线性规划讲座
线性规划(上课课件)
基变量的检验数： CB- CB B-1B = 0
C - CB B-1A =（0， CN - CB B-1N ）
定理：若检验数全小于等于零，且某一个非基变量 的检验数为0，则线性规划问题有无穷多最优解。 （无穷多最优解情况）
xmk , mk 0. 证明：某个非基变量 xm k 换入基变量中，得到基可行解 X
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
线性规划（2）-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 令新的非基变量（ x1，x5 ）=（0，0）T 得到新的基可行解： x(2)=(0,3,2, 16 , 0) T S2= 9 经济含义：生产乙产品3个，获得利润9 百元。
其中（1）—1/2（3）
这个方案比前方案好，但是否是最优？
这个方案比前方案好，但是否是最优？ 分析： Z= 9＋2 x1 -（3/4）x5 非基变量x1系数仍为正数，确定x1为换 入变量。在保证正消去系统的情况下， 确定x3为换出变量。得到新的消去系统：
•从可行域中某个基可行解（一个顶点） 开始（称为初始基可行解）。 •如可能，从可行域中求出具有更优目标 函数值的另一个基可行解（另一个顶点）， 以改进初始解。
•继续寻找更优的基可行解，进一步改进 目标函数值。当某一个基可行解不能再改 善时，该解就是最优解。
第三节
线性规划-单纯形方法
单纯形方法基本思路：
增加单位产品乙（x2）比甲对目标函数 的贡献大（检验数最大），把非基变量 x2换成基变量，称x2为换入基变量，而 把基变量x5换成非基变量，称x5为换出 基变量。 （在选择出基变量时，一定保证消去系 统为正消去系统）（最小比值原则）
2 线性规划
第一节 线性规划问题及其数学模型
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约
束方程的影响是独立于其他变量的，目标函 数值是每个决策变量对目标函数贡献的总和 连续性假定：线性规划问题中的决策变量应 取连续值。 确定性假定：线性规划问题中的所有参数都 是确定的参数。线性规划问题不包含随机因 素。
约 束 方 程
约束条件
变量约束
第一节 线性规划问题及其数学模型
线性规划问题隐含的假定： 比例性假定 可加性假定 连续性假定 确定性假定
比例性假定：决策变量变化引起的目标函数
的改变量和决策变量的改变量成比例，同样， 每个决策变量的变化引起约束方程左端值的 改变量和该变量的改变量成比例
≥0
=
≥0
第一节 线性规划问题及其数学模型
标准型的简缩形式
max Z
c x
j j 1
n
j
s .t
n aij x j bi , i 1,2 , , m j 1 x j 0 , i 1,2 , , m
第一节 线性规划问题及其数学模型
或
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n bi
a i 1 x1 a i 2 x 2 a in x n x p bi , x p 0
剩余变量
练习
例:将下列线性规划问题划为标准形式： min Z = x1+3x2
s.t.
6x1+7x28 -x1+3x2-6 x1-x2=3 x10
可行域无界
x1+2x2 10 x2 0 x1
可行域无界
x2
x1 0
第四讲线性规划-图解法(liu)
三、二维线性规划的图解法
3、几个概念 （3）可行解
由约束条件和变量取值限制围成的公共 区域中的每一个点都称为线性规划问题的可 行解。
（4）可行域
所有可行解的集合，构成线性规划问题 的可行域。
22
三、二维线性规划的图解法
4、解的状态
（1）唯一解 （2）无穷多个最优解 (目标函数直线与可行域某直线重合)
二、线性规划模型及标准化
1、线性规划模型的一般形式
例二：配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为 原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四 种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni） 的含量（%），这四种原料的单价以及新的 不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含 量（%）如下表所示：
25
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义
（1）凸集
集合C∈En，从C中任取两点X、Y，当 0<λ<1时，仍有λX+（1-λ）Y∈C，则称C为 凸集。 凸集：
26
三、二维线性规划的图解法
线性规划的几何意义 （1）凸集 不是凸集：
27
ห้องสมุดไป่ตู้
2、线性规划模型的标准化方法： （1）把最小化目标函数转化为求最大化问 题。令 z' z （2）把约束方程中的不等式转化为等式。 具体做法是：对于小于等于情况，引进松弛变 量，对于大于等于情况，引进剩余变量。 x j x 'j x"j （3）变量取值可能无约束。令 x 'j x j （4）变量小于等于零，令 （5）右端项 b j 小于零，等式两端同乘-1
2
一、情况介绍
线性规划研究的问题可以归结为两大类 别： 1、在现有的资源条件下，如何充分利 用资源，使任务或目标完成得最好（求约束 极大化问题）。 2、在给定目标下，如何以最少的资源 消耗，实现这个目标（求约束极小化问题）。
线性规划讲座(四)
由上 表可 知
若 要 维 持 最 优 解不 变
△
O( O
: 3
,
必
个 非基本 变 量 才有 可 能 进 入 基 本 变 量
时
,
此
。
须 满足
即
:
(
14
3
.
5 + 4
。
)
一
18
。
5(
0
△
3
》4
。
0,
也就 是说
,
只 有 当产 品
.
x
的
.
