概率论-参数估计1
估计鱼塘中有多少条鱼,鱼塘主先从鱼塘中
网起100条鱼作上记号后，放回鱼塘中,过了一段时间 (使有记号的鱼和无记号的鱼混合均匀)后， 从鱼塘中 网起一网鱼,共80条,其中有记号的鱼有2条。试估计鱼 塘中有多少条鱼。 由于数量很大，可以近似认为是简单随机取样，故每条 鱼是否有记号服从Xi~B(1,100/N) 估计N就是估计参数p=100/N。 可以用矩法来估计: E[X]=p=100/N
E[ X ]
此时参数恰为分布的期望，所以可以直接用样本均 值来估计 ，省去了求解方程这一步。
1 n X Xi n i 1
参数本身为分布的数字特征，不需求解方程，直接利
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
可以省略，只要明确写出用哪些统计量来估计相 应的参数即可
引例：X ~ U [a, b] 求a，b的估计。 很多时候参数并没有直接的概率意义。所以想要直 接用样本各阶矩作为估计量来估计参数是不现实的。 有没有一般的办法来构造估计量？ 曲线救国：尽管不能直接用样本矩作为参数的估 计量，不管三七二十一，先估计总体的各阶矩， 进而通过求解方程得到参数的估计量。
k 阶矩的概念
定义 设 X为随机变量，若 E ( X ) 存在，则称 E ( X k )
k
为 X 的 k 阶原点矩，记作 Vk E[ X k ] ；若 k E ( X EX ) 存在，则称 E ( X EX )k 为 X 的 k 阶 中心矩，记作 Uk E[( X E[ X ])]k
Al )
ˆ 为 , , , 的矩估计量 , 1 2 l l
注意
第(2)步和第(3)步的次序可以对换； (2’)求解方程组中的参数
k hk (V1 Vl )
(3’)将等式中样本的矩替换总体矩
k hk ( A1
ˆ , ˆ, 从而 1 2
和原点矩混合
Al )
ˆ 为 , , , 的矩估计量 , 1 2 l l
解： 注意到：E[X]=1/λ,
ˆ ，再求其倒数 可以求参数的极大似然估计 L n xi 当xi >0时，X的似然函数为 L n e i 1
取对数
ln L n ln xi
i 1 n
求导找出极大值点
dL n n xi 0 d i 1
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计总体随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近
计算样本的期望和方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 ˆ 2 S50 X i2 ( X )2 50 i 1
一般步骤
若总体X的分布函数中含有l个参数1， 2， …， l，
X ~ FX . , 1 , 2 ,
我们以原点矩为例说明：
, l
要估计l个参数，我们需要l个统计量及l个相应的方程。
(1)求出总体的各阶矩，作为被统计量
Vk E[ X k ] gk 1 , 2 ,
, l
E[ X ]
2
x
2
2
e
x
dx
0
x e
2
x
dx
2
2
.
可先求解参数
2 E[ X 2 ]
再代入样本对应的矩
ˆ M
2n
2 X i i 1 n
有无其他方法？
E X = x 2 e
1 E X
x
k 1, 2 ,
,l
(2)用样本的矩作为总体矩的统计量
Vk (1 ,2 ,
,l ) Ak
1 k (k 1,2, X i n i 1
l ) Ak
n
, l)
得l个方程构成的方程组： g (1 (3)求解方程组中的参数
k hk ( A1
ˆ , ˆ, 从而 1 2
内容提要
参数的点估计
矩法估计 极大似然估计
估计量优劣性的评价
参数的区间估计
参数的点估计
矩法，极大似然法
参数的估计量和估计值
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn 为样本，构造一个统计量 参数，则称
( X1 , X 2 , , X n ) 为参数的估计量。
100 2 N 4000 N 80
2 x 80
参数的极大似然估计法
当时的解法 求参数p使得P(Y=X1+…+Xn=2)最大
这样的思想实际上有很广的应用范围，我们以连续型
随机变量为例来说明。
思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则 样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为 n f ( x1 , x2 , , xn , ) f ( xi , ) 原本是x的函数， 作为参数。现在反过来看，视为 的函数。将具体观测值x1, …xn代入，得到仅关于θ的 一元函数 L( ) f ( x1 , x2 , 称为似然函数
