（B﹣）=，∵B∈（0，π），可得：B﹣∈（﹣，），∴B﹣=，可得：B=．（2）∵B=，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣ac，又∵b2=ac，∴a2+c2﹣ac=ac，可得：a=c=2，===．∴S△ABC18．某单位委托一家网络调查公司对单位1000名员工进行了QQ运动数据调查，绘制了日均行走步数（千步）的频率分布直方图，如图所示（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示运动量在[4，6）之间（单位：千步））（Ⅰ）求单位职员日均行走步数在[6，8）的人数（Ⅱ）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数（Ⅲ）记日均行走步数在[4，8）的为欠缺运动群体，[8，12）的为适度运动群体，[12，16）的为过量运动群体，从欠缺运动群体和过量运动群体中用分层抽样方法抽取5名员工，并在这5名员工中随机抽取2名与健康监测医生面谈，求过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）依频率分布直方图求出单位职工日均行走步数在（6，8）的频率，由此能求出单位职员日均行走步数在[6，8）的人数．（Ⅱ）根据频率分布直方图能求出中位数．（Ⅲ）由题意知欠缺运动人数为（0.050+0.100）×2×1000=300人，过量运动群体的人数为（0.075+0.025）×2×1000=200人，用分层抽样的方法抽取5人，则欠缺运动群体抽取3人，过量运动群体抽取2 人，由此能求出过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率．【解答】解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，单位职工日均行走步数在（6，8）的频率为0.100×2=0.2，∴单位职员日均行走步数在[6，8）的人数为：0.2×1000=200人．（Ⅱ）根据频率分布直方图得中位数在[8，10）内，设中位数为x，则0.05×2+0.1×2+0.125×（x﹣8）=0.5，解得x=9.6．（Ⅲ）由题意知欠缺运动人数为（0.050+0.100）×2×1000=300人，过量运动群体的人数为（0.075+0.025）×2×1000=200人，用分层抽样的方法抽取5人，则欠缺运动群体抽取3人，过量运动群体抽取2 人，在这5名员工中随机抽取2名与健康监测医生面谈，基本事件总数n=，过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的对立事件是从欠缺运动群体抽取2名与健康监测医生面谈，∴过量运动群体中至少有1名员工与健康监测医生面谈的概率p=1﹣=．19．（文科）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D 为AC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BC1D；（Ⅱ）设BC=3，求四棱锥B﹣DAA1C1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证AB1∥平面BC1D，只需证明AB1平行平面BC1D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB1成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC1D上，就可得到结论．（2）作BE⊥AC，垂足为E，推导出AA1⊥BE，BE⊥平面AA1C1C．由此能求出四棱锥B﹣AA1C1D的体积．【解答】证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，∵四边形BCC1B是平行四边形，∴点O为B1C的中点，∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1，∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D（2）作BE⊥AC，垂足为E，∵侧棱AA1⊥底面ABC，BE⊂底面ABC∴AA1⊥BE∵AA1∩AC=A∴BE⊥平面AA1C1C．在Rt△ABC中，BE==，∴四棱锥B﹣AA1C1D的体积V=×（A1C1+AD）•AA1•BE=3．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=2与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|（Ⅰ）求C的方程（Ⅱ）判断C上是否存在两点M，N，使得M，N关于直线l：x+y﹣4=0对称，若存在，求出|MN|，若不存在，说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）设Q（x0，2），代入抛物线方程，结合抛物线的定义，可得p=2，进而得到抛物线方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），求出MN的中点T的坐标，利用垂直平分，建立方程，即可得出M，N，使得M，N关于直线l对称．【解答】解：（1）设Q（x0，2），P（0，2）代入由y2=2px（p＞0）中得x0=，所以|PQ|=，|QF|=+，由题设得+=2×，解得p=﹣2（舍去）或p=2．所以C的方程为y2=4x．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），则k MN=，MN的中点T的坐标为（，），∵M，N关于直线l对称，∴MN⊥l，∴=1①，∵中点T在直线l上，∴+﹣4=0②，由①②可得y1+y2=4，y1y2=0，∴y1=0，y2=4，∴C上存在两点（0，0），（4，4），使得M，N关于直线l对称．21．已知m为实数，函数f（x）=x3﹣2m2x2+x2﹣6mx+1（Ⅰ）当m=1时，求f（x）过点（1，f（1））的切线方程（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）当m=1时，求导数，确定切线的斜率，起点坐标，即可求f（x）过点（1，f（1））的切线方程；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，分类讨论，利用曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=x3﹣2x2+x2﹣6x+1，f（1）=﹣，f′（x）=2x2﹣x﹣6，∴f′（1）=﹣5，∴f（x）过点（1，f（1））的切线方程为y+=﹣5（x﹣1），即y=﹣5x+；（Ⅱ）∵f（x）=x3﹣2m2x2+x2﹣6mx+1，∴f′（x）=（2mx+3）（x﹣2m），m=0，f（x）与y=10的图象有两个交点，不合题意；m＞0，令f′（x）＞0得函数单调增区间为（﹣∞，﹣），（2m，+∞），单调减区间为（﹣，2m），∵曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，∴，∴0＜m＜；m＞0，令f′（x）＞0得函数单调增区间为（﹣∞，2m），（﹣，+∞），单调减区间为（2m，﹣），∵曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，∴，∴＜m＜0；综上所述，﹣＜m＜0或0＜m＜．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．（Ⅰ）求证：DE∥AB；（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）欲证DE∥AB，连接BD，因为D为的中点及E为BC的中点，可得DE⊥BC，因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，最后根据垂直于同一条直线的两直线平行即可证得结论；（II）欲证AC•BC=2AD•CD，转化为AD•CD=AC•CE，再转化成比例式=．最后只须证明△DAC∽△ECD即可．【解答】证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，所以AB∥DE．…（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，因此2AD•CD=AC•BC．…[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标项点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=﹣2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标系方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）先求出曲线C1的直角坐标方程，再由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出到C1的极坐标方程．（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，得sin（2θ﹣）=，由此能求出C1与C2交点的极坐标．【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为（t为参数），∴曲线C1的直角坐标方程为（x+4）2+（y+5）2=25，∴x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴（ρcosθ+4）2+（ρsinθ+5）2=25，化简，得到C1的极坐标方程为：ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0．（2）将ρ=﹣2sinθ代入ρ2+8ρcosθ+10ρsinθ+16=0，化简，得：sin2θ+sinθcosθ﹣1=0，整理，得sin（2θ﹣）=，∴2θ﹣=2kπ+或=2kπ+，k∈Z，由ρ≥0，0≤θ＜2π，得或，代入ρ=﹣2sinθ，得或，∴C1与C2交点的极坐标为（，）或（2，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|，f（x）﹣m≥0恒成立．（1）求实数m的取值范围；（2）m的最大值为n，解不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值三角不等式求得f（x）min=3，可得m的范围．（2）由题意可得|x﹣3|≤4+2x，分类讨论去掉绝对值，求得x的范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|≥|x+1﹣（x﹣2）|=3，∴f（x）=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立．min又f（x）﹣m≥0恒成立，∴m≤f（x）min=3．（2）∵m的最大值为n=3，不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1，即|x﹣3|﹣2x≤4，即|x ﹣3|≤4+2x，∴①，或②．解①求得﹣≤x＜3，解②求得x≥3．综上可得，不等式|x﹣3|﹣2x≤n+1的解集为{x|x≥﹣}．2017年2月10日。