:
△
一
0
单位产 品利 润 达 到 比 (
元 略高一点 时
2
。
14
5 + 4
例 ( (
4 4
,
e
一
卜
乃
c ;
)
一
2 1
(
0
线性规 划 问 题 的 最 优 解不 变
c ;
一
。
1
) 的最 优 解单 纯
形 表 见表
因为企 业 的经 理人 员 了解 到 这 些影 响 后
以在
a
。;
可
。
一
1
)
,
b
i ,
变 动 时 作 出最 有 利 的 决 策
一 4 5一
(表
4
一1 )
C
]
18
。
。
5
2 0
的 改 变 更 感兴 趣
。
卜 则
:
2 0△
《
, : 假 定第一种 资 源 b 增 加△
,
△ 可以 是
。 :
:
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种优化问题的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、问题形式化、求解方法以及应用领域。
二、线性规划的基本概念1. 线性规划定义线性规划是一种在给定的约束条件下，求解线性目标函数的最优解的数学问题。
线性规划的目标函数和约束条件都是线性的。
2. 线性规划的数学模型线性规划可以用数学模型来表示，一般形式为：最大化（或最小化）目标函数约束条件：线性规划的目标函数和约束条件可以包含多个变量和多个约束条件。
3. 线性规划的基本假设线性规划的求解过程基于以下假设：- 可行解存在：问题存在满足约束条件的解。
- 目标函数有界：问题存在有限的最优解。
- 线性关系：目标函数和约束条件都是线性的。
三、线性规划的问题形式化1. 目标函数的确定线性规划的目标函数可以是最大化或最小化某个特定的指标，如利润最大化、成本最小化等。
2. 约束条件的确定约束条件是限制问题解的条件，可以包括等式约束和不等式约束。
约束条件可以来自于问题的实际限制，如资源的有限性、技术要求等。
3. 决策变量的确定决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量的选择应该与问题的实际需求相匹配。
四、线性规划的求解方法1. 图解法图解法是线性规划求解的一种直观方法，通过绘制约束条件的图形和目标函数的等高线，找到目标函数取得最大（或最小）值的点。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的线性规划求解算法，它通过迭代计算，逐步接近最优解。
单纯形法的基本思想是通过不断地移动到更优的解，直到找到最优解。
3. 整数规划的分支定界法整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量的取值为整数。
分支定界法是一种用于求解整数规划的方法，它通过将问题分解为多个子问题，并逐步缩小解空间，最终找到最优解。
五、线性规划的应用领域线性规划在实际问题中有广泛的应用，包括但不限于以下领域：- 生产计划与调度- 运输与物流管理- 金融投资组合优化- 能源调度与优化- 供应链管理等六、总结线性规划是一种重要的数学建模方法，它可以用来解决一类特定的最优化问题。
线性规划讲义
线性规划讲义一、引言线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的目标最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本讲义将介绍线性规划的基本概念、模型建立和求解方法。
二、基本概念1. 线性规划模型线性规划模型由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数是要最小化或者最大化的线性表达式，而约束条件是对决策变量的限制条件。
2. 决策变量决策变量是问题中需要决策的变量，它们的取值将影响目标函数的值。
决策变量通常用符号x表示。
3. 约束条件约束条件是对决策变量的限制条件，可以是等式约束或者不等式约束。
等式约束表示某些决策变量之间的关系，不等式约束表示某些决策变量的取值范围。
4. 目标函数目标函数是线性规划模型中要最小化或者最大化的线性表达式。
它通常由决策变量和系数构成。
三、模型建立1. 确定决策变量根据问题的具体情况，确定需要决策的变量，并用符号x表示。
2. 建立目标函数根据问题要求，建立一个线性表达式作为目标函数。
目标函数可以是最小化或者最大化的。
3. 建立约束条件根据问题中给出的限制条件，建立一组线性不等式或者等式作为约束条件。
每一个约束条件都要写成决策变量的线性表达式。
4. 确定变量的取值范围根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
这些范围可以是非负数、整数或者其他限制条件。
四、求解方法1. 图形法当决策变量的个数较少时，可以使用图形法来求解线性规划问题。
图形法通过绘制约束条件的图形，并找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法单纯形法是一种常用的求解线性规划问题的方法。
它通过迭代计算，逐步逼近最优解。
单纯形法的核心是构造单纯形表，并进行基变量的选择和迭代计算。
3. 整数线性规划当决策变量需要取整数值时，可以使用整数线性规划方法来求解。
整数线性规划是一种复杂的优化问题，通常需要使用分支定界等算法来求解。
五、案例分析以一个生产计划问题为例，假设一个工厂有两个产品A和B，需要决定每一个产品的生产数量，以最大化利润。
线性规划-讲义-3
