数学概念历史理解及线性代数课程特点和学习要求24页PPT
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线性代数课本课件
最小二乘法的计算实例
直线拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 直线方程。
多项式拟合的计算实例
通过最小二乘法拟合一组数据点，得到最佳 多项式方程。
非线性拟合的计算实例
通过最小二乘法结合适当的变换，拟合非线 性模型。
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04 特征值与特征向量
特征值与特征向量的概念
特征值
设A是n阶方阵，如果存在数λ和 非零n维列向量x，使得Ax=λx成
立，则称λ是A的特征值。
特征向量
对应于特征值λ的满足Ax=λx的非 零向量x称为A的对应于特征值λ的 特征向量。
特征空间
对应于同一特征值的所有特征向量 （包括零向量）的集合，加上零向 量后构成的线性子空间称为特征空 间。
线性方程组的应用举例
线性规划问题
图像处理
线性方程组可用于描述和解决线性规划问 题，如资源分配、生产计划等。
在计算机图像处理中，线性方程组可用于 图像滤波、图像恢复等任务。
机器学习
电路分析
在机器学习领域，线性方程组常用于线性 回归、逻辑回归等模型的参数求解。
在电路分析中，线性方程组可用于描述电路 中的电流、电压等物理量之间的关系，从而 进行电路分析和设计。
向量的线性组合关系不变。
线性变换的性质
02
线性变换具有保持线性组合、保持线性相关等性质，同时线性
变换的核与像也是重要的概念。
线性变换的运算
03
线性变换之间可以进行加法和数量乘法运算，同时线性变换的
逆变换和复合变换也是常见的运算。
线性空间的基与维数
基的概念
线性空间中的一组线性无关的向量，可以表示该空间中的任意向 量，称为该线性空间的基。
线性代数——绪论ppt课件
为何学习
如何学习
学习的方法和要求 3
学习其实是由浅入深，循序渐进的一个过程，可以按照下面的“三步曲” 来进行。
学习的基本要求
理解理论和方法，掌握概念和计算
知识要成网
.
学习什么
为何学习
如何学习
学习的方法和要求 3
1、课前预习，上课认真听讲，课后及时
复习、巩固，提高学习效率；跟上课程
进度会让你节约很多时间和解决很多困
.
学习什么
“小嘛小儿郎，背着 那书包上学堂，不怕 太阳晒，也不怕那风 雨狂，只怕先生骂我 懒，没有学问哪，无 脸见爹娘……”
为何学习
如何学习
该怎样学习 1
你是否曾经沉浸在读 小说、玩游戏中而不 能自拔？全神贯注， 心醉神迷，废寝忘食， 如痴如醉，恨不能此 生只做这一件事！
坐在地铁和轻轨上， 捧着书在读、塞着耳 机在听英语的“好之 者”。贾岛是这个境 界的榜样。“鸟宿池 边树，僧推月下门。”
注重对基本概念的理解与把握，正确 熟练运用基本方法及基本运算；
线性代数的概念与计算同样重要，不 懂地方可以先不求甚解并反复阅读。
线性代数是一种语言,必须用学习外 语的方法每天坚持学习。
.
学习什么
为何学习
如何学习
学习的方法和要求 3
知识要成网
线性代数主要研究三种对象：矩阵、方程组和向量组。这三 种对象的理论是密切相关的，大部分问题在这三种理论中都有 等价说法。因此，熟练地从一种理论的叙述转移到另一种上去， 是学习线性代数时应养成的一种重要习惯和素质。
.
学习什么
学习对象 2
为何学习
线性 代数
如何学习
（一）线性
一元线性函数在平面直角坐标系中的关系描述
《线性代数讲义》课件
在工程学中，性变换也得到了广泛的应用。例如，在图像处理中，可
以通过线性变换对图像进行缩放、旋转等操作；在线性控制系统分析中
，可以通过线性变换对系统进行建模和分析。
THANKS
感谢观看
特征向量的性质
特征向量与特征值一一对应，不同的 特征值对应的特征向量线性无关。
特征值与特征向量的计算方法
01
定义法
根据特征值的定义，通过解方程 组Av=λv来计算特征值和特征向 量。
02
03
公式法
幂法
对于某些特殊的矩阵，可以利用 公式直接计算特征值和特征向量 。
通过迭代的方式，不断计算矩阵 的幂，最终得到特征值和特征向 量。
矩阵表示线性变换的方法
矩阵的定义与性质
矩阵是线性代数中一个基本概念，它可以表示线性变 换。矩阵具有一些重要的性质，如矩阵的加法、标量 乘法、乘法等都是封闭的。
矩阵表示线性变换的方法
通过将线性变换表示为矩阵，可以更方便地研究线性 变换的性质和计算。具体来说，如果一个矩阵A表示 一个线性变换L，那么对于任意向量x，有L(x)=Ax。
特征值与特征向量的应用
数值分析
在求解微分方程、积分方程等数值问题时， 可以利用特征值和特征向量的性质进行求解 。
信号处理
在信号处理中，可以利用特征值和特征向量的性质 进行信号的滤波、降噪等处理。
图像处理
在图像处理中，可以利用特征值和特征向量 的性质进行图像的压缩、识别等处理。
05
二次型与矩阵的相似性
矩阵的定义与性质
数学工具
矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，表示为二维数组。矩阵具有行数和列数。矩阵可以进行加法、数 乘、乘法等运算，并具有相应的性质和定理。矩阵是线性代数中重要的数学工具，用于表示线性变换 、线性方程组等。
线性代数的发展及PPT课件
线性代数的初等部分的形成和发展
一、行列式 最早引入行列式概念的，是十七世纪的日本的数学奠基人关孝和。他1383年著《解优题之法》一书，对行
列式及其展已经有了清楚的叙述。但是在公元一世纪(东汉初年)。中国古算术《九章算术》中已有用矩阵( 当时称为“方程”)的初等变换来解线性方程组的内容了。关孝和的思想的产生，大概多受惠于中国而非西 方的影响。
