直线与圆的方程的应用 人教版数学必修二全册课件
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人教版高中数学必修二导学： 直线与圆的方程的应用 .ppt
26
命题方向3 ⇨直线与圆的位置关系的实际应用
一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中 心位于轮船正西 70 km 处，受到影响的范围半径为 30 km 的圆形区域，已知港口 位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风 的影响？ 导学号 09025034
2019/5/30
缘份让你看到我在这里
28
• 『规律方法』 解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下 几个方面：
2019/5/30
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29
〔跟踪练习 3〕已知台风中心从 A 地以每小地 20 km 的速度向东北方向移动， 离台风中心 30 km 内的地区为危险区，城市 B 在 A 的正东 40 km 处，求 B 城市 处于危险区内的时间． 导学号 09025035
设圆心为 C，水面所在弦的端点为 A、B， 则由已知得 A(6，－2)． 设圆的半径为 r， 则 C(0，－r)，即圆的方程为 x2＋(y＋r)2＝r2.①
2019/5/30
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22
将点 A 的坐标(6，－2)代入方程①，得 36＋(r－2)2＝r2，∴r＝10. ∴圆的方程为 x2＋(y＋10)2＝100.② 当水面下降 1 m 后，可设点 A′的坐标为(x0，－3)(x0＞0)， 将 A′的坐标(x0，－3)代入方程②，得 x0＝ 51. ∴水面下降 1 m 后，水面宽为 2x0＝2 51 m.
2019/5/30
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23
• 『规律方法』 解析法在求解实际应用问题时，有着广泛的应 用．解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大 帮助，“适当”要结合具体问题来体会．
高中数学人教版必修2课件：4.2.2 3-圆与圆的位置关系-直线与圆的方程的应用
a＝0， b＝ 2
或ab＝ ＝45
2， 2，
由实际意义知 a＝0，b＝
2，
∴圆的方程为 x2＋(y－ 2)2＝2，切点为(0,0)，
∴观景点应设在 B 景点在小路的投影处．
坐标法解决平面几何问题 [例 4] 如图所示，在圆 O 上任取 C 点为圆心， 作圆 C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于点 E，F，且 EF 与 CD 相交于 H.求证：EF 平分 CD. [解] 证明：以 AB 所在直线为 x 轴，O 为 坐标原点建立平面直角坐标系．如图所示，设 |AB|＝2r，D(a,0)， 则|CD|＝ r2－a2，
[活学活用]
求与圆 C：x2＋y2－2x＝0 外切且与直线 l：x＋ 3y＝0 相切于点
M(3，－ 3)的圆的方程． 解：圆 C 的方程可化为(x－1)2＋y2＝1， 圆心 C(1,0)，半径为 1. 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
[类题通法] 平面几何问题通常要用坐标法来解决，具体步骤如下： (1)建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题的 几何元素，将实际或平面问题转化为代数问题． (2)通过代数运算，解决代数问题． (3)把代数运算结果“翻译”成实际或几何结论．
[活学活用] 在平行四边形 ABCD 中，用坐标法证明：|AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋ |DA|2＝|AC|2＋|BD|2. 证明：以 CA 所在的直线为 x 轴，线段 CA 的中点 O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系． 设 A(a,0)，B(b，c)，则 C(－a,0)，D(－b，－c)． |AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝2(|AB|2＋|BC|2) ＝2[(b－a)2＋c2＋(－a－b)2＋(－c)2]＝4a2＋4b2＋4c2， |BD|2＋|AC|2＝(－b－b)2＋(－c－c)2＋(－a－a)2 ＝4a2＋4b2＋4c2. |AB|2＋|BC|2＋|CD|2＋|DA|2＝|AC|2＋|BD|2.
人教版高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》教学课件
5/27/2020
赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求 这座圆拱桥的拱圆的方程.
解： 建立如图所以的直角坐标系
y
|OP|=7.2m，|AB|=37.4m. 即有
P
A(-18.7，0)，B(18.7，0)，P(0，7.2).
A
B 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
O.
x
C
(a+18.7)2+b2=r2,
长的
1 6
为单位长，建立如图所示的坐标系.
则有：
y
A
A(3，3 3)，B(0，0)，C(6，0)，
由已知，得D(2，0)，E(5， 3).
直线AD的方程为y=3 3(x-2).
