2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

2019-2020学年宁夏石嘴山市平罗县平罗中学高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽的人数为( ) A ．16 B ．14C ．28D ．12【答案】A【解析】因为每个个体被抽到的概率等于28256427=+，根据分层抽样方法的原理可得样本中男运动员的人数为256167⨯=，故选A. 2．原点到直线34260x y +-=的距离是( )A ．7B ．265C ．245D ．275【答案】B【解析】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】由点到直线距离公式得：265d ==故选：B 【点睛】本题考查点到直线距离的求解问题，考查基础公式的应用. 3．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x …，则A ．:p x ⌝∃∈R,sin 1x …B ．:p x ⌝∀∈R,sin 1x …C ．:p x ⌝∃∈R,sin 1x >D ．:p x ⌝∀∈R,sin 1x >【答案】C【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ． 【考点】全称命题与特称命题的否定．4．“0x >”是“0x ≠”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法．解：对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件．故选A ．5．一容量为20的样本,其频率分布直方图如图,则样本在[)30,60上的概率为( )A ．0.75B ．0.65C ．0.8D ．0.9【答案】B【解析】根据频率分布直方图的特点，可计算出[)30,60的小矩形的面积之和即为数据落在[)30,60的频率，将此频率估算为概率即可. 【详解】Q 数据落在[)30,60内的频率为：()0.020.0250.02100.65++⨯=∴数据落在[)30,60内的频率估算为样本在[)30,60上的概率，即为0.65故选：B 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率的问题，属于基础题. 6．已知：，：，则下列判断错误的是（ ）B ．“且”为假，“非”为真C ．“且”为假，“非”为假D ．“或”为真，“非”为真 【答案】C【解析】命题p 是假命题，q 是真命题，根据复合命题真值表可判断真假. 【详解】因为命题p 是假命题，q 是真命题，所以“且”为假，“或”为真，“非”为真，“非”为假，故选C. 【点睛】本题主要考查了含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题真假的判断，属于中档题. 7．以点P (2，－3)为圆心，并且与y 轴相切的圆的方程是( ) A ．()()22234x y +++= B ．()()22239x y ++-= C ．()()22234x y -++= D ．()()22239x y -++=【答案】C【解析】因为与y 轴相切，所以可知圆的半径2r =，根据圆心坐标，可得圆的标准方程． 【详解】圆心为(2，－3)并且与y 轴相切 所以半径2r =所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝4 所以选C 【点睛】本题考查了根据圆心坐标和半径写出圆的方程，属于基础题． 8．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0【答案】B【解析】主要考查全称量词和全称命题的概念．解：A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．9．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场得分的情况如图所示A ．13、19B ．19、13C ．18、20D ．20、18 【答案】B【解析】由茎叶图分别得到甲、乙两运动员的得分，分别按照从小到大的顺序排列后可得所求的中位数． 【详解】根据茎叶图中的数据，得甲运动员得分按从小到大的顺序排列为：6，8，9，15，17，19，23，24，26，32，41， 所以甲运动员得分的中位数是19；乙运动员得分按从小到大的顺序排列为：5，7，8，11，11，13，20，22，30，31，40， 所以乙运动员得分的中位数是13． 故选B ． 【点睛】本题考查茎叶图和样本数据的中位数的概念，解题的关键是从敬业图中的两运动员的得分情况，然后再根据中位数的定义求解，属于基础题．10．记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ） A ．2 B ．3C ．6D ．7【答案】B【解析】4224123S S S d d --==⇒=,11．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】从1，2，3，4，5，6这6个数中，不放回地任意取两个数，共有C 62=15种结果，其中满足条件两个数都是偶数的有（2，4），（2，6），（4，6）共3种情况. 不放回地任意取两个数，两个数都是奇数的概率31155p ==，故选D ． 12．一个游戏转盘上有四种颜色：红、黄、蓝、黑，并且它们所占面积的比为6∶2∶1∶4，则指针停在红色或蓝色的区域的概率为（ ） A ．613B ．713C ．413D ．1013【答案】B【解析】试题分析：红色区域和蓝色区域的面积总和占面积的713，故所求概率为713. 