第32课时 正多边形、弧长、扇形的面积、圆锥的计算问题课件 苏科版

类型之三
计算扇形面积
命题角度： 1．已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积 2．已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积
例 3 [2010· 新疆] 圆心角都是 90° 的扇 形 AOB 与扇形 COD 如图 32－5 所示那样叠 放在一起，连接 AC、BD. (1)求证：△AOC≌△BOD； (2)若 AO＝3 cm，OC＝1 cm，求阴影部 分的面积．
a 2 60π 2
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中考变式 1．[2010· 河池] 在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AC＝12，BC ＝5，将△ABC 绕边 AC 所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥 的侧面积是 ( B ) A．25π B．65π C．90π D．130π
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2．[2010· 黄石] 如图 32－9，从一个直径为 2 的圆形铁皮中 剪下一个圆心角为 60° 的扇形 ABC，将剪下来的扇形围成一个圆 锥，则圆锥的底面圆半径为 ( B )
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变式题 1 如图 32－3 所示，边长为 2 的等边三角形木块，沿 8 π 水平线 l 滚动， A 点从开始至结束所走过的路线长为________(结 则 3 果保留准确值)．
图 32－3
[解析] 点 A 从开始滚动到结束，转过了两个 120 度的角， 其半径都是 2，所以 A 点从开始到结束所走过的路线长是 120 8 2× ×2π＝ π. 180 3
图 32－1
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│ 归类示例 归类示例
► 类型之一
命题角度： 1．正多边形和圆有关的概念 2．正多边形的有关计算
例 1 [2011· 连云港] 如图 32－2，在正五边形 ABCDE 中，对角线 AD、AC 与 EB 分别交于点 M、 N.下列说法错误的是 ．． A．四边形 EDCN 是菱形 B．四边形 MNCD 是等腰梯形 C．△AEM 与△CBN 相似 D．△AEN 与△EDM 全等 ( C )
图 32－5
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[解析] (1)把△AOC 旋转到△BOD， 可知这两个三角形全等； (2)把阴影面积化为两个扇形面积的差． 解：(1)证明：∵∠COD＝∠AOB＝90° ，∴∠AOC＝∠BOD. 又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△AOC≌△BOD. π×32 π×12 (2)S 阴影＝S 扇形 AOB－S 扇形 COD＝ － ＝2π(cm2)． 4 4
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回归教材
教材母题 [江苏科技版九上 P146 例 2] 如图 32－8，正三角形 ABC a 边长为 a，分别以 A、B、C 为圆心， 的半径的圆两两相切于 2 点 O1、O2、O3，求 阴影部分)． 围成的图形面积 S(图中
图 32－8
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解：S＝S△ ABC－3S 扇形 AO1O3. 1 3 3 2 ∵S△ ABC＝ a· a＝ a ， 2 2 4 πa2 S 扇形 AO1O3＝ ＝ ， 360 24 3 2 πa2 2 3－π 2 ∴S＝ a －3× ＝ a. 4 24 8
1 A. 3
3 B. 6
图 32－9 3 C. 3
3 D. 4
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3． [2010· 肇庆] 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所 在圆的半径是________ cm. 6 4． [2010· 广安] 如图 32－10， 一个扇形纸片 OAB.OA＝30 cm， ∠AOB＝120° ，小明将 OA、OB 合拢组成一个圆锥形烟囱帽(接缝 10 忽略不计)．则烟囱帽的底面圆的半径为________ cm.
正多边形和圆
图 32－2
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│ 归类示例
[解析] 正五边形 ABCDE 的每一个内角是 108° 图中△AED、 ， △AEB、△ABC 都是全等的底角为 36° 的等腰三角形，△AEN、 △DEM、△BCN、△ABM 都是全等的等腰三角形，顶角为 36° ， 故选项 A、B、D 正确，C 不正确．
圆的内接正多边形的每条边所对的圆心角都相等， 并且 所对圆心角的和是 360° .
