山东省重点中学2013届高三上学期11月阶段性质量检测(数学理)
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期11月期中检测数学试题+答案解析(附后)
2023-2024学年山东省名校考试联盟高一上学期11月期中检测数学试题✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知函数为幂函数，则( )A. 或2B. 2C.D. 13.若函数的定义域为，则函数的定义域为( )A. B. C. D.4.已知a，b，c均为实数，则( )A. 若，则B. 若，则C. 若且，则D. 若，则5.已知命题，，则命题p的否定是( )A. ，B. ，C. ，D. ，6.已知函数，其定义域为M，值域为则“”是“”的条件( )A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要7.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，若，，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.8.不等式对于，恒成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数，下列说法正确的是( )A. 函数是减函数B. ，C. 若，则a的取值范围是D. 在区间上的最大值为010.已知a，b是两个正实数，满足，则( )A. 的最小值为1B. 的最大值为C. 的最小值为D. 的最大值为111.已知函数，若任意，且都有，则实数a的值可以是( )A. B. C. 0 D.12.已知函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，则( )A. B. C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则__________.14.写出的一个必要不充分条件是__________.15.关于x的不等式的解集为__________.16.设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2013年高考理科数学山东卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共45页） 数学试卷 第2页（共45页） 数学试卷 第3页（共45页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共6页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么P (A+B )=P (A )+P (B )；如果事件A ,B 独立,那么P (AB )=P (A )·P (B ).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若i a -与2i b +互为共轭复数,则2(i)a b += ( )A .54i -B .54i +C .34i -D .34i + 2.设集合{||1|2}A x x =-<,{|2,[0,2]}x B y y x ==∈,则A B =( ) A .[0,2] B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 3.函数()f x( )A .1(0,)2B .(2,)+∞C .1(0,)(2,)2+∞D .1(0,][2,)2+∞4.用反证法证明命题“设a ,b 为实数,则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时,要做的假设是( )A .方程30x ax b ++=没有实根B .方程30x ax b ++=至多有一个实根C .方程30x ax b ++=至多有两个实根D .方程30x ax b ++=恰好有两个实根5.已知实数x ,y 满足x y a a <（01a <<）,则下列关系式恒成立的是( )A .221111x y >++ B .22ln(1)ln(1)x y +>+ C .sin sin x y >D .33x y >6.直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.B.C .2D .47.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,……,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为 ( )A .6B .8C .12D .188.已知函数()|2|1f x x =-+,()g x kx =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A .1(0,)2B .1(,1)2C .(1,2)D .(2,)+∞9.已知x ,y 满足约束条件10,230,x y x y --⎧⎨--⎩≤≥当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值时,22a b +的最小值为( )A .5B .4CD .210.已知>0a b >,椭圆1C 的方程为22221x y a b +=,双曲线2C 的方程为22221x y a b-=,1C 与2C 的则2C 的渐近线方程为 ( )A.0x = B0y ±= C .20x y ±= D .20x y ±=第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11.执行如图所示的程序框图,若输入的x 的值为1,则输出的n 的值为 .12.在ABC △中,已知t a n A B A C A = ,当π6A =时,ABC △的面积为 .13.三棱锥P ABC -中,D ,E 分别为PB ,PC 的中点,记三棱锥D ABE -的体积为1V ,P ABC -的体积为2V ,则12V V = . 14.若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20,则22a b +的最小值为 .15.已知函数()()y f x x =∈R .对函数()()y g x x I =∈,定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为函数()()y h x x I =∈,()y h x =满足：对任意x I ∈,两个点(,())x h x ,(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x是()g x =关于()3f x x b =+的“对称函数”,且()()h x g x >恒成立,则实数b 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题,共75分.16.（本小题满分12分）已知向量a (,cos2)m x =,b (sin 2,)x n =,函数()f x =a b ,且()y f x =的图象过点π(12和点2π(,2)3-. （Ⅰ）求m ,n 的值；（Ⅱ）将()y f x =的图象向左平移ϕ(0π)ϕ<<个单位后得到函数()y g x =的图象,若()y g x =图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求()y g x =的单调递增区间.17.