2016-2017学年江西省高三(上)期末数学试卷(理科)Word版(解析版)
2016-2017学年江西省高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}2．（5分）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．13．（5分）给出下列命题：①若数列{an }为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{an }为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{an }，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；④若数列{an }，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β5．（5分）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A． B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．37．（5分）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是．14．（5分）七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为．15．（5分）已知数列{an }的前n项和Sn=2an﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式an= ．16．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（12分）已知数列{an }是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn =log3（an•an+1）（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Sn．18．（12分）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．19．（12分）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A 或B 或C 或D 处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D 处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A ﹣G 下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D 处． 你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．20．（12分）如图，在六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，平面ABCD ⊥平面A 1B 1BA ，平面ABCD 平面B 1BCC 1． （1）证明：BB 1⊥平面ABCD ；（2）已知六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长均为，cos ∠BAD=，设平面BMN 与平面AB 1D 1相交所成二面角的大小为θ求cos θ．21．（12分）已知函数f （x ）=﹣axlnx （a ∈R ）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b ∈R ）．（1）求a ，b 的值； （2）证明：f （x ）＜．（3）若正实数m ，n 满足mn=1，证明：+＜2（m+n ）．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 22．（10分）已知平面直角坐标系xoy 中，点P （1，0），曲线C 的参数方程为（φ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l 的极坐标方程为ρsin （α﹣θ）=sin α．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．2016-2017学年江西省高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．（5分）（2016秋•太原期末）已知集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．[﹣1，1] D．{1}【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B．【解答】解：∵集合A={x∈N|x≤1}，B={x|﹣1≤x≤2}，∴A∩B={0，1}．故选A．【点评】本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．（5分）（2016秋•太原期末）设复数z=1+2i，则=（）A．B．C．D．1【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z2=（1+2i）2=﹣3+4i，|z2|==5，则==+i．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2016秋•太原期末）给出下列命题：①若数列{an }为等差数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等差数列；②若数列{an }为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n是等比数列；③若数列{an }，{bn}均为等差数列，则数列{an+bn}为等差数列；④若数列{an }，{bn}均为等比数列，则数列{an•bn}为等比数列其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①设等差数列an 的首项为a1，公差为d，则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣S n =an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S 2n =a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，即可判断出结论．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，Sn可能为0，因此不成等比数列，即可判断出；③设an =a1+（n﹣1）d1，bn=b1+（n﹣1）d2，则an+bn=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），即可判断出结论．④设an =a1，bn=b1，则an•bn=a1b1，即可判断出结论．【解答】解：①设等差数列an 的首项为a1，公差为d，则Sn=a1+a2+…+an，S2n﹣S n =an+1+an+2+…+a2n=a1+nd+a2+nd+…+an+nd=Sn+n2d，同理：S3n﹣S 2n =a2n+1+a2n+2+…+a3n=an+1+an+2+…+a2n+n2d=S2n﹣Sn+n2d，∴2（S2n﹣Sn）=Sn+（S3n﹣S2n），∴Sn，S2n﹣Sn ，S3n﹣S2n是等差数列．正确．②取数列﹣1，1，﹣1，1，…，Sn可能为0，因此不成等比数列，不正确；③设an =a1+（n﹣1）d1，bn=b1+（n﹣1）d2，则an+bn=（a1+b1）+（n﹣1）（d1+d2），故数列{an+bn}为等差数列，正确．④设an =a1，bn=b1，则an•bn=a1b1，因此数列{an•bn}为等比数列，正确．其中真命题的个数为3．故选：C．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义及通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）（2016秋•太原期末）设α，β为两个不同的平面，l为直线，则下列结论正确的是（）A．l∥α，α⊥β⇒l⊥αB．l⊥α，α⊥β⇒l∥αC．l∥α，α∥β⇒l∥βD．l⊥α，α∥β⇒l⊥β【分析】A，选项中，若果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α；B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β；C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β；D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，；【解答】解：对于A，选项中，如果l刚好平行于α、β的交线时，l∥α，故错；对于B，l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于C，l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，故错；对于D，l⊥α，α∥β⇒l⊥β，正确；故选：D．【点评】本题考查了空间点、线、面的位置关系，属于基础题．5．（5分）（2016秋•太原期末）已知sinα=﹣cosα，则tan2α=（）A． B．C．D．【分析】求出tanα的值，根据二倍角公式求出tan2α的值即可．