BP
E
直线BE的方程为y= 53(x-5)+ 3 . O D
Cx
5/27/2020
等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且
所以：
y
y= 14.52-(-2)2-10.5
P2 P
≈14.36-10.5 =3.86(m).
A A1 A2 O A3 A4 B x
答：支柱A2P2的高度为3.86m.
5/27/2020
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
证明：以四边形ABCD互相垂直的对
直线与圆的 方程的应用
5/27/2020
直线与圆有几种位置关系？给出直线方程和 圆的方程你怎样确定它们之间的关系呢？
l
5/27/2020
l
l
直线与圆的方 程有哪些应用？
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个
圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间
赵州桥的跨度是37.4m，圆拱高约为7.2m，求 这座圆拱桥的拱圆的方程.
解： 建立如图所以的直角坐标系
y
|OP|=7.2m，|AB|=37.4m. 即有
P
A(-18.7，0)，B(18.7，0)，P(0，7.2).
A
B 设所求圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
O.
x
C
(a+18.7)2+b2=r2,
长的
1 6
为单位长，建立如图所示的坐标系.
则有：
y
A
A(3，3 3)，B(0，0)，C(6，0)，
由已知，得D(2，0)，E(5， 3).
直线AD的方程为y=3 3(x-2).
BP
E
直线BE的方程为y= 53(x-5)+ 3 . O D
Cx
5/27/2020
等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且
所以：
y
y= 14.52-(-2)2-10.5
P2 P
≈14.36-10.5 =3.86(m).
A A1 A2 O A3 A4 B x
答：支柱A2P2的高度为3.86m.
5/27/2020
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直， 求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的 一半.
证明：以四边形ABCD互相垂直的对
直线与圆的 方程的应用
5/27/2020
直线与圆有几种位置关系？给出直线方程和 圆的方程你怎样确定它们之间的关系呢？
l
5/27/2020
l
l
直线与圆的方 程有哪些应用？
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个
圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间
高中数学必修二《直线与圆的方程的应用》PPT
2k(k 2)
∴x1+x2= k 2 1
得
x y
k(k 2)
2
k2
1
kx
,
1
(k
为参数).
∴消去 k 得 P 点的轨迹方程为 x2+y2-x-2y=0,
当 k 不存在时，中点 P(1,0)的坐标也适合方程。
1
5
∴P 的轨迹是以点( 2 ,1)为圆心, 2 为半径的圆.
思维升华
思路一，数形结合,利用平面几何知识等，有时能使求 解过程变得非常简洁。
作业:习题4.2 B组2、3、5。
分析：建立直角坐标系→求出 P2 的纵坐标 →支柱 A2P2 的高度
应用示例
解：建立图 4.2-6 所示的直角坐标系， 则 P（0，4），B（10，0）都在圆上。
设圆的方程为： x2 y b2 r 2
02 4 - b2 r 2
b 10.5
得
10
2
0 b2
r2
解得 r 2
14.52
∴点
P
的轨迹是以点(
1 2
,1)为圆心,
5 2
为半径的圆。
应用示例
思路二:参数法 设 MN 所在的直线方程为 y-2=k(x-1)(k 存在时)，M(x1，y1)，
N(x2，y2)，P(x，y)，
x 2 y 2 9,
则
y
kx
(2
k),消
y,得(1+k2)x2+2k(2-k)x+k2-4k-5=0.
思路二,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即
f (x, y) 0,
g(x, y) 0, 消 y(或 x)得关于 x(或 y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得 解。
【数学必修2课件】4.2.3 直线与圆的方程的应用
2
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
建立如图所示的坐标系，则
A(3,3 3), B(0, 0), C(6, 0), D(2, 0), E(5, 3)
直线AD的方程为 y 3 3(x 2)
y A
解以上两方程联立的方程组，得
x 15 , y 3 3
7
7
直线BE的方程为y 3 (x 5) 3
5
所以点P的坐标是 (15 , 3 3 )
xE
a 2
xO '
பைடு நூலகம்
xM
ac 2
yE
d 2
bd yO' yN 2
证明：以四边形ABCD互相垂直的对角线CA、BD所在直 线分别为x轴、y轴，建立如所图所示的直角坐标系，设A （a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d），过四 边形外接圆O的 圆心 分别作AC、BD、AD的垂线，垂足为 M、N、E，则M、N、E分别为AC、BD、AD的中点，
第二步： 通过代数运算，解决代数问题．
第三步： 把代数运算结果“翻译”成几何结论．
等边三角形ABC中，点D,E分别在边BC,AC上，且有
BD 1 BC , CE 1 CA ,
3
3
AD,BE相交于点P．
y
求证： AP CP.