【考点】几何概型.二、填空题13．某商店统计了最近6个月某商品的进份x 与售价y （单位：元）的对应数据如表：假设得到的关于x 和y 之间的回归直线方程是y bx a +＝，那么该直线必过的定点是________.【答案】()6.5,?8 【解析】根据回归方程必过点（x y ，），计算出x y ，即可求得答案． 【详解】352891213 6.562x +++++===，463912146y +++++==8，∵回归方程必过点（x y ，）， ∴该直线必过的定点是()6.5,?8 故答案为()6.5,?8 【点睛】本题考查了回归方程，线性回归方程必过样本中心点（x y ，），属于基础题．14．设变量x y 、满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩,则23z x y =+的最大值是_________.【答案】18【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线230x y +=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数23z x y =+在点()3,4A 处取得最大值，且最大值为61218z =+=.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.15．若“x R ∀∈,220x x m -->”是真命题,则实数m 的取值范围是______ . 【答案】(),1-∞-【解析】根据一元二次不等式在R 上恒成立可知其∆<0，由此构造不等式求得结果. 【详解】由命题为真可知：440m ∆=+<，解得：1m <- m ∴的取值范围为：(),1-∞- 故答案为：(),1-∞- 【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到一元二次不等式在R 上恒成立问题的求解；关键是明确若一元二次不等式在R 上恒成立，则需确定开口方向和判别式. 16．下列四个命题： ①∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0；②若命题“p ∧q”为真命题，则命题p 、q 都是真命题；③若p 是⌝q 的充分而不必要条件，则⌝p 是q 的必要而不充分条件． 其中真命题的序号为________．(将符合条件的命题序号全填上) 【答案】①②③【解析】主要考查全称量词和全称命题的概念、存在量词和特称命题的概念以及两种命题的否定命题的写法与判断，考查简单逻辑联结词．解：因为2223(1)2x x x ++=++>0，∀x ∈R 都成立，所以①是真命题；p,q 全真，p ∧q 才会真，所以②是真命题；由充要条件的定义知③也是真命题，故填①②③．三、解答题17．设有两个命题.命题p :不等式()2110x a x -++≤的解集是∅；命题q :函数()(1)x f x a =+在定义域内是增函数.如果p q ∧为假命题,p q ∨为真命题,求a 的取值范围.【答案】][()3,01,-⋃+∞【解析】根据一元二次不等式的解集、指数函数单调性可分别求得,p q 为真命题时a 的范围；由复合命题真假性可知,p q 一真一假，则分别讨论两种情况得到结果. 【详解】若命题p 为真，则()2140a ∆=+-<，解得：31a -<< 若命题q 为真，则11a +>，解得：0a >p q ∧Q 为假命题，p q ∨为真命题 ,p q ∴一真一假若p 真q 假，则30a -<≤；若p 假q 真，则1a ≥ a ∴的取值范围为(][)3,01,-+∞U【点睛】本题考查根据复合命题真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次不等式的解集求解参数范围、根据指数函数单调性求解参数范围的问题；关键是能够根据复合命题的真假性确定两个命题的真假性.18．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．（1）求图中x的值；（2）求这组数据的中位数；（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4【解析】（1）由面积和为1，可解得x的值；（2）由中位数两侧的面积相等，可解得中位数；（3）列出所有基本事件共10个，其中符合条件的共4个，从而可以解出所求概率．【详解】解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．【点睛】本题主要考查频率分布直方图，中位数和古典概型，属于基础题．19．(1)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应概率如下:排队人数 0 12 3 4 5人及5人以上概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求至少3人排队等候的概率是多少?(2)在区间()0,1上随机取两个数m ,n ,求关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率.【答案】(1)0.44;(2)18. 【解析】（1）根据和事件概率公式可直接求得结果；（2）在平面直角坐标系中，点(),m n 构成面积为1的正方形区域；根据一元二次方程有实根，可确定0∆≥，结合(),1,1m n ∈-，可根据线性规划知识得到可行域，且其面积为18；根据几何概型概率公式求得结果. 