高中数学人教版必修2 3.2.3直线的一般式方程 作业(系列三)
高中数学人教版必修2 3.2.3直线的一般式方程 作业(系列三)
直线的一般式方程一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·宜昌高一检测)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是() A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0D.x+2y-1=02.(2013·佛山高一检测)x+y+m=0的倾斜角是()A.30°B.60°C.120°D.150°3.三条直线：x+y=0,x-y=0,x+ay-3=0围成三角形,则a的取值范围是()A.a≠±1B.a≠1,a≠2C.a≠-1D.a≠±1,a≠24.已知m≠0,直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2,则直线的斜率为()A.1B.13- C.23- D.25.已知点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,其中m>0,n>0,则lgm+lgn()A.有最大值为2B.有最小值为2C.有最大值为1D.有最小值为1二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·保定高一检测)已知直线l1：x+2my-1=0和l2：(3m-1)x-my+1=0,若l1∥l2,则实数m的值为.7.(2013·金华高一检测)直线kx+y-3k+1=0必经过的点是.8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都经过点P(2,3),则经过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.对直线l上的任一点(x,y),点(4x+2y,x+3y)也在此直线上,求直线方程.10.已知点P,Q的坐标分别为(-1,1),(2,2),若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交,求m的取值范围.11.(能力挑战题)已知实数a满足0<a<2,直线l1：ax-2y-2a+4=0和l2：2x+a2y-2a2-4=0,与两坐标轴围成一个四边形,(1)求证无论实数a如何变化,直线l1, l2必过定点.(2)画出直线l 1, l 2在平面坐标系上的大致位置.(3)求实数a 取何值时,所围成的四边形面积最小.答案解析1.【解析】选A.设所求直线的方程为x-2y+m=0,把点(1,0)代入,得m=-1,故选A.2.【解析】选C.x+y+m=0的斜率k=,所以倾斜角为120°.【变式训练】(2013·泗水高一检测)直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°,则a 的值是( )B. C. D.【解析】选A.因为直线的倾斜角为120°,所以直线的斜率k=,即2a -=,所以3.【解题指南】构成三角形的三条直线的斜率不相等.【解析】选A.因为x+ay-3=0恒过(3,0)点,所以此直线只要不和x+y=0,x-y=0两直线平行且不过另两条直线的交点就能构成三角形.所以a≠±1.4.【解析】选A.令x=0,得y=2a 3m -,因为直线在y 轴上的截距为2,所以2a 3m-=2,所以a=-3m,原直线化为-3mx+3my-6m=0,所以k=1.【举一反三】把题中的“在y 轴上的截距为2”改为“在两坐标轴上的截距之和为2”,则直线的斜率为( ) A.1 B.13-C.23- D.2 【解析】选D.令x=0,得y=2a 3m -,令y=0,得x=-2,因为在两坐标轴上的截距之和为2,所以2a 3m -+(-2)=2,所以a=-6m,原直线化为-6mx+3my-12m=0,所以k=2.故选D.5.【解析】选 C.由于点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,5m+2n-20=0,则n=52－m+10,所以lgm+lgn=lgmn=lg(52－m 2+10m)=lg[52－(m 2-4m)]=lg[52－(m-2)2+10]≤lg10=1.所以lgm+lgn 有最大值为1.6.【解析】因为l 1∥l 2,所以2m(3m-1)+m=0,解得m=16或0.当m=0时,直线l 1与l 2重合,舍去. 答案：16【举一反三】把“l 1∥l 2”改为“l 1⊥l 2”,则实数m 的值为 . 【解析】因为l 1⊥l 2,所以(3m-1)+2m(-m)=0,解得m=1或12. 答案：1或127.【解析】把直线kx+y-3k+1=0化成点斜式,得y+1=-k(x-3),所以直线恒过点(3,-1).答案：(3,-1)【变式训练】已知直线l ：(k+1)x-ky+2k-1=0过定点A,则过点A 且倾斜角为135°的直线方程为 .【解析】将直线方程(k+1)x-ky+2k-1=0转化成k(x-y+2)+x-1=0,由x y 20x 10-+=⎧⎨-=⎩，，解得x 1,y 3,=⎧⎨=⎩所以直线l 过定点(1,3),又所求直线的倾斜角为135°,所以所求直线的斜率k=-1,由直线方程的点斜式得所求直线的方程为y-3=-(x-1),整理得x+y-4=0.答案：x+y-4=08.【解析】由题意得2a 1+3b 1+1=0,2a 2+3b 2+1=0,所以点Q 1(a 1,b 1),Q 2(a 2,b 2)都在直线2x+3y+1=0上,又由两点确定一条直线,得所求直线的方程为2x+3y+1=0.答案：2x+3y+1=09.【解析】设直线l 的方程为Ax+By+C=0,因为(4x+2y,x+3y)在此直线上,所以A(4x+2y)+B(x+3y)+C=0,整理得(4A+B)x+(2A+3B)y+C=0,因为上式也是直线l 的方程,当C≠0时,有A 4A B B 2A 3B =+⎧⎨=+⎩，，解得A=B=0,此时直线不存在;当C=0时,两方程表示的直线均过原点,应用斜率相等,所以A 4A B B 2A 3B+-=-+,所以A=B 或B=-2A,所以所求直线的方程为x+y=0或x-2y=0.10.【解析】直线l ：x+my+m=0,即为x+m(y+1)=0,显然直线经过点M(0,-1),过点M 作直线l 1∥PQ,显然l 1的斜率为k 1=211213-=+,过点M,Q 作直线l 2,则l 2的斜率为k 2=32,如图所示,与PQ 的延长线相交的直线应该夹在l 1和l 2之间,即k 1<k<k 2(其中k 为直线l 的斜率),于是113m <-<32,解得-3<m<23-. 11.