参数的点估计与区间估计共46页
点估计和区间估计
点估计和区间估计
统计学是通过什么检测两个变量之间是否有关系？
例如⾝⾼和性别是否有关系
答：通过检测男性样本的⾝⾼均值 VS ⼥性样本的⾝⾼均值是否有差异，
有差异就说明两个变量之间存在关系。
检验均值的差异是否为零，不看⼤⼩只看是否为零
参数估计
例题：北京市领导想知道当年住宅价格增长率是否达到了国家限定的阈值，⽐如10%
1.我们需要的是总体数据，但总体⽆法全部获取到，所以我们只能抽样，⽤样本去估计总体参数
2.拿到样本后，我们能得到样本的统计量（样本均值x、样本⽅差s2、样本标准差s）
3.我们实际想要的其实是总体参数（总体均值µ、总体⽅差σ2、总体标准差σ）
4.既然要⽤样本参数去估计总体参数，就有两种估计⽅法，⼀种是点估计，⼀种是区间估计。
点估计记住下⾯两个公式
5.点估计的准确性如何呢？它取决于抽样的偏差，如果我们抽样不均衡会出现偏差，因此就出现了另⼀种估计⽅法，也就是区间估计。
既然⽤⼀个点去估计存在偏差，那我们就使⽤⼀段区间，也就是所谓的置信区间。
置信区间怎么得到呢？以95%置信度为例，置信区间为，以样本均值为中⼼左右两个标准差之间的范围。
标准差从何⽽来呢？它是样本均值的标准差，也即标准误。
为了计算样本均值的标准差，我们需要抽取多个样本，然后计算每个样本的均值，获得⼀组样本均值，然后再计算这些均值的标准差，这样就得到了标准误。
但是，缺点是我们需要多次取样，⽅能计算出标准误。
不过统计学家给出了计算标准误的公式，这样就⽆需多次取样了。
这样我们就能可以计算置信区间了。
参数估计之点估计和区间估计
作者 | CDA数据分析师参数估计（parameter estimation）是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。
人们常常需要根据手中的数据，分析或推断数据反映的本质规律。
即根据样本数据如何选择统计量去推断总体的分布或数字特征等。
统计推断是数理统计研究的核心问题。
所谓统计推断是指根据样本对总体分布或分布的数字特征等作出合理的推断。
它是统计推断的一种基本形式，分为点估计和区间估计两部分。
一、点估计点估计是依据样本估计总体分布中所含的未知参数或未知参数的函数。
简单的来说，指直接以样本指标来估计总体指标，也叫定值估计。
通常它们是总体的某个特征值，如数学期望、方差和相关系数等。
点估计问题就是要构造一个只依赖于样本的量，作为未知参数或未知参数的函数的估计值。
构造点估计常用的方法是：①矩估计法，用样本矩估计总体矩②最大似然估计法。
利用样本分布密度构造似然函数来求出参数的最大似然估计。
③最小二乘法。
主要用于线性统计模型中的参数估计问题。
④贝叶斯估计法。
可以用来估计未知参数的估计量很多，于是产生了怎样选择一个优良估计量的问题。
首先必须对优良性定出准则，这种准则是不唯一的，可以根据实际问题和理论研究的方便进行选择。
优良性准则有两大类：一类是小样本准则，即在样本大小固定时的优良性准则；另一类是大样本准则，即在样本大小趋于无穷时的优良性准则。
最重要的小样本优良性准则是无偏性及与此相关的一致最小方差无偏估计，其次有容许性准则，最小化最大准则，最优同变准则等。
大样本优良性准则有相合性、最优渐近正态估计和渐近有效估计等。
下面介绍一下最常用的矩估计法和最大似然估计法。
1、矩估计法矩估计法也称“矩法估计”，就是利用样本矩来估计总体中相应的参数。
它是由英国统计学家皮尔逊Pearson于1894年提出的，也是最古老的一种估计法之一。
对于随机变量来说，矩是其最广泛，最常用的数字特征，主要有中心矩和原点矩。
由辛钦大数定律知，简单随机样本的原点矩依概率收敛到相应的总体原点矩，这就启发我们想到用样本矩替换总体矩，进而找出未知参数的估计，基于这种思想求估计量的方法称为矩法。
参数估计
（2）再用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩
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设 总 体X ~ N ( , 2 ), , 2 未 知 ， 设 例1： ( X 1 , X 2 ,..., X n )为 来 自 总 体 的 样 本 ， 求 X 与 2的 矩 估 计 量 。
解：先建立待估参数与总体矩的关系
维随机变量，样本的联合概率密度为:
f ( x1 , x2 ,, xn ) f X 1 ( x1 ) f X 2 ( x2 ) f X n ( xn )
f ( x1 , ) f ( x2 , ) f ( xn , ) f ( xi , )
i 1
n
显然上式也为θ的函数，记作 L( )，即
L( ) f ( xi , )
i 1 n
我们称 L( ) 为似然函数。
小结：
似然函数
n p( x i ; ) i 1 L( ) n f ( x i ; ) i 1
由上可知，求极大似然估计值就是求使 L( ) 取最大的θ值。 下面我们用例子来说明求解极大似然估计值的步骤。
6
3
[ x dx x dx]
2 3 0 0
2
用样本k阶矩代替相应的总体k阶矩,得θ的矩估计量：
ˆ 2X
２）将数据代入，得θ的矩估计值为：
ˆ 2x 2 1 xi 8.9 8 i 1
8
计 算 器 的 使 用
例3：设总体X在区间[a,b]上服从均匀分布, a , b
实为 发生的概率。
根据极大似然原理，
概率大的事件在一次观测中更容易发生。
现在只做一次抽样， 事件 { X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn } 故 认为其概率较大。 认为其概率较大。 也即我们应选择 使 L( ) 取最大值。 我们把使 L( ) 取最大值的 值称为 的极大 竟然发生了,
参数估计PPT课件
高维数据问题
随着数据维度的增加，参数估计的准确性和稳定性面临更大的挑战 。
异方差性和非线性问题
在实际应用中，数据往往存在异方差性和非线性关系，这增加了参 数估计的难度。
参数估计的发展趋势与未来研究方向
1 2 3
贝叶斯推断
区间估计是一种统计推断方法， 它利用样本信息来估计未知参数 的可能取值范围。
区间估计的性质
区间估计给出的是未知参数的一 个可能取值范围，而不是一个具 体的点估计值。
区间估计的优缺点
优点
区间估计能够给出未知参数的一个可能取值范围，从而为决 策者提供更多的信息，有助于理解参数的不确定性。
缺点
由于区间估计给出的范围较宽，可能会引入较大的误差。此 外，对于某些复杂模型，构造有效的区间估计可能比较困难 。
在贝叶斯估计中，先验分布代表了我们对未知参数的先验知识或信念，而后验分布 则是结合先验信息和样本数据后对未知参数的更新信念。
贝叶斯估计的核心思想是将参数看作随机变量，并利用概率论来描述我们对参数的 认知不确定性。
贝叶斯估计的优缺点
优点
贝叶斯估计能够综合考虑先验信息和样本数据，给出参数的后验分布，从而为决 策提供更全面的信息。此外，贝叶斯估计方法灵活，可以适用于不同类型的数据 和问题。
点估计的优缺点
总结词
点估计的优缺点
详细描述
点估计的优点在于它提供了一个简洁的表示未知参数的方法，并且可以利用各种统计方法进行推断和分析。然而 ，点估计也存在一些缺点，如它可能会受到样本误差的影响，导致估计结果不够准确；另外，当样本容量较小时 ，点估计的效果可能会较差。
点估计的常见方法：矩估计、最小二乘法等
参数的点估计及区间估计PPT46页
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
高教社2024高等数学第五版教学课件-12.3 参数估计
2
=
(−1) 2
2 (
～
2
− 1)
2 变量中包含 2 ，它的分布又与 2 无关，因此可以用 2 构造 2 的置信区
间.
由 2 分布特点，对给定的置信度1 − ，令
2
{1−
2
( − 1) 2
2
≤
≤
}=1−
2
2
2
{( − 1) 2 ൗ2 ( − 1) ≤ 2 ≤ ( − 1) 2 ൗ1−
（ = 0.2），试对总体均值作区间估计.