涉及中心距的参数也可类似求解，甚至可以中心距
例： 总体 X ~ U a, b， 求a，b的矩估计。
解：假设取样n次，先写出总体，样本，并按照矩
法写出估计量
总体：X 样本：X1, X 2 ,
, Xn
接下来是矩法的标准步骤： a,b是均匀分布的两个参数
第一步：计算一阶原点矩和二阶中心矩
b - a ab E[ X ] ，Var X 2 12
这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶
矩差别很小。
不仅仅是矩法估计，所有统计方法的中心思想都一
致：用部分推断整体；当部分足够大时，根据大数
定理，所做的推断越来越接近真实值。
例：长期的生产经验告诉我们，水泥厂成品打包机
装袋的重量X服从正态分布，试用矩法估计来估计
参数μ和σ2 。
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量
矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存 在k阶矩，对任意 0 有
1 n k k lim P X i E X 0 n n i 1
2 此时， ˆ , ˆ 为两个估计量
假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入估计量中，有
估计值：
ˆ ( x1, x50 ), ˆ 2 ( x1, x50 )
用他们来估计μ和σ2
注意
1. 用样本的原点矩估计总体的原点矩，样本的中心 距估计总体的中心矩
2. 抽象问题中，简便起见，代入具体观测值的过程
注意：熟练之后可以略去写出总体和样本的过程。
例：
总体X 的密度为:f x, 求的矩估计。
2
e
x
, x , 0.
解：一个参数，只要一个矩即可。 最简单的，一阶原点矩： x E [ X ]= x e dx 0, 与参数θ无关，怎么办？ 2 退而求其次，选稍微复杂一些的矩
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1 矩法估计到一段落
得到参数的估计值：
n
x
i 1
n
i
将具体的样本值替换为样本对应的随机变量，得到 参数的估计量：
n ˆ ＝
L n i 1
X
1 X
i
1 最终，平均寿命的估计为： =X ˆ
L
例: 设P{X k}
k e
k! 其中 0是一未知参数，求 的极大似然估计。
k 0,1, 2,
2
第二步：用样本的矩作为总体矩的统计量
E[ X ] X， Var X S
2 n
即：
ab = X， 2 2 b a S2 n 12
第三步：求解方程组中的参数
ˆ X 3Sn , a ˆ X 3S . b n
最终得到估计量
解 设x1, x2， xn是X的一组样本观测值， 为非负整数
离散型随机变量，要用联合概率函数作为似然函数
先求似然函数
L xi , xi
( X1 , X 2 , , X n ) 来估计
将样本观测值 x1 , x2 ,
得到的值
( x1 , x2 ,
, xn 代入 ( X1 , X 2 , , X n ) ， , xn ) 称为参数的估计值。
注意
1. 估计量是某些特殊的统计量，两者的含义不完
全相同。
2. 每次取样不同，观测值也不同，统计量的统计 值也不同，所以估计量也是随机变量。而固定 某次观测的估计值才是一个固定的数字。
网起100条鱼作上记号后，放回鱼塘中,过了一段时间 (使有记号的鱼和无记号的鱼混合均匀)后， 从鱼塘中 网起一网鱼,共80条,其中有记号的鱼有2条。试估计鱼 塘中有多少条鱼。 由于数量很大，可以近似认为是简单随机取样，故每条 鱼是否有记号服从Xi~B(1,100/N) 估计N就是估计参数p=100/N。 可以用矩法来估计: E[X]=p=100/N
E[ X ]
此时参数恰为分布的期望，所以可以直接用样本均 值来估计 ，省去了求解方程这一步。
1 n X Xi n i 1
参数本身为分布的数字特征，不需求解方程，直接利
用样本的统计量来估计分布的数字特征，进而得到参
数估计的办法也叫数字特征法，是矩法的特例。
思考一下，是否有其他求解的办法？ 考虑泊松分布的二阶中心矩 得到矩法估计量
可以省略，只要明确写出用哪些统计量来估计相 应的参数即可
引例：X ~ U [a, b] 求a，b的估计。 很多时候参数并没有直接的概率意义。所以想要直 接用样本各阶矩作为估计量来估计参数是不现实的。 有没有一般的办法来构造估计量？ 曲线救国：尽管不能直接用样本矩作为参数的估 计量，不管三七二十一，先估计总体的各阶矩， 进而通过求解方程得到参数的估计量。
k 阶矩的概念
定义 设 X为随机变量，若 E ( X ) 存在，则称 E ( X k )
k
