北师大版高中数学选修抛物线同步练习(1)(1)
高中数学 2-4-3《抛物线》习题课同步练习 新人教B版选修2-1
2.4.3抛物线习题课一、选择题1．P (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px (p ≠0)上任一点，则P 到焦点的距离是( ) A ．|x 0－p2|B ．|x 0＋p2|C ．|x 0－p |D ．|x 0＋p |[答案] B[解析] 利用P 到焦点的距离等于到准线的距离，当p >0时，p 到准线的距离为d ＝x 0＋p 2；当p <0时，p 到准线的距离为d ＝－p 2－x 0＝|p2＋x 0|.2．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y [答案] B[解析] 由题意，知抛物线的标准方程为：y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－7，∴p ＝14.3．抛物线y 2＝－4px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，则p 表示( ) A ．F 到l 的距离 B ．F 到y 轴的距离 C ．F 点的横坐标 D ．F 到l 的距离的14[答案] B[解析] 设y 2＝－2p ′x (p ′>0)，p ′表示焦点到准线的距离，又2p ′＝4p ，p ＝p ′2，故P 表示焦点到y 轴的距离．4．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝8，那么|AB |等于( )A ．10B ．8C ．6D ．4[答案] A[解析] 设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，则由抛物线的定义知|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝10.5．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦AB 的两端点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则一定有y 1y 2x 1x 2等于( ) A ．4 B ．－4 C ．p 2D ．－p 2[答案] B[解析] 设过焦点的直线方程为x ＋ay －p2＝0(a ∈R )，则代入抛物线方程有y 2＋2apy－p 2＝0，故由根与系数的关系知y 1y 2＝－p 2.又由y 21＝2px 1，①y 22＝2px 2，②①②相乘得y 21y 22＝4p 2x 1x 2，∴x 1x 2＝p 24，∴y 1y 2x 1x 2＝－4. 6．直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k ＝( )A ．2或－2B ．－1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由⎩⎨⎧y 2＝8xy ＝kx －2得k 2x 2－4(k ＋2)x ＋4＝0，则4(k ＋2)k2＝4，即k ＝2. 7．(2010·山东文，9)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题，属圆锥曲线部分题型，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，⎩⎨⎧y 21＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ②①－②得y 21－y 22＝2p (x 1－x 2)⇒y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p y 1＋y 22，∴k AB ＝1＝p 2⇒p ＝2，∴y 2＝4x ，∴准线方程式为：x ＝－1，故选B.8．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为( )A ．(2，±22)B ．(1，±2)C ．(1,2)D ．(2,22)[答案] B[解析] 依题意F (1,0)设A 点坐标为(x ，y )，则OA →＝(x ，y )，AF →＝(1－x ，－y )， OA →·AF →＝x (1－x )＋y (－y )＝x －x 2－y 2，x －x 2－4x ，＝－x 2－3x ＝－4.即x 2＋3x －4＝0解之得x ＝1或x ＝－4 又∵x ≥0，∴x ＝1，y 2＝4，y ＝±2. ∴A (1，±2)．9．一动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－2)[答案] B[解析] 由抛物线定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，又动圆圆心在抛物线上且恒与x ＋2＝0相切．∴动圆过定点F (2,0)，故选B.10．(2008·宁夏、海南)已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1,2) D ．(1，－2)[答案] A[解析] 依题意，抛物线的焦点F (1,0)，准线为l x ＝－1.过Q 点作直线l 的垂线交抛物线于P 点，交准线l 于M 点，则|QP |＋|PF |＝|QP |＋|PM |＝|QM |＝3为所求的最小值，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.故选A.二、填空题11．P 点是抛物线y 2＝4x 上任一点，到直线x ＝－1的距离为d ，A (3,4)，|PA |＋d 的最小值为________．[答案] 2 5[解析] 设抛物线焦点为F (1,0)则d ＝|PF |，∴|AP |＋d ＝|AP |＋|PF |≥|AF |＝(3－1)2＋(4－0)2＝2 5. 12．过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线方程是________．[答案] 2x －y ＋4＝0[解析] 设y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处切线方程为y －1＝k (x －1)，联立得⎩⎨⎧y ＝3x 2－4x ＋2，y －1＝k (x －1)，∴3x 2－(k ＋4)x ＋(k ＋1)＝0. ∵Δ＝0，∴k ＝2.∴过P (－1,2)与切线平行的直线为2x －y ＋4＝0.13．已知点P 在抛物线y 2＝2x 上运动，点Q 与点P 关于(1,1)对称，则点Q 的轨迹方程是________．[答案] y 2－4y ＋2x ＝0[解析] 设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )由已知得⎩⎨⎧x 0＋x ＝2，y 0＋y ＝2∴x 0＝2－x ，y 0＝2－y ，又P (x 0，y 0)在y 2＝2x 上， ∴(2－y )2＝2(2－x ) 即y 2－4y ＋2x ＝0.14．(2010·全国Ⅱ理，15)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为B .若AM →＝MB →，则p ＝______.[答案] 2[解析] 如图，设B (x 0，y 0)，则MK ＝12BH ，则x 0＋p2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋p 2有x 0＝p2＋2.可得y 0＝p 2＋4p ，又直线AB 方程为y ＝3(x －1)，代入有p 2＋4p ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋2－1，解得p ＝2. 三、解答题15．已知抛物线y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线满足下列条件：①只有一个公共点； ②有两个公共点； ③没有公共点．[解析] 由题意得直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y －1＝k (x ＋2)，y 2＝4x ，消去x 得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0①，当k ＝0时，由方程①得y ＝1，把y ＝1代入y 2＝4x ，得x ＝14，此时，直线l 与抛物线只有一个公共点(14，1)．当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)．①当Δ＝0，即2k 2＋k －1＝0，解得k ＝－1或k ＝12，此时方程①只有一解，方程组只有一个解，直线l 与抛物线只有一个公共点．②当Δ>0，即2k 2＋k －1<0，解得－1<k <12，所以－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点．③当Δ<0，即2k 2＋k －1>0，解得k >12或k <－1，此时，直线l 与抛物线没有公共点．综上所述可知当k ＝0或k ＝－1或k ＝12时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．16．已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A ，B 两点． (1)求证OA ⊥OB ；(2)当△AOB 的面积等于10时， 求k 的值．[解析] (1)证明：如图所示，由方程组⎩⎨⎧y 2＝－xy ＝k (x ＋1)消去x 得ky 2＋y －k ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系知y 1y 2＝－1.因为A ，B 在抛物线y 2＝－x 上，所以y 21＝－x 1，y 22＝－x 2，y 21y 22＝x 1x 2，因为k OA ·k OB ＝y 1x 1·y 2x 2＝y 1y 2x 1x 2＝1y 1y 2＝－1，所以OA ⊥OB .