解 在该总体中取一个样本1 , 2 , ⋯ , ，样本均值为，的点估计为
lj
，现
lj
在我们要给出的一个区间估计，以体现出估计的误差.为此可取一个估计函
数
(lj − )
=
它是的标准化随机变量，具备下面两个特点：一、中包含所要估计的未
现随机抽测10名乘客的候车时间，数据如下：
4，2，3，8，1，6，8，5，4，9
试估计这个总体的数学期望、方差以及参数的值,并求乘客等车时间不超过6
分钟的概率.
解 分别用样本的均值和方差估计总体的期望和方差，所以总体的期望和方差估
计值分别为：
1
lj =
(4 + 2 + 3 + 8 + 1 + 6 + 8 + 5 + 4 + 9) = 5
{ ≤ 5} =
6
0 ()
=
6 1
0 10
= 0.6.
2. 极大似然估计法
引例 设有两个外包装完全一样的箱子，甲箱中装有999件合格品和1件
计量经济学-1参数估计
回忆： (1) f ( x ) 0, ln[f ( x )]单调性相同，从而最大值 点相同.
( 2) L( ) p( xi ; ) n项连乘, 求导麻烦
i 1 n
ln[L( )] n项相加，求导简单
从而，
对数似然函数
求的 L( ) 最大值点就转为求ln[ L( )] 的最大值点 方法二： d ln[ L( )] ˆ 解方程 0, 得到 d
已知取到红球 , 问最有可能从何箱取 ?
P (红球/甲) 0.99 P (红球/乙) 0.01
自然，认为从甲箱取更合理
又如，兔龟赛跑，得第一名的最有可能是谁？ 极大似然估计法： （1）X---离散型，已知 X的分布
P ( X x ) p( x, ), 未知
样本 ( X1 , X2 ,, Xn ) 取到观测值 ( x1 , x2 ,, xn ) 事件A
解：E X
xf x dx 0 x dx
1
1
令E X X
1
X ˆ
X 1 X
2
二、 极大似然估计法
极大似然估计法是在总体的分布类型已知的 条件下所使用的一种参数估计方法. 它首先是由德国数学家 高斯在1821年提出的 . 然而，这个方法常归功于 英国统计学家费歇 .
, 2
L( , )
2 i 1
n
1 e 2
( xi ) 2 2 2
n
( 2 )
n 2
( )
n 2 2
1
e
2 2 i 1
( xi ) 2
n n 1 n 2 2 ln L( , ) ln( 2 ) ln( ) ( x ) i 2 2 2 2 i 1
第2章-总体特征数的点估计与区间估计
( x − y ) − ( µ1 − µ 2 ) ( n1 − 1) s1 + (n 2 − 1) s 2 n1 + n 2 − 2
2 2
∼ t(n1+ n2 –2)
（2-11） ）
1 1 + n1 n 2
服从 n1+ n2–2 个自由度的 t 分布。 分布。 其中 s12， 22 分别是这两个样本{x1, x2, …, xn} s 分别是这两个样本 的样本方差。 的样本容量。 和 {y1, y2, …, yn}的样本方差。n1、n2 分别表示总体 xi 和 yi 的样本容量。 的样本方差
2.2 几种统计量的抽样分布 统计量： 称作统计量。 统计量：样本 {x1 ，x2，…, x n} 的函数 f (x1, x2, …, xn) 称作统计量。 2.2.1 样本平均数 x 的抽样分布
1 若样本用{x 表示， 计算公式是 若样本用 1 ，x2，…, x n}表示，已知样本平均数 x 的计算公式是 x = 表示 n
x−µ
σ2
n
) 。把 x 标准化为 Z， 标准化为 ，
σ/ n
分布。 ∼ N(0, 1) , Z 渐近服从 N(0, 1)分布。 分布
2.4 2.0 1.6 1.2 T=200
总体中抽样， 从χ2(3)总体中抽样，随着样本容量加大， 0.8 总体中抽样 随着样本容量加大， T=4, 15, 200，样本平均数的分布越来 ， 越近似正态分布。 越近似正态分布。 File：central-limit-1 ： File： 5 central1 。 ：
2.2.4 统计量 F 的抽样分布 相互独立， 定理 3：若 xi ∼ χ2(n1)，yi ∼ χ2(n2), 且 xi 与 yi 相互独立，则统计量 ： ， F=