为 X 的 k 阶原点矩，记作 Vk E[ X k ] ；若 k E ( X EX ) 存在，则称 E ( X EX )k 为 X 的 k 阶 中心矩，记作 Uk E[( X E[ X ])]k
Al )
ˆ 为 , , , 的矩估计量 , 1 2 l l
注意
第(2)步和第(3)步的次序可以对换； (2’)求解方程组中的参数
k hk (V1 Vl )
(3’)将等式中样本的矩替换总体矩
k hk ( A1
ˆ , ˆ, 从而 1 2
和原点矩混合
Al )
ˆ 为 , , , 的矩估计量 , 1 2 l l
解： 注意到：E[X]=1/λ,
ˆ ，再求其倒数 可以求参数的极大似然估计 L n xi 当xi >0时，X的似然函数为 L n e i 1
取对数
ln L n ln xi
i 1 n
求导找出极大值点
dL n n xi 0 d i 1
E[ X ] 2 2 2 Var [ X ] E [ X ] ( E [ X ])
此时，要估计参数，就转化为估计总体随机变量的矩 观测50次，即取X1，X2，……X50个样本，样本容量50
根据大数定理，样本的矩和总体的矩应当非常接近
计算样本的期望和方差
1 50 ˆ X Xi 50 i 1 50 1 2 ˆ 2 S50 X i2 ( X )2 50 i 1
一般步骤
若总体X的分布函数中含有l个参数1， 2， …， l，
X ~ FX . , 1 , 2 ,
我们以原点矩为例说明：
, l
要估计l个参数，我们需要l个统计量及l个相应的方程。
(1)求出总体的各阶矩，作为被统计量
Vk E[ X k ] gk 1 , 2 ,
, l
E[ X ]
2
x
2
2
e
x
dx
0
x e
2
x
dx
2
2
.
可先求解参数
2 E[ X 2 ]
再代入样本对应的矩
ˆ M
2n
2 X i i 1 n
有无其他方法？
E X = x 2 e
1 E X
x
k 1, 2 ,
,l
(2)用样本的矩作为总体矩的统计量
Vk (1 ,2 ,
,l ) Ak
1 k (k 1,2, X i n i 1
l ) Ak
n
, l)
得l个方程构成的方程组： g (1 (3)求解方程组中的参数
k hk ( A1
ˆ , ˆ, 从而 1 2
内容提要
参数的点估计
矩法估计 极大似然估计
估计量优劣性的评价
参数的区间估计
参数的点估计
矩法，极大似然法
参数的估计量和估计值
设总体的分布函数为F(x,)（未知），X1，X2，…，Xn 为样本，构造一个统计量 参数，则称
( X1 , X 2 , , X n ) 为参数的估计量。
100 2 N 4000 N 80
2 x 80
参数的极大似然估计法
当时的解法 求参数p使得P(Y=X1+…+Xn=2)最大
这样的思想实际上有很广的应用范围，我们以连续型
随机变量为例来说明。
思想：设总体X的密度函数为f(x,)，为未知参数，则 样本（X1,X2,…,Xn）的联合密度函数为 n f ( x1 , x2 , , xn , ) f ( xi , ) 原本是x的函数， 作为参数。现在反过来看，视为 的函数。将具体观测值x1, …xn代入，得到仅关于θ的 一元函数 L( ) f ( x1 , x2 , 称为似然函数
涉及中心距的参数也可类似求解，甚至可以中心距
例： 总体 X ~ U a, b， 求a，b的矩估计。
解：假设取样n次，先写出总体，样本，并按照矩
法写出估计量
总体：X 样本：X1, X 2 ,
, Xn
接下来是矩法的标准步骤： a,b是均匀分布的两个参数
第一步：计算一阶原点矩和二阶中心矩
b - a ab E[ X ] ，Var X 2 12
这说明，当样本容量较大时，样本k阶矩与总体k阶
矩差别很小。
不仅仅是矩法估计，所有统计方法的中心思想都一
致：用部分推断整体；当部分足够大时，根据大数
定理，所做的推断越来越接近真实值。
例：长期的生产经验告诉我们，水泥厂成品打包机
装袋的重量X服从正态分布，试用矩法估计来估计
参数μ和σ2 。
解：设装袋的重量为随机变量X，即总体为X~N(μ, σ2)。
1 n k 样本的 k 阶原点矩，记作 Ak X i n i 1 1 n 样本的 k 阶中心矩，记作 Bk ( X i X )k n i 1
矩法估计：用样本的矩作为总体矩的估计量
矩估计的想法来源于大数定理。如果总体X存 在k阶矩，对任意 0 有
1 n k k lim P X i E X 0 n n i 1
2 此时， ˆ , ˆ 为两个估计量
假若样本有观测值x1，x2，……x50,代入估计量中，有
估计值：
ˆ ( x1, x50 ), ˆ 2 ( x1, x50 )
用他们来估计μ和σ2
注意
1. 用样本的原点矩估计总体的原点矩，样本的中心 距估计总体的中心矩
2. 抽象问题中，简便起见，代入具体观测值的过程
注意：熟练之后可以略去写出总体和样本的过程。
例：
总体X 的密度为:f x, 求的矩估计。
2
e
x
, x , 0.