【详解】（1）设至少3人排队等候的概率为P ，有3人排队等候的概率为()3P ，有4人排队等候的概率为()4P ，有5人及5人以上排队等候的概率为()5P 则()()()3450.30.10.040.44P P P P =++=++= （2）在平面直角坐标系中,以x 轴和y 轴分别表示,m n 的值,m n Q 在()0,1内与图中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域，其面积为1设事件A 为“关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根”，则有()241111n m n m ⎧-≥⎪⎪-<<⎨⎪-<<⎪⎩所对应的区域为图中的阴影部分Q 阴影部分的面积为1111248⨯⨯= ()11818P A ∴== 故关于x 的一元二次方程20x nx m -+=有实根的概率为18【点睛】本题考查概率部分的和事件概率问题的求解、几何概型面积型的求解；本题中的几何概型问题，关键是能够明确有两个变量时，采用面积的方式，结合线性规划的知识来进行求解》20．已知四面体ABCD 中AB ⊥面BCD ，BC DC ⊥， BE AD ⊥垂足为E ，E ，F 为,AD CD 中点，2AB BD ==,1CD =（1）求证： AC P 面BEF ； （2）求点B 到面ACD 的距离． 【答案】（1）见解析；（2）217【解析】（1）证明线面平行,需先证明线线平行,可从三角形的中位线定理证明线线平行,从而再证线面平行.（2）求点到面的距离用等体积法,由A BCD B ACD V V --=,分别算出∆BCD S 、ACD S ∆,建立体积等式关系即可求B 到面ACD 的距离． 【详解】 、（1）因为BE AD ⊥,AB BD =所以E 为AD 中点,又因为F 是CD 中点,所以AC EF P ,而AC ⊄面BEF ,EF ⊂面BEF ,所以AC P 面BEF . （2）由已知得3BC =22AD =,7AC =所以三角形ACD为直角三角形其面积ACD S ∆=三角形BCD的面积BCD S ∆=设点B 到面ACD 的距离为h ,因为A BCD B ACD V V --=, 即11233BCD ACD S S h ∆∆⨯=⨯解得7h =, 所以点B 到面ACD的距离为7. 【点睛】（1）线面平行的判定定理是：若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行,即a b a a b P P ααα⎫⎪∉⇒⎬⎪∈⎭.（2）用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想,先用简单的方法求出四面体的体积,然后计算出底面三角形的面积,再根据四面体体积公式V=-Sh 求出点到平面的距离h .21．已知圆x 2+y 2=8内有一点P 0（-1，2），AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. （1）当α=34π时，求AB 的长； （2）当弦AB 被点P 0平分时，写出直线AB 的方程(用直线方程的一般式表示)．【答案】（1（2）x －2y ＋5＝0【解析】(1)先求出直线AB 的方程,再利用垂径定理求解即可.(2) 当弦AB 被点P 0平分时利用0OP AB ⊥得出AB 的斜率,再用点斜式求解化简成一般方程即可.【详解】（1）过点O 做OG ⊥AB 于G ,连结OA ,当α=135°时,直线AB 的斜率为-1,故直线AB 的方程x+y -1=0, ∴OG=,∵22r =, 11530822OA =-==∴ ||230AB OA ==（2）当弦AB 被点P 0平分时,OP 0⊥AB , 直线OP 0的斜率为－2,所以直线AB 的斜率为12．根据直线的点斜式方程,直线AB 的方程为12(1)2y x -=+,即x －2y ＋5＝0． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,常用垂径定理与斜率关系等,属于中等题型. 22．已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差0d >,且第2项､第5项､第14项分别是一个等比数列的第2项､第3项､第4项.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()()*1N 3n n b n n a =∈+,12n n S b b b =++⋯+,求n S .【答案】（1）()21n a n n N *=-∈；（2）()21n n S n =+ 【解析】（1）利用等差数列通项公式和等比中项的定义可构造关于1a 和d 的方程，由11a =和0d >可求得d ，根据等差数列通项公式得到结果；（2）根据（1）的结果得到n b ，采用裂项相消的方式求得结果.【详解】（1）由题意得：()()()2111134a d a d a d ++=+，整理得:212a d d = 0d >Q ，11a = 2d ∴= ()()1121n a a n d n n N *∴=+-=-∈（2）由（1）知：()()1111132121n n b n a n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭12n n S b b b ∴=++⋅⋅⋅+111111122231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11121n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭()21n n =+ ()21n n S n ∴=+ 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、裂项相消法求解数列的前n 项和的问题，涉及到等比中项的应用；求和的关键是能够对通项公式进行准确的裂项，进而前后相消求得结果，属于常考题型.。