第三节区间估计

第三节
区间估计
一、区间估计的基本概念
二、典型例题
三、小结
前面，我们讨论了参数点估计.它是用样本算得的一个值 去估计未知参数。但是点估计值仅仅是未知参数的一个近 . 似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，不能反映估 计的可信程度，也无法看出它的精度有多大。有时候我们 可能对参数变动的范围感兴趣，这个就是区间估计，即估 计未知参数值在某个范围之内。例如，预测GDP增长在 7.5%--8.5%，比简单地说增长8%更让人信服。目前流行的 一种区间估计方法是由美国统计学家泰曼与1934年建立的。
X z , X z /2 / 2 , n n
由 n 9, 4, 0.05, z0.025 1.96, x 147.333知,
的置信度为0.95的置信区间为(144.720, 149.946).
三、小结
点估计不能反映估计的精度, 故而本节引入了 区间估计.
( , )即是的置信度为1－的置信区间
注意 : 置信水平为 1 的置信区间是不唯一的 .
如果在例2中取 n 16, 1, 0.05,
查表可得 z / 2 z0.025 1.96,
1 得一个置信水平为 0.95的置信区间 X 1.96. 16
由标准正态分布的上 分位点的定义知
X P z / 2 1 , / n 即 PX z / 2 X z / 2 1 , n n
于是得 的一个置信水平为 1 的置信区间
X z , X z /2 / 2 . n n
这两要求往往是矛盾的。置信度大，置信区间包含参 数的真值的概率就越大，但区间的长度就越大，对未知 参数的估计精度越差；反之，对参数的估计精度越高， 置信区间越小，区间包含真值的概率越小，置信度就越 小。一般准则是：在保证置信度的条件下尽可能的提高 估计精度
二、估计方法
寻求置信区间的基本思想是：在点估计的基础上，构造 合适的样本函数，并针对给定的置信水平导出置信区间 例
(2)对给定的置信度1 － , 选取两个常数a和b, 使对一切
P(a G( X 1 , X 2 , X n , ) b) 1
(3)将a G( X 1 , X 2 , X n , ) b变形为
( X 1 , X 2 ,, X n , ) ( X 1 , X 2 , X n , )
关于定义的说明
被估计的参数 虽然未知, 但它是一个常数 , 没有随机性, 而区间( , )是随机的.
因此定义中下表达式 P{ ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 的本质是 :
随机区间 ( , ) 以 1 的概率包含着参数 的真值, 而不能说参数以 1 的概率落入随机区间 ( , ).
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中,
包含真值的约占 100(1 )%, 不包含的约占 100 %.
例如 若 0.01, 反复抽样1000 次, 则得到的1000 个区间中不包含 真值的约为 10个.
评价一个区间估计的优劣 有两个要素: 其一是估计的精 度，用区间的长度来刻画，长度愈长，精度越低；其二 是置信度、置信水平，即要求随机区间要以很大的概率 包含真值。
P { ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 , 则称随机区间( , )是 的置信度为1 的置信区
间, 和 分别称为置信度为1 的双侧置信区间 的置信下限和置信上限 , 1 为置信度.
由一个样本值算得样本均值的观察值
x 5.20,
则置信区间为 (5.20 0.49 ), 即 (4.71, 5.69).
在例2中如果给定 0.05,
X 则又有 P z0.04 z0.01 0.95, / n
即 P{ X

n
z0.01 X
一、区间估计的基本概念
1. 置信区间的定义
设总体 X 的分布函数 F ( x; ) 含有一个未知参 数 , 对于给定值 (0 1), 若由样本X 1 , X 2 ,, X n 确定的两个统计量
( X 1 , X 2 ,, X n )和 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 满足

n
z0.04 } 0.95,
故 X z0.01 , X z0.04 也是 的置信水平 n n 为 0.95的置信区间.
其置信区间的长度为

n
( z0.04 z0.01 ) .
比较两个置信区间的长度
L1 2 L2

n
z0.025 3.92
另外定义中的表达式 P { ( X 1 , X 2 ,, X n ) ( X 1 , X 2 ,, X n )} 1 还可以描述为 :
若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区 间( , ),
每个这样的区间或包含 的真值或不包含 的真值,

n
,

n
( z0.04 z0.01 ) 4.08

n
,
显然 L1 L2 . 置信区间短表示估计的精度高.
说明: 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对 称的情况, 易证取a和b关于原点对称时,能使置信区 间长度最小.
例3 设某工件的长度X 服从正态分布 N ( ,16), 今抽9件测量其长度, 得数据如下(单位:mm): 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160. 试求参数 的置信水平为95％的置信区间 . 解 根据例2得的置信度为1 的置信区间
设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自正态总体N ( , 2 )
的样本, 其中 2 为已知, 为未知, 求 的置信水平 为 1 的置信区间 .
解
因为 X 是 的无偏估计,
X 且U ~ N (0,1), / n X ~ N (0,1)是不依赖于任何未知参 数的, / n
概率论与数理统计
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史 册 主讲
第七章 参数估计 • • • • • • 点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体参数的区间估计 非正态总体参数的区间估计 单侧置信区间
教学基本要求
• 基本要求： • 掌握：矩估计法（一阶矩、二阶矩）和极大似然估计法 ，正态总体均值、方差、标准差的置信区间的求法。 • 熟悉：两个正态总体的均值差和方差比的置信区间的求 法。 • 了解：参数的点估计、估计量与估计值的概念，建立未 知参数的（双侧和单侧）置信区间的一般方法。 • 重点: 正态总体均值、方差、标准差的置信区间的求法。 • 难点：极大似然估计法。
这样的置信区间常写成
其置信区间的长度为
z / 2 . X n 2来自nz / 2 .
求未知参数置信区间的具体方法
ˆ( X , X X )构造一个样本 (1)利用的无偏估计量 1 2 n
X 1 , X 2 , X n的函数 : G( X 1 , X 2 , X n , )
置信区间是一个随机区间 ( , ), 它覆盖未知参 数具有预先给定的概率 ( 置信水平 ) , 即对于任 意的 , 有 P{ } 1 .
求置信区间的一般步骤(分三步).