【解析】(1)由l 1：ax-2y-2a+4=0变形得a(x-2)-(2y-4)=0,当x=2时,y=2,即直线l 1过定点(2,2). 由l 2：2x+a 2y-2a 2-4=0变形得a 2(y-2)+2x-4=0,所以当y=2时,x=2,即直线l 2过定点(2,2).(2)直线l 1, l 2在平面坐标系上的图象,如图所示.(3)直线l 1与y 轴的交点为A(0,2-a),直线l 2与x 轴的交点为B(a 2+2,0),如图,由直线l 1：ax-2y-2a+4=0知,直线l 1也过定点C(2,2),过C 点作x 轴的垂线,垂足为D,于是S 四边形AOBC =S 梯形AODC +S △BCD =12(2-a+2)·2+12· 2(a 2+2-2)=a 2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12时, S 四边形AOBC 最小,故当a=12时,所围成的四边形面积最小. 关闭Word 文档返回原板块。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程3.2.3直线的一般式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程知识导图学法指导1.体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．2．明确平面上的直线和二元一次方程的区别与联系．3．弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．4．明确利用直线方程的几种形式判断直线平行和垂直问题的方法．高考导航1.利用两点坐标求直线的方程或利用直线的截距式求直线的方程是常考知识点，分值5分．2．由直线的一般式方程判断直线的位置关系或求参数的值也是高考的常考题型，以选择题或填空题为主，分值5分.知识点一直线的两点式、截距式方程1．截距式方程中间以“＋”相连，右边是1.2．a 叫做直线在x 轴上的截距，a∈R ，不一定有a >0.知识点二 线段的中点坐标公式若点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.知识点三 直线的一般式方程 1．直线与二元一次方程的关系在平面直角坐标系中的直线与二元一次方程的对应关系如下：2．直线的一般式方程式子：关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0； 条件：A ，B 不同时为零； 简称：一般式．3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化认识直线的一般式方程(1)方程是关于x ，y 的二元一次方程；(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x ，y ，常数的先后顺序排列； (3)x 的系数一般不为分数和负数；(4)平面直角坐标系内的任何一条直线都有一个二元一次方程与它相对应，即直线的一般式方程可以表示任何一条直线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)不经过原点的直线都可以用方程x a ＋y b＝1表示．( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1) (x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( )答案：(1)× (2)√2．经过点A (－3,2)，B (4,4)的直线的两点式方程为( ) A.y －22＝x ＋37 B.y －2－2＝x －37C.y ＋22＝x －37D.y －2x ＋3＝27解析：由方程的两点式可得直线方程为y －24－2＝x －－4－－，即y －22＝x ＋37.答案：A3．在x 轴和y 轴上的截距分别为－2,3的直线方程是( ) A.x 3＋y －2＝1 B.x 2＋y－3＝1 C.x －2＋y 3＝1 D.x －3＋y2＝1 解析：由直线的截距式方程，可得直线方程是x －2＋y3＝1.答案：C4．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( )A ．y ＝－43x ＋4B ．y ＝－43(x －3)C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12解析：直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0. 答案：C。
专题3.2.3 直线的一般式方程-高一数学人教版(必修2)(解析版)
一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <【答案】C【名师点睛】本题考查了直线的斜率与截距的意义，属于基础题． 2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=0【答案】D【解析】因为直线过A (2,-1),B (-4,5),所以由直线方程的两点式得直线方程为()()125142y x ---=----,化为一般式得x+y-1=0.故选D.3．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．3【答案】B【解析】直线（a ﹣4）x +y +1=0与直线2x +3y ﹣5=0垂直，可得2（a ﹣4）+3=0，解得a =52． 故选B ．【名师点睛】本题考查两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．运用两直线垂直的条件，可得2（a ﹣4）+3=0，解方程即可得到所求值．4．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=【答案】B【解析】已知直线310x y -+-=的斜率为1，则其倾斜角为45°，所以直线l 的倾斜角α＝45°＋15°＝60°，直线l 的斜率为tan α＝tan 60°＝3，∴直线l 的方程为y －3＝3(x －1)，即y ＝3x . 故选B.【名师点睛】本题主要考查由直线方程求得斜率及倾斜角及结合象灵活运用，还有由点斜式写直线方程. 5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >0【答案】D6．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=0【答案】A【解析】设所求直线l 的方程为1x y a b +=(a >0，b >0)，则有162ab =，且131a b+=.