解：一个参数，只要一个矩即可。 最简单的，一阶原点矩： x E [ X ]= x e dx 0, 与参数θ无关，怎么办？ 2 退而求其次，选稍微复杂一些的矩
Var[ X ]
1 n ( X i X )2 n i 1
可见：同一个参数的矩估计量可以不同。 使用哪个更好一些？ 矩法估计总能用低阶矩就不用高阶矩 之后会系统地介绍估计量优劣的评价，届时再展
开讨论
例 对容量为n的样本，求下列密度函数中参数 a 的
2 2 (a x), (0 x a) f ( x) a 其它 0, a 2 a 解 由于 E [ X ] x 2 ( a x )dx 0 a 3 a 所以由矩法估计，得 X 3 3 n 解得 a 3 X X i n i 1 3 n 所以，参数 a 的矩估计量为 a X i n i 1 矩法估计到一段落
得到参数的估计值：
n
x
i 1
n
i
将具体的样本值替换为样本对应的随机变量，得到 参数的估计量：
n ˆ ＝
L n i 1
X
1 X
i
1 最终，平均寿命的估计为： =X ˆ
L
例: 设P{X k}
k e
k! 其中 0是一未知参数，求 的极大似然估计。
k 0,1, 2,
2
第二步：用样本的矩作为总体矩的统计量
E[ X ] X， Var X S
2 n
即：
ab = X， 2 2 b a S2 n 12
第三步：求解方程组中的参数
ˆ X 3Sn , a ˆ X 3S . b n
最终得到估计量
解 设x1, x2， xn是X的一组样本观测值， 为非负整数
离散型随机变量，要用联合概率函数作为似然函数
先求似然函数
L xi , xi
( X1 , X 2 , , X n ) 来估计
将样本观测值 x1 , x2 ,
得到的值
( x1 , x2 ,
, xn 代入 ( X1 , X 2 , , X n ) ， , xn ) 称为参数的估计值。
注意
1. 估计量是某些特殊的统计量，两者的含义不完
全相同。
2. 每次取样不同，观测值也不同，统计量的统计 值也不同，所以估计量也是随机变量。而固定 某次观测的估计值才是一个固定的数字。
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概率论第七章 第1节
根据样本概率最大原则，m的估计值为3。
最大似然估计法原理
一般地，不仿设总体X是离散型分布X～p(x,θ)，如果 X1,X2,…,Xn是来自这个总体的一个随机样本，x1,x2,…,xn 是这个随机样本的样本值，则这个样本发生的概率为：
记这个概率为θ的函数：
16
最大似然估计法原理
如果在一次抽样中样本值x1,x2,…,xn出现了，我们就认为 它之所以出现是因为它发生的概率最大导致的。因此我们 就选择能使这个概率最大的那个θ作为θ的估计值，这就 是极大似然估计法。 “样本值概率最大原则”
矩估计法理论依据
命题2：设总体X的l=1,2,…,k阶矩存在即E(Xl)=μk,则l阶样 本矩A1,A2,…,Ak的连续函数g(A1,A2,…,Ak)也依概率收敛于总 体矩的连续函数即
根据这两个命题，我们使用如下方法来进行矩估计： (1)用样本矩A1,A2,…,Ak来估计总体矩； (2)用样本矩的连续函数g(A1,A2,…,Ak)来估计总体矩的连续 函数g(μ1,μ2,…,μk)。
砍掉充分小的dxi,记这 个概率为θ的函数：
30
连续型总体中参数 θ的似然函数!