(2)解：设直线AB 与x 轴交于点N ，显然k ≠0，所以点N 的坐标为(－1,0)，因为S △OAB＝S △OAN ＋S △OBN＝12|ON ||y 1|＋12|ON ||y 2|＝12|ON ||y 1－y 2|，所以S △OAB ＝12·1·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12(1k )2＋4，因为S △OAB ＝10，所以10＝121k 2＋4，解得k ＝±16. 17．设抛物线y 2＝8x 的焦点是F ，有倾斜角为45°的弦AB ，|AB |＝85，求△FAB 的面积．[解析] 设AB 方程为y ＝x ＋b ，由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y 2＝8x .消去y 得：x 2＋(2b －8)x ＋b 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2b ，x 1·x 2＝b 2.∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝2×(x 1＋x 2)2－4x 1·x 2 ＝2[(8－2b )2－4b 2]＝85，解得：b ＝－3.∴直线方程为y ＝x －3.即：x －y －3＝0， ∴焦点F (2,0)到x －y －3＝0的距离为d ＝12＝22.∴S △FAB ＝12×85×22＝210. 18．已知抛物线y 2＝x 上存在两点关于直线l ：y ＝k (x －1)＋1对称，求实数k 的取值范围．[解析] 设抛物线上的点A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)关于直线l 对称．则⎩⎪⎨⎪⎧k ·y 1－y2y 21－y 22＝－1y 1＋y 22＝k (y 21＋y222－1)＋1得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－k y 1y 2＝k 22＋1k －12，∴y 1、y 2是方程t 2＋kt ＋k 22＋1k －12＝0的两个不同根．∴Δ＝k 2－4(k 22＋1k －12)>0得－2<k <0.。
2020-2021学年北师大版高中数学选修1-1《抛物线》同步练测及解析
（新课标）最新北师大版高中数学选修1-12 抛物线同步练测一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分）1.已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于两点，为坐标原点，且OA OB ^，则b =（ ）A .2B .2-C .1D .1-2.已知直线l 过抛物线22(0)y px p =＞的焦点F ，且交抛物线于P,Q 两点，由P,Q 分别向准线引垂线PR ，QS ，垂足分别为R,S ，若PF a QF b,==，M 为RS 的中点，则MF =（ ）A.a b +B.2a b + 3.以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是（ ）A.22(2)4x y -+=B.22(1)4x y -+=C.22(2)2x y -+=D.22(1)2x y -+= 4.已知抛物线上两点关于直线对称, 且－12,那么的值等于（ ） A.52B.32C.2D.3 5.对于抛物线2 4C y x =：,我们称满足2004y x <的点00()M x ,y 在抛物线的内部.若点00()M x ,y 在抛物线的内部,则直线00:2()l y y x x =+与抛物线（ ） A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点C.有一个公共点也可能有两个公共点D.没有公共点二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）6.已知以原点为顶点的抛物线，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点．若为的中点，则抛物线的方程为．7.过点(22)M p -，作抛物线22(0)x py p =＞的两条切线，切点分别为A,B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则p 的值是. 8.已知直线与抛物线28y x =交于两点，且经过抛物线的焦点，点，则线段的中点到准线的距离为.9.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 ，灯深40 ，光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点处. 三、解答题（本题共4小题，共51分）10.(本小题满分12分)正方形的一条边在直线上，顶点，在抛物线上，求正方形的边长.11.(本小题满分13分)已知曲线C 上的任意一点到定点(10)F ，的距离与到定直线1x =-的距离相等．（1）求曲线C 的方程；（2）若曲线C 上有两个定点A,B 分别在其对称轴的上、下两侧，且2FA =，5FB =，求原点O 到直线AB 的距离12.(本小题满分13分)如图，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示的方向进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为B ' (图中为折痕，点也可以落在边上)．过作B T '∥CD ,交于点，求点的轨迹方程．13.(本小题满分13分)已知抛物线上两个动点及一个定点，是抛物线的焦点，且，，成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点．（1）求点的坐标（用表示）；（2）过点作与垂直的直线交抛物线于两点，若，求△的面积一、选择题1.A 解析：设，直线方程与抛物线方程联立，消去，得, 所以122x x +=，,.又OA OB ^，所以，解得（舍去）.2.C 解析：①PQ 与x 轴不垂直时，如图所示，由抛物线的定义，得QF QS PF PR ==，． ∴ QFS QSF,PFR PRF ∠=∠∠=∠.由题意可得QS FG PR ∥∥，∴ SFG QSF,RFG PRF ∠=∠∠=∠． ∴ 90SFG RFG ∠+∠=︒，∴ 12MF RS ＝． 过点P 作PN QS ⊥，交QS 于点N ，则PN RS =． 在Rt PQN △中，2222()()2PN PQ QN a b b a ab -+--．∴1122MF RS PN ab ==＝． ②当PQ x ⊥轴时，可得MF p a b ab ==== 综上可知MF ab ＝3.B 解析：抛物线24y x =的焦点为（1，0），准线方程为1x =-，∴ 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的半径是2，∴ 以抛物线24y x =的焦点为圆心，且与此抛物线的准线相切的圆的方程是22(1)4x y -+=． 4.B 解析：由已知条件得1122(),,,()A x y B x y 两点连线的斜率21211y y k x x -==--. 由，得.又因为点2121,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线上，所以212122y y x x m ++=+，即21211222y y x x m m +=++=-+. 因为，两点在抛物线上，所以2222121212112()2[()2]22y y x x x x x x m +=+=+-=-+.将121211,22x x x x +=-=-代入，得32m =. 5.D 解析：将与002()y y x x =+联立，消去，得，所以．因为，所以，所以直线和抛物线无公共点. 二、填空题6. 解析：设抛物线的标准方程为，，，则，.两式相减，得，则1212122AB y y pk x x y y ==-－＋，所以214p =，解得，即所求抛物线方程为.7.1或2 解析：设过点M 的抛物线的切线方程为2(2)y p k x +=-，将其与抛物线的方程22x py =联立消去y ，得222440x pkx pk p -++=．①根据题意，得此方程的判别式等于0，∴ 2440pk k p --=． 设切线的斜率分别为12k ,k ，则124k k p+=. 此时，方程①有唯一解为221pk x pk -=-=⨯，∴ 222()22x pk y k p p ===+．设1122(),()A x ,y B x ,y ，则12128122()44y y k k p p p=+=++=+， ∴ 2320p p -+=，解得12p p ==或.8.254解析：由知，，焦点坐标为． 由直线过焦点及点(8,8)A ，得直线方程为4(2)3y x =-.把点(,)B B B x y 代入上式，得244(2)2338BB B y y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，解得，所以12B x =. 所以线段的中点为1828172,,3224⎛⎫+ ⎪-+⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以线段的中点到准线的距离为1725244+=． 9.45cm 8解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为22(0)y px p =>，点在抛物线上，所以，所以454p =，所以4528p =.因此，光源的位置为灯轴上距顶点45cm 8处. 三、解答题10.解：设直线的方程为,由消去，得. 设,,则,,B′FTDCBE O A所以正方形的边长为或.11.