（本小题满分12分）姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共45页） 数学试卷 第5页（共45页） 数学试卷 第6页（共45页）如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是等腰梯形,60DAB ∠= ,AB =22CD =,M 是线段AB 的中点.（Ⅰ）求证：1C M 平面11A ADD ；（Ⅱ）若1CD 垂直于平面ABCD且1CD =求平面11C D M 和平面ABCD 所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令114(1)n n n n nb a a -+=-,求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（本小题满分13分）设函数2e 2()(ln )x f x k x x x =-+（k 为常数,e 2.71828=⋅⋅⋅是自然对数的底数）.（Ⅰ）当0k ≤时,求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点,求k 的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ,A 为C 上异于原点的任意一点,过点A 的直线l 交C 于另一点B ,交x 轴的正半轴于点D ,且有||||FA FD =.当点A 的横坐标为3时,ADF △为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）若直线1l l ,且1l 和C 有且只有一个公共点E . （ⅰ）证明：直线AE 过定点,并求出定点坐标；（ⅱ）ABE △的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值；若不存在,请说明理由.3 / 15数学试卷 第10页（共45页） 数学试卷 第11页（共45页） 数学试卷 第12页（共45页）5 / 15数学试卷第16页（共45页）数学试卷第17页（共45页）数学试卷第18页（共45页）7 / 15数学试卷第22页（共45页）数学试卷第23页（共45页）数学试卷第24页（共45页）59 / 15数学试卷第28页（共45页）数学试卷第29页（共45页）数学试卷第30页（共45页）。
2013年高考理科数学全国新课标卷1试题与答案解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷I)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( )． A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆A D ．A ⊆B2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )．A ．－4B ．45-C ．4D ．45 3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x± D ．y ＝±x5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )．A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．A ．500π3cm3B ．866π3cm3C ．1372π3cm3D ．2048π3cm37．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )．A ．3B ．4C ．5D ．68．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )．A ．22=14536x y +B ．22=13627x y +C ．22=12718x y + D ．22=1189x y +11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f (x )＝220ln(1)0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，，，若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )．A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1,2,3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n n b a +，则( )． A ．{Sn}为递减数列B ．{Sn}为递增数列C ．{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D ．{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝__________.14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n 项和2133n n S a =+，则{an}的通项公式是an ＝_______.15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x ＝θ时，函数f(x)＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝__________.16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax ＋b)的图像关于直线x ＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，ABBC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA.18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝e x(cx＋d)．若曲线y ＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB＝DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3.(1)当a ＝－2时，求不等式f (x )＜g (x )的解集；(2)设a ＞－1，且当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：∵x (x －2)＞0，∴x ＜0或x ＞2.∴集合A 与B 可用图象表示为：由图象可以看出A ∪B ＝R ，故选B.2．答案：D解析：∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴55(34i)34i 34i (34i)(34i)55z +===+--+. 故z 的虚部为45，选D. 3．答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．4．答案：C解析：∵c e a ==，∴22222254c a b e a a +===. ∴a 2＝4b 2，1=2b a ±. ∴渐近线方程为12b y x x a =±±.5．答案：A解析：若t ∈[－1,1)，则执行s ＝3t ，故s ∈[－3,3)．若t ∈[1,3]，则执行s ＝4t －t 2，其对称轴为t ＝2.