由122 1361ababab=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=+=⎩⎪⎩，∴直线l 的方程为126x y+=，即为3x ＋y−6=0.7．已知直线(2m 2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1，则实数m的值为A．2或12B．2或－12C．－2或－12D．－2或12【答案】A【名师点睛】本题考查直线的截距，注意验证直线是正确解题的关键，属于基础题.由题意可知，直线过点()1,0，代入可得关于m的方程，解方程注意验证直线即可.二、填空题8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.【答案】【解析】由题可得，该直线的斜率为,所以该直线的点斜式方程为，其一般式方程为.9．已知直线222()(0)32a x a a y a++---=在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．【答案】415-【解析】把(3,0)代入已知方程，得(a＋2)×3−2a=0，∴a=−6，∴直线方程为−4x＋45y＋12=0.令x=0，得415y=-.10．已知直线1:210l ax y--=，直线2:l320x y+-=，则1l过定点_________；当a=________时，1l 与2l平行．【答案】10,2⎛⎫-⎪⎝⎭23-【解析】直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =⎧⎨+=⎩，解得012x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以直线1l 过定点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．当1l 与2l 平行时，则有23=-，解得23a =-，即23a =-时，1l 与2l 平行． 【名师点睛】直线过定点的问题实质上是恒成立的问题，判断直线过定点时，先把直线方程整理成()(),,0f x y kg x y +=（k 为参数）的形式，解方程组()(),0,0f x yg x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得定点的坐标．将直线1l 的方程变形为()210ax y -+=，令0210x y =+=且可得定点坐标；根据两直线平行的等价条件可得a 的值． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程. 【解析】由直线34120x y +-=，得其斜率为34-， （1）因为所求直线与l 平行，则所求直线的斜率34k =-， 又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()3314y x -=-+，即3490x y +-=. （2）因为所求直线与l 垂直，则所求直线的斜率43k =，又直线过点()1,3-，所以由直线的点斜式方程可得()4313y x -=+，即43130x y -+=. 【名师点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中熟记两条直线的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. 【解析】（1）∵12l l ⊥，∴()20m m m -+=，解得0m =或1m =.（2）当0m =时，P 为（1,0），2:3l y =，不合题意； 当1m =时，P 为（1,2），2:30l x y +-=，符合题意. ∵直线l 在两坐标轴上的截距之和为0，当直线l 过原点时，可设l 的方程为y kx =，将点P （1,2）代入得2k =， ∴此时l 为2y x =;当直线l 不经过原点时，可设l 的方程为x y λ-=，将点P （1,2）代入得1λ=-， ∴此时l 为10x y -+=.综上可得直线l 的方程为2y x =或10x y -+=.。
高中数学必修二人教A版练习：3.2.3直线的一般式方程含解析
3.2.3 直线的一般式方程【选题明细表】1.已知直线l的方程为x-y+2=0,则直线l的倾斜角为( A )(A)30°(B)45°(C)60°(D)150°解析:设直线l的倾斜角为θ,则tan θ=,则θ=30°.2.(2018·陕西延安期末)如果AB<0,且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不通过( D )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:因为直线Ax+By+C=0可化为y=-x-,又AB<0,BC<0,所以->0,->0,所以直线过第一、二、三象限,不过第四象限.故选D.3.已知m≠0,则过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为( D )(A)3 (B)-3(C)(D)-解析:由题意,得a-3m+2a=0,所以a=m,又因为m≠0,所以直线ax+3my+2a=0的斜率k=-=-.故选D.4.(2018·郑州调研)直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于( C )(A)2 (B)-3(C)2或-3 (D)-2或-3解析:直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.5.(2018·河南南阳期末)两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,则a的值是( C ) (A)3 (B)-1(C)-1或3 (D)0或3解析:因为两条直线l1:ax+(1+a)y=3,l2:(a+1)x+(3-2a)y=2互相垂直,所以a(a+1)+(1+a)(3-2a)=0,解得a=-1或a=3.所以a的值是-1或3.故选C.6.(2018·辽宁大连期末)已知直线l经过点P(-2,5),且与直线4x+3y+2=0平行,则直线l的方程为 .解析:设直线l的方程为:4x+3y+m=0,把点P(-2,5)代入可得:-8+15+m =0,解得m=-7.所以直线l的方程为4x+3y-7=0.答案:4x+3y-7=07.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限,则t的取值范围为. 解析:方程可化为y=(3-2t)x-6,因为直线不经过第一象限,所以3-2t ≤0,得t≥.答案:8.分别求符合条件的直线方程,并化为一般式.