数据结构课件5

5.1 数组的类型定义5.2 数组的顺序表示和实现5.3 稀疏矩阵的压缩存储5.4 广义表的类型定义5.5广义表的表示方法5.6 广义表操作的递归函数ADT Array {数据对象：D ＝{a j 1,j 2, ...,,j i ,j n | j i =0,...,b i -1, i=1,2,..,n } 数据关系：R ＝{R 1, R 2, ..., R n }R i ＝{<a j 1,... j i ,... j n , a j 1, ...j i +1, ...j n > | 0 ≤ j k ≤ b k -1, 1 ≤ k ≤ n 且k ≠ i, 0 ≤ j i ≤ b i -2, i=2,...,n } } ADT Array 基本操作:5.1 数组的类型定义二维数组的定义:数据对象:D = {aij | 0≤i≤b1-1, 0 ≤j≤b2-1}数据关系:R = { ROW, COL }ROW = {<a i,j,a i+1,j>| 0≤i≤b1-2, 0≤j≤b2-1} COL = {<a i,j,a i,j+1>| 0≤i≤b1-1, 0≤ j≤b2-2}基本操作：InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn) DestroyArray(&A)Value(A, &e, index1, ..., indexn) Assign(&A, e, index1, ..., indexn)InitArray(&A, n, bound1, ..., boundn)操作结果：若维数 n 和各维长度合法，则构造相应的数组A，并返回OK。

DestroyArray(&A)操作结果：销毁数组A。

Value(A, &e, index1, ..., indexn)初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。

操作结果：若各下标不超界，则e赋值为所指定的A 的元素值，并返回OK。

Assign(&A, e, index1, ..., indexn)初始条件：A是n维数组，e为元素变量，随后是n 个下标值。

操作结果：若下标不超界，则将e的值赋给所指定的A的元素，并返回 OK。

5.2 数组的顺序表示和实现类型特点:1) 只有引用型操作，没有加工型操作;2) 数组是多维的结构，而存储空间是一个一维的结构。

有两种顺序映象的方式:1)以行序为主序(低下标优先);2)以列序为主序(高下标优先);例如：称为基地址或基址。

以“行序为主序”的存储映象二维数组A 中任一元素a i,j 的存储位置 LOC(i,j) = LOC(0,0) + (b 2×i ＋j)× a 0,1 a 0,0 a 0,2a 1,0 a 1,1 a 1,2 a 0,1 a 0,0 a 0,2 a 1,0 a 1,1 a 1,2 LL推广到一般情况，可得到 n 维数组数据元素存储位置的映象关系称为 n 维数组的映象函数。

数组元素 的存储位置是其下标的线性函数其中 c n = L ，c i-1 = b i ×c i , 1 < i n 。

LOC(j 1, j 2, ..., j n ) = LOC(0,0,...,0) + ∑ c i j i i =1 n假设 m 行 n 列的矩阵含 t 个非零元素，则称为稀疏因子通常认为 δ ≤ 0.05 的矩阵为稀疏矩阵nm t ⨯=δ何谓稀疏矩阵？5.3 稀疏矩阵的压缩存储以常规方法，即以二维数组表示高阶的稀疏矩阵时产生的问题:1) 零值元素占了很大空间;2) 计算中进行了很多和零值的运算，遇除法，还需判别除数是否为零;解决问题的原则:1) 尽可能少存或不存零值元素;2) 尽可能减少没有实际意义的运算;3) 操作方便; 即:能尽可能快地找到与下标值(i,j)对应的元素;能尽可能快地找到同一行或同一列的非零值元;有两类稀疏矩阵：1) 特殊矩阵非零元在矩阵中的分布有一定规则例如: 三角矩阵对角矩阵2) 随机稀疏矩阵非零元在矩阵中随机出现5.3.1 特殊矩阵所谓特殊矩阵是指非零元素或零元素的分布有一定规律的矩阵，下面我们讨论几种特殊矩阵的压缩存储。

1、对称矩阵在一个n阶方阵A中，若元素满足下述性质： a ij=a ji 1≦i,j≦n则称A为对称矩阵。

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间，这样，能节约近顺序”存储主对角线（包括对角线）以下的元素，其存储形式如图所示： 图 5.1 对称矩阵 1 5 1 3 7 a 11 5 0 8 0 0 a 21 a 22 1 8 9 2 6 a 31 a 32 a 33 3 0 2 5 1 ………………..7 0 6 1 3 a n 1 a n 2 a n 2 …a n n在这个下三角矩阵中，第i 行恰有i 个元素，元素总数为： 因此，我们可以按图中箭头所指的次序将这些元素存放在一个向量sa[0..n(n+1)/2-1]中。

为了便2)1(1+=∑=n n i n i吴伟民:DS5之间找一个对应关系。

若i≧j，则a i j在下三角形中。

a i j之前的i-1行（从第1行到第i-1行）一共有1+2+…+(i-1)=i(i-1)/2个元素，在第i行上，a i j之前恰有j-1个元素（即a i1,a i2,…,a ij-1），因此有：k=i*(i-1)/2+j-1 0≦k<n(n+1)/2 若i<j，则a ij是在上三角矩阵中。