最大似然估计值 最大似然估计量
怎样求最大值点？
基于此通常先取对数，再求最大值点。
化成求 对数似 然函数 的最大 值点!
如果对数似然函数二阶可导，并且概率 密度函数是单峰函数，则驻点就是最大 值点!通过求一阶导数能得驻点：
第七章 参数估计
1、什么是参数估计？ 当总体的分布类型已知，但其中仍有未知参数。比如总体 X服从参数μ,σ2的正态分布，但μ,σ2未知。但是我们 能根据来自总体X的一个简单随机样本X1,X2,…,Xn通过适 当的方法对这些未知参数进行估计，得到它的一个近似值 或近似区间。 2、参数估计有哪些形式？ (1)点估计：矩估计法、极大似然估计法。 (2)区间估计：正态总体下区间估计法。
概率论与数理统计-参数估计_图文
或
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
为已知
其中
于是得到
的置信水平为 的置信区间为
其中
例3 为比较 I ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱⅡ 两种型号步枪子弹的枪口
速度 ,随机地取 I 型子弹 10 发 ,得到枪口速度的平
均值 为
标准差
随
机地取 Ⅱ 型子弹 20 发 ,得到枪口速度的平均值为
标准差
假设两总
体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认
2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度
尽可能短，或能体现该要求的其它准则.
可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证 可靠度的条件下尽可能提高精度.
二、置信区间的求法
在求置信区间时，要查表求分位点.
定义 设
, 对随机变量X，称满足
的点 为X的概率分布的上 分位点.
若 X 为连续型随机变量 , 则有 所求置信区间为
X~N( )
样本均值是否是 的一个好的估计量？
样本方差是否是 的一个好的估计量？
这就需要讨论以下几个问题: (1) 我们希望一个“好的”估计量具有什么特性？ (2) 怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？
(3) 如何求得合理的估计量？
常用的几条标准是：
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
概率论与数理统计-参数估计_图文.ppt
参数估计
现在我们来介绍一类重要的统计推断问题 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息来估 计总体的某些参数或者参数的某些函数.
估计新生儿的体重
估计废品率
在参数估计问题
估计降雨量 中，假定总体分 布形式已知，未
… 知的仅仅是一个 … 或几个参数.
概率论与数理统计教案参数估计
概率论与数理统计教案-参数估计教案章节一：参数估计概述教学目标：1. 理解参数估计的定义及意义；2. 掌握参数估计的两种方法：最大似然估计和最小二乘估计；3. 了解参数估计的假设条件。
教学内容：1. 参数估计的定义及意义；2. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 参数估计的假设条件。
教学方法：1. 讲授法：讲解参数估计的定义、意义、方法及步骤；2. 案例分析法：分析实际案例，让学生更好地理解参数估计的方法及应用。
教学难点：1. 最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；2. 参数估计的假设条件。
教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。
教学过程：1. 引入参数估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计和最小二乘估计的方法及步骤；3. 分析实际案例，展示参数估计的应用；4. 讲解参数估计的假设条件；5. 课堂互动，回答学生问题。
作业布置：1. 复习parameter estimation 的定义及意义；2. 学习maximum likelihood estimation 和least squares estimation 的相关知识；3. 思考如何应用parameter estimation 解决实际问题。
教案章节二：最大似然估计教学目标：1. 理解最大似然估计的定义及意义；2. 掌握最大似然估计的计算方法；3. 了解最大似然估计的应用场景。
教学内容：1. 最大似然估计的定义及意义；2. 最大似然估计的计算方法；3. 最大似然估计的应用场景。
教学方法：1. 讲授法：讲解最大似然估计的定义、意义、计算方法；2. 案例分析法：分析实际案例，展示最大似然估计的应用。
教学难点：1. 最大似然估计的计算方法；2. 最大似然估计的应用场景。
教学准备：1. 教学PPT；2. 相关案例资料。
教学过程：1. 引入最大似然估计的概念，讲解其意义；2. 讲解最大似然估计的计算方法；3. 分析实际案例，展示最大似然估计的应用；4. 课堂互动，回答学生问题。
概率论与数理统计教材第六章习题
X σ0 n
~ N(0,1)
对于置信水平1- ，总体均值的置信区间为 对于置信水平 -α，总体均值 的置信区间为
X
σ0
n
uα < < X +
2
σ0
n
uα
2
(2)设总体 ～ N(,σ 2 ), 未知 ，求的置信区间。 设总体X～ 未知σ， 的置信区间。 设总体 的置信区间
σ 0 ，则样本函数 t = X ~ t(n 1) 用 S 代替 S n
i =1
n1
n1
F
1
α ∑ Yj 2
2 j =1
n2
(
)
2
n2
10
2 2 及 （1）设两个总体 ～ N(1,σ1 ) 及Y～ N(2 ,σ 2 ), 未知 1 2， ）设两个总体X～ ～
2 σ1 的置信区间。 求 2 的置信区间。 σ2
选取样本函数 选取样本函数
2 2 S1 σ1 F = 2 2 ~ F(n1 1, n2 1) S2 σ2
∑x
i =1
n
i =1
i
n = 0.
