概率论区间估计
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概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
5
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
概率论中的估计和假设检验
概率论中的估计和假设检验概率论是一个研究随机现象的数学学科，也是自然科学、工程技术和社会科学等领域的重要基础。
在概率论中，估计和假设检验是两个重要的问题，它们在实际应用中具有广泛的应用。
一、估计估计是指根据样本数据来推断总体参数的值。
在统计学中，参数是用来描述总体的一个或多个特征的数字。
比如，总体的均值、标准差、比例等都是参数。
而样本是从总体中抽取的一部分数据，样本统计量是根据样本数据计算出来的样本特征的数字，比如样本均值、样本标准差、样本比例等。
估计可以分为点估计和区间估计两种。
点估计是指用一个单一的数字来估计总体参数，比如用样本均值来估计总体均值，用样本比例来估计总体比例等。
区间估计是指估计总体参数的同时给出一个估计区间，区间内的值有一定概率包含总体参数的值，比如用置信区间来估计总体均值，可以给出一个概率，表示总体均值落在置信区间内的概率。
在实际应用中，用什么方法进行估计需要根据具体情况来确定。
如果总体分布已知，可以用经验分布函数或者正态分布等分布来进行估计。
如果未知，则需要采用不同的估计方法，比如最大似然估计、贝叶斯估计等方法。
二、假设检验假设检验是统计学中的另一个重要内容，它通过对样本数据的分析，对总体做一个假设，并根据样本数据对假设的真实性进行判断。
假设检验的目的在于确定样本数据是否符合某一假设，比如样本均值是否等于某个给定的值，样本比例是否达到某个水平等。
假设检验可以分为参数检验和非参数检验两种。
参数检验是指假设总体参数已知或者已经进行了估计，并用参数来表示总体的分布，比如正态分布、泊松分布等。
非参数检验是指不需要对总体分布进行假设，可以直接对样本进行分析，比如Wilcoxon秩和检验、Kolmogorov-Smirnov检验等。
假设检验中通常需要指定一个显著性水平，表示判断是否显著的标准。
显著性水平指的是拒绝原假设的概率，通常设定为5%或1%。
如果计算得到的p值小于显著性水平，则拒绝原假设，否则不拒绝。
4.6 概率论——区间估计
3.
方差比
2 1
/
2 2
的置信区间
F
S12 S22
2 1
2 2
S12
2 1
S22
2 2
~ F (n1 1, n2 1)
给定, 找临界值，使
P(F1 / 2(n1 1, n2 1) F F / 2(n1 1, n2 1)) 1
方差比
2 1
/
2 2
的置信度为
1
的置信区间
S12 S22 F /（2 n1 1，n2
1004 1000 996 1002 998 999 如何估计该包装机所包 装的洗衣粉重量的方差
( 0.05) 解： 2 的0.95的置信区间
(n
2 /
1) 2(n
S
2
1)
,
(n
12
1)S 2 / 2 (n 1)
02.97（5 11） 3.816 02.02（5 11） 21.92 (n 1)S 2 76.25
的置信水平为0.90的置信区间
的置信水平为0.50的置信区间
取=0.50，我
们也可以给 出100个这样 的区间，可 以看出，这 100个区间中 有50个包含 参数真值15， 另外50个不 包含参数真 值。
二. 正态总体均值的区间估计
例1. 总体
X
~
N
(
,
2 0
)
2 0
已知
X1, X2, , Xn为来自总体X 的一个样本， 求 一 个 区 间 ， 使 之 以95% 的 把 握 断 定 这 个 区 间
1
2 1
/2
(n
1)
2的 1 的置信区间
2 2 / 2 (n 1)
概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节
n
E(X
k
)
E(X
k)
i1
i1
二、有效性
未知参数 的无偏估计量不是唯一的.
设 ^1 和 ^2 都是参数 的无偏估计量,
θˆ 1
θˆ 2
集中
分散
蓝色是采用估^ 计量 1 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值. 紫色是采用估^ 计量 2 , 用 14 个样本值得到的 14 个估计值.
若limD(ˆ)0， 则ˆ是的一致估 . 计量 n
回顾例子.设总体X的概率密度为
f(x)6x3 (x),0x;
0, 其他
X1, X2,…, Xn 是取自总体X 的简单随机样本, (1) 求的矩估计量 ˆ；
(2) 求ˆ的方差D(ˆ).
解：矩估计 ˆ量 2X. D(ˆ)4D(X)4D(X)2
若滚珠直径服从正态分布X ~ N( , 2), 并且已知 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%
的置信区间.