【解答】解：∵sinα=﹣cosα，∴tanα=﹣，∴tan2α===，故选：C．【点评】本题考查了三角函数的求值问题，考查二倍角公式，是一道基础题．6．（5分）（2016秋•太原期末）执行如图所示的程序框图，输入x=﹣1，n=5，则输出s=（）A．﹣2 B．﹣3 C．4 D．3【分析】列出循环过程中S与i的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：i=4时，s=﹣1，i=3时，s=5，i=2时，s=﹣2，i=1时，s=4，i=0时，s=﹣3，退出循环，故选：B．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．7．（5分）（2016秋•太原期末）如图是一个棱锥的正视图和侧视图，则该棱锥的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【分析】根据已知中的正视图和侧视图，分析出俯视图可能出现的情况，可得答案．【解答】解：若几何体为三棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角三角形，故A，B，D有可能；若几何体为四棱锥，由其正视图和侧视图可知，其底面在下方，且为直角正方形，但对角线应从左上到右下；故该棱锥的俯视图不可能是C，故选：C【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，空间想象能力，难度不大，属于基础题．8．（5分）（2016秋•太原期末）将函数f（x）=sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A．B．C．D．【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式为 f（x）=sin（2x﹣）+，由函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换可求函数g（x），令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z即可得解．【解答】解：f（x）=sinxcosx+sin2x=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得对应的函数解析式为y=sin（x﹣）+，再沿x轴向右平移个单位，得到函数解析式为y=g（x）=sin（x﹣﹣）+=sin（x﹣）+，令x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z，解得：x∈[﹣+2kπ，kπ+]，k∈Z，取k=0，可得：x∈[﹣，]．故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）（2016秋•太原期末）在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于点F，则=（）A．B．C．D．【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，做FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果．【解答】解：∵△DEF∽△BEADF：BA═DE：BE=1：3；作FG平行BD交AC于点G，∴FG：DO=2：3，CG：CO=2：3，∴=，∵=+=，∴=+=，故选：D【点评】向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．10．（5分）（2016秋•太原期末）已知平面区域D=，z=3x﹣2y，若命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则实数m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】画出约束条件的可行域，利用特称命题的否定是真命题，求出目标函数的最大值，然后求解m的最小值即可．【解答】解：平面区域D=，如图：命题“∃（x0，y）∈D，z＞m”为假命题，则：∀（x，y）∈D，z≤m是真命题，由z=3x﹣2y，可得，当直线3x﹣2y=z，经过Q时，z由最大值，由解得Q（，），z的最大值就是m的最小值：．故选：D．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，简单的线性规划的应用，考查转化思想以及计算能力．11．（5分）（2016秋•太原期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1绕其体对角线BD1旋转θ之后与其自身重合，则θ的值可以是（）A．B．C．D．【分析】由正方体的特点，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形得答案．【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线BD1垂直于平面AB1C，且三角形AB1C为等边三角形，正方体绕对角线旋转120°能与原正方体重合．故选：C．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．12．（5分）（2016秋•太原期末）已知f（x）=，若函数f（x）有四个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣e）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣∞，﹣）D．（﹣∞，﹣）【分析】由题意可知：函数f（x）为偶函数，只需e x+ax=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，利用函数的单调性求得g（x）的最大值，要使﹣=a有两个正跟，即使g（x）与y=a有两个交点，则实数a的取值范围（﹣∞，﹣）．【解答】解：由函数f（x）为偶函数，可知使函数f（x）有四个零点，只需要e x+ax2=0有两个正根，即﹣=a有两个正根，设g（x）=﹣，求导g′（x）=﹣=﹣，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜2，g（x）在（0，2）单调递增，令g′（x）＜0，解得：x＞2，g（x）在（2，+∞）单调递减，∴g（x）在x=2时取最大值，最大值g（2）=﹣，要使﹣=a有两个正根，即使g（x）与y=a有两个交点，∴实数a的取值范围（﹣∞，﹣），故选B．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，考查利用导数求函数的单调性及最值，考查导数的求导公式，考查计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）（2016秋•太原期末）数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差是0.02 ．【分析】先求出这组数据的平均数，再计算这组数据的方差．【解答】解：数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的平均数为：=（0.7+1+0.8+0.9+1.1）=0.9，∴数据0.7，1，0.8，0.9，1.1的方差为：S2=[（0.7﹣0.9）2+（1﹣0.9）2+（0.8﹣0.9）2+（0.9﹣0.9）2+（1.1﹣0.9）2]=0.02．故答案为：0.02．【点评】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差的性质的合理运用．14．（5分）（2016秋•太原期末）七名同学战成一排照相，其中甲、乙二人相邻，且丙、丁两人不相邻的不同排法总数为960 ．【分析】由题设中的条件知，可以先把甲、乙必须相邻，可先将两者绑定，又丙、丁不相邻，可把甲、乙看作是一个人，与丙、丁之外的3个人作一个全排列，由于此4个元素隔开了5个空，再由插空法将丙、丁两人插入5个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可【解答】解：由题意，第一步将甲、乙绑定，两者的站法有2种，第二步将此两人看作一个整体，与除丙丁之外的3人看作4个元素做一个全排列有A44种站法，此时隔开了5个空，第三步将丙丁两人插入5个空，排法种数为A52则不同的排法种数为2×A44×A52=960．故答案为：960．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是掌握并理解计数原理，计数时的一些技巧在解题时很有用，如本题中所用到的绑定，与插空，这些技巧都是针对某一类计数问题的，题后应注意总结一下，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．15．（5分）（2016秋•太原期末）已知数列{an }的前n项和Sn=2an﹣2n+1（n∈N*），则其通项公式an= n•2n﹣1．【分析】当n=1时，可求得a1=1；当n≥2时，利用an=Sn﹣Sn﹣1可得﹣=，从而可判定数列{}是以为首项，为公差的等差数列，可求得an．【解答】解：①当n=1时，a1=2a1﹣2+1，则a1=1；②当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2n﹣1+1，Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2n+1）﹣（2an﹣1﹣2n﹣1+1）=2an﹣2an﹣1﹣2n﹣1=an，即an ﹣2an﹣1=2n﹣1，变形为：﹣=，故数列{}是以为首项，为公差的等差数列，所以，=+（n﹣1）=，所以an=n•2n﹣1，故答案为：n•2n﹣1．【点评】本题考查数列递推式的应用，确定出数列{}是以为首项，为公差的等差数列是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．16．（5分）（2016秋•太原期末）已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，BC边上的高为，则的最大值为．【分析】由已知及余弦定理可求：（）2=（）2+1﹣，进而可求当cosC=0时，取最大值，求得C为直角，利用勾股定理即可计算得解．【解答】解：由题意知c2=a2+b2﹣2abcosC，两边同时除以b2，可得：（）2=（）2+1﹣，由于a，b，c都为正数，可得：当cosC=0时，取最大值．