1 p
得 p 的极大似然估计值为 p =
n
∑x
i =1
n
1 = x
i
12
1 θ 2. 设总体 服从拉普拉斯分布：f ( x;θ ) = e ,∞< x < +∞, 设总体X 服从拉普拉斯分布： 2θ 求参数 θ 其中 > 0. 如果取得样本观测值为 x1 , x2 ,L, xn , 求参数θ
第六章 参数估计
(一)基本内容
一、参数估计的概念 1 定义：取样本的一个函数θ ( X 1 , X 2 ,L , X n ), 如果以它的观测 定义：
概率论参数估计
2
2
2 设 ~ b(1 p), X1, X2,L Xn是 自 的 个 本 、 X , , 来 X 一 样 ， 试 参 p的 大 然 计 。 求 数 最 似 估 量
3、设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a、b未 x , 知， 1, x2,L xn 是来自X的一个样本值，试求a、 b的最大似然估计量。
估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前， 在介绍估计量优良性的准则之前，我 们必须强调指出： 们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏， 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依 据一次试验的结果， 据一次试验的结果，而必须由多次试验结 果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数，是随机 这是因为估计量是样本的函数， 因此，由不同的观测结果， 变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得 不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应 不同的参数估计值 因此一个好的估计， 在多次试验中体现出优良性 .
P X = x}= p(x,θ), θ ∈Θ {
的样本， 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， 是来自X的样本 ， ， ， X2，…，Xn的联合分布律为 ， ， 的联合分布律为
∏p(x ;θ)
i i= 1
n
样本X ， ， ， 取得观察值x ， ， ， 样本 1，X2，…，Xn取得观察值 1，x2，…，xn的概 率为
L(θ) = L(x1, x2,L xn;θ) =∏p(xi ;θ), θ ∈Θ ,
i= 1
n
称为样本的似然函数 （2）连续型 ） 若总体X属连续型 属连续型， 若总体 属连续型，其概率密度为
f (x;θ), θ ∈Θ θ为待估参数
是来自X的样本 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， ， ， 是来自 的样本， ， X2，…，Xn的联合密度为 ， ， 的联合密度为
2
2 设 ~ b(1 p), X1, X2,L Xn是 自 的 个 本 、 X , , 来 X 一 样 ， 试 参 p的 大 然 计 。 求 数 最 似 估 量
3、设总体X在[a，b]上服从均匀分布，a、b未 x , 知， 1, x2,L xn 是来自X的一个样本值，试求a、 b的最大似然估计量。
估计量的优良性准则 在介绍估计量优良性的准则之前， 在介绍估计量优良性的准则之前，我 们必须强调指出： 们必须强调指出： 评价一个估计量的好坏， 评价一个估计量的好坏，不能仅仅依 据一次试验的结果， 据一次试验的结果，而必须由多次试验结 果来衡量 . 这是因为估计量是样本的函数，是随机 这是因为估计量是样本的函数， 因此，由不同的观测结果， 变量 . 因此，由不同的观测结果，就会求得 不同的参数估计值. 因此一个好的估计，应 不同的参数估计值 因此一个好的估计， 在多次试验中体现出优良性 .