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► 类型之二 计算弧长 命题角度： 1．已知圆心角和半径求弧长 2．利用转化思想求弧长
例 2 [2011· 淮安] 在半径为 6 cm 的圆中，60° 的圆心角 所对的弧等于________． 2π
[解析] 思路一：直接利用弧长公式计算； 1 思路二：圆心角为 60° ，所以夹的扇形为圆的 ，因此弧 6 1 长为圆周长的 . 6
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解：(1)如图，过 A 作 AO⊥AC，过 B 作 BO⊥BD，AO 与 BO 相交于 O，O 即为圆心．
(2)∵AO、BO 都是圆弧 AMB 的半径，O 是其圆心， ∴∠OBA＝150° －90° ＝60° ∴△AOB 为等边三角形． . π×60×180 ∴AO＝BO＝AB＝180. ∴弧 AB＝ ＝60π(m)． 180 ∴A 到 B 这段弧形公路的长为 60π m.
图 32－6
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[解析] 如图过 C 作 CO⊥AB，则 OC＝2，Rt△ABC 绕 边 AB 所在 直线 旋 转一 周则 所 得的 几何 体的 表 面积 为 2×2π×2 2＝8 2π.
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► 类型之五 用化归思想解决生活中的实际问题
命题角度： 1．用化归思想解决生活中的实际问题 2．综合利用所学知识解决实际问题
nπR2 S＝________①； 360
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考点4 圆锥的侧面积和全面积
沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇 形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的________ 母线 长． 如图 32－1 所示，若圆锥的底面半径为 r，母线长为 a，则它的 侧面积 S 侧 ＝______.全面积 S 全＝_____________. πra πr(a＋r)
例 5 如图 32－7 中的线 CD 表示某 条公路的一段，其中 AMB 是一段圆弧， AC、BD 是线段，且 AC、BD 分别与圆 弧 AMB 相切于点 A、 线段 AB＝180 m， B， ∠ABD＝150° . (1)画出圆弧 AMB 的圆心 O； (2)求 A 到 B 这段弧形公路的长．
图 32－7
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考点2 圆的周长与弧长公式
2πR 圆的周长：若圆的半径是 R，则圆的周长 C＝________. 弧长公式：若一条弧所对的圆心角是 n° ，半径是 R，则 nπR 弧长 l＝________. 180
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考点3 扇形的面积公式
对于半径是 R，圆心角是 n° 的扇形的面积是 1 lR 对于弧长是 l，半径是 R 的扇形的面积是 S＝________②. 2 [比较] 当已知半径 R 和圆心角的度数求扇形的面积时，选用 公式①；当已知半径 R 和弧长求扇形的面积时，应选用公式②.
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变式题 2 [2010· 台州] 如图 32－4，菱形 ABCD 中，AB ＝2，∠C＝60° ，菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚， 每绕着一个顶点旋转 60° 叫一次操作，则经过 36 次这样的操作 (8 3＋4)π 菱形中心 O 所经过的路径总长为(结果保留 π)_____________．
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求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形， 然后求出各图形的面积，通过面积的和或差求出结果．
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► 类型之四
和圆锥的侧面展开图有关的问题
命题角度： 1．圆锥的母线长、底面半径等计算 2．圆锥的侧面展开图的相关计算
例 4 [2011· 宁波] 如图 32－6， Rt△ABC 中， ∠ACB＝90° ，AC＝BC＝2 2，若把 Rt△ABC 绕 边 AB 所在直线旋转一周，则所得的几何体的表 面积为 ( D ) A．4π B．4 2π C．8π D．8 2π
图 32－10
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│ 正多边形、弧长、扇形的 面积、圆锥的计算问题
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│ 考点聚焦 考点聚焦
考点1 正多边形和圆
正多边形 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． [注意] 正多边形是轴对称图形，n 边形有 n 条对称轴；当 正多边形有偶数条边时，它也是中心对称图形，它的中心是正 多边形的外接圆的圆心．
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