A
P
E
BD
C
解：以B为原点，BC边所在直线为轴，线段 1 BD为单位长，
D0
解得
E6
F 16
y N
┐
B
M
x
因此所求圆的方程为 x2＋y2＋6y－16＝0，
化为标准方程是
y N
A
┐
B
M
x
x2＋(y＋3)2＝52，
所以这个零件的半径为 5 cm．
高中数学人教版必修2直线、圆的位置关系 课件PPT
规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方 程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
练习
4:已知圆x2+y2=8，定点P(4,0)，问过P点的直线 的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与圆 (1)相切，(2)相交，(3)相离
4.2.1
直线与圆的位置关系
1.圆的标准方程
题型二 切线问题 例3:已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆上一点M(x0,y0)的切
线方程. 分析:只要求出切线的斜率即可. 解:如右图所示,设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1. 因为圆的切线垂直于过 切点的半径,于是 k 1 .
k1
当点M在坐标轴上,可以验证上面方程同样适用.
2.求圆的切线方程的常用方法
判断直线与圆位置关系的方法
几何方法
计算圆心到直线的距离d
代数方法
比较d与半径r的大小
消去y（或x）
px2 qx r 0
应用举例
例1. 如图，已知直线l:3x+y-6和圆心为C的圆 x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关系；如 果相交，求它们的交点坐标.
y l B
参考答案
C. A
O
x
练习
1. 求以C(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0 相切的圆的方程.
2. 判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的 位置关系.
3.以点C(-4,3)为圆心的圆与直线2x+y-5=0相离, 则圆C的半径r的取值范围是____________. 解析:圆心C(-4,3)到直线2x+y-5=0的距离
(1)若点P(x0,y0)在圆C上,过点P的切线只有一条.利用圆的切线的
数学423直线与圆的方程的应用课件新人教版A版必修2 优质课件
y
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得，b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
M
O1 o
N
O2
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得 的弦长.
2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过?
P
5
MO
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题；
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y
港 口
x
台o
o
X
思考2：如图所示建立直角坐标系， 设四边形的四个顶点分别为点 A(a，0)，B(0，b)，C(c，0)， D(0，d)，那么BC边的长为多少？
y B C oM
N
D
A x
思考3:四边形ABCD的外接圆圆心M的
坐标如何？
y
B
C
A
oM
x
N
D
思考4:如何计算圆心M到直线AD的距 离|MN|？
思考5:由上述计算可得|BC|=2|MN|，从 而命题成立.你能用平面几何知识证明 这个命题吗？
02+(4-b)2= r2
102+(0-b)2=r2
解得，b= -10.5 r2=14.52
所以圆的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52
把点P2的横坐标x= -2 代入圆的方程，得 (-2)2+(y+10.5)2=14.52 因为y>0,所以y= 14.52-(-2)2 -10.5≈14.36-10.5=3.86(m)
M
O1 o
N
O2
x
练习
1、求直线l: 2x-y-2=0被圆C: (x-3)2+y2=0所截得 的弦长.
2、某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m. 现有 一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否 从桥下通过?