解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间
Xσn 0 uα/,2 Xσn 0 uα/2
已 n 知 1,0 0 0 .1,6 0 .0,5 x110i110xi 14.92,
若进行n次独立重复抽样，得到n个样本观测值,
每个样本观测 个值 随确 机(定 ˆ1区 ,ˆ2一 )间 .那么
每个区间的 可真 能 ， 或 值 包不 含包 的含 真 , 值
根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中,
包含 真值1 的 0(1 0 约 )% 占 ,不包含 10 的 % 0. 约
便得 k的 到 最大似 ˆk(X 1,然 X 2, ,估 X n).计
第二节 判别估计量好坏的标准
简述区间估计的概念
简述区间估计的概念
区间估计是一种统计学方法,用于估计某个参数或变量的取值范围。
在概率论和统计学中,区间估计是指给定一些样本数据,计算一个区间,这个区间应该是一个合理的范围,能够覆盖数据的大多数情况。
在区间估计中,我们通常选择一个中心点作为估计值,然后根据样本数据计算出两个点之间的误差范围。
这个误差范围就是区间的边界,也就是估计值和实际值之间的范围。
区间估计的应用场景非常广泛,例如在医学研究中,医生可以使用区间估计来估计患者某种疾病的概率;在金融领域中,投资者可以使用区间估计来估计某个股票的价格趋势。
除了计算区间外,还有一些常见的方法可以用来进行区间估计,例如最大似然估计、贝叶斯区间估计、参数估计和区间生成器等。
这些方法可以根据具体情况选择使用。
拓展:
区间估计的优点是能够给出一个合理的范围,能够反映数据的大多数情况,并且不需要对数据进行精确预测。
但是,区间估计也有一些局限性,例如可能会受到样本量、数据分布、噪声等因素的影响。
因此,在进行区间估计时,需要结合具体情况进行判断。
概率论15区间估计与假设检验
，X , S 2分别是 样本均值和样本方差，
则有
X
S
X S
~
t n 1
n 1
n
（2）方差 2 的区间估计
10 已 知
1
2
n
(Xi
i1
)2
~ 2(n)
2的置信度为1α的置信区间是
n (Xi )2
n (Xi )2
i1
2
(n)
2
,
i 1
12
2
(n)
20 未知
(n 1)S2
解 该问题是方差未知, 对正态总体均值进行估计.
(X t (n 1) S
2
n
,
X t (n 1) S
2
) n
x 3056.67 s* 375.31 n 12 t0.025 (11) 2.201
所求区间估计为(2812.21, 3295.13).
设 X1, X 2,, X n 是总体X ~ N , 2 的样本
即 X 0 0
Z 是 衡 量H0 真 伪 的 标 准 . 2
n
如 例1中, 0.005 Z 1.96 n 6
2
0 1 x 19.503 0 20
x 0 0
0.7351.96
n
故认为 机床生产正常，即该天加工的零件直径
平均是20mm.
综述假设检验方法的基本思想是:由 样本出发,在 H 0 为真的前提下通过对被 检参数的点估计量,结合统计量的分布,构 造统计量(枢轴函数),由此结合实际,并利 用上α分位点确定小概率事件,便得检验
其中例1为参数检验,例2为非参 数检验.
二 假设检验的基本思想
例1 用机床加工圆形零件，正常情况下 零件的直径X服从正态分布N(20,1)(单 位：mm), 某日开工后为检查机床是否 正常,随机抽取6个,测得直径分别为
概率论区间估计
(n 1)S 2
2
当置信水平为1-时，由
P
2
1
(n 1)
2
(n 1)S 2
2
2
2
(n
1)
1
查2- 分布表，拟定双侧分位数 2 (n 1), 2 (n 1)
1 2
2
从而得2旳置信水平为1-旳置信区间为
(n 1)S 2
2 (n 1) 2
,
(n 1)S 2
2 1
2
(n
1)
例4 设某灯泡旳寿命X~N（，2）， ，2未知，现 从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5，11.0， 11.2，12.5，12.8（单位：千小时），求置信水平为 90%旳2旳区间估计。
小结
总体服从正态分布旳均值或方差旳区间估计 假设置信水平为1- （1）方差已知，对均值旳区间估计
构造U-统计量，反查原则正态分布表，
拟定U旳双侧分位数 u 2
得EX旳区间估计为
X
u
2
,
n
X
u 2
n
小结
总体服从正态分布旳均值或方差旳区间估计
假设置信水平为1-
（2）方差未知，对均值旳区间估计
构造T-统计量，查t-分布临界值表，
精确度降低 ——原因：样本容量降低
在实际应用中，方差未知旳均值旳区间估计 较有应用价值。
练习 假设某片居民每月对某种商品旳需求量X服从正态
分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为
10公斤，方差为9，假如某商店供给10000户，试就居民
对该种商品旳平均需求量进行区间估计（=0.01），并
依此考虑至少要准备多少这种商品才干以99%旳概率满
拟定T旳双侧分位数 t 2 (n 1)
区间估计和假设检验
说明这个区间估计的可靠性为95%.