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现代意义的线性代数基本上出现于十七世纪。直到十八世纪 末，线性代数的领域还只限于平面与空空间。十九世纪上半叶才完 成了到n维线性空间的过渡。19世纪时，线性代数就获得了光辉的 成就。
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随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入，行列式和矩阵在 18～19世纪期间先后产生，为处理线性问题提供了有力的工具，从而推动了线 性代数的发展。向量概念的引入，形成了向量空间的概念。凡是线性问题都可以 用向量空间的观点加以讨论。因此，向量空间及其线性变换，以及与此相联系的 矩阵理论，构成了线性代数的中心内容。
第23页/共25页
第24页/共25页
感谢观看！
第25页/共25页
五、 物流环节中线性代数的应用十分广泛 比如，航空运输业就使用线性规划来调度航班，监视飞行及机场的维护
运作；作为经营者，线性规划可以帮助你合理的安排各种商品的进货，以达到最 大利润；在物流配送环节中如何安排车辆调度；在生产环节中如何制定生产计划； 物流运输配送问题；生产配料问题等等。
第22页/共25页
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其三，线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及 严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。
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线性代数 幻灯片PPT
• 定义8 设有两个n
• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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54
线性代数
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
线性代数
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44
线性代数
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45
线性代数
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
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40
线性代数
出版社 科技分社
41
线性代数
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42
线性代数
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数 课件
本PPT课件仅供大家学习使用 请学习完及时删除处理 谢谢！
1
线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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• 如果向量组A中每一个向量都能由向量组B 线性表示，那么称向量组A能由向量组B线 性表示.
53
线性代数
• 定理6 设有两个n维向量组
•证
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54
线性代数
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• 因为A组可由B组线性表示，所以存在矩阵
• 使 A=KB.
• 推论 等价的线性无关向量组所含向量个数 相等.
• 2.7 方 阵 的 • 定义12 对n阶方阵A，如果存在一个n阶方
阵B，使AB=BA=E，那么称A是可逆阵，称B 为A的逆阵，记为B=A-1. • 性质1 如果A可逆，那么逆阵惟一. • 证明 设A有两个逆阵B,C
43
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44
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45
线性代数
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• 定义11 由单位阵经过一次初等变换得到的 方阵称为初等方阵.
• 3种初等变换对应了3类初等方阵.
• 第1类初等方阵：对调E
39
线性代数
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40
线性代数
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41
线性代数
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42
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• 定理3 设A=(aij)m×n，对A施行初等行变换， 相当于对A左乘相应的m阶初等方阵，对A施 行初等列变换，相当于对A右乘相应的n阶 初等方阵.