由于C∈（0，π），可得：C=，即当BC边上的高与b重合时取得最大值，此时三角形为直角三角形，c2=a2+（）2，解得：=．故答案为：．【点评】本题主要考查了的考点有：余弦定理；函数的最值，考查了余弦定理及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17．（12分）（2016秋•太原期末）已知数列{an}是首项为1的单调递增的等比数列，且满足a3，成等差数列．（1）求{an}的通项公式；（2）若bn =log3（an•an+1）（n∈N*），求数列{an•bn}的前n项和Sn．【分析】（1）设等比数列{an }公比为q＞1，由a3，成等差数列．可得a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q即可得出．（2）bn =log3（an•an+1）==2n﹣1，可得anbn=（2n﹣1）•3n﹣1．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{an }公比为q＞1，∵a3，成等差数列．∴a4=a3+a5，化为：3q2﹣10q+3=0，解得q=3．∴an=3n﹣1．（2）bn =log3（an•an+1）==2n﹣1，∴an bn=（2n﹣1）•3n﹣1．∴数列{an •bn}的前n项和Sn=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）•3n﹣1．3Sn=3+3×32+5×33+…+（2n﹣3）•3n﹣1+（2n﹣1）•3n，∴﹣2Sn=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）•3n=1+2×﹣（2n﹣1）•3n=（2﹣2n）•3n﹣2，∴Sn=1+（n﹣1）•3n．【点评】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2016秋•太原期末）如图，已知AD是△ABC内角∠BAC的角平分线．（1）用正弦定理证明：；（2）若∠BAC=120°，AB=2，AC=1，求AD的长．【分析】（1）根据AD是∠BAC的角平分线，利用正弦定理，即可证明结论成立；（2）根据余弦定理，先求出BC的值，再利用角平分线和余弦定理，即可求出AD的长．【解答】解：（1）∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，根据正弦定理，在△ABD中，=，在△ADC中，=，∵sin∠ADB=sin（π﹣∠ADC）=sin∠ADC，∴=，=，∴=；（2）根据余弦定理，cos∠BAC=，即cos120°=，解得BC=，又=，∴=，解得CD=，BD=；设AD=x，则在△ABD与△ADC中，根据余弦定理得，cos60°=，且cos60°=，解得x=，即AD的长为．【点评】本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．19．（12分）（2016秋•太原期末）甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：先将筹码放在如下表的正中间D处，投掷一枚质地均匀的硬币，若正面朝上，筹码向右移动一格；若反面朝上，筹码向左移动一格．（1）将硬币连续投掷三次，现约定：若筹码停在A或B或C或D处，则甲赢；否则，乙赢．问该约定对乙公平吗？请说明理由．（2）设甲、乙两人各有100个积分，筹码停在D处，现约定：①投掷一次硬币，甲付给乙10个积分；乙付给甲的积分数是，按照上述游戏规则筹码所在表中字母A﹣G下方所对应的数目；②每次游戏筹码都连续走三步，之后重新回到起始位置D处．你认为该规定对甲、乙二人哪一个有利，请说明理由．【分析】（1）利用将硬币连续投掷三次，列举出所有8种情况，筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为，从而得到该约定对乙公平．（2）乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，求出E（X）=＞30，从而该规定对甲有利．【解答】解：（1）该约定对乙公平．将硬币连续投掷三次，共有以下8种情况：D→C→B→A，D→C→B→C，D→C→D→E，D→C→D→C，D→E→F→G，D→E→F→E，D→E→D→E，D→E→D→C．筹码停在A或B或C或D处有4种情况，即筹码停在A或B或C或D为：p=，∴该约定对乙公平．（2）该规定对甲有利．根据（1）中所列的8种情况可得乙付给甲的积分数可能是20，25，30，45，55，设乙付给甲的积分为X，P（X=20）=，P（X=25）=，P（X=30）=，P（X=45）=，P（X=55）=，可得分布列为：E（X）==＞30，∴该规定对甲有利．【点评】本题考查概率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意利用列举法的合理运用．20．（12分）（2016秋•太原期末）如图，在六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，B1C1的中点，平面ABCD⊥平面A1B1BA，平面ABCD平面B1BCC1．（1）证明：BB1⊥平面ABCD；（2）已知六面体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为，cos∠BAD=，设平面BMN与平面AB1D1相交所成二面角的大小为θ求cosθ．【分析】（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，推导出DP⊥BB1，DQ⊥BB1，由此能证明BB1⊥平面ABCD．（2）设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ．【解答】证明：（1）过点D作DP⊥AB，过点D作DQ⊥BC，由平面ABCD⊥平面A1B1BA，BB1⊂平面A1B1BA，得DP⊥BB1，由平面ABCD⊥平面B1BCC1，BB1⊂平面B1BCC1，得DQ⊥BB1，又DP∩DQ=D，∴BB1⊥平面ABCD．解：（2）由AB=AD=，且cos∠BAD=，在△ABD中利用余弦定理得BD=2，设AC与BD的交点为O，与B1D1的交点为O1，以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），M（1，，），N（﹣1，，），C（﹣2，0，0），A1（2，0，），A（2，0，0），B 1（0，1，），D1（0，﹣1，），设平面BMN的法向量为=（a，b，c），=（1，﹣），=（﹣2，0，0），则，取b=10，得=（0，10，），设平面AB1D1的法向量为=（x，y，z），=（﹣2，1，），=（0，﹣2，0），则，取x=5，得=（5，0，2），∴cosθ==．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．（12分）（2016秋•太原期末）已知函数f（x）=﹣axlnx（a∈R）在x=1处的切线方程为y=bx+1+（b∈R）．（1）求a，b的值；（2）证明：f（x）＜．（3）若正实数m，n满足mn=1，证明：+＜2（m+n）．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得斜率，解方程可得a，b；（2）由题意可得即证﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，求出导数，单调区间，可得最大值；又令h（x）=xlnx，求出最小值，即可得证；（3）由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边乘以e，可得一不等式，同理可得，﹣elnn＜，两式相加结合条件，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）=﹣axlnx的导数为f′（x）=﹣alnx﹣a，由题意可得f′（1）=b=﹣a，f（1）==b+1+，解得a=1，b=﹣1；（2）证明：f（x）=﹣xlnx＜，即为﹣＜xlnx，令g（x）=﹣，g′（x）=，则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，g（x）的最大值为g（1）=﹣，当且仅当x=1时等号成立．又令h（x）=xlnx，则h′（x）=1+lnx，则h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，则h（x）的最小值为h（）=﹣，当且仅当x=等号成立，因此﹣＜xlnx，即f（x）＜；（3）证明：由（2）可得﹣mlnm＜，即﹣lnm＜，两边同乘以e，可得﹣elnm＜，同理可得，﹣elnn＜，两式相加，可得：＜e（lnm+lnn）+2（m+n）=elnmn+=2（m+n）．故＜2（m+n）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，极值和最值，考查不等式的证明，注意运用不等式的性质和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．四、解答题（共1小题，满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系22．（10分）（2016秋•太原期末）已知平面直角坐标系xoy中，点P（1，0），曲线C的参数方程为（φ为参数）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，倾斜角为α的直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若曲线C与直线l交于M，N两点，且，求α的值．【分析】（1）消去曲线C中的参数，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直线l的直角坐标方程．（2）利用参数方程的几何意义，求解．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（φ为参数）．cos2φ+sin2φ=1，可得：故得曲线C的普通方程为．直线l的极坐标方程为ρsin（α﹣θ）=sinα⇔ρsinαcosθ﹣ρsinθcosα=sinα⇔（x﹣1）sinα=ycosα⇔y=x•tanα﹣tanα．故得直线l的直角坐标方程为y=x•tanα﹣tanα．（2）由题意，可得直线l的参数方程带入曲线C的普通方程可得：（3sin2α+1）+2cosα•t﹣3=0，可得：，．由，可得：||=||=，即=||，解得：|cosα|=，∴α=或．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的互换以及参数方程的几何意义的运用．属于基础题．五、解答题（共1小题，满分10分）选修4-5：不等式选讲23．（10分）（2016秋•太原期末）已知实数a，b，c均大于0．（1）求证：++≤a+b+c；（2）若a+b+c=1，求证：≤1．【分析】直接利用基本不等式，即可证明．【解答】证明：（1）∵实数a，b，c均大于0，∴a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，三式相加，可得：++≤a+b+c；（2）∵a+b≥2，b+c≥2，c+a≥2，∴≤++≤a+b+c=1．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
