2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三上学期期末数学试卷(理科)含答案

2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知复数z=3﹣4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．2．（5分）已知集合P={x|1＜3x≤9}，Q={x∈Z|y=ln（﹣2x2+7x）}，则P∩Q=（）A．{1}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}3．（5分）已知函数，则函数的奇偶性为（）A．既是奇函数也是偶函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D．是偶函数不是奇函数4．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（）A．B．1C．2D．35．（5分）已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且b dx=2f'（a）+﹣1，则a+b的最小值为（）A．B．C．D．6．（5分）已知x，y都是实数，命题p：|x|＜3；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，则p 是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件7．（5分）若变量x，y满足条，则z=（x+1）2+y2的最小值是（）A．1B．2C．D．8．（5分）若f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ|）的图象如图，为了得到的图象，则需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位9．（5分）已知双曲线C2：的一个顶点是抛物线C1：y2=2x 的焦点F，两条曲线的一个交点为M，|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）函数，则方程f（|x|）=a（a∈R）实根个数不可能为（）A．1个B．2个C．3个D．4 个二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）若奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）=﹣f（x）且f（﹣1）=6，则f （2017）=．12．（5分）若（ax2+）5的展开式中常数是﹣80，则实数a=．13．（5分）某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为14．（5分）已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3，=2，则在方向上的投影为．15．（5分）给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．17．（12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．19．（12分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差也为q，且a1+2a2=3a3．（Ι）求q的值；（II）若数列{b n}的首项为2，其前n项和为T n，当n≥2时，试比较b n与T n的大小．20．（13分）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．21．（14分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年山东省淄博市桓台二中高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．（5分）已知复数z=3﹣4i（i是虚数单位），则复数的虚部为（）A．﹣B．C．D．【解答】解：∵z=3﹣4i，∴=，∴复数的虚部为．故选：C．2．（5分）已知集合P={x|1＜3x≤9}，Q={x∈Z|y=ln（﹣2x2+7x）}，则P∩Q=（）A．{1}B．{1，2}C．{2，3}D．{1，2，3}【解答】解：集合P={x|1＜3x≤9}={x|0＜x≤2}，Q={x∈Z|y=ln（﹣2x2+7x）}={x∈Z|﹣2x2+7x＞0}={1，2，3}，则P∩Q={1，2}．故选：B．3．（5分）已知函数，则函数的奇偶性为（）A．既是奇函数也是偶函数B．既不是奇函数也不是偶函数C．是奇函数不是偶函数D．是偶函数不是奇函数【解答】解：根据题意，对于函数，必有9﹣x2≥0且|6﹣x|﹣6≠0，解可得﹣3≤x≤3且x≠0，即函数的定义域为{x|﹣3≤x≤3且x≠0}，关于原点对称，则函数f（x）=﹣，﹣3≤x≤3且x≠0，f（﹣x）==﹣f（x），则函数为奇函数不是偶函数；故选：C．4．（5分）在平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．若=3，则AB的长为（）A．B．1C．2D．3【解答】解：因为平行四边形ABCD中，AD=2，∠BAD=60°，E为CD的中点．设AB=x，由=3，得到==x+4﹣﹣x=3，解得x=2；故选：C．5．（5分）已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln，且b dx=2f'（a）+﹣1，则a+b的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由b dx=2f'（a）+﹣1，得到b（﹣x﹣2）|=+﹣1，即=1，且a，b＞0，所以a+b=（a+b）（）=；当且仅当时等号成立；故选：C．6．（5分）已知x，y都是实数，命题p：|x|＜3；命题q：x2﹣2x﹣3＜0，则p 是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：命题p：|x|＜3；解得﹣3＜x＜3．命题q：x2﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3．则p是q的必要不充分条件．故选：B．7．（5分）若变量x，y满足条，则z=（x+1）2+y2的最小值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，z=（x+1）2+y2的几何意义为可行域内的点与定点P（﹣1，0）距离的平方．由图可知，z的最小值为点P到直线x+2y﹣1=0的距离的平方，等于．故选：D．8．（5分）若f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ|）的图象如图，为了得到的图象，则需将f（x）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：根据f（x）=Asin（ωx+ϕ）（其中A＞0，|φ|）的图象，可得A=1，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+）．故把f（x）=sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=sin （2x﹣）=g（x）的图象，故选：B．9．（5分）已知双曲线C2：的一个顶点是抛物线C1：y2=2x 的焦点F，两条曲线的一个交点为M，|MF|=，则双曲线C2的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知F（，0），由抛物线的定义可知：x M=﹣=1，∴y M=±，不妨记M（1，），∵F（，0）是双曲线的一个顶点，∴=1，即a2=，又点M在双曲线上，∴=1，即b2=，∴e==，故选：C．10．（5分）函数，则方程f（|x|）=a（a∈R）实根个数不可能为（）A．1个B．2个C．3个D．4 个【解答】解：方程f（|x|）=a，（a∈R）实根个数即为函数y=f（|x|）和直线y=a的交点个数．由y=f（|x|）为偶函数，可得图象关于y轴对称．作出函数y=f（|x|）的图象，如图，平移直线y=a，可得它们有2个、3个、4个交点．不可能有1个交点，即不可能有1个实根．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）若奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）=﹣f（x）且f（﹣1）=6，则f （2017）=﹣6．【解答】解：奇函数f（x）定义域为R，f（x+2）=﹣f（x），且f（﹣1）=6，可得f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以函数的周期为4；则f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣6．