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线性代数 课件
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线性代数
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第1章 行列式
• 1.1 预 备 知 • 设有二元一次方程组
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线性代数新教材课件
线性代数新教材课件
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 线性变换与矩阵 • 线性代数在实际问题中的应用
01
引言
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分 支，主要研究线性方程组、向 量空间、矩阵等数学对象。它 在科学、工程、技术等领域有 着广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具之一。
02 封闭性 线性变换将向量空间中的点集映射到另一个点集。
03
结合律
线性变换满足结合律，即(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
04
单位元存在
存在一个恒等映射，满足恒等映射(I)(x)=x。
05 零元存在 存在一个零映射，满足零映射(0)(x)=0。
矩阵表示的线性变换
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示形式， 通过矩阵可以将线性变换转化为 数值计算。
线性方程组的解的结构
解的唯一性
当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一 解。
解的范围
方程组的解与初始值有关，不同的初始值可能导 致不同的解。
无穷多解
当系数矩阵的行列式为0时，方程组可能有无穷 多解。
解的稳定性
对于某些微小的扰动，方程组的解应保持相对稳 定。
线性方程组的应用
几何问题
线性方程组可用于描述几何图形的位置和运动关系。
THANK YOU
感谢聆听
在计算机科学中的应用
在计算机图形学中，线性代 数中的向量和矩阵被用来描 述和操作二维和三维图形。
在机器学习中，线性代数中 的向量和矩阵被用来表示和 操作数据，训练模型。
ABCD
在计算机视觉中，线性代数 中的向量和矩阵被用来描述 和识别图像中的特征。
目
CONTENCT
录
• 引言 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 线性变换与矩阵 • 线性代数在实际问题中的应用
01
引言
线性代数的定义与重要性
线性代数是数学的一个重要分 支，主要研究线性方程组、向 量空间、矩阵等数学对象。它 在科学、工程、技术等领域有 着广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具之一。
02 封闭性 线性变换将向量空间中的点集映射到另一个点集。
03
结合律
线性变换满足结合律，即(f+g)(x)=f(x)+g(x)。
04
单位元存在
存在一个恒等映射，满足恒等映射(I)(x)=x。
05 零元存在 存在一个零映射，满足零映射(0)(x)=0。
矩阵表示的线性变换
矩阵与线性变换的关系
矩阵是线性变换的一种表示形式， 通过矩阵可以将线性变换转化为 数值计算。
线性方程组的解的结构
解的唯一性
当系数矩阵的行列式不等于0时，方程组有唯一 解。
解的范围
方程组的解与初始值有关，不同的初始值可能导 致不同的解。
无穷多解
当系数矩阵的行列式为0时，方程组可能有无穷 多解。
解的稳定性
对于某些微小的扰动，方程组的解应保持相对稳 定。
线性方程组的应用
几何问题
线性方程组可用于描述几何图形的位置和运动关系。
THANK YOU
感谢聆听
在计算机科学中的应用
在计算机图形学中，线性代 数中的向量和矩阵被用来描 述和操作二维和三维图形。
在机器学习中，线性代数中 的向量和矩阵被用来表示和 操作数据，训练模型。
ABCD
在计算机视觉中，线性代数 中的向量和矩阵被用来描述 和识别图像中的特征。
线性代数知识点全面总结PPT课件
量 组 的
维 向 量 线性相关
判定 概念 判定
充要条件
线
概念
充分条件
性 相
线性无关
判定
充要条件 充分条件
关 性
概念
向
极大无关组 求法
量
概念
空
向量空间的基
间
线 Ax = b
解
有解判定R(A)≠R(B)无解 的
性 方 程 组
初行变换等阶梯形
R(A)=R(B)有解 结
构
R(A)=n仅有零解 基
Ax = 0
2、矩阵的乘法
(1)(AB)C = A ( BC ) ;
(2) A ( B + C ) =
(3) (kA)(lB) = (kl)AB;
(4) AO =OA = O.
3、矩阵的转置
(1)(AT)T = A; (3)(kA)T =kAT;
(2) (A+B)T = AT+BT; (4) (AB)T = BTAT.
A
A12
A22
An1
An2
A1n A2n
Ann
概 如果AB=BA=E,则A可逆， 念 B是A的逆矩阵.
用定义
逆 矩求
用伴随矩阵 A1 1 A
A
阵
法
分块对 A
角矩阵
0
0 1 A1
B
0
0 0
B1
B
A1 0
0
A1
B1
0
|A| ≠ 0 , A
证 法
可|A逆| =.0 , A不可 逆AB .= E , A与B互逆.
总 有 解R(A)<n有非零解
A+B = ( aij + biAj与) B同型
线性代数总复习讲义PPT课件
在金融学中，线性代数用于描述资产价格和风险等经济量，以及计算收益 率和波动率等金融指标。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。
在计算机科学中的应用
01
Байду номын сангаас
02
03
04
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
线性代数在计算机科学中也有 着广泛的应用，如图像处理、 机器学习和数据挖掘等领域。
100%
相似变换法
通过相似变换将矩阵对角化，从 而得到其特征值和特征向量。
80%
数值计算法
对于一些大型稀疏矩阵，可以使 用数值计算方法来计算其特征值 和特征向量。
特征值与特征向量的应用
01
在物理、工程等领域中，特征值和特征向量被广泛 应用于求解振动、波动等问题。
02
在图像处理中，特征值和特征向量被用于图像压缩 和图像识别。
二次型的应用与优化问题
总结词
了解二次型在解决优化问题中的应用
详细描述
二次型的一个重要应用是在解决优化问题中， 特别是在求解二次规划问题时。通过将问题 转化为二次型的形式，可以方便地应用各种 优化算法进行求解，如梯度下降法、牛顿法 等。此外，二次型在统计分析、机器学习等 领域也有着广泛的应用。
06
矩阵的逆与行列式的值
要点一
总结词
矩阵的逆和行列式的值是线性代数中的重要概念，它们在 解决线性方程组、向量空间和特征值等问题中有着广泛的 应用。
要点二
详细描述
矩阵的逆是矩阵运算的一个重要概念，它表示一个矩阵的 逆矩阵与其原矩阵相乘为单位矩阵。逆矩阵的存在条件是 矩阵的行列式值不为零。行列式的值是一个由n阶方阵构 成的代数式，表示n个未知数的n阶线性方程组的解的系数 。行列式的值可以用来判断线性方程组是否有解以及解的 个数。同时，行列式的值也与特征值和特征向量等问题密 切相关。