(1)经过点(-1,3),且斜率为-3;(2)经过两点A(0,4)和B(4,0);(3)经过点(2,-4)且与直线3x-4y+5=0平行;(4)经过点(3,2),且垂直于直线6x-8y+3=0.解:(1)根据条件,写出该直线的点斜式方程为y-3=-3(x+1),即y-3=-3x-3,整理得其一般式为3x+y=0.(2)根据条件,写出该直线的截距式为+=1,整理得其一般式为x+y-4=0.(3)设与直线3x-4y+5=0平行的直线为3x-4y+c=0,将点(2,-4)代入得6+16+c=0,所以c=-22.故所求直线的一般式为3x-4y-22=0.(4)设与直线6x-8y+3=0垂直的直线为8x+6y+c=0,代入点(3,2)得24+12+c=0,c=-36.从而得8x+6y-36=0,即所求直线的一般式为4x+3y-18=0.9.若直线l1:ax+(1-a)y=3与l2:(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直,则a的值为( D )(A)-3 (B)1(C)0或-(D)1或-3解析:因为l1⊥l2,所以a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,即a2+2a-3=0,故a=1或-3.选D.10.(2018·辽宁沈阳期末)光线沿着直线y=-3x+b射到直线x+y=0上,经反射后沿着直线y=ax+2射出,则有( B )(A)a=,b=6 (B)a=-,b=-6(C)a=3,b=- (D)a=-3,b=解析:在直线y=-3x+b上任意取一点A(1,b-3),则点A关于直线x+y=0的对称点B(-b+3,-1)在直线y=ax+2上,故有-1=a(-b+3)+2,即-1=-ab+3a+2,所以ab=3a+3,结合所给的选项,故选B.11.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都通过A(2,1),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程的一般式为.解析:由题意得所以(a1,b1),(a2,b2)都在直线2x+y+1=0上,又两点确定一条直线,所以所求直线的方程为2x+y+1=0.答案:2x+y+1=012.已知直线l1的方程为3x+4y-12=0,分别求满足下列条件的直线l2的方程.(1)l1与l2平行且l2过点(-1,3);(2)l1与l2垂直,且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4.解:(1)设l2的方程为3x+4y+m=0(m≠-12),又直线l2过点(-1,3),故3×(-1)+4×3+m=0,解得m=-9,故直线l2的方程为3x+4y-9=0.(2)因为l1⊥l2,所以直线l2的斜率k2=.设l2的方程为y=x+b,则直线l2与两坐标轴的交点是(0,b),(-b,0),所以S=|b|·|-b|=4,所以b=±,所以直线l2的方程是y=x+或y=x-.13.直线过点P(,2),且与x轴的正半轴和y轴的正半轴分别交于A,B 两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线能同时满足下列条件:①△AOB的周长为12;②△AOB的面积为6.若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.解:设所求的直线方程为+=1(a>0,b>0).由已知,得由①②解得或经验证,只有满足③式.所以存在直线满足题意,其方程为+=1,即3x+4y-12=0.。
2018-2019学年 人教A版 必修23.2.3 直线的一般式方程 作业
3.2.3 直线的一般式方程一、教学目标1、知能目标（1）明确直线方程一般式的形式特征；（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。
2、情感目标（1）认识事物之间的普遍联系与相互转化；（2）用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点：1、重点：直线方程的一般式。
2、难点：对直线方程一般式的理解与应用。
三、教学过程问题师生活动1、（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？（2）每一个关于的二元一次方程（A，B不同时为0）都表示一条直线吗？使直线次方程的关系。
教师引导学生用分类讨论的方法思考探究问题（1），即直线存在斜率和直线不存在斜率时求出的直线方程是否都为二元一次方程。
对于问题（2），教师引导学生理解要判断某一个方程是否表示一条直线，只需看这个方程是否可以转化为直线方程的某种形式。
为此要对B分类讨论，即当时和当B=0时两种情形进行变形。
然后由学生去变形判断，得出结论：关于的二元一次方程，它都表示一条直线。
教师概括指出：由于任何一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示；同时，任何一个关于的二元一次方程都表示一条直线。
我们把关于关于的二元一次方程（A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式（general form）.2、直线方程的一般式与其他几种使直学生通过对比、讨论，发现直线方程直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与轴垂直的直线。
3、在方程中，A，B，C为何值时，方程表示的直线（1）平行于轴；（2）平行于轴；（3）与轴重合；（4）与重合。
使二元的系项对置的影响。
教师引导学生回顾前面所学过的与轴平行和重合、与轴平行和重合的直线方程的形式。
然后由学生自主探索得到问题的答案。
4、例5的教学已知直线经过点A（6，-4），斜率为，求直线的点斜式和一般式方程。
会把的点为一般式，把握直线式的特点。
高中数学必修二(人教A版)练习3.2.3 直线的一般式方程 Word版含答案