解：（1）∵ 曲线C 上任意一点到点(10)F ，的距离与到直线1x =-的距离相等， ∴ 曲线C 的轨迹是以(10)F ，为焦点，以1x =-为准线的抛物线，且12p=， ∴ 曲线C 的方程为24y x =.（2）由抛物线的定义结合2FA =可得，点A 到准线1x =-的距离为2， 即点A 的横坐标为1，代入抛物线方程可得2y =，即(12)A ，， 同理可得(44)B ,-.故直线AB 的斜率2(4)214k --==--，故AB 的方程为22(1)y x -=--，即240x y +-=. 由点到直线的距离公式可得原点O 到直线AB. 12.解：如图，连接BT ，以边的中点为原点，边所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则．因为||,BT B T B T AD ''=⊥，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分． 设，由，得定点到定直线的距离为4， 所以抛物线的方程为．在折叠中，线段的长度在区间内变化，而，所以04x ≤≤．故点的轨迹方程为28(04)x y x =-≤≤. 13.解：（1）设，，由点在抛物线上，得.① 由，，成等差数列，得， 故线段的垂直平分线方程为1212012().2y y x x y x x y y +--=---令，得②由①②，得，所以． （2）由，,，得．由抛物线的对称性，可设在第一象限，所以,．直线由26,8,y x y x =-⎧⎨=⎩得(18,12),(2,4)P Q -，所以PQ = 所以△的面积是64。
北师大版高中数学选修1-1 同步练习 第1章 章末复习
章末复习学习目标 1.梳理本章知识,构建知识网络.2.掌握命题的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合性问题．1．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p,则q逆命题若q,则p否命题若綈p,则綈q逆否命题若綈q,则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)如果p⇒q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件．(2)分类：①充要条件：p⇒q且q⇒p,记作p⇔q;②充分不必要条件：p⇒q且q⇏p.③必要不充分条件：p⇏q且q⇒p.④既不充分又不必要条件：p⇏q且q⇏p.3．全称命题与特称命题(1)全称命题与特称命题真假的判断方法①判断全称命题为真命题,需严格的逻辑推理证明,判断全称命题为假命题,只需举出一个反例．②判断特称命题为真命题,需要举出正例,而判断特称命题为假命题时,要有严格的逻辑证明．(2)含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词,又要否定结论．4．简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假.p q 綈p p或q p且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假1．“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题．( √)2．命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致．( ×)3．已知命题p：存在x∈R,x－2＞0,命题q：对于任意x∈R,x2＞x,则命题p或(綈q)是假命题．( ×)题型一命题及其关系例1 (1)有下列命题：①“若x＋y>0,则x>0且y>0”的否命题;②“矩形的对角线相等”的否命题;③“若q≤1,则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题;④不等边三角形的三个内角相等．其中是真命题的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①③考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案 D(2)设a,b,c是非零向量,已知命题p：若a·b＝0,b·c＝0,则a·c＝0;命题q：若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p或q B．p且qC．(綈p)且(綈q) D．p或(綈q)考点“p或q”形式的命题题点判断“p或q”形式命题的真假答案 A解析由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a,c一定共线,故命题q是真命题．故p或q为真命题．反思感悟 1.互为逆否命题的两命题真假性相同．2．“p与綈p”一真一假,“p或q”一真即真,“p且q”一假就假．跟踪训练1 命题“若x2>1,则x<－1或x>1”的逆否命题是( )A．若x2>1,则－1≤x≤1B．若－1≤x≤1,则x2≤1C．若－1<x<1,则x2>1D．若x<－1或x>1,则x2>1考点四种命题题点四种命题概念的理解答案 B解析条件与结论交换位置,并且分别否定．题型二充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x∈R,则“x2－3x>0”是“x>4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件(2)已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件考点四种条件题点识别四种条件答案(1)B (2)C解析(1)∵x2－3x>0⇏x>4,x>4⇒x2－3x>0,故x2－3x>0是x>4的必要不充分条件．(2)∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0,∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件．反思感悟 条件的充要关系的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p 则q,若q 则p 的真假．(2)等价法：利用A ⇒B 与綈B ⇒綈A,B ⇒A 与綈A ⇒綈B,A ⇔B 与綈B ⇔綈A 的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A ⊆B,则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件;若A ＝B,则A 是B 的充要条件．跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．12log a >12log b >0C ．ln a>ln b>0D ．x a>x b且x>0.5考点 四种条件 题点 识别四种条件 答案 C解析 设条件p 符合条件,则p 是a>b>0的充分条件,但不是a>b>0的必然结果,即有“p ⇒a>b>0,a>b>0⇏p ”． A 选项中,a 2>b 2>0⇏a>b>0,有可能是a<b<0,故A 不符合条件; B 选项中,12log a >12log b >0⇔0<a<b<1⇏a>b>0,故B 不符合条件;C 选项中,ln a>ln b>0⇔a>b>1⇒a>b>0,而a>b>0⇏a>b>1,符合条件;D 选项中,x a>x b且0<x<1时a<b;x>1时a>b,无法得到a,b 与0的大小关系,故D 不符合条件． 命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0,其中a>0,命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1,且p 且q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a)(x －a)<0. 又a>0,所以a<x<3a,当a ＝1时,1<x<3, 即p 为真命题时,实数x 的取值范围是1<x<3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x<－4或x>2.即2<x ≤3.所以q 为真时,实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真,则⎩⎪⎨⎪⎧1<x<3，2<x ≤3⇔2<x<3,所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件, 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇏綈p.设綈p ：A ＝{x|x ≤a 或x ≥3a},綈q ：B ＝{x|x ≤2或x>3}, 则A ?B.所以0<a ≤2且3a>3,即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二 因为綈p 是綈q 的充分不必要条件, 所以q 是p 的充分不必要条件, 则{x|2<x ≤3}?{x|a<x<3a},所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a>3，解得1<a ≤2.所以实数a 的取值范围是(1,2]．反思感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3 已知命题：p ：2x 2－9x ＋a<0,q ：2<x<3且綈q 是綈p 的必要条件,求实数a 的取值范围． 考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 由四种条件求参数的范围 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件, ∴q 是p 的充分条件, 令f(x)＝2x 2－9x ＋a,则⎩⎪⎨⎪⎧f (2)≤0，f (3)≤0，解得a ≤9,∴实数a 的取值范围是(－∞,9]． 