江西省九江市2023-2024学年四上数学第七单元《条形统计图》部编版综合诊断试卷
江西省九江市2023-2024学年四上数学第七单元《条形统计图》部编版综合诊断试卷学校：_______ 班级：__________姓名：_______ 考号：__________（满分：100分时间：45分钟）总分栏题号一二三四五六七总分得分评卷人得分一、认真审题，填一填。
（除标注外，每空1分）1.下图是某校兴趣小组参加学生人数情况统计图。
看图回答问题：（1）图中每一小格代表( )人。
（2）参加( )兴趣小组的人数最多，参加( )兴趣小组的人数最少，相差( )人，参加兴趣小组的一共有( )人。
2.阳光小学四年级男生喜欢各类玩具人数统计图。
(1)喜欢拼图玩具的有( )人。
(2)( )玩具最受男生欢迎。
(3)男生不喜欢的是( )和( )两种玩具，他们相差( )人。
3.淘气在体育课上，5次踢毽子的数量如图。
在5次踢毽子中，第________次最多，踢了________ 个；第________次和第________次一样多，都踢了________个。
4.下面条形统计图中1格表示( )米，直条表示( )米。
5.上图1格代表( )公顷，( )年造林面积最多，( )年造林面积最少。
6.下面是某市2021年1月的空气质量情况统计图。
(1)图中每格代表( )天。
(2)空气质量优的有( )天，空气质量中度污染的有( )天。
(3)空气质量优和良一共有( )天。
7.某超市2020年1—6月份销售牛奶情况统计图。
请你根据上图回答下列问题：(1)图中每格代表( )箱。
(2)( )月份卖出的牛奶最多，比卖出最少的月份多( )箱。
(3)2020年上半年一共卖出多少箱牛奶？芳芳是这样解答的：（箱）她的解答合理吗？说说你的想法。
________8.下面是某地2017－2020年植树造林造林情况统计图：（1）这个统计图中，每格代表( )公顷。
（2）( )年植树造林的面积最大，是( )公顷。
（3）2017－2020年植树造林总面积是( )公顷。
20162017学年贵州省贵阳市高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y26．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．27．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有名同学参赛．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=．13．（4分）已知，那么=．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B=；②若B={1，2}，则A ∩B=．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；（4）由函数y=可知f（﹣x）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．2016-2017学年贵州省贵阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）1．（4分）已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B=（）A．{1，2，3}B．{0，1，2，3}C．{2}D．{0，1，3}【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，则集合A∪B={0，1，2，3}，故选：B．2．（4分）化简÷（b）（a＞0，b＞0）结果为（）A．a B．b C．D．【解答】解：原式==a，故选：A3．（4分）正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）A．x=0 B．C．D．x=π【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+kπ，k∈Z，∴当k=0时，函数的对称轴为，故选：C．4．（4分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx【解答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点．故选：D．5．（4分）设y1=log0.70.8，y2=log1.10.9，y3=1.10.9，则有（）A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y2【解答】解：y1=，1）；y2=；y3=，可得y3＞y1＞y2．故选：A．6．（4分）已知正方形ABCD的边长为1，则•=（）A．1 B．C．D．2【解答】解：．故选A．7．（4分）如果cos（π+A）=﹣，那么sin（+A）的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：，根据诱导公式可得cosA=，所以=cosA=，故选B．8．（4分）要得到函数y=sin（2x+）的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=sin2（x+），∴将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（2x+）的图象，故选：B9．（4分）函数y=f（x）在区间上的简图如图所示，则函数y=f（x）的解析式可以是（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin（x+）D．f（x）=sin（x﹣）【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π，∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin（2x+φ）∵函数的图象过（）∴0=sin（2×+φ）∴φ=kπ﹣，∴φ=﹣∴函数的解析式是y=sin（2x﹣）故选B．10．（4分）对于函数f（x），如果存在非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，已知函数y=f （x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）与y=log5x的图象的交点个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点故选：B．二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）11．（4分）学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．【解答】解：设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．故答案为：17．12．（4分）溶液酸碱度是通过pH值刻画的，pH值的计算公式为pH=﹣lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，纯净水中氢离子的浓度为[H+]=10﹣7摩尔/升，则纯净水的pH=7．【解答】解：由题意可得：该溶液的PH值为﹣lg10﹣7=7故答案为：713．（4分）已知，那么=．【解答】解：因为，所以||=．故答案为．14．（4分）计算（lg2）2+lg2•lg50+lg25=2．【解答】解：原式=2 lg5+lg2•（1+lg5）+（lg2）2=2 lg5+lg2（1+lg5+lg2）=2 lg5+2 lg2=2；故答案为2．15．（4分）设A，B是非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合中B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射，设f：x→是从集合A到集合B的一个映射．①若A={0，1，2}，则A∩B={0，1} ；②若B={1，2}，则A∩B={1}或∅．【解答】解：①根据题意，A={0，1，2}，通过对应关系f：x→，B={0，1，}，所以A∩B={0，1}；②根据题意，B={1，2}时，过对应关系f：x→，得A={1}或{4}或{1，4}；所以A∩B={1}或∅．故答案为：{0，1}，{1}或∅．三、解答题（共4小题，满分32分）16．（8分）已知向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．（Ⅰ）λ为何值时，+λ与垂直？（Ⅱ）若（m+n）∥，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（1，0），=（1，1），=（﹣1，1）．∴=（1+λ，λ），∵+λ与垂直，∴（）•=1+λ+0=0，解得λ=﹣1，∴λ=1时，+λ与垂直．（Ⅱ）∵=（m，0）+（n，n）=（m+n，n），又（m+n）∥，∴（m+n）×1﹣（﹣1×n）=0，∴=﹣2．∴若（m+n）∥，则=﹣2．17．（8分）已知函数f（x）=x﹣．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；（Ⅱ）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+∞）上是增函数．