一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．直线＋＋＝的倾斜角是( )°．°．°．°．已知两条直线－－＝和(＋)－＋＝互相垂直，则等于( )．－．．．．已知直线：(－)＋－＝，直线：－＋＝.若⊥，则的值为( )．．－．或－．若方程(－－)＋(－＋)＋－＝表示平行于轴的直线，则的值是( )．－，－．．若一束光线沿直线－＋＝入射到直线＋－＝上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )．＋－＝．－＋＝．－＋＝．＋－＝．已知直线的方程为＋＋＝，当>，<，>时，直线必经过( )．第一、二、三象限．第二、三、四象限．第一、三、四象限．第一、二、四象限．已知过点(，)的直线与轴，轴分别交于，两点．若为线段的中点，则这条直线的方程为( )．－－＝．＋－＝．＋－＝．－＋＝二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．若直线过点(－，)且与直线－＋＝垂直，则直线的方程是．．与直线＋＋＝平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积是的直线的方程是．．若直线＋－＝与直线－(－)＝垂直，则＝．．已知坐标平面内两点(，)，(，)，直线上一动点(，)，则的最大值是．三、解答题(本大题共题，共分)．(分)已知在△中，点的坐标为(，)，，边上的中线所在直线的方程分别为－＋＝和－＝，求△各边所在直线的方程．．(分)已知直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，分别求满足下列条件的直线的方程．()过定点(－，)；()与直线＋－＝垂直．．(分)已知直线：(－)＋－＝，直线：(－)·＋(＋)＋＝.若∥，则＝．．(分)经过点(，)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．．直线的一般式方程．[解析]因为直线的斜率＝－＝－，所以倾斜角为°.．[解析] 因为直线－－＝和(＋)－＋＝互相垂直，所以(＋)＝－，解得＝－.．[解析] ∵⊥，∴×＝－，解得＝或＝－.．[解析] 因为平行于轴的直线的斜率为零，所以由直线的一般式方程＋＋＝(＋≠)得＝－＝⇒＝，≠，即－－＝，－＋≠.本题易错在忽视≠这一条件而导致多解．．[解析] 取直线－＋＝上一点(，)，设点(，)关于直线＋－＝的对称点为(，)，则有解得所以点坐标为(，)．联立方程，得解得所以直线－＋＝与直线＋－＝的交点为(，)．所以反射光线在经过点(，)和点(，)的直线上，故其直线方程为－＝(－)，整理得－＋＝.．[解析] 把直线的一般式方程＋＋＝转化成斜截式方程为＝－－，因为>，<，>，所以－>，－>，所以直线必经过第一、二、三象限．．[解析]设所求直线的方程为－＝(－)，令＝得＝－，。
人教A版数学必修二3.2.3《直线的一般式方程》课时作业
湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：3．2．3 直线的一般式方程基础达标1．若ac ＜0，bc ＜0，则直线ax ＋by ＋c ＝0的图形只能是( )．解析 由ac ＜0，bc ＜0，∴abc 2＞0，∴ab ＞0，∴斜率k ＝－a b ＜0，又纵截距－c b＞0，故选C. 答案 C2．过点(1，0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 所求直线与直线x －2y －2＝0平行，故所求直线的斜率k ＝12，又直线过点(1，0)，利用点斜式得所求直线方程y －0＝12(x －1)，即x －2y －1＝0.答案 A3．直线l 1：ax －y ＋b ＝0，l 2：bx ＋y －a ＝0(ab ≠0)的图象只可能是( )．解析 直线l 1的斜率k 1＝a ，在y 轴上截距b 1＝b ，直线l 2的斜率k 2＝－b ，在y 轴上截距b 2＝a ，对A ，b 1＝b ＜0，k 2＝－b ＜0，b ＞0，对C ，k 1＝a ＜0，b 2＝a ＞0，对D ，k 1＝a ＜0，b 2＝a ＞0，均产生矛盾，故选B. 答案 B4．若直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋my －6＝0相互垂直，则实数m ＝________．解析 由题意知直线的斜率均存在，且12×⎝⎛⎭⎫－2m ＝－1.∴m ＝1答案 15．已知A (0，1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析 AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 答案 x －y ＋1＝06．已知直线l 与直线3x ＋4y －7＝0平行，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24，则直线l 的方程为________． 解析 设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，当y ＝0得x ＝－m 3；当x ＝0得y ＝－m4.∵直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为24，∴12×⎪⎪⎪⎪－m 3×⎪⎪⎪⎪－m 4＝24，∴m ＝±24. ∴直线l 的方程为3x ＋4y ±24＝0. 答案 3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝07．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)． 解 (1)∵直线过点P ′(1，0)， ∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53或m ＝－2.能力提升8．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是( )．A ．m ＝1B ．m ＝±1 C.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ≠－1D.⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ≠－1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ≠1解析 根据两直线平行可得m 1＝1m，所以m ＝±1，又两直线不可重合，所以m ＝1时，n ≠－1；m＝－1时，n ≠1. 答案 D9．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2，1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．解析 ∵点A (2，1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上， ∴2a 1＋b 1＋1＝0.由此可知点P 1(a 1，b 1)的坐标满足2x ＋y ＋1＝0. ∵点A (2，1) 在直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 2＋b 2＋1＝0.由此可知点P 2(a 2，b 2)的坐标也满足2x ＋y ＋1＝0.∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是2x ＋y ＋1＝0. 答案 2x ＋y ＋1＝010．求证：不论m 取什么实数，直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过定点，并求此定点坐标．证明 原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y ＋11)＝0. ∵对任意m ∈R ，方程恒成立∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y ＋11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3. ∴直线恒过定点(2，3)．。