题型三 逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12,2x<m(x 2＋1),q ：函数f(x)＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点,若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是__________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1 解析 由2x<m(x 2＋1),可得m>2x x 2＋1,又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2x x 2＋1max ＝45, 故当p 为真时,m>45;函数f(x)＝4x＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2,令f(x)＝0,得2x ＝2－m －1, 若f(x)存在零点, 则2－m －1>0,解得m<1, 故当q 为真时,m<1.若“p 且q ”为真命题,则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1. 反思感悟 解决逻辑联结词与量词的综合应用问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含有逻辑联结词的命题的真假关系．其次要善于利用等价关系,如：p 真与綈p 假等价,p 假与綈p 真等价,将问题转化,从而谋得最佳解决途径．跟踪训练4 已知命题p ：“任意x ∈[0,1],a ≥e x”,命题q ：“存在x ∈R,x 2＋4x ＋a ＝0”,若命题“p 且q ”是真命题,则实数a 的取值范围是________． 考点 逻辑联结词与量词的综合应用 题点 由复合命题的真假求参数范围 答案 [e,4]解析 p ：a ≥e,q ：a ≤4,∵p 且q 为真命题,∴p 与q 均为真, 则e ≤a ≤4.转化与化归思想的应用典例 已知函数f(x)＝x 2,g(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m.(1)若对任意x 1∈[－1,3],x 2∈[0,2],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围; (2)若对任意x 2∈[0,2],存在x 1∈[－1,3],使得f(x 1)≥g(x 2)成立,求实数m 的取值范围． 解 (1)由题设知,f(x 1)min ≥g(x 2)max ,∵f(x)在[－1,0]上是减少的,在(0,3]上是增加的, ∴f(x 1)min ＝f(0)＝0, 又∵g(x)在[0,2]上是减少的, ∴g(x 2)max ＝g(0)＝1－m, ∴有0≥1－m,得m ≥1, ∴m 的取值范围为[1,＋∞)．(2)由题设知,f(x 1)max ≥g(x 2)max , ∴有f(3)≥g(0),即9≥1－m, ∴m 的取值范围是[－8,＋∞)．[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题,要善于从已有的问题或概念本身出发去加以辨析和研究,将抽象的问题具体化,如此才能更为准确地把握问题的内涵.1．若p 是真命题,q 是假命题,则( ) A ．p 且q 是真命题 B ．p 或q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题答案 D解析 根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．2．已知命题p ：0<a<4,q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正,则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 充分、必要条件与充要条件的综合应用 题点 识别四种条件 答案 A解析 ∵函数y ＝ax 2－ax ＋1的值恒为正, ∴①当a ＝0时y ＝1恒成立,②⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝a 2－4a<0，∴0<a<4,综上可得q ：0≤a<4, 故{a|0<a<4}?{a|0≤a<4}．3．已知命题p ：对任意x ∈R,总有2x＞0;q ：“x ＞1”是“x ＞2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( ) A ．p 且q B ．(綈p)且(綈q) C ．(綈p)且q D ．p 且(綈q)考点 “p 且q ”形式的命题 题点 判断“p 且q ”形式命题的真假答案 D解析 根据指数函数的性质可知,对任意x ∈R,总有2x＞0成立,即p 为真命题,“x ＞1”是“x ＞2”的必要不充分条件,即q 为假命题,则p 且(綈q)为真命题．4．对任意x ∈[－1,2],x 2－a ≥0恒成立,则实数a 的取值范围是________． 考点 全称命题题点 由全称命题的真假求参数的范围 答案 (－∞,0]解析 由x 2－a ≥0,得a ≤x 2,故a ≤(x 2)min ,得a ≤0. 5．已知p ：x 2＋2x －3>0;q ：13－x>1.若“(綈q)且p ”为真命题,求x 的取值范围． 考点 “p 且q ”形式的命题题点 已知p 且q 命题的真假求参数范围 解 因为“(綈q)且p ”为真,所以q 假p 真． 而当q 为真命题时,有x －2x －3<0,即2<x<3,所以当q 为假命题时有x ≥3或x ≤2; 当p 为真命题时,由x 2＋2x －3>0, 解得x>1或x<－3,由⎩⎪⎨⎪⎧x>1或x<－3，x ≥3或x ≤2，解得x<－3或1<x ≤2或x ≥3.所以x 的取值范围为(－∞,－3)∪(1,2]∪[3,＋∞)1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法．若命题为“若p,则q ”,则该命题的否命题是“若綈p,则綈q ”;命题的否定为“若p,则綈q ”．2．四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题． 3．判断p 与q 之间的关系时,要注意p 与q 之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住,如：“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”．。
北师大版高中数学选修2-1同步练习：17 抛物线的简单性质
课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 C [因为抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2,且点A(－2,3)在准线上,故－p 2＝－2,解得p ＝4,所以y 2＝8x,焦点F 的坐标为(2,0),直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.] 2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p ＞0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n,则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3 C [结合图像可知,过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两个正三角形．]3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,则有 ( )A ．|P 1F|＋|P 2F|＝|FP 3|B ．|P 1F|2＋|P 2F|2＝|P 3F|2C ．2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|D ．|P 2F|2＝|P 1F|·|P 3F|C [∵点P 1,P 2,P 3在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,两边同时加上p,得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2, 即2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|,故选C.]4．已知点A(2,0),抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3C [如图,直线MF 的方程为x 2＋y 1＝1, 即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α,则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.] 5．如图,过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3,则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3xC [如图,分别过A,B 作AA 1⊥l 于点A 1,BB 1⊥l 于点B 1,由抛物线的定义知：|AF|＝|AA 1|,|BF|＝|BB 1|, ∵|BC|＝2|BF|,∴|BC|＝2|BB 1|,∴∠BCB 1＝30°,∴∠AFx ＝60°,连接A 1F,则△AA 1F 为等边三角形,过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1,则F 1为AA 1的中点,设l 交x 轴于点K,则|KF|＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF|,即p ＝32, ∴抛物线方程为y 2＝3x,故选C.]