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x﹣的定义域是D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），任取x∈D，则﹣x∈D，且f（﹣x）=﹣x﹣=﹣（x﹣）=﹣f（x），∴f（x）是定义域上的奇函数；（Ⅱ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣）﹣（x2﹣）=（x1﹣x2）+（﹣）=；∵0＜x1＜x2，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，x1x2+1＞0，∴＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．18．（8分）已知函数f（x）=sin2+sin cos．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若x∈[，π]，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sin2+sin cos=+sinx=sinx﹣cosx+=sin（x﹣）+，由T==2π，知f（x）的最小正周期是2π；（Ⅱ）由f（x）=sin（x﹣）+，且x∈[，π]，∴≤x﹣≤，∴≤sin（x﹣）≤1，∴1≤sin（x﹣）+≤，∴当x=时，f（x）取得最大值，x=π时，f（x）取得最小值1．19．（8分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=1﹣（a＞0且a≠1）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，即1﹣=0，∴a=2；（Ⅱ）设h（x）=|f（x）•（2x+1）|，g（x）=m，如图所示，m=0或m≥1，两函数图象有一个交点，∴关于x的方程|f（x）•（2x+1）|=m有1个实根时，实数m的取值范围是m=0或m≥1．四、阅读与探究（共1小题，满分8分）20．（8分）阅读下面材料，尝试类比探究函数y=x2﹣的图象，写出图象特征，并根据你得到的结论，尝试猜测作出函数对应的图象．阅读材料：我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．我们来看一个应用函数的特征研究对应图象形状的例子．对于函数y=，我们可以通过表达式来研究它的图象和性质，如：（1）在函数y=中，由x≠0，可以推测出，对应的图象不经过y轴，即图象与y轴不相交；由y≠0，可以推测出，对应的图象不经过x轴，即图象与x轴不相交．（2）在函数y=中，当x＞0时y＞0；当x＜0时y＜0，可以推测出，对应的图象只能在第一、三象限；（3）在函数y=中，若x∈（0，+∞）则y＞0，且当x逐渐增大时y逐渐减小，可以推测出，对应的图象越向右越靠近x轴；若x∈（﹣∞，0），则y＜0，且当x逐渐减小时y逐渐增大，可以推测出，对应的图象越向左越靠近x轴；百度文库- 让每个人平等地提升自我！（4）由函数y=可知f（﹣x ）=﹣f（x），即y=是奇函数，可以推测出，对应的图象关于原点对称．结合以上性质，逐步才想出函数y=对应的图象，如图所示，在这样的研究中，我们既用到了从特殊到一般的思想，由用到了分类讨论的思想，既进行了静态（特殊点）的研究，又进行了动态（趋势性）的思考．让我们享受数学研究的过程，传播研究数学的成果．【解答】解：（1）在y=x2﹣中，x≠0，可以推测出：对应的图象不经过y轴，即与y轴不相交，（2）令y=0，即x2﹣=0，解得x=±1，可以推测出，对应的图象与x相交，交点坐标为（1，0）和（﹣1，0），（3）在y=x2﹣中，当0＜x＜1时，＞1＞x2，则y＜0，当x＞1时，＜1＜x2，则y＞0，可以推测出：对应的图象在区间（0，1）上图象在x轴的下方，在区间（1，+∞）上图象在x 轴的上方，（4）在y=x2﹣中，若x∈（0，+∞），则当x逐渐增大时逐渐减小，x2﹣，逐渐增大，即y逐渐增大，所以原函数在（0，+∞）是增函数，可以推测出：对应的图象越向右逐渐升高，是单调递增的趋势，（5）由函数y=x2﹣可知f（﹣x）=f（x），即函数为偶函数，可以推测出：对应的图象关于y轴对称11。
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2016-2017学年贵州省高三（上）期末试卷（理科数学）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合M={x|x≥2}，N={x|x2﹣6x+5＜0}，则M∩N=（）A．（1，5）B．[2，5）C．（1，2] D．[2，+∞）2．（5分）i为虚数单位，已知复数z满足，则z=（）A．1+i B．﹣1+i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）下面的茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目，则这些车辆数的中位数和众数分别是（）A．230.5，220 B．231.5，232 C．231，231 D．232，2314．（5分）在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）A．135 B．105 C．30 D．155．（5分）已知向量满足||=2，||=3，向量与的夹角为60°，则=（）A．B．19 C．D．76．（5分）已知tanα=2，则sin2α+sinαcosα的值为（）A．B．1 C．D．0.5的大小顺序是（）7．（5分）四个数40.2，30.5，30.4，log0.4A．B．C．D．8．（5分）一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a0=0，a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，x=﹣1，则输出v的值为（）A．15 B．3 C．﹣3 D．﹣1510．（5分）在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量在上的投影是（）A． B．C．D．11．（5分）已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2=8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，] C．D．（2，+∞）12．（5分）设集合A={（x1，x2，x3，x4）|xi∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）已知实数x，y满足，则的最大值是．14．（5分）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的，纵坐标不变，便得到函数f（x）的图象，则f（x）解析式为．15．（5分）若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，当△AOB（O 是坐标原点）的面积最大时，a+b的最大值为．16．（5分）已知函数，若函数f（x）在x=x处的切线与函数f（x）的图象恰好只有3个公共点，则x的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，且S4=a5﹣a1．（1）求数列{an}的公比q的值；（2）记bn =log2an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若T4=2b5，求数列的前9项和．18．（10分）观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度（单位：毫米/月）与月平均气温的对比表如下：（1）求生长速度y关于温度t的线性回归方程；（斜率和截距均保留为三位有效数字）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析气温从﹣50C至200C时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是20C时，预测这月大约能生长多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．19．（10分）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．20．（10分）已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），C的离心率为e，b是3e和a的等比中项．（1）求曲线C的方程；（2）倾斜角为α的直线过原点O且与C交于A，B两点，倾斜角为β的直线过F1且与C交于D，E两点，若α+β=π，求的值．21．（10分）已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（其中a∈R，e为自然对数的底数，e=2.718128…）．（1）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）有两个零点x1，x2，且﹣3＜x1+x2＜﹣2．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣3|﹣7．（1）在图中画出y=f（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．2016-2017学年贵州省高三（上）期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•资阳期末）设集合M={x|x≥2}，N={x|x2﹣6x+5＜0}，则M∩N=（）A．（1，5）B．[2，5）C．（1，2] D．[2，+∞）【分析】解关于N的不等式，求出M、N的交集即可．【解答】解：M={x|x≥2}，N={x|x2﹣6x+5＜0}={x|1＜x＜5}，则M∩N=[2，5），故选：B．【点评】本题考查了集合的交集的运算，考查不等式问题，是一道基础题．2．（5分）（2016秋•资阳期末）i为虚数单位，已知复数z满足，则z=（）A．1+i B．﹣1+i C．1+2i D．1﹣2i【分析】由，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则z可求．【解答】解：由，得=，则z=1+2i．故选：C．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）下面的茎叶图表示连续多天同一路口同一时段通过车辆的数目，则这些车辆数的中位数和众数分别是（）A．230.5，220 B．231.5，232 C．231，231 D．232，231【分析】根据茎叶图读出数据的中位数和众数即可．