新人教版高中数学第三章直线与方程3.2直线的方程3.2.3直线的一般式方程优化练习新人教A版必修2
3.2.3 直线的一般式方程[课时作业][A 组 基础巩固]1．过点(－3,0)和(0,4)的直线的一般式方程为( )A ．4x ＋3y ＋12＝0B ．4x ＋3y －12＝0C ．4x －3y ＋12＝0D ．4x －3y －12＝0解析：由已知得方程为x －3＋y 4＝1， 即4x －3y ＋12＝0.答案：C2．直线5x －2y －10＝0在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．a ＝2，b ＝5B ．a ＝2，b ＝－5C ．a ＝－2，b ＝5D ．a ＝－2，b ＝－5 解析：直线5x －2y －10＝0可以化为截距式方程x 2＋y －5＝1，所以a ＝2，b ＝－5. 答案：B3．已知ab <0，bc <0，则直线ax ＋by ＝c 通过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限解析： y ＝－a b x ＋c b ，∵k ＝－a b >0，c b<0，∴该直线过第一、三、四象限． 答案：C4．过点M (2,1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点．若M 为线段PQ 的中点，则这条直线方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＋3＝0解析：设y －1＝k (x －2)，令x ＝0得y ＝1－2k ，则0＋－2＝1，解得k ＝－12， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.答案：C5．一条光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝0解析：取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0,2)，设点A (0,2)关于直线x ＋y －5＝0对称的点B (a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝5，所以B (3,5)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝4，所以直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1,4)．所以反射光线在经过点B (3,5)和点P (1,4)的直线上，其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.答案：B6．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为____________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0.答案：2x －y ＋1＝07．已知直线l 1：y ＝2x ＋3，(1)若l 2与l 1关于y 轴对称，则l 2的方程为________；(2)若l 3与l 1关于x 轴对称，则l 3的方程为________．解析：(1)由题设可知，l 2与l 1的斜率互为相反数，且过点(0,3)，∴l 2的方程为：y ＝－2x ＋3(2)由题设可知，l 1与l 3的斜率互为相反数，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，∴l 3的方程为：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－2x －3.答案：(1)y ＝－2x ＋3 (2)y ＝－2x －38．已知A (0,1)，点B 在直线l 1：x ＋y ＝0上运动，当线段AB 最短时，直线AB 的一般式方程为________．解析：AB ⊥l 1时，AB 最短，所以AB 斜率为k ＝1，方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝09．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程．解析：(1)由y ＝2x ＋7得其斜率为2，由两直线平行知所求直线方程的斜率是2. ∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)由y ＝3x －5得其斜率为3，由两直线垂直知，所求直线方程的斜率是－13. ∴所求直线方程为y ＋2＝－13(x ＋2)， 即x ＋3 y ＋8＝0.10．直线方程Ax ＋By ＋C ＝0的系数A ，B ，C 满足什么条件时，这条直线具有如下性质？(1)与x 轴垂直；(2)与y 轴垂直；(3)与x 轴和y 轴都相交；(4)过原点．(AB 不全为0) 解析：(1)∵与x 轴垂直的直线方程为x ＝a ，即x －a ＝0，它缺少y 的一次项，∴B ＝0.故当B ＝0且A ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴垂直．(2)类似于(1)可知：当A ＝0且B ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与y 轴垂直．(3)要使直线与x ，y 轴都相交，则它与两轴都不垂直，由(1)(2)可知：当A ≠0且B ≠0，即AB ≠0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0与x 轴和y 轴都相交．(4)将x ＝0，y ＝0代入Ax ＋By ＋C ＝0，得C ＝0.故当C ＝0时，直线Ax ＋By ＋C ＝0过原点．[B 组 能力提升]1．三条直线x ＋y ＝0，x －y ＝0，x ＋ay ＝3构成三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≠±1 B．