二、填空题6．顶点在原点,对称轴为y 轴且过(1,4)的抛物线方程是________．x 2＝14y [由题意知抛物线开口向上,设标准方程为x 2＝2py,∴1＝2p·4,∴2p ＝14,∴x 2＝14y.] 7．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切,则a ＝________．－14 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0, ∵直线与抛物线相切,∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.] 8．已知直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交,其中一交点为(2p,2p),则其焦点弦的长度为________．25p 8 [由题意知直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0和(2p,2p), 所以l ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝17p 8, 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8.] 三、解答题9． 已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15,求此抛物线的方程．[解] 设抛物线方程为x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y,得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2, ∴|AB|＝54（x 1－x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝145（a 2－8a ）.∵|AB|＝15,∴145（a 2－8a ）＝15, 即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12,∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y.10．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A,B 两点,OA →·OB →＝－4,求证：直线l 必过一定点．[证明] 设l ：x ＝ty ＋b,代入抛物线y 2＝4x,消去x 得y 2－4ty －4b ＝0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4t,y 1y 2＝－4b.又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b,又∵OA →·OB →＝－4,∴b 2－4b ＝－4,解得b ＝2,故直线过定点(2,0)．[能力提升练]1．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短,则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)C [因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交,设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m. 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0. ①设此直线与抛物线相切,此时有Δ＝0,即Δ＝16＋16m ＝0,∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式,x ＝12,y ＝1, 故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3B [设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(xC ,y C ),由FA →＋FB →＋FC →＝0,得x A ＋x B ＋x C ＝3.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋32×2＝6.] 3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上,且|AK|＝2|AF|,则△AFK 的面积为________．8 [易知F(2,0),K(－2,0),过点A 作AM 垂直准线于点M,则|AM|＝|AF|,∴|AK|＝2|AM|,∴△AMK 为等腰直角三角形．设A(m 2,22m)(m>0),则S △AFK ＝4×22m×12＝42m. 又由|AK|＝2|AM|,得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2,解得m ＝2,∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.]4．已知定点A(－3,0),B(3,0),动点P 在抛物线y 2＝2x 上移动,则PA →·PB →的最小值等于________．－9 [设P(x 0,y 0),则y 20＝2x 0,x 0≥0,∴PA →·PB →＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－9＝x 20＋2x 0－9,当x 0＝0时,PA →·PB →min ＝－9.]5．抛物线y 2＝2px(p>0)上有两动点A,B 及一个定点M,F 为抛物线的焦点,若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF|＝4,|OQ|＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．[解] (1)证明：设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则|AF|＝x 1＋p 2,|BF|＝x 2＋p 2,|MF|＝x 0＋p 2,x 0为已知值． 由题意得x 0＝x 1＋x 22,∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t), 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|⇒p ＝0)． 而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p（y 21－y 22）＝2p y 1＋y 2＝p t , 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0), 即t(x －x 0－p)＋yp ＝0,可知线段AB 的垂直平分线过定点Q(x 0＋p,0)．(2)由(1)知|MF|＝4,|OQ|＝6,得x 0＋p 2＝4,x 0＋p ＝6,联立解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x.。
2019-2020学年北师大版高中数学选修1-1同步练习【第2章】抛物线的简单性质(含答案)
北师大版2019-2020学年数学精品资料抛物线的简单性质 同步练习一,选择题:1、焦点为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线的标准方程为( ) A 、214x y =- B 、22x y =- C 、22y x =- D 、22y x = 2、抛物线22y x =-的通径长为( )A 、4B 、2C 、1D 、0.53、抛物线216y x =-的顶点到准线的距离为( )A 、2B 、4C 、8D 、164、抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线20x y ++=上，求抛物线的方程( )A 、2244y x x y ==-或B 、2244x y y x ==-或C 、2288x y y x =-=-或D 、2288x y y x ==-或5、已知抛物线26y x =定点()2,3A ，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值( )A 、5B 、4.5C 、3.5D 、不能确定6、已知抛物线24x y =，过焦点F ，倾斜角为4π的直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 长为( )A 、8B 、、6 D 、 7、过点(2,4)作直线于抛物线28y x =有且只有一个公共点，这样的直线有( )A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条8、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是( )A 、（2，4）B 、（2，±4）C 、（1，）D 、（1，±）9、直线3y x =-与抛物线24y x =交于A B 、两点，过A B 、两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q 、则梯形ABPQ 的面积为（ ）．A 、48B 、56C 、64D 、7210、抛物线2y x =与圆()()22210x y r r +-=>有4个不同的交点，则r 的取值范围是( )A 、⎫+∞⎪⎪⎣⎭B 、⎫+∞⎪⎪⎝⎭C 、⎫⎪⎪⎣⎭D 、⎫⎪⎪⎝⎭ 二、填空题11、已知抛物线经过点()4,2P -，则其标准方程为 。