4)、解的几种情况： 4)、解的几种情况： 唯一解 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0者。 无穷多解－最优表中非基变量检验数有为0 无界解 max, σ j > 0 但Pj ≤ 0 min, σ j < 0 但Pj ≤ 0 无可行解－最优表中人工变量在基中， 无可行解－最优表中人工变量在基中，且＝0。 建模有问题 5)、 5)、退化解问题
表2 -2
-1/3 -1/3
两阶段法步骤 n 原问题 max S=Σ Cj xj n j=1 Σ aij xj =bi ( i=1,2, …,m) xj ≥ 0 m 作辅助问题 min W=Σ yi n i=1 Σ aij xj + yi =bi ( i=1,2, …,m) Xj ， yi ≥ 0 阶段：解辅助问题， 第1阶段：解辅助问题，当进行到最优表时 ①、若W=0, 则得到原问题的一个基本可行 转入第2阶段 阶段。 解，转入第 阶段。 ②、若W>0, 则判定原问题无可行解 阶段： 第2阶段：用求出的初始基可行解求最优解。 阶段 用求出的初始基可行解求最优解。
人工变量： x6 , x7 人工变量：
cj
XB b*
0
x1
0
x2
0
x3
0
x4
0
x5
-1
x6
-1
x7
x4 11 3 x6 x7 1 - W’ 0
XB b*
1 -4 -2
0
x1
-2 1 0
0
x2
1 2 1
0
x3
1 0 0
0
x4
0 -1 0
0
x5
0 1 0
-1
x6
0 0 1
-1
x7
线性规划讲义
线性规划讲义标题：线性规划讲义引言概述：线性规划是一种数学优化技术，用于在给定约束条件下最大化或者最小化线性目标函数。
它在各种领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将详细介绍线性规划的基本概念、解题方法以及实际应用。
一、线性规划的基本概念1.1 线性规划的定义：线性规划是一种数学方法，用于寻觅一个线性函数的最大值或者最小值，同时满足一组线性等式或者不等式的约束条件。
1.2 线性规划的基本要素：线性规划包括目标函数、约束条件和决策变量三个基本要素。
目标函数用于描述要最大化或者最小化的目标，约束条件描述了问题的限制条件，决策变量是需要确定的未知数。
1.3 线性规划的标准形式：线性规划问题通常被转化为标准形式，即最小化目标函数，同时满足一组线性等式和不等式约束条件。
二、线性规划的解题方法2.1 图形法：图形法是线性规划的基本解法之一，通过在坐标系中画出约束条件和目标函数的等高线图，找到最优解的方法。
2.2 单纯形法：单纯形法是一种高效的线性规划求解算法，通过逐步挪移顶点，找到最优解的方法。
2.3 对偶理论：对偶理论是线性规划的重要理论基础，通过对原问题的对偶问题进行求解，可以得到原问题的最优解。
三、线性规划的应用3.1 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。
3.2 资源分配：线性规划可以匡助企业合理分配资源，以达到最优的效益。
3.3 运输问题：线性规划可以解决运输问题，如货物运输路线的最优规划和运输成本的最小化。
四、线性规划的工具4.1 MATLAB：MATLAB是一种常用的数学建模工具，可以用于解决线性规划问题。
4.2 Excel：Excel也可以用于线性规划问题的建模和求解，通过插件或者函数实现。
4.3 Gurobi：Gurobi是一种专业的线性规划求解器，可以高效地解决大规模线性规划问题。
五、线性规划的发展趋势5.1 混合整数线性规划：混合整数线性规划是线性规划的扩展，将决策变量限制为整数，适合于更多实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
本题解决的是公司投资问题的利润最优化模型，在经济快速增长的今天，合理的投资不仅能降低风险的存在，而且还能最大限度的增加利润值，为了给公司带来更好的效益，我们建立了如下五个模型：
对于问题一，要求分析附录一的实验数据，拟定五年内的投资计划使得第五年末所得利润最大。
在忽略风险的前提下，以第五年末所得最大利润为目标函数，建立单目标多元线性回归模型，然后通过LINGO软件编程，求得第五年末的最大利润为17.9400万元，拟定的安排投资计划表见表一。
对于问题二，要求分析往年数据，预测五年内各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期率及风险损失率，由于各项目的投资额和到期利润随时间呈循环变动，因此，考虑建立时间序列模型进行预测，通过Excel对附录二中的数据进行分析，求出各项目独立投资及项目之间投资的利润率，然后采用加权移动平均法预测到期的利润率并对其进行修正，最后建立标准差模型描述风险损失率，在LINGO与Matlab软件的编程下，求得的结果见表三，表四，表五和表六。
对于问题三，要求确定五年内的投资安排使利润最大，考虑在总投资资金增加的情况下忽略可能存在的风险损失率，以最大利润为目标函数建立线性方程，在计算机的模拟下，求得第五年末的最大利润为522210.7万元，拟定的安排投资计划表见表七。
对于问题四，要求在考虑风险投资的情况下确定问题三的投资方案，分别以问题二中的最大利润与最小风险损失金额为目标函数，建立多目标多元线性方程，最后转化成单目标线性方程，通过LINGO求解，确定的投资方案见表八。
对于问题五，在考虑公司可在银行贷款的情况下确定五年的投资决策，在问题四的基础上，以最终的利润为目标函数，建立存款利率和贷款利率的多元线性方程，最后通过计算机模拟，得到最大利润为12.3644万元.。