a ≠1，a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠±1，a ≠2解析：直线x ＋y ＝0与x －y ＝0都经过原点，而无论a 为何值，直线x ＋ay ＝3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x ＋ay ＝3与另两条直线不平行．∴a ≠±1. 答案：A2．已知直线(a －2)x ＋ay －1＝0与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－45D.45解析：若两直线垂直，则2(a －2)＋3a ＝0，解得a ＝45. 答案：D3．已知直线ax ＋4y －2＝0与2x －5y ＋b ＝0互相垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．－4B ．20C ．0D ．24解析：由直线互相垂直可得－a 4·25＝－1， ∴a ＝10，所以直线方程为5x ＋2y －1＝0，又垂足(1，c )在直线上，所以代入得c ＝－2，再把点(1，－2)代入另一方程可得b ＝－12，所以a ＋b ＋c ＝－4.故选A.答案：A4．已知两条直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都过点A (2,1)，则过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程是________．解析：∵点A (2,1)在直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0上，也在a 2x ＋b 2y ＋1＝0上，∴2a 1＋b 1＋1＝0①2a 2＋b 2＋1＝0②①－②得2(a 1－a 2)＝－(b 1－b 2)≠0∴b1－b2a1－a2＝－2 ∴过两点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)的直线方程为：y ＝－2(x －a 1)＋b 1＝－2x ＋2a 1＋b 1＝－2x －1，即2x ＋y ＋1＝0.答案：2x ＋y ＋1＝05．若方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，求实数m 的取值范围． 解析：设x ＋y ＝t ，t ≥0，由已知方程x ＋y －6x ＋y ＋3m ＝0表示两条不重合的直线，即关于t 的方程t 2－6t ＋3m ＝0有两个不相等的非负实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝36－12m ＞0，3m≥0，6＞0，解得0≤m ＜3.所以实数m 的取值范围是[0,3)．6．已知定直线l ：y ＝4x 和定点P (6,4)，点Q 为第一象限内的点且在直线l 上，直线PQ 交x 轴正半轴于M ，求当△OMQ 的面积最小时Q 点的坐标．解析：如图，因为Q 点在y ＝4x 上，故可设Q 点坐标为(t,4t )，于是PQ 所在直线方程为 y －4＝4t －4t －6·(x －6)． 可求得点M 的坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫5t t －1，0， 则△OMQ 的面积为S (t )＝12·5t t －1·4t ＝10t2t －1. 去分母得10t 2－St ＋S ＝0.∵t ∈R ，∴Δ＝S 2－4·10S ≥0， ∴S ≥40，S min ＝40，此时t ＝2,4t ＝8， 所以当△OMQ 的面积最小时， Q 点的坐标为Q (2,8)．。
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直线的一般式方程
一、选择题(每小题6分,共30分)
1.(2013²宜昌高一检测)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是
( ) A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0
C.2x+y-2=0
D.x+2y-1=0
2.(2013²佛山高一检测)
的倾斜角是( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.三条直线：x+y=0,x-y=0,x+ay-3=0围成三角形,则a的取值范围是( )
A.a≠±1
B.a≠1,a≠2
C.a≠-1
D.a≠±1,a≠2
4.已知m≠0,直线ax+3my+2a=0在y轴上的截距为2,则直线的斜率为( )
A.1
B.
1
3
- C.
2
3
- D.2
5.已知点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,其中m>0,n>0,则lgm+lgn( )
A.有最大值为2
B.有最小值为2
C.有最大值为1
D.有最小值为1
二、填空题(每小题8分,共24分)
6.(2013²保定高一检测)已知直线l1：x+2my-1=0和l2：(3m-1)x-my+1=0,若
l1∥l2,则实数m的值为.
7.(2013²金华高一检测)直线kx+y-3k+1=0必经过的点是.
8.已知两直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都经过点P(2,3),则经过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程为.
三、解答题(9题,10题14分,11题18分)
9.对直线l上的任一点(x,y),点(4x+2y,x+3y)也在此直线上,求直线方程.
10.已知点P,Q的坐标分别为(-1,1),(2,2),若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交,求m的取值范围.
11.(能力挑战题)已知实数a满足0<a<2,直线l1：ax-2y-2a+4=0和l2：2x+a2y-
2a2-4=0,与两坐标轴围成一个四边形,
(1)求证无论实数a如何变化,直线l1, l2必过定点.
(2)画出直线l1, l2在平面坐标系上的大致位置.
(3)求实数a取何值时,所围成的四边形面积最小.
答案解析
1.【解析】选A.设所求直线的方程为x-2y+m=0,把点(1,0)代入,得m=-1,故选A.
2.【解析】选C.
的斜率
k=,所以倾斜角为120°.
【变式训练】(2013²泗水高一检测)直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°,则a的值是( )
D.