北师大版高中数学选修抛物线同步练习(2)
抛物线重难点：建立并掌握抛物线的标准方程，能根据已知条件求抛物线的标准方程；掌握抛物线的简单几何性质，能运用抛物线的几何性质处理一些简单的实际问题． 经典例题：如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A 、B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点. （1）求点Q 的坐标；（2）当P 为抛物线上位于线段AB 下方（含A 、B ）的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.当堂练习：1．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ） A ．)0,1( B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ ）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（ ）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PFPA +取得最小值时点P 的坐标是 （ ）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式 2121x x y y 的值一定等于 （ ） A ．4p B ．－4p C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp11+（ ）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是 （ ） A ．21a B ．21p C ．21a ＋21p D ．21a －21p11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a的取值范围是 ．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上； （2）焦点在x 轴上； （3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5； （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 15．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标； （2）求线段BC 中点M 的坐标； （3）求BC 所在直线的方程.16．已知抛物线y=ax 2－1上恒有关于直线x +y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.17．抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（x 0，y 0）； （2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.抛物线经典例题：【解】(1) 解方程组 481212-==x y xy 得 2411-=-=y x 或 4822==y x 即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5)． (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x , 81x 2－4).∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x ,25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x .∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30．当堂练习：1.C;2.D;3.A;4.B;5.B;6.A;7.C;8.B;9.C; 10.D; 11. )42,81(±; 12. 2; 13.)413,(--∞;14. （2），（5）; 15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ， 所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ， 所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ．17．[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(4>x )．18． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)27(22=-++m x x ，则250)27(44=⇒=--=∆m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1，21）．（2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入2742++=x x y 0)27()4(2=-+-+⇒n x k x ，则 414)4(02n k -=-⇒=∆，且,241-=k x 4221-=k y ．若0≠k 时，由于a k a k kx a y k k PQ24121211±=⇒=⇒-=+-⇒-=，∴21211-=-=a y a x 或 21211-=--=a y a x ；若k=0时，显然)21,2(--Q 也满足要求．∴有三个点（－2212a -），（－2，212a -）及（－2，－21），且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为：x ＋＋2－20，x －y ＋2＋20，x ＝－2.当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－21），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x ＝－2.。
北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(含解析)
北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质（含解析）北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(原卷版)角一、选择题1. 顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(C)A.y2＝xB.y2＝3xC.y2＝6xD.y2＝－6x2. 过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为(A)A.16B.8C.32D.4弦长即通径长，故长度为2p＝16.3. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)A. B.2C. D.34. 已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2，2)，则p的值为(D)A.1B.2C.3D.4＝2×2，解得p＝4.5. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A.2B.2C.2D.46. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是(B)A.4B.4或－4C.－2D.2或－27. 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.8. (多选题)对于抛物线y2＝10x，下列结论正确的是(AD)A.焦点在x轴上B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C.抛物线的通径长为5D.抛物线的准线方程为x＝－二、填空题9. 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. 则该抛物线的方程为y2＝8x；此抛物线的准线方程为x＝－2.10. 抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为，实数a 的值为1 .11. 若抛物线y2＝mx与椭圆＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.三、解答题12. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.13. 设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点.(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值. ＋14. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－215. 已知平行于x轴的直线l交抛物线x2＝4y于A，B两点，且|AB|＝8，则l的方程为y＝4.16. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率.北师大高中数学选择性必修第一册第二章课时作业19抛物线的简单几何性质(解析版)一、选择题1. 顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是(C)A.y2＝xB.y2＝3xC.y2＝6xD.y2＝－6x解析：顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p ＞0)，由题意知，故p＝3. 