抛物线及其标准方程典型学案

2.3.1抛物线及其标准方程
（一）抛物线的定义：
观察实验：（用几何画板画图）点F 是定点，l 是不经过点F 的定直线，H 是l 上任意一点，过点H 作MH l ⊥，线段
FH 的垂直平分线m 交MH 于点M ，拖动点H ，观察点M 的轨迹，你能发现点M 的几何条件吗？
抛物线定义：平面内到定点F 和定直线l （ ）距离 的点的轨迹叫抛物线。

定点F 叫做抛物线的 ，定直线l 叫做抛物线的 。

注意：
（二）抛物线的标准方程
任务一：类比椭圆、双曲线求标准方程的过程，建立适当的坐标系推导抛物线的方程。

（设焦点F 到准线l
的距离为p ，即|KF|=p ）
任务二：以此类推其它形式的抛物线的标准方程，请填写下表
说明：
（1）p 的几何意义：
（2）焦点位置：
(三)典例分析
例１：已知抛物线的标准方程是y 2
=6x ，求它的焦点坐标和准线方程。

图形 标准方程
焦点坐标
准线方程
22y px =(0)p >
,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
2
p x =-
l F
K M
N
变练：（1）已知抛物线的标准方程是280x y +=，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）二次函数2
14
y x =的图像是抛物线吗？若是，指出它的焦点坐标和准线方程。

例2：已知抛物线的焦点是()0,2F -，求它的标准方程。

变练：求下列条件的抛物线的标准方程：
（1）准线方程是1
4
x =-； （2）焦点到准线的距离是2；
（3）抛物线的焦点在x 轴上，且过点(－3,2)；
（4）焦点在直线3x-4y-12=0上
总结：已知抛物线的标准方程 ⇔ 求其焦点坐标和准线方程 （先定位后定量） （四）练习测评
1.双曲线
1322
2=-m
y x 的左焦点在抛物线mx y 82=的准线上，求实数m
2.若动圆与圆1)2(2
2
=+-y x 相外切，又与直线01=+x 相切，求动圆圆心的轨迹方程.
3.抛物线x y 42=上的一点M 到焦点的距离为2，则点M 到准线的距离是_______,点M 的坐标是____.
变式：已知抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M （m,3）到焦点F 的距离为5，求m 、抛物线方程及其准线方程. （五）
l M d MF -=的应用 （1）转化
MF
为
l M d -
1.已知点P 是抛物线x y 42
=上的一动点，F 为焦点，点A （2,1），求PF PA +的最小值.，并且此时点P
的坐标.
变式。

已知过焦点的直线与抛物线x y 22
=交于A 、B 两点，3=AB ，M 为AB 的中点，求M 到y 轴的距离.
（2）转化
l M d -为MF
2.已知点P 是抛物线x y 162=上的一动点，则点P 到点（0,3）的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值.
变式.已知直线1l ：4x-3y+6=0和直线1:2-=x l ，抛物线x y 42=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离分别记为21d d 和，求21d d +的最小值.
（六）直线与抛物线
已知抛物线C ：x y 82
=与点M （0,2），过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点. 若MB MA ⊥，求k.。