因为a ij=a ji，所以只要交换上述对应关系式中的i和j即可得到：k=j*(j-1)/2+i-1 0≦ k<n(n+1)/2令 I=max(i,j)， J=min(i,j)，则k和 i, j的对应关系可统一为：吴伟民:DS5因此，a ij的地址可用下列式计算：LOC(aij)=LOC(sa[k])=LOC(sa[0])+k*d=LOC(sa[0]+[I*(I-1)/2+J-1]*d有了上述的下标交换关系，对于任意给定一组下标(i，j)，均可在sa[k]中找到矩阵元素a ij，反之，对所有的k=0,1,2,…n(n-1)/2-1，都能确定sa[k]中的元素在矩阵中的位置(i,j)。

由此，称sa[n(n+1)/2]为阶对称矩阵A的压缩存储，见下图：a11 a21 a22 a31 ……a n 1 …… a nnk=0 1 2 3 n(n-1)/2 n(n+1)/2-1例如a32和a23均存储在 sa[4]中，这是因为k=I*(I-1)/2+J-1=3*(3-1)/2+2-1=42、三角矩阵以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。

上三角矩阵如图所示，它的下三角（不包括主对角线）中的元素均为常数。

下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为常数，如图所示。

在大多数情况下，三角矩阵常数为零。

a11 a12… a 1 n a11 c … cc a22… a 2 n a21 a22… c……………………………..c c … a n n a n1 a n 2… a n n(a)上三角矩阵 (b)下三角矩阵图5.2 三角矩阵三角矩阵中的重复元素c 可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量sa[0..n(n+1)/2]中，其中c 存放在向量的最后一个分量中，上三角矩阵中，主对角线之上的第p 行(1≦p ≦n)恰有n-p+1个元素，按行优先顺序存放上三角矩阵中的元素a ij 时，a ij 之前的i-1行一共有个元素，在第i 行上，a ij 前恰好有j-i 个元素：a ii ,a ii+1,…a ij-1。

因此，sa[k]和a ij 的对应关系是： (i-1)(2n-i+2)/2+j-i 当i ≦j n(n+1)/2 当i>j k= 2)22)(1()1(11+--=+-∑-=i n i p n i p下三角矩阵的存储和对称矩阵类似，sa[k]和a ij对应关系是：i(i-1)/2+j-1 i≧jk=n(n+1)/2 i>j矩阵对角矩阵中，所有的非零元素集中在以主对角线为了中心的带状区域中，即除了主对角线和主对角线相邻两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。

下图给出了一个三对角矩阵，a11 a12a21 a22 a23a32 a33 a34…. ….. ….a n-1 n-2 a n-1 n-1 a n-1 na a非零元素仅出现在主对角(a ii,1≦i≦n上，紧邻主对角线上面的那条对角线上(a ii+1,1≦i≦n-1)和紧邻主对角线下面的那条对角线上(a i+1 i,1≦i≦n-1)。

显然，当∣i-j∣>1时，元素a ij=0。

由此可知，一个k对角矩阵(k为奇数)A是满足下述条件的矩阵：若∣i-j∣>(k-1)/2，则元素 a ij=0。

对角矩阵可按行优先顺序或对角线的顺序，将其压缩存储到一个向量中，并且也能找到每个非零元素和向量下标的对应关系。

在三对角矩阵里附满足条件i=1，j=1、2，或i=n，j=n-1、n或1<i<n，j=i-1、i、i+1的元素a ij外，其余元素都是零。

对这种矩阵，我们也可按行优序为主序来存储。

除第1行和第n行是2个元素外，每行的非零元素都是3个，因此，需存储的元素个数为3n-2。

a11 a12a21 a22 a23 a32… a n n-1 a n nK=0 1 2 3 4 5 … … 3n-2 3n-1 数组sa中的元素sa[k]与三对角带状矩阵中的元素a ij 存在一一对应关系，在a ij之前有i-1行,共有3*(i-1)-1个非零元素，在第i行，有j-i+1个非零元素，这样，非零元素a ij的地址为：LOC(i,j)=LOC(1,1)+[3*(i-1)-1+(j-i+1)]*d =LOC(1,1)+(2i+j-3)*d上例中，a34对应着sa[7]。

k=2*i+j-3=2*3+4-3=7a21对应着sa[2]k=2*2+1-3=2由此，我们称sa[0..3*n-2]是三对角带状矩阵A的压缩存储表示。

5.3.2 稀疏矩阵上述的各种特殊矩阵，其非零元素的分布都是有规律的，因此总能找到一种方法将它们压缩存储到一个向量中，并且一般都能找到矩阵中的元素与该向量的对应关系，通过这个关系，仍能对矩阵的元素进行随机存取。

什么是稀疏矩阵？简单说，设矩阵A中有s 个非零元素，若s远远小于矩阵元素的总数（即s≦m×n），则称A为稀疏矩阵。

精确点，设在的矩阵A中，有s个非零元素。