因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2. 过抛物线y2＝16x的焦点的最短弦长为(A)A.16B.8C.32D.4解析：过抛物线焦点的最短弦长即通径长，故长度为2p＝16.3. 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(B)A. B.2C. D.3解析：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.4. 已知点M是抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点，F为C的焦点，MF 的中点坐标是(2，2)，则p的值为(D)A.1B.2C.3D.4解析：抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，设M，由中点坐标公式可知＝2×2，y1＋0＝2×2，解得p＝4.5. O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为(C)A.2B.2C.2D.4解析：设点P的坐标为(x0，y0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF|＝x0＋＝4，x0＝3，代入抛物线的方程，得|y0|＝2，S△POF＝|y0|·|OF|＝2，故选C.6. 设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点(k，－2)与F点的距离为4，则k的值是(B)A.4B.4或－4C.－2D.2或－2解析：由题意，设抛物线的标准方程为x2＝－2py，由题意，得＋2＝4，△p＝4，x2＝－8y. 又点(k，－2)在抛物线上，△k2＝16，k＝±4. 故选B.7. 如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF 与△ACF的面积之比是(A)A.B.C.D.解析：由图形可知，△BCF与△ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知△BCF与△ACF的面积之比就等于. 由抛物线方程知其焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x＝－1. △点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M. 由抛物线定义，得|BM|＝|BF|－1，|AN|＝|AF|－1. 在△CAN中，BM△AN，△. 故选A.8. (多选题)对于抛物线y2＝10x，下列结论正确的是(AD)A.焦点在x轴上B.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6C.抛物线的通径长为5D.抛物线的准线方程为x＝－解析：对于A，y2＝10x的焦点为，故A正确；对于B，准线方程为x＝－，抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离为1＋，故B错误；对于C，通径长为2p＝10. 故C错误；对于D，准线方程为x＝－，故D正确. 故选AD.二、填空题9. 已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9. 则该抛物线的方程为y2＝8x；此抛物线的准线方程为x＝－2.解析：易知直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，消去y得4x2－5px＋p2＝0，则x1＋x2＝①. 由焦点弦长公式得|AB|＝x1＋x2＋p ＝9 ②. 由①②解得p＝4，从而抛物线的方程是y2＝8x. 抛物线的准线方程为x＝－2.10. 抛物线C：y＝ax2的准线方程为y＝－，则其焦点坐标为，实数a 的值为1.解析：由题意得焦点坐标为，抛物线C的方程可化为x2＝y，由题意得－，解得a＝1.11. 若抛物线y2＝mx与椭圆＝1有一个共同的焦点，则m＝±8.解析：椭圆焦点为(－2，0)和(2，0)，因为抛物线与椭圆有一个共同焦点，故m＝±8.三、解答题12. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值.解：设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)，则准线方程为x＝，由抛物线定义，M点到焦点的距离等于M点到准线的距离，有－(－3)＝5，所以p＝4.所求抛物线方程为y2＝－8x，又因为点M(－3，m)在抛物线上，故m2＝(－8)×(－3)，所以m＝±2.13. 设抛物线C：y2＝4x，O为C的顶点，F为C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点.(1)设l的斜率为1，求|AB|的大小；(2)求证：是一个定值.解：(1)△焦点坐标为F(1，0)，△直线l的方程为y＝x－1，与y2＝4x联立消去y可得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，从而焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.(2)证明：设直线l的方程为x＝ky＋1，与y2＝4x联立消去x可得y2－4ky－4＝0. 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＋yB＝4k，yAyB＝－4.△xAxB＝(kyA＋1)(kyB＋1)＝k2yAyB＋k(yA＋yB)＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1.△＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3.即是一个定值.14. 已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(B)A.x＝1B.x＝－1C.x＝2D.x＝－2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2).又△y1＋y2＝4，△＝k＝1，△p＝2. △所求抛物线的准线方程为x＝－1. 故选B.15. 已知平行于x轴的直线l交抛物线x2＝4y于A，B两点，且|AB|＝8，则l的方程为y＝4.解析：如图，|AB|＝8 xB＝4，将xB＝4代入x2＝4y得yB＝4，则直线l的方程为y＝4.16. 如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB 的斜率.解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0).因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB.由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得所以，所以y1＋2＝－(y2＋2).所以y1＋y2＝－4.由①－②得，＝4(x1－x2)，所以kAB＝＝－1(x1≠x2).。
高中数学 2.2抛物线(二)同步练习(含解析)北师大版选修1-1
§2 抛物线(二)课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫作________________． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的____________．抛物线的顶点为_______． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的____，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线相切．(2)|AB|＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2(m≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．§2 抛物线(二)知识梳理1．(1)x≥0 右 增 (2)x 轴 抛物线的轴(3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．k 2x 2＋2(kb －p)x ＋b 2＝0 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1．B 2．A 3．A如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.]4．B 5．C 6．D7．y 2＝4x 解析 设抛物线方程为y 2＝ax.将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a 2＝2.∴a＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x. 8．2解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x.将其代入y 2＝4x ，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4 2.又F(1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析 抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解 由y ＝mx 2 (m≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y. 11．解 方法一 设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q(4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二 设弦AB 所在直线方程为y ＝k(x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－＋1，消去x ， 得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B13．解 由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1,0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。