对于同一总体和同一抽样规模来说
①所给区间的大小与做出这种估计所具有的把握性形
成正比.
② 区间大小所体现的是估计的精确性,区间越大,精确
性程度越低,区间越小精确性越高,二者成反比.
精选可编辑ppt
3
③ 从精确性出发,要求所估计的区间越 小越好,从把握性出发,要求所估计的区间越大 越好,因此人们总是需要在这二者之间进行平 衡和选择.
Z(0.05/2)=1.96
精选可编辑ppt
16
然后根据样本数计算统计值:
公式为:
Z= X—μ = 220—210 = 6.67
S/√n
15/√100
由于Z=6.67＞Z (0.05/2) =1.96 所以.拒绝虚无假设,接受研究假设,即
从总体上说,该单位职工月平均奖金与上月 相比有变化.
精选可编辑ppt
P≤
0 .1 0 0 .0 5 0 .0 2 0 .0 1
│ Z│ ≥
一端
二端
1 .2 9
1 .6 5
1 .6 5
1 .9 6
2 .0 6
2 .3 3
2 .3 3
2 .5 8
精选可编辑ppt
7
3.总体百分数的区间估计
总体百分数的区间估计公式为:
P±Z（1－α）
P（1—p） n
这里，P为样本的百分比 。 例题：
为了验证这一假设是否可靠,我们抽取100 人作调查,结果得出月平均收入为220元,标准 差位15元.
显然,样本的结果与总体 结果之间出现了 误差,这个误差是由于我们假设错误引起的,还 是由于抽样误差引起的呢?
如果是抽样误差引起的,我们就应该承认
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区间：=0.05；=0.01。
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
EX x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）
当=0.01时，u0.005 2.58 所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）
置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。
5
可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？
如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计
量可知 U X ~ N 0,1
n
由
P
X
n
0.95
查表得 1.96
0.95
即
P
X
n
1.96 0.95
而 X 2
1.96 2
n
解得
n
1.96 12 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
138.29
至少要调查139人
正态总体方差未知，对均值的区间估计
如果总体X~N（，2），其中，均未知
由 X ~ t(n 1) 构造T-统计量 T X
估计误差为 24.9536 9.9072 2
精确度降低 ——原因：样本容量减少
在实际应用中，方差未知的均值的区间估计 较有应用价值。
练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态
分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为
10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民
由抽取的9个样本，可得 S 0.18 x 21.4 n 9
由 1 0.95 得 0.05 查表得 t0.025 (8) 2.306
t 2 (8)
S 2.306 0.18 0.13836
n
9
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
P127例5与P126例3的比较：
1——置信下限 2——置信上限
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。
3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。
例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布 N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平 均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种 估计误差小于2元，问至少要调查多少人？ 解 由题意知：消费额X~N（，122），设要调查n人。
由 1 0.95 得 0.05 查表得 u 2 1.96
解 由题设可知：平均消费额X~N（，2）
S 12 x 80 n 25
由 1 0.95 得 0.05 查表得 t0.025 (24) 2.064
S
12
t 2 (24)
2.064 n
4.9536 25
平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）
正态总体方差已知，对均值的区间估计
如果总体X~N（，2），其中2已知， 未知，
则取U-统计量 U X ，对做区间估计。 n
对给定的置信水平1-，由
PU
u 1
确定临界值（X的双侧分位数）得的2 置信区间为
X
u
2
n
,
X
u
2
X 1.96 X 1.96
n
n
置信水平、置信区间
设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
n
将观测值 x1, x2, , xn 代入，则可得具体的区间。
例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm）
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4
Sn
Sn
当置信水平为1-时，由 P T t 2(n 1) 1
查t-分布表确定 t 2 (n 1)
从而得的置信水平为1-的置信区间为
X
S n t 2 (n 1),
X
S n
t
2
(n
1)
