3.1独立性检验

3.1假设检验
高二数学 选修2-3
2013-7-31 郑平正 制作
第三章
统计案例
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。 变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、 宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系： 例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
用A表示不吸烟，
用B表示不患肺癌，
则“吸烟与患肺癌没有关系”等价于“吸烟与患肺癌独立”，
即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c a+c
患肺癌 b d b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
a a+b a+c ≈ × 其中n = a + b + c + d为样本容量，即 n n n
2
P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
x0
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城 市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表： 联表 性别与喜欢数学课程列联表 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 男 37 85 122 女 35 143 178 总计 72 228 300 由表中数据计算K2 的观测值k 4.513.在多大程度上可以认 为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？
使用血清 未使用血清
合计
258 216
474
242 284
526
2
500 500
1000
解：设H0：感冒与使用该血清没有关系。
1000258 284 242 216 2 7.075 474 526 500 500 因当H0成立时，χ2≥6.635的概率约为0.01，故有99%的把握认 为该血清能起到预防感冒的作用。
2
合计 98 95 193
解：设H0：药的效果与给药方式没有关系。
2
19358 31 64 40 1.3896 ＜2.072 122 71 98 95 因当H0成立时，χ2≥1.3896的概率大于15%，故不能否定假设 H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。
具体作法是：
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值 k 0；
(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 K 2 的观测值；
(3)如果 k k0 ，就以 (1 P( K k0 )) 100%的把握认为“X 与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系” 的充分证据。
在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中， 有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院 的男性病人中有175人秃顶。分别利用图形和独立性 检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的 结论在什么范围内有效？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：
患心脏病 不患心脏病 总计 秃顶 214 175 389 不秃顶 451 597 1048 总计 665 772 1437 根据列联表中的数据，得到： 1437 (214 597 175 451)2 2 K 16.373 6.635. 389 1048 665 772
临界值表
P(K 2 k0 ) 0.50
0.40 0.708
其中n a b c d 为样本容量。
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828
k0
研究两个变量的相关关系：
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、 变量 相关指数R 2、残差分析） 分类变量—— 独立性检验
本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。
2013-7-31 郑平正 制作
• 某医疗机构为了了解患肺癌与吸烟是 否有关，进行了一次抽样调查，共调查了 9965个成年人，其中吸烟者2148人，不吸烟 者7817 人，调查结果是：吸烟的2148 人 中49人患肺癌， 2099人不患肺癌；不吸 烟的7817人中42人患肺癌， 7775人不患 肺癌。
0.455
K 2 10.828
0.1%把握认为A与B无关
1%把握认为A与B无关
99.9%把握认A与B有关 99%把握认为A与B有关 90%把握认为A与B有关
K 2 6.635
K 2.706
2
10%把握认为A与B无关
K 2 2.706
2013-7-31
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
判断“吸烟与患肺癌没有关系”出错的概率为0.01。
要推断“Ⅰ和Ⅱ有关系”，可按下面的步骤进行：
（1）提出假设H0 ：Ⅰ和Ⅱ没有关系；
K 2的值； （2）根据2× 2列表与公式计算
（3）查对临界值，作出判断。
由于抽样的随机性，由样本得到的推断 2 有可能正确，也有可能错误。利用 K 进 行独立性检验，可以对推断的正确性的概 率作出估计，样本量n越大，估计越准确。
二维条 形图
通过图形直观判断 患肺癌 比例
患肺癌 不患肺癌
100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 不吸烟 吸烟
不患肺癌 比例
通过数据和图表分析，容易直观 得到结论是：吸烟与患肺癌有关
结论的可靠 程度如何？
这需要用统计概率观点来考察这个问题。
现在想要知道能够以多大的把握认为 “吸烟与患肺癌有关”，为此先假设： H0：吸烟与患肺癌没有关系.
在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事 件A和B发生的频数。由于频率接近于概率，所以在H0成立的条 件下应该有 P(A) a + b , P(B) a + c , P(AB) a . n n n
(a+b+c+d)a (a+b)(a+c),
即ad bc
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
例2：为研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效 P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查， x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 调查的结果列在表中，根据所选择的193个病人的数 据，能否作出药的效果和给药方式有关的结论？ 口服 注射 合计 有效 58 64 122 无效 40 31 71
●
根据这些数据能否断定：患肺癌与 吸烟有关？
探究
列联表分析（单位：人）
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌 患肺癌
列联表
总计
不吸烟
吸烟 总计
7775
2099 9874
42
49 91
7817
2148 9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54% 在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
通过图形直观判断
9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 不吸烟 吸烟 患肺癌 不患肺癌
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
9965(7775 49 42 2099） k 56.632 7817 2148 9874 91
2
2013-7-31 郑平正 制作 那么这个值到底能告诉我们什么呢？
（2）
独立性检验
n(ad bc) 2 随机变量-----卡方统计量 K 2 , (a b)(c d )(a c)(b d )

P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 x0
0.10
0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
而我们所得到的K2 的观测值k 4.513超过3.841，这就意味着 “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能 性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程 之间有关系”.
例3：气管炎是一种常见的呼吸道疾病，医药研究人 P(χ≥x0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 员对两种中草药治疗慢性气管炎的疗效进行对比， x0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 所得数据如表所示，问：它们的疗效有无差异？2013-7-31Fra bibliotek独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分 析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
n(ad bc) K , （1） (a b)(c d )(a c)(b d )
2 2
其中n a b c d 为样本容量。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
2
合计 245 100 345