【解答】解：根据茎叶图，这组数据是：210，212，220，221，224，231，231，232，236，243，248，故中位数和众数都是231，故选：C．【点评】本题考查了茎叶图的读法，考查中位数和众数问题，是一道基础题．4．（5分）（2016秋•资阳期末）在的展开式中，各二项式系数之和为64，则展开式中常数项为（）A．135 B．105 C．30 D．15【分析】由题意可得：2n=64，解得n，再利用通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．==，∴的通项公式：Tr+1令3﹣=0，解得r=2．∴展开式中常数项为=135．故选：A．【点评】本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）已知向量满足||=2，||=3，向量与的夹角为60°，则=（）A．B．19 C．D．7【分析】根据平面向量的数量积与模长公式，即可求出的值．【解答】解：向量满足||=2，||=3，向量与的夹角为60°，∴=﹣2•+=22﹣2×2×3×cos60°+32=7∴=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的数量积与模长公式的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2016秋•资阳期末）已知tanα=2，则sin2α+sinαcosα的值为（）A．B．1 C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则sin2α+sinαcosα====，故选：A．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．0.5的大小顺序是（）7．（5分）（2016秋•资阳期末）四个数40.2，30.5，30.4，log0.4A．B．C．D．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．0.5∈（0，1），【解答】解：∵1＜40.2=20.4＜30.4，30.5＞30.4，log0.40.5．∴30.5＞30.4＞40.2＞log0.4故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．【点评】本题考查三视图，考查几何体的内切圆，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）执行如图所示的程序框图，若输入a0=0，a1=1，a2=2，a 3=3，a4=4，a5=5，x=﹣1，则输出v的值为（）A．15 B．3 C．﹣3 D．﹣15【分析】根据框图的流程，写出前几次循环的结果，直到得到的n＞5，退出循环，输出v的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得x=﹣1，n=1，v=5满足条件n≤5，执行循环体，v=﹣1，n=2满足条件n≤5，执行循环体，v=4，n=3满足条件n≤5，执行循环体，v=﹣2，n=4满足条件n≤5，执行循环体，v=﹣3，n=6不满足条件n≤5，退出循环，输出v的值为﹣3．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结果，属于基础题．10．（5分）（2016秋•资阳期末）在△ABC中，|AB|=5，|AC|=6，若B=2C，则向量在上的投影是（）A． B．C．D．【分析】结合条件，根据正弦定理即可求出cosC=，进而求出cosB=，然后根据余弦定理即可求出|BC|的值，从而可求出向量在上的投影的值．【解答】解：如图，根据正弦定理：；∴，即；∴；∴cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；由余弦定理，|AC|2=|AB|2+|BC|2﹣2|AB||BC|cosB；即；解得|BC|=；∴向量在上的投影为：．故选B．【点评】考查正余弦定理的应用，二倍角的正余弦公式，以及投影的定义及计算公式．11．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）已知双曲线的右顶点为A，抛物线C：y2=8ax的焦点为F．若在E的渐近线上存在点P，使得，则E的离心率的取值范围是（）A．（1，2）B．（1，] C．D．（2，+∞）【分析】求出双曲线的右顶点和渐近线方程，抛物线的焦点坐标，可设P（m，m），以及向量的垂直的条件：数量积为0，再由二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，化简整理，结合离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：双曲线的右顶点为A（a，0），抛物线C：y2=8ax的焦点为F（2a，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，可设P（m，m），即有=（m﹣a，m），=（m﹣2a，m），由，可得•=0，即为（m﹣a）（m﹣2a）+m2=0，化为（1+）m2﹣3ma+2a2=0，由题意可得△=9a2﹣4（1+）•2a2≥0，即有a2≥8b2=8（c2﹣a2），即8c2≤9a2，则e=≤．由e＞1，可得1＜e≤．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的范围，考查抛物线的焦点和向量的数量积的性质，注意运用二次方程有实根的条件：判别式大于等于0，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2016秋•资阳期末）设集合A={（x1，x2，x3，x4）|xi∈{﹣1，0，1}，i=1，2，3，4}，那么集合A中满足条件“”的元素个数为（）A．60 B．65 C．80 D．81【分析】由题意，每个元素都有3种取法，即可得出结论．【解答】解：由题意，每个元素都有3种取法，∴元素个数为34=81．故选D．【点评】本题看似集合题，其实考察的是用排列组合思想去解决问题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）（2016秋•资阳期末）已知实数x，y满足，则的最大值是．【分析】实数x，y满足，画出可行域，设=k，则y=kx，当上述直线经过点A 时，k取得最大值．【解答】解：实数x，y满足，画出可行域：可得B（3，0），C（6，0），A（4，1）．设=k，则y=kx，当上述直线经过点A时，k取得最大值．∴k=．故答案为：．【点评】本题考查了线性规划、直线方程、不等式的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）（2016秋•雁江区校级期末）将函数y=sinx的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的，纵坐标不变，便得到函数f（x）的图象，则f（x）解析式为．【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=sinx的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象；再将所得图象上各点的横坐标缩为原来的，纵坐标不变，可得y=f（x）=sin（2x+）的图象；故f（x）解析式为f（x）=sin（2x+），故答案为：f（x）=sin（2x+）．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．15．（5分）（2016秋•资阳期末）若直线ax+by=1（a，b都是正实数）与圆x2+y2=1相交于A，B两点，当△AOB（O是坐标原点）的面积最大时，a+b的最大值为 2 ．【分析】当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，圆心O（0，0）到直线直线l的距离为，由此利用基本不等式，能求出a+b的最大值．【解答】解：当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，则圆心到直线的距离d==，∴a2+b2=2，∴（a+b）2≤2（a2+b2）=4，∴a+b≤2，∴a+b的最大值为2，故答案为2．【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档试题，本题的解答当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为是解答本题的关键．16．（5分）（2016秋•资阳期末）已知函数，若函数f（x）在x=x处的切线与函数f（x）的图象恰好只有3个公共点，则x的取值范围是．【分析】求出当1＜x＜3时，f（x）的解析式，画出函数f（x）在（﹣1，3）的图象，设出切点，讨论当0＜x0＜1，当1＜x＜2时，分别求出函数的导数，可得切线的斜率和方程，代入点（3，1），（﹣1，1），解方程，结合图象和题意，即可得到所求取值范围．【解答】解：当1＜x＜3时，﹣1＜x﹣2＜1，f（x）=f（x﹣2）=（x﹣2）2，画出y=f（x）在（﹣1，3）的图象，可得函数f（x）在x=0处的切线与函数f（x）的图象有两个交点，当0＜x0＜1时，切点为（x，x2），y=x2的导数为y′=2x，设切线方程为y=2xx+m，代入切点，可得x02=2x2+m，即m=﹣x2，则切线方程为y=2x0x﹣x2，当切线经过点（3，1）时，1=6x0﹣x2，解得x=3﹣2（3+2舍去），由题意可得当0＜x＜3﹣2时，切线与y=f（x）的图象恰有三个交点；当1＜x0＜2时，切点为（x，（x﹣2）2），y=（x﹣2）2的导数为y′=2（x﹣2），设切线方程为y=2（x﹣2）x+n，代入切点，可得（x0﹣2）2）=2（x﹣2）x+n，即n=4﹣x2，则切线方程为y=2（x0﹣2）x+4﹣x2，当切线经过点（﹣1，1）时，1=﹣2（x0﹣2）+4﹣x2，解得x=﹣1+2（﹣1﹣2舍去），由题意可得当﹣1+2＜x＜2时，切线与y=f（x）的图象恰有三个交点．综上可得x的取值范围是（0，3﹣2）∪（﹣1+2，2）．故答案为：（0，3﹣2）∪（﹣1+2，2）．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查函数的解析式和图象的作法，以及数形结合的思想方法，运算化简能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•资阳期末）已知等比数列{an }的前n项和为Sn，且S4=a5﹣a1．