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抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( ) (A )y 2＝20x(B )x 2＝20y(C )x y 2012=(D )y x 2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( ) (A )(－4，0) (B )(0，－4) (C )(－2，0) (D )(0，－2) 3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( ) (A )(18，12) (B )(18，－12) (C )(18，12)，或(18，－12) (D )(12，18)，或(－12，18)4．点M 到点F (0，2)的距离与它到直线l ：y ＋2＝0的距离相等，则动点M 的轨迹方程为 ( )(A )8y 2＋x ＝0 (B )x 2－8y ＝0 (C )x 2＋8y ＝0 (D )8y 2－x ＝0 5．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( ) (A )一椭圆和一双曲线的离心率 (B )两抛物线的离心率 (C )一椭圆和一抛物线的离心率 (D )两椭圆的离心率 二、填空题6．焦点为(0，－1)的抛物线的标准方程是____________． 7．准线为x －2＝0的抛物线的标准方程是____________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝____________． 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使该抛物线的方程为y 2＝10x 的条件是______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线y 2＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程．13．求出直线2x －y －3＝0与抛物线y 2＝8x 的公共点A ，B 的坐标，并求|AB |．Ⅲ 拓展性训练14．设P 是抛物线221x y上任意一点，A (0，4)，求|PA |的最小值． 抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( ) (A )4x ＋1＝0 (B )4y ＋1＝0 (C )2x ＋1＝0 (D )2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( ) (A )32(B )3(C )213(D )3413．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( ) (A )x y 612=(B )y 2＝4x (C )y 2＝16x (D )y 2＝24x4．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( ) (A )－1＋2(B )223- (C )21+(D )223+ 5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) (A )34 (B )57 (C )58 (D )3二、填空题6．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是____________．7．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝____________．8．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为____________．9．设抛物线的顶点是椭圆14822=+y x 的中心，焦点是这个椭圆的左顶点，则此抛物线的方程是____________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则|MA |＋|MF |的最小值是____________． 三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求此抛物线的标准方程．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，求|AB |.13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△PAB 面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求|BM |的最小值f (m )．答案： 抛物线A一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 二、填空题6．x 2＝－4y 7．y 2＝－8x 8．161-=y 9．4 10．②，④ 三、解答题11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0)． 当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ； 当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=，知可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由c 2＝a 2＋b 2，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1， 所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线方程2x －y －3＝0，得y ＝2x －3，代入抛物线方程y 2＝8x ，消去y ，得4x 2－20x ＋9＝0，解得29,2121==x x ，所以，)6,29(),2,21(B A -， 故54)62()2921(||22=--+-=AB ． 14．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ，因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x ＝2y ，y ≥0， 代入上式，得7)3(166||22+-=+-=y y y PA ，因为y ≥0，所以当y ＝3时，7||min =PA ，即当点)3,6(±P 时，|PA |有最小值7．抛物线B一、选择题1．B 2．B 3．C 4．B 5．A 二、填空题 6．x y 342=，或y x 292= 7．6 8．)41,0(a - 9．x y 282-= 10．211 三、解答题11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上，所以(－3)2＝2pm ，即Pm 29=① 因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+Pm ②由①②得，5229=+PP ，解得p ＝1或9，所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ．12．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 中点坐标为(x 中，y 中)，则2,2BAB A y y y x x x +=+=中中，由抛物线定义，知2||,2||Px BF P x AF B A +=+=， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝2x 中＋2＝8． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ， 因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d ，故当)49,23(P 时，△PAB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S .14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为y 2＝4x ；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)，∴20202020202)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=∵0204x y =，∴44)]2([42||2002020-+--=-+-=m m x x m mx x BM∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，||||min m BM =； 当m －2≥0时，44||min -=m BM ；综上，对于C 上的动点M ，|BM |的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f。