P X = x}= p(x,θ), θ ∈Θ {
的样本， 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， 是来自X的样本 ， ， ， X2，…，Xn的联合分布律为 ， ， 的联合分布律为
∏p(x ;θ)
i i= 1
n
样本X ， ， ， 取得观察值x ， ， ， 样本 1，X2，…，Xn取得观察值 1，x2，…，xn的概 率为
L(θ) = L(x1, x2,L xn;θ) =∏p(xi ;θ), θ ∈Θ ,
i= 1
n
称为样本的似然函数 （2）连续型 ） 若总体X属连续型 属连续型， 若总体 属连续型，其概率密度为
f (x;θ), θ ∈Θ θ为待估参数
是来自X的样本 设X1，X2，…，Xn是来自 的样本，则X1， ， ， ， 是来自 的样本， ， X2，…，Xn的联合密度为 ， ， 的联合密度为
概率论 第七章 参数估计
L( ) max L( )
称^为
的极大似然估计（MLE）.
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是：
(1) 由总体分布导出样本的联合概率分布 (或联合密度);
(2) 把样本联合概率分布(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( );
(3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE;
1. 将待估参数表示为总体矩的连续函数 2. 用样本矩替代总体矩，从而得到待估参
数的估计量。
四. 最大似然估计（极大似然法）
在总体分布类型已知条件下使用的一种 参数估计方法 .
首先由德国数学家高斯在1821年提出。 英国统计学家费歇1922年重新发现此
方法，并首先研究了此方法的一些性质 .
例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只 野兔从前方窜过 . 一声枪响，野兔应声倒下 .
p值 P(Y=0) P(Y=1) P( Y=2) P(Y=3) 0.7 0.027 0.189 0.441 0.343 0.3 0.343 0.441 0.189 0.027
应如何估计p?
若：只知0<p<1, 实测记录是 Y=k
(0 ≤ k≤ n), 如何估计p 呢?
注意到
P(Y k) Cnk pk (1 p)nk = f (p)
第七章 参数估计
参数估计是利用从总体抽样得到的信息 估计总体的某些参数或参数的某些函数.
仅估 计一 个或 几个 参数.
估计新生儿的体重
估计废品率
估计降雨量
估计湖中鱼数
…
…
参数估计问题的一般提法:
设总体的分布函数为 F(x, )，其中为未 知参数 (可以是向量).从该总体抽样，得样本
第7章参数估计
对于是非标志（即服从两点分布的变量)来说，若 将其具体表现分别用1、0数量化 ，成数就是其平 均数 是非标志的方差＝P(1-P)
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
x 1 0
f P 1－p
x
xf f
1 p 0 (1 p) p (1 p)
p
2 (x x)2 f (1 p)2 p (0 p)2 (1 p)
f
p (1 p)
似然函数常简记为L或 L 1,2, ,k
未知参数的函数。
38
若有 ˆi (x1, x2,..., xn ) i 1, 2, k 使得
L x1, x2,..., xn;ˆ1, ˆ 2,
, ˆ k
max L (1 ,2 , ,k )
x1, x2,..., xn; 1, 2,
, k
则 ˆi (X1, X2,..., Xn) 为参数θi的极大似然估计量。
中选出一个使样本观察值出现的概率为最大的 ˆ 作
为θ的估计量。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计量。
37
2.似然函数的数学表达式
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本的联合密度 (连续型）或联合分布律 (离散型)为 :
f (x; 1，2 , , k )
定义似然函数为：
n
L L x1,..., xn; 1, 2, , k f xi; 1, 2, , k i 1 x1, x2 ,..., xn 给定的样本观察值
§7.1.4抽样误差
1.误差：调查结果与实际值之间的差异 抽样调查中的误差
登记性误差(非抽样误差) 误差代表性误差随系机统误误差差（（抽非样抽误样差误）差）
2.抽样误差—由于抽样的随机性而产生的 样本指标对总体指标的代表性误差。抽样误 差可以计算并加以控制，但不可以避免。
概率论与数理参数估计
概率论与数理参数估计参数估计是概率论与数理统计中的一个重要问题，其目标是根据样本数据推断总体的未知参数。