（1）求数列{an}的公比q的值；（2）记bn =log2an+1，数列{bn}的前n项和为Tn，若T4=2b5，求数列的前9项和．【分析】（1）运用等比数列的通项公式，讨论公比不为1，由求和公式，可得公比q的方程，解方程可得；（2）由题意可得q取值为2，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得bn，结合等差数列的通项公式和求和公式，可得bn=n，再由=﹣，结合裂项相消求和，可得所求和．【解答】解：（1）由{an}是等比数列，则，由题知公比q≠1（否则与S4=a5﹣a1矛盾），则，所以，则，所以q4=1或，解得q=﹣1或2；（2）由题意可得q取值为2，则，所以数列{bn}是一个公差为1的等差数列，由T4=2b5得T4=4b1+6=2（b1+4），解之得b1=1，即bn=n，所以数列的前9项和H9=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，注意运用方程思想，考查数列的求和，注意运用裂项相消求和，同时考查对数的运算性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18．（10分）（2016秋•雁江区校级期末）观察研究某种植物的生长速度与温度的关系，经过统计，得到生长速度（单位：毫米/月）与月平均气温的对比表如下：（1）求生长速度y关于温度t的线性回归方程；（斜率和截距均保留为三位有效数字）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析气温从﹣50C至200C时生长速度的变化情况，如果某月的平均气温是20C时，预测这月大约能生长多少．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：．【分析】（1）由题意计算、，求出回归系数，即可写出回归方程；（2）利用（1）的线性回归方程，作出概率分析和预测．【解答】解：（1）由题可知，=×（﹣5+0+6+8+12+15+20）=8=×（2+4+5+6+7+8+10）=6，，，则，，于是生长速度y关于温度t的线性回归方程为：；（2）利用（1）的线性回归方程可以发现，气温从月平均气温从﹣50C至200C时该植物生长速度逐渐增加，如果某月的平均气温是20C时，预测这月大约能生长3.56+0.305×2=4.17mm．【点评】本题考查了线性回归方程求法与应用问题，是基础题目．19．（10分）（2016秋•资阳期末）如图，矩形ACEF和等边三角形ABC中，AC=2，CE=1，平面ABC⊥平面ACEF．（1）在EF上找一点M，使BM⊥AC，并说明理由；（2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值．【分析】（1）分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，推导出AC⊥BO，AC⊥OM，从而AC⊥面BOM，由此能证明BM⊥AC．（2）由OA，OB，OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz，由此能求出平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值．【解答】解：（1）M为线段EF的中点，理由如下：分别取AC、EF的中点O、M，连接OM，在等边三角形ABC中，AC⊥BO，又OM为矩形ACEF的中位线，AC⊥OM，而OM∩OB=O，∴AC⊥面BOM，∴BM⊥AC．（2）由（1）知OA，OB，OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，AC=2，CE=1，三角形ABC为等边三角形，．∴，设面BCE的法向量，∴，得，则面BCE的一个法向量，又M是线段EF的中点，则M的坐标为M（0，0，1），∴，且，又设面ABM的法向量，由，得，取，则，面ABM的一个法向量=（），∴cosθ===，平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（10分）（2016秋•雁江区校级期末）已知椭圆的左焦点F1（﹣1，0），C的离心率为e，b是3e和a的等比中项．（1）求曲线C的方程；（2）倾斜角为α的直线过原点O且与C交于A，B两点，倾斜角为β的直线过F1且与C交于D，E两点，若α+β=π，求的值．【分析】（1）由题意可知：求得c，利用等差数列性质及椭圆的离心率公式，即可求得a和b 的值，求得椭圆方程；（2）分类，当时，由α+β=π，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得丨AB丨，丨DE丨，即可求得的值；①当时，由α+β=π，知，则l1：x=0，l2：x=﹣1，求得丨AB丨，丨DE丨，求得的值．【解答】解：（1）由题可知，椭圆的左焦点F1（﹣1，0），c=1，b2=3ae=3××a=3c，a2=b2+c2，解得，所以椭圆的方程是；（2）设倾斜角为α的直线为l1，倾斜角为β的直线l2，①当时，由α+β=π，知，则l1：x=0，l2：x=﹣1，于是，此时；②当时，由α+β=π，知，且这两条直线的斜率互为相反数，设l1：y=kx，则l2：y=﹣k（x+1），由，可得，则，由可得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由于△=（8k）2﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=4（36k2+36）＞0，设l2与椭圆的两个交点坐标依次为D（x1，y1），E（x2，y2），于是，∴=•，=，综上所述总有．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．21．（10分）（2016秋•资阳期末）已知函数f（x）=axe x﹣（a﹣1）（x+1）2（其中a∈R，e 为自然对数的底数，e=2.718128…）．（1）若f（x）仅有一个极值点，求a的取值范围；（2）证明：当时，f（x）有两个零点x1，x2，且﹣3＜x1+x2＜﹣2．【分析】（1）先求导，再令f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*），根据ae x﹣2a+2=0（*）无解即可求出a的范围．（2）求出﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，根据，得到﹣3＜x1+x2＜﹣1，问题转化为证明f（x1）＞f（﹣2﹣x2）即可．【解答】（1）解：f'（x）=ae x+axe x﹣2（a﹣1）（x+1）=（x+1）（ae x﹣2a+2），由f'（x）=0得到x=﹣1或ae x﹣2a+2=0（*）由于f（x）仅有一个极值点，关于x的方程（*）必无解，①当a=0时，（*）无解，符合题意，②当a≠0时，由（*）得，故由得0＜a≤1，由于这两种情况都有，当x＜﹣1时，f'（x）＜0，于是f（x）为减函数，当x＞﹣1时，f'（x）＞0，于是f（x）为增函数，∴仅x=﹣1为f（x）的极值点，综上可得a的取值范围是[0，1]；（2）证明：由（1）当时，x=﹣1为f（x）的极小值点，又∵对于恒成立，对于恒成立，f（0）=﹣（a﹣1）＞0对于恒成立，∴当﹣2＜x＜﹣1时，f（x）有一个零点x1，当﹣1＜x＜0时，f（x）有另一个零点x2，即﹣2＜x1＜﹣1，﹣1＜x2＜0，且，（#）所以﹣3＜x1+x2＜﹣1，下面再证明x1+x2＜﹣2，即证x1＜﹣2﹣x2，由﹣1＜x2＜0得﹣2＜﹣2﹣x2＜﹣1，由于x＜﹣1，f（x）为减函数，于是只需证明f（x1）＞f（﹣2﹣x2），也就是证明f（﹣2﹣x2）＜0，，借助（#）代换可得，令g（x）=（﹣2﹣x）e﹣2﹣x﹣xe x（﹣1＜x＜0），则g'（x）=（x+1）（e﹣2﹣x﹣e x），∵h（x）=e﹣2﹣x﹣e x为（﹣1，0）的减函数，且h（﹣1）=0，∴g'（x）=（x+1）（e﹣2﹣x﹣e x）＜0在（﹣1，0）恒成立，于是g（x）为（﹣1，0）的减函数，即g（x）＜g（﹣1）=0，∴f（﹣2﹣x2）＜0，这就证明了x1+x2＜﹣2，综上所述，﹣3＜x1+x2＜﹣2．【点评】本题考查了导数和函数的单调性和关系和一级函数的极值的问题，考查了分类讨论的思想以及不等式的证明，是一道综合题．四．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•雁江区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x2=4y+4．（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（2）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；（2）设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4=0，利用极径的几何意义，即可求解．【解答】解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ2cos2θ﹣4ρsinθ﹣4=0；（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos2αρ2﹣4sinαρ﹣4=0，∵cos2α≠0（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点）于是，，由|AB|=8得，所以l的斜率为1或﹣1．【点评】本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查极径的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（10分）（2016秋•雁江区校级期末）已知函数f（x）=|2x+1|+|x﹣3|﹣7．（1）在图中画出y=f（x）的图象；（2）求不等式|f（x）|＞1的解集．【分析】（1）求出f（x）分段函数的形式，画出函数图象即可；（2）结合函数图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）∵，函数y=f（x）的图象如图所示（2）由不等式|f（x）|＞1得f（x）＜﹣1或f（x）＞1，由f（x）的表达式及图象，当f（x）=1时，可得x=﹣2或；当f（x）=﹣1时，可得或x=2，故f（x）＞1的解集为；f（x）＜﹣1的解集为，所以|f（x）|＞1的解集为．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查数形结合思想，是一道中档题．。