故答案为：﹣6．12．（5分）若（ax2+）5的展开式中常数是﹣80，则实数a=﹣16．==a5﹣【解答】解：（ax2+）5的展开式中通项公式：T r+1r ．令10﹣=0，解得r=4．∴常数是=﹣80，解得a=﹣16．故答案为：﹣16．13．（5分）某程序框图如图所示，当输出y的值为﹣8时，则输出x的值为16【解答】解：由程序框图知：第一次循环n=3，x=2，y=﹣2；第二次循环n=5，x=4，y=﹣4；第三次循环n=7，x=8，y=﹣6．第四次循环n=9，x=16，y=﹣8．∵输出y值为﹣8，∴输出的x=16．故答案为：16．14．（5分）已知，为单位向量，且夹角为60°，若=+3，=2，则在方向上的投影为．【解答】解：，为单位向量，且夹角为60°，可得•=||•||•cos60°=1×1×=，若=+3，=2，则•=22+6•=2+6×=5，||====，则在方向上的投影为==．故答案为：．15．（5分）给出以下四个结论：①函数的对称中心是（﹣1，2）；②若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥2；③在△ABC中，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的充分不必要条件；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，则φ最小值是．其中正确的结论是①．【解答】解：①函数=+2，其图象由反比例函数y=的图象向左平移两单位，再向上平移2个单位得到，故图象的对称中心是（﹣1，2），故①正确；②x∈（0，1）时，x∈（﹣∞，0），若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是k≥0，故②错误；③在△ABC中，“bcosA=acosB”⇔“sinBcosA=sinAcosB”⇔“sin（A﹣B）=0”⇔“A=B”⇒“△ABC为等腰三角形”，“bcosA=acosB”是“△ABC为等边三角形”的必要不充分条件，故③错误；④若的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后为奇函数，﹣2φ﹣=kπ，k∈Z，当k=﹣1时，φ最小值是，故④错误；故答案为：①三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数．（1）求f（x）单调递增区间；（2）△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c满足，求f（A）的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=﹣+sin2x=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，则f（x）的增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）；（2）由余弦定理得：cosA=，即b2+c2﹣a2=2bccosA，代入已知不等式得：2bccosA＞bc，即cosA＞，∵A为△ABC内角，∴0＜A＜，∵f（A）=sin（2A﹣），且﹣＜2A﹣＜，∴﹣＜f（A）＜，则f（A）的范围为（﹣，）．17．（12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为=．18．（12分）在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB 的中点，AC∩EF=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图的五棱锥，且．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求二面角B﹣AP﹣O的余弦值．【解答】证明：（1）∵点E，F分别为CD，CB的中点，∴BD∥EF，∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴EF⊥AC，∴EF⊥AO，EF⊥PO，∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA，∴BD⊥平面POA．解：（2）设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形，∴，在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO，∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED，以O为原点，OF所在直线为x轴，AO所在直线y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则．∴，设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得=（﹣），∵BD⊥平面POA，AO∩BD=H，∴平面PAO的一个法向量为=（﹣2，0，0），设二面角B﹣AP﹣O的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角B﹣AP﹣O的余弦值为．19．（12分）已知等比数列{a n}的公比为q（q≠1），等差数列{b n}的公差也为q，且a1+2a2=3a3．（Ι）求q的值；（II）若数列{b n}的首项为2，其前n项和为T n，当n≥2时，试比较b n与T n的大小．【解答】解：（Ι）由已知可得a1+2a1q=3a1q2．∵{a n}是等比数列，∴a1≠0，则3q2﹣2q﹣1=0．解得：q=1或q=．∵q≠1，∴q=；（II）由（Ι）知等差数列{b n}的公差为，∴，，，当n＞14时，；当n=14时，T n=b n；当2≤n＜14时，T n＞b n．综上，当2≤n＜14时，T n＞b n；当n=14时，T n=b n；当n＞14时，T n＜b n．20．（13分）已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（I）求椭圆C的方程；（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．【解答】（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．∴，①且=，②由①、②解得a2=6，b2=3，∴椭圆C的方程为．…（6分）（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，∵﹣2，x1是该方程的两根，∴﹣2x1=，即x1=．设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2=．…（9分）因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），故k PQ====1，因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）21．（14分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3．（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（2）若存在x0∈[，e]（e是自然对数的底数，e=2.71828…），使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知知函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+1，当x∈（0，），f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（），f′（x）＞0，f（x）单调递增，∵t＞0，∴t+2＞①当0＜t＜＜t+2，即0＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣；②当，即t时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，f（x）min=f（t）=tlnt．∴．（2）∵不等式2f（x0）≥g（x0）成立，即2x0lnx0≥﹣，∴a≤2lnx+x+，x∈[，e]，设h（x）=2lnx+x+，x∈[，e]，则，x∈[，e]，①x∈[，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，②x∈（1，e]时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）max=h（）=﹣2+，对一切x0∈[，e]使不等式2f（x0）≥g（x0）成立，∴a≤h（x）max=﹣2++3e．。