例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。 解 由题设可知：口杯的重量X~N（，2）
对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并
解 （1）由矩法估计得EX的点估计值为
EX x 1 14.6 15.114.9 14.8 15.2 15.1 14.95
6
续解 （2）由题设知X~N（，0.06）
构造U-统计量，得EX的置信区间为
X
u
2
n , X u 2
n
而 x 14.95, 0.06 0.1
n6
当=0.05时，u0.025 1.96
所以，EX的置信区间为（14.754，15.146）
当=0.01时，u0.005 2.58 所以，EX的置信区间为（14.692，15.208）
置信水平提高，置信区间扩大，估计精确度降低。
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可以认为该种灯泡的使用寿命在1473.4个单位时间左右， 但范围有多大呢？又有多大的可能性在这“左右”呢？
如果要求有95%的把握判断在1473.4左右，则由U统计
量可知 U X ~ N 0,1
n
由
P
X
n
0.95
查表得 1.96
0.95
即
P
X
n
1.96 0.95
而 X 2
1.96 2
n
解得
n
1.96 12 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
138.29
至少要调查139人
正态总体方差未知，对均值的区间估计
如果总体X~N（，2），其中，均未知
由 X ~ t(n 1) 构造T-统计量 T X
估计误差为 24.9536 9.9072 2
精确度降低 ——原因：样本容量减少
在实际应用中，方差未知的均值的区间估计 较有应用价值。
练习 假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态
分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为
10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民
由抽取的9个样本，可得 S 0.18 x 21.4 n 9
由 1 0.95 得 0.05 查表得 t0.025 (8) 2.306
t 2 (8)
S 2.306 0.18 0.13836
n
9
全部口杯的平均重量的置信区间为（21.26，21.54）
P127例5与P126例3的比较：
1——置信下限 2——置信上限
几点说明
1、参数的置信水平为1-的置信区间（ 1， 2） 表示该区间有100（1-）%的可能性包含总体参 数的真值。
2、不同的置信水平，参数的置信区间不同。
3、置信区间越小，估计越精确，但置信水平会降低； 相反，置信水平越大，估计越可靠，但精确度会降 低，置信区间会较长。一般：对于固定的样本容量， 不能同时做到精确度高（置信区间小），可靠程度也 高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要缩小估计范 围，则必须增大样本容量，增加抽样成本。
例2 假定某地一旅游者的消费额X服从正态分布 N（，2），且标准差=12元，今要对该地旅游者的平 均消费额EX加以估计，为了能以95%的置信度相信这种 估计误差小于2元，问至少要调查多少人？ 解 由题意知：消费额X~N（，122），设要调查n人。
由 1 0.95 得 0.05 查表得 u 2 1.96
解 由题设可知：平均消费额X~N（，2）
S 12 x 80 n 25
由 1 0.95 得 0.05 查表得 t0.025 (24) 2.064
S
12
t 2 (24)
2.064 n
4.9536 25
平均消费额的置信区间为（75.0464，84.9536）
正态总体方差已知，对均值的区间估计
如果总体X~N（，2），其中2已知， 未知，
则取U-统计量 U X ，对做区间估计。 n
对给定的置信水平1-，由
PU
u 1
确定临界值（X的双侧分位数）得的2 置信区间为
X
u
2
n
,
X
u
2
X 1.96 X 1.96
n
n
置信水平、置信区间
设总体的分布中含有一个参数，对给定的，如果 由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量
1（ X1，X2，…，Xn ）， 2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{1 << 2}=1- ，则称随机区间（ 1 ， 2 ）为 参数的置信度（或置信水平）为1- 的置信区间。
n
将观测值 x1, x2, , xn 代入，则可得具体的区间。
例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm）
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径EX的点估计； （2）若已知方差为0.06，试求该天平均直径EX的置信
区间估计的思想
点估计总是有误差的，但没有衡量偏差程度的量， 区间估计则是按一定的可靠性程度对待估参数给出一个 区间范围。
引例 设某厂生产的灯泡使用寿命X~N（，1002），现 随机抽取5只，测量其寿命如下：1455，1502，1370， 1610，1430，则该厂灯泡的平均使用寿命的点估计值为
x 1 1455 1502 1370 1610 1430 1473.4
Sn
Sn
当置信水平为1-时，由 P T t 2(n 1) 1
查t-分布表确定 t 2 (n 1)
从而得的置信水平为1-的置信区间为
X
S n t 2 (n 1),
X
S n
t
2
(n
1)
例3 某厂生产的一种塑料口杯的重量X被认为服从正态 分布，今随机抽取9个，测得其重量为（单位：克）： 21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3， 21.6。试用95%的置信度估计全部口杯的平均重量。 解 由题设可知：口杯的重量X~N（，2）
对该种商品的平均需求量进行区间估计（=0.01），并