智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练6.4基本不等式(含答案详析)

第六篇 第4节
一、选择题
1．(2012年高考福建卷)下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋1
4>lg x (x >0) B ．sin x ＋1
sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )
C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )
D.1
x 2＋1
>1(x ∈R ) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋1
4－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0， ∴lg ⎝
⎛⎭⎫x 2＋1
4≥lg x ； 对选项B ，当sin x <0时显然不成立； 对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立； 对选项D ，∵x 2＋1≥1， ∴0<1
x 2＋1≤1.
故选C. 答案：C
2．(2014安徽省示范高中高三模拟)“1<a <2”是“对任意的正数x,2x ＋a
x ≥2”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：2x ＋a x ≥22a ≥2⇒a ≥1
2.故选A.
答案：A
3．(2014重庆市部分重点中学高三联考)已知p ＝a ＋1
a －2(a >2)，q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2(x ∈R )，则p ，q 的大小关系为( )
A ．p ≥q
B ．p >q
C ．p <q
D ．p ≤q
解析：p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2
＋2≥2＋2＝4，当且仅当a ＝3时，取得等号；而由
于x 2－2≥－2，故q ＝⎝⎛⎭⎫12x 2
－2≤⎝⎛⎭
⎫12－2＝4，故p ≥q .故选A. 答案：A
4．(2012年高考浙江卷)若正数x 、y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.24
5 B ．285
C ．5
D ．6
解析：由x ＋3y ＝5xy ，得3x ＋1
y ＝5(x >0，y >0)，
则3x ＋4y ＝1
5(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＝1
5⎝⎛⎭⎫13＋12y x ＋3x y ≥1
5⎝
⎛⎭
⎫13＋212y x ·3x y ＝1
5(13＋12)＝5. 当且仅当12y x ＝3x
y ，
即x ＝2y 时，等号成立，
此时由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ，
x ＋3y ＝5xy ，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1，y ＝12.
故选C.
答案：C
5．(2014宣城调研)若两个正实数x ，y 满足2x ＋1
y ＝1，且x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数
m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－2)∪[4，＋∞)
B ．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－2,4)
解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x
y ≥4＋24＝8，当且仅当x ＝2y ＝4时取等号，
所以m 2＋2m <8解得－4<m <2.
故选C. 答案：C
6．(2014安徽淮南检测)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1
y 的最
大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D4
解析：由题意得：1x ＝log 2a ，1
y
＝log 2b ，
2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2
b )≤log 2a 2
＋b 2
2＝2，当且仅当b ＝a 2时等号成立，故选B. 答案：B 二、填空题
7．(2014山东师大附中高三三模)设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最
小值是________．
解析：由题意知3a ×3b ＝(3)2，即3a ＋b ＝3， 所以a ＋b ＝1.
所以1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2
b a ×a b
＝4，
当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝1
2时，取等号，所以最小值为4.
答案：4
8．(2013年高考四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋a
x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝
________.
解析：因为x >0，a >0， 所以f (x )＝4x ＋a
x ≥24a ＝4a ，
当且仅当4x ＝a
x ，即a ＝4x 2时取等号．
由题意可得a ＝4×32＝36. 答案：36
9．已知直线ax －2by ＝2(a >0，b >0)过圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0的圆心，ab 的最大值为
________．
解析：圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4， 所以圆心为(2，－1)， 因为直线过圆心，
所以2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1. 所以ab ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22＝14，当且仅当a ＝b ＝1
2时取等号， 所以ab 的最大值为1
4.
答案：14
10．(2014北京朝阳质检)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．
解析：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故y
x ≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．
答案：5 8 三、解答题
11．已知函数f (x )＝lg x ，若x 1，x 2>0，判断1
2[f (x 1)＋f (x 2)]与f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的大小，并加以证明．
解：1
2[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22. 证明如下：
∵f (x 1)＋f (x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)， f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22＝lg x 1＋x 22， 且x 1，x 2>0，x 1x 2≤⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222
， ∴lg(x 1x 2)≤lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 222
，
∴1
2lg(x 1x 2)≤lg x 1＋x 22， 即1
2(lg x 1＋lg x 2)≤lg x 1＋x 22
. ∴1
2[f (x 1)＋f (x 2)]≤f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 1＋x 22， 当且仅当x 1＝x 2时，等号成立．
12．已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求 (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y ＝1， 又x >0，y >0， 则1＝8x ＋2y ≥2
8x ·2y ＝8xy
， 得xy ≥64，
当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64. (2)由2x ＋8y －xy ＝0， 得8x ＋2
y
＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫
8x ＋2y ·(x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8y x
≥10＋22x y ·8y x
＝18.
当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， ∴x ＋y 的最小值为18.。