P
5
MO
N
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表 示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为 代数问题；
思考3:如图所示建立直角坐标系， 取10km为长度单位，那么轮船航线 所在直线和台风圆域边界所在圆的 方程分别是什么？
y
港 口
x
台o
精选教育人教A版高中数学必修二导42.3直线与圆的方程的应用公开课教学PPT课件
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
P2 P
A
A1
A2 o
A3
A4
B
？ 如果不建立坐标系你能解决这个问题吗？
试比较建系与不建系哪个更简单
问题二：直线与圆的方程在平面几何中的应用
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半。
y (0,b) B
(c,0)
M
CO
NQ
E
(0, d ) D
(a,0)
A x 1 、 如 何 建 立 恰 当 的 直 角 坐 标 系 ？
y
14.52 22
14.36 10.5
的10.5 三 步
第三步:把代数运算结果3.8“6翻m
曲
答：译支”柱成A几2P何2的结高论度.约为3.86m。
问题一：直线与圆的方程在实际生活中的应用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ,拱高 OP=4ｍ，由于年久失修,现需要对该桥进行加固，每隔4ｍ需要用 一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度(精确到0.01m, 82528.72）
所以，QE 1 BC 2
即:圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半
能力提升：
在Rt∆ABC中,斜边BC为m, 以BC的中点O为圆心, 作半径为 m 2
n(n< ) 的圆,分别交BC于P , QA 两P点2,求AQ 证2：PQ2
谢谢你的到来
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演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
P2 P
A
A1
A2 o
A3
A4
B
？ 如果不建立坐标系你能解决这个问题吗？
试比较建系与不建系哪个更简单
问题二：直线与圆的方程在平面几何中的应用
已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半。
y (0,b) B
(c,0)
M
CO
NQ
E
(0, d ) D
(a,0)
A x 1 、 如 何 建 立 恰 当 的 直 角 坐 标 系 ？
y
14.52 22
14.36 10.5
的10.5 三 步
第三步:把代数运算结果3.8“6翻m
曲
答：译支”柱成A几2P何2的结高论度.约为3.86m。
问题一：直线与圆的方程在实际生活中的应用
如图是某圆拱桥的一孔圆拱示意图.该圆拱跨度AB=20ｍ,拱高 OP=4ｍ，由于年久失修,现需要对该桥进行加固，每隔4ｍ需要用 一个支柱支撑,求支柱A2P2 的长度(精确到0.01m, 82528.72）
所以，QE 1 BC 2
即:圆心到一边的距离等于 这条边所对边长的一半
能力提升：
在Rt∆ABC中,斜边BC为m, 以BC的中点O为圆心, 作半径为 m 2
n(n< ) 的圆,分别交BC于P , QA 两P点2,求AQ 证2：PQ2
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yB P C
O
分析：建立适当的坐 标系，求出点 P所在 的圆的方程，再写出 点 P到顶点的距离的 平方和，用代数方法 求出最值. X A
例4 如图，圆O1和圆O2的半径都等于1，圆心距 为4，过动点P分别作圆O1和圆O2的切线，切点为M、N， 且使得|PM|= |PN2|，试求点P的运动轨迹是什么曲线？
分析：许多平面几何问题常利用“坐标法”来 解决，首先选择合适的位置建立适当的直角坐标系， 由于四边形的对角线互相垂直，以对角线为坐标轴 较好，进而设定四个顶点坐标，随后用坐标法验证 本题的结论.
y B
C
o O’
A
X
D
例3 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4，|OB|=3， ∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P 到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
4.2.3
直线与圆的方程的 应用
1.平面几何、立体几何和解析几何在研究 问题时的本质区别是什么？
2. 坐标在几何学和代数学之间的联系起了 什么作用？
在平面直角坐标系下，与坐标有关的问题 1.两点间距离公式
2.直线的方程 点到直线的距离，平行直线间距离
3.圆的方程 点、直线、圆和圆的位置关系
4. 解决问题的出发点 1） 代数方法 譬如，用解方程组的方法判断直线与圆 的位置关系，圆与圆的位置关系
yP
分析：建立适当的坐
标系， 求出点P的轨
迹方程，在依据方程
M
N 判断点P的运动轨迹.
O1 o
O2
x
思想方法小结
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程 表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问 题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数 问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到 几何问题的结论，这就是用坐标法解决平面几何 问题的“三步曲”.
P2 P
A A1 A2 O A3 A4 B
分析:如图所示，建立直角坐标系，求出圆弧 所在的圆的方程，那么只要知道点P2的坐标，就可 得出支柱A2P2的高度，化几何问题为代数问题.
y P2 P
x A A1 A2 O A3 B
例2.已知内接于圆的四边形的对角线互相垂 直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边 长的一半.
“坐标法“三步曲
第一步：建立适当的平面直角坐标系.用坐标 和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题 转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
作业
P132练习:1，2，3，4. P133习题4.2B组:1，2，3.
2）几何方法 譬如，用平面几何相切的意义来判断直 线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系
5.用建立坐标系的方法 解决实际问题或平面 几何中问题.
例1.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图. 这 个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔 4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到 0.01m）