【解析】选A.因为直线的倾斜角为120°,所以直线的斜率
k=,
即
2
a
-=所以
3.【解题指南】构成三角形的三条直线的斜率不相等.
【解析】选A.因为x+ay-3=0恒过(3,0)点,所以此直线只要不和x+y=0,x-y=0两直线平行且不过另两条直线的交点就能构成三角形.所以a≠±1.
4.【解析】选A.令x=0,得y=
2a
3m
-,因为直线在y轴上的截距为2,所以
2a
3m
-=2,所以a=-3m,原直线化为
-3mx+3my-6m=0,所以k=1.
【举一反三】把题中的“在y轴上的截距为2”改为“在两坐标轴上的截距之和为2”,则直线的斜率为( )
A.1
B.
1
3
- C.
2
3
- D.2
【解析】选D.令x=0,得y=
2a
3m
-,令y=0,得x=-2,因为在两坐标轴上的截距之和为2,所以
2a
3m
-+(-2)=2,
所以a=-6m,原直线化为-6mx+3my-12m=0,所以k=2.故选D.
5.【解析】选 C.由于点(m,n)在直线5x+2y-20=0上,5m+2n-20=0,则n=
5
2
－m+10,所以
lgm+lgn=lgmn=lg(
5
2
－m2+10m)=lg[5
2
－(m2-4m)]=lg[5
2
－(m-2)2+10]≤lg10
=1.所以lgm+lgn有最大值为1.
6.【解析】因为l1∥l2,所以2m(3m-1)+m=0,解得m=1
6
或0.当m=0时,直线l1与l2重合,舍去.
答案：1 6
【举一反三】把“l1∥l2”改为“l1⊥l2”,则实数m的值为.
【解析】因为l1⊥l2,所以(3m-1)+2m(-m)=0,解得m=1或1
2
.
答案：1或1 2
7.【解析】把直线kx+y-3k+1=0化成点斜式,得y+1=-k(x-3),所以直线恒过点(3,-1). 答案：(3,-1)
【变式训练】已知直线l：(k+1)x-ky+2k-1=0过定点A,则过点A且倾斜角为
135°的直线方程为.
【解析】将直线方程(k+1)x-ky+2k-1=0转化成
k(x-y+2)+x-1=0,由
x y20
x10
-+=
⎧
⎨
-=
⎩
，
，解得
x1,
y3,
=
⎧
⎨
=
⎩
所以直线l过定点(1,3),又所求直线的倾斜角为135°,
所以所求直线的斜率k=-1,由直线方程的点斜式得所求直线的方程为y-3=-(x-1),整理得x+y-4=0.
答案：x+y-4=0
8.【解析】由题意得2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0,所以点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都在直线2x+3y+1=0上,又由两点确定一条直线,得所求直线的方程为2x+3y+1=0.
答案：2x+3y+1=0
9.【解析】设直线l的方程为Ax+By+C=0,因为(4x+2y,x+3y)在此直线上,所以
A(4x+2y)+B(x+3y)+C=0,整理得(4A+B)x+(2A+3B)y+C=0,因为上式也是直线l 的方程,当C≠0时,有A 4A B B 2A 3B =+⎧⎨=+⎩
，，解得A=B=0,此时直线不存在;当C=0时,两方程表示的直线均过原点,应用斜率相等,所以A 4A B B 2A 3B
+-=-+,所以A=B 或B=-2A,所以所求直线的方程为x+y=0或x-2y=0. 10.【解析】直线l ：x+my+m=0,即为x+m(y+1)=0,显然直线经过点M(0,-1),过点M 作直线l 1∥PQ,显然l 1的斜率为k 1=
211213-=+,过点M,Q 作直线l 2,则l 2的斜率为k 2=32
,如图所示,与PQ 的延长线相交的直线应该夹在l 1和l 2之间,即k 1<k<k 2(其中k 为直线l 的斜率),于是113m <-<32
,解得-3<m<23
-. 11.【解析】(1)由l 1：ax-2y-2a+4=0变形得a(x-2)-(2y-4)=0,当x=2时,y=2,即直线l 1过定点(2,2). 由l 2：2x+a 2y-2a 2-4=0变形得a 2(y-2)+2x-4=0,所以当y=2时,x=2,即直线l 2过定点(2,2).
(2)直线l 1, l 2在平面坐标系上的图象,如图所示.
(3)直线l 1与y 轴的交点为A(0,2-a),直线l 2与x 轴的交点为B(a 2+2,0),
如图,由直线l 1：ax-2y-2a+4=0知,直线l 1也过定点C(2,2),过C 点作x
轴的垂线,垂足为D,于是S 四边形AOBC =S 梯形AODC +S △BCD =
12(2-a+2)²2+12² 2(a 2+2-2)=a 2-a+4=(a-12)2+154,所以当a=12
时, S 四边形AOBC 最小,故当a=12
时,所围成的四边形面积最小. 关闭Word 文档返回原板块。