参数估计分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是通过样本计算得到总体未知参数的一个估计值。
常见的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是通过观察到的样本数据，选择使得观察到的样本数据出现的概率最大的未知参数值作为估计值。
矩估计是通过样本的矩（均值、方差等统计量），与总体矩进行对应，建立样本矩与总体矩之间的方程组，并求解未知参数。
这两种方法都可以给出参数的点估计值，但是其性质和效果不尽相同。
最大似然估计具有渐近正态性和不变性，但是可能存在偏差较大的问题；矩估计简单且易于计算，但是可能存在方程组无解的情况。
区间估计是给出参数估计结果的一个范围，表示对未知参数值的不确定性。
常见的区间估计方法有置信区间和预测区间。
置信区间是指给定的置信水平下，总体参数的真值落在一些区间内的概率。
置信区间的计算依赖于样本的分布和样本量。
预测区间是对一个新的观察值进行预测的区间，它比置信区间要宽一些，以充分考虑不确定性。
在参数估计过程中，需要注意样本的选取和样本量的确定。
样本是总体的一个子集，必须能够代表总体的特征才能得到准确的估计结果。
样本量的确定是通过统计方法和实际需求来确定的，要保证估计结果的可靠性。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在医学领域中，通过对病人的样本数据进行统计分析，可以推断患者患其中一种疾病的概率，进而进行治疗和预防措施的制定。
在金融领域中，可以通过对股票的历史价格进行统计分析，推断未来股价的变动趋势，从而进行投资决策和风险评估。
在市场调研中，可以通过对消费者的问卷调查数据进行统计分析，推断消费者的偏好和需求，为企业的市场开发和产品设计提供依据。
综上所述，概率论与数理统计中的参数估计是一门重要的学科，通过对样本数据的统计分析，可以推断总体的未知参数，并对不确定性进行评估。
参数估计在实际应用中有着广泛的应用，对于科学研究和决策制定具有重要的意义。
概率论与数理统计-参数估计
第七章 参数估计
例：
引言
设总体 X 是服从参数为 的指数分布，其中参数
未 知 ，
0 ．X1 ,,
X
是总体
n
X
的一个样本，
我们的任务是根据样本，来估计 的取值，从
而估计总体的分布．
这 是 一 个 参 数 估 计 问 题．
第七章 参数估计
§1 点估计 §2 估计量的评选标准 §3 区间估计
第七章 参数估计 §1 点估计
2
令
A1
A2
, (
2
1)
.
第七章 参数估计
例6(续）
解此方程组，得
§1 点估计
ˆ
A1 2 A2 A12
,
ˆ
A2
A1 A12
.
ˆ X 2 ,
即
B2
ˆ X .
B2
其中 B2
1 n
n i 1
Xi X
2 为样本的二阶中心矩．
第七章 参数估计（第二十二讲） 三、 极大似然法
§1 点估计
1
第七章 参数估计
例6(续）
EX 2 x 2 f
x dx x 2
x 1e x dx
0
§1 点估计
2 2 x ( e 2)1 x dx
2 0 2
2 2
1 2
1
2
因此有
EX
,
EX
2
1 .
⑵ 在不引起混淆的情况下，我们统称估计量
与估计值为未知参数 的估计．
第七章 参数估计
二、 矩估计法
§1 点估计
设X为连续型随机变量，其概率密度为
f ( x;1 ,, k ), X为离散型随机变量，其分布列为
自考概率论课件_第七章_参数估计.ppt1
2 2 例3 设总体 X 的均值 及方差 都存在, 且有 0, 2 但 , 均为未知, 又设 X1 , X 2 ,, X n 是来自 X 的样 2 本, 试求 , 的矩估计量. 解 1 E ( X ) , 总体一阶原点矩 2 2 2 2 总体二阶 2 E ( X ) D( X ) [ E ( X )] ,
x ˆ 1 . x 1
为求的极大似然估计,先 易求得似然函数为
L( ) ( xi
i 1 n ( 1)
) xi i 1
n n
( 1)
,
ln L( ) n ln ( 1) xi ,
d ln L( ) n n xi 0. d i 1
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1
2 1
n
n 3 2 2 ˆ b A1 3( A2 A1 ) X (Xi X ) . n i 1
§7.1
参数的点估计
一、点估计的一般定义及步骤
设总体X～F(x,θ),θ是未知参数,(X1,X2,…,Xn)是 取自总体X的样本,适当选取一个统计量
ˆ 去估计参数θ, 称 ˆ为θ的估计量或把 ˆ 用 叫做 θ的点估计.
ˆ =ˆ(X1,X2,…,Xn)
二、获取点估计的两种方法
1.矩估计法 2.极大似然估计法
以 A1 , A2 代替 1 , 2 , 得到 a , b 的矩估计量分别为
3 2 ˆ A1 3( A2 A ) X (Xi X ) , a n i 1