故当t ＝2时，s 取得最大值4.当t ＝1或3时，s 取得最小值3，则s ∈[3,4]．综上可知，输出的s ∈[－3,4]．故选A.6．答案：A解析：设球半径为R ，由题可知R ，R －2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA 为直角三角形，如图．BC ＝2，BA ＝4，OB ＝R －2，OA ＝R ，由R 2＝(R －2)2＋42，得R ＝5， 所以球的体积为34500π5π33=(cm 3)，故选A. 7．答案：C解析：∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝0－(－2)＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3－0＝3.∴d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1.∵S m ＝ma 1＋12m m (-)×1＝0，∴112m a -=-. 又∵a m ＋1＝a 1＋m ×1＝3，∴132m m --+=. ∴m ＝5.故选C.8．答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r ＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr 2×4×12＋4×2×2＝8π＋16.故选A. 9．答案：B解析：由题意可知，a ＝2C m m ，b ＝21C m m +，又∵13a ＝7b ，∴2!21!13=7!!!1!m m m m m m ()(+)⋅⋅(+)， 即132171m m +=+.解得m ＝6.故选B. 10．答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上， ∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①② ①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+， 即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2， 而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a . 又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 11．答案：D解析：由y ＝|f (x )|的图象知：①当x ＞0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C.②当x ≤0时，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x .故由|f (x )|≥ax 得x 2－2x ≥ax .当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x ＜0时，不等式等价于x －2≤a.∵x －2＜－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2,0]．12．答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：2解析：∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b ·c ＝t a ·b ＋(1－t )|b |2.又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60°，b ⊥c ，∴0＝t |a ||b |cos 60°＋(1－t )，0＝12t ＋1－t . ∴t ＝2.14．答案：(－2)n －1解析：∵2133n n S a =+，① ∴当n ≥2时，112133n n S a --=+.② ①－②，得12233n n n a a a -=-， 即1n n a a -＝－2. ∵a 1＝S 1＝12133a +， ∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，a n ＝(－2)n －1.15．答案：5- 解析：f (x )＝sin x －2cos xx x ⎫⎪⎭， 令cos αsin α＝- 则f (x )α＋x )，当x ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )时，sin(α＋x )有最大值1，f (x )即θ＝2k π＋π2－α(k ∈Z )， 所以cos θ＝πcos 2π+2k α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin α＝5=-. 16．答案：16解析：∵函数f (x )的图像关于直线x ＝－2对称，∴f (x )满足f (0)＝f (－4)，f (－1)＝f (－3)，即15164,0893,b a b a b =-(-+)⎧⎨=-(-+)⎩解得8,15.a b =⎧⎨=⎩∴f (x )＝－x 4－8x 3－14x 2＋8x ＋15.由f ′(x )＝－4x 3－24x 2－28x ＋8＝0，得x 1＝－2x 2＝－2，x 3＝－2易知，f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－22)上为减函数，在(－2，－2)上为增函数，在(－2∴f (－2＝[1－(－22][(－22＋8(－2)＋15]＝(－8－－＝80－64＝16.f (－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.f (－2)＝[1－(－22][(－22＋8(－2＋15]＝(－8＋＋＝80－64＝16.故f (x )的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝11732cos 30424+-︒=.故PA . (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α.在△PBA 中，由正弦定理得sin sin150sin(30)αα=︒︒-，cos α＝4sin α.所以tan αtan ∠PBA 18．(1)证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .因为CA ＝CB ，所以OC ⊥AB .由于AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°，故△AA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1＝O ，所以AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C .(2)解：由(1)知OC ⊥AB ，OA 1⊥AB .又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直． 以O 为坐标原点，OA u u u r 的方向为x 轴的正方向，|OA u u u r |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，0)，C (0,0，B (－1,0,0)．则BC uuu r ＝(1,0，1BB u u u r ＝1AA u u u r ＝(－1，0)，1AC u u u r ＝(0，． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则10,0,BC BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n即0,0.x x ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩可取n ＝1，－1)． 故cos 〈n ，1AC u u u r 〉＝11A C A C⋅u u u r n n＝. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C19．解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A 1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A 2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B 2，这批产品通过检验为事件A ，依题意有A ＝(A 1B 1)∪(A 2B 2)，且A 1B 1与A 2B 2互斥，所以P (A )＝P (A 1B 1)＋P (A 2B 2)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 2|A 2) ＝41113161616264⨯+⨯=. (2)X 可能的取值为400,500,800，并且 P (X ＝400)＝41111161616--=，P (X ＝500)＝116，P (X ＝800)＝14. 所以X 的分布列为EX ＝1111400+500+80016164⨯⨯⨯＝506.25. 20．解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝若l的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M ， 解得k ＝4±. 当k ＝4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2所以|AB |2118|7x x -=.当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝|AB |＝187. 21．解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4.从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝x 2＋4x ＋2，g (x )＝2e x (x ＋1)．设函数F (x )＝kg (x )－f (x )＝2k e x (x ＋1)－x 2－4x －2，则F ′(x )＝2k e x (x ＋2)－2x －4＝2(x ＋2)(k e x －1)．由题设可得F (0)≥0，即k ≥1.令F ′(x )＝0得x 1＝－ln k ，x 2＝－2.①若1≤k ＜e 2，则－2＜x 1≤0.从而当x ∈(－2，x 1)时，F ′(x )＜0；当x ∈(x 1，＋∞)时，F ′(x )＞0.即F (x )在(－2，x 1)单调递减，在(x 1，＋∞)单调递增．故F (x )在[－2，＋∞)的最小值为F (x 1)． 而F (x 1)＝2x 1＋2－21x －4x 1－2＝－x 1(x 1＋2)≥0.故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．②若k ＝e 2，则F ′(x )＝2e 2(x ＋2)(e x －e －2)．从而当x ＞－2时，F ′(x )＞0，即F (x )在(－2，＋∞)单调递增．而F (－2)＝0，故当x ≥－2时，F (x )≥0，即f (x )≤kg (x )恒成立．③若k ＞e 2，则F (－2)＝－2k e －2＋2＝－2e －2(k －e 2)＜0.从而当x ≥－2时，f (x )≤kg (x )不可能恒成立．综上，k 的取值范围是[1，e 2]．请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G .由弦切角定理得，∠ABE ＝∠BCE .而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，BE ＝CE .又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°，由勾股定理可得DB ＝DC .(2)解：由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝2. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG ＝60°.从而∠ABE ＝∠BCE ＝∠CBE ＝30°，所以CF ⊥BF ，故Rt△BCF . 23． 解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0. 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.(2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 24．解：(1)当a ＝－2时，不等式f (x )＜g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3＜0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，则y ＝15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y ＜0.所以原不等式的解集是{x |0＜x ＜2}．(2)当x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时，f (x )＝1＋a . 不等式f (x )≤g (x )化为1＋a ≤x ＋3.所以x ≥a －2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立． 故2a -≥a －2，即43a ≤. 从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
数学理卷·2014届山东省济南市高三上学期期中联考(2013.11)
Q 函数
f
( x) 的图象与直线
y
=
2
两相邻公共点间的距离为 π
.∴
π ω
=
π
∴ω
= 1 -------4
分
（2）由（Ⅰ）可知 ω
=
1
，
f
(
x)
=
2 sin
2x
+
π 6
Q f ( A) =1
∴
2 sin
2
A
+
π 6
=
1
∴sin
2
A
+
π 6
=
1 2
Q0 < A < π ∴ π < 2A + π < 13π ∴2A + π = 5π ⇒ A = π
时， 0 ≤ f (x) ≤ 1；当 x ∈ (0, 2) 且 x ≠ 1时， x(x −1) f '(x) < 0 ．则方程 f (x) = lg x
根的个数为 A．12
B．1 6
C．18
D．20
第Ⅱ卷（非选择题共 90 分）
注意事项：
1．将第Ⅱ卷答案用 0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上．
2．答卷将密封线内的项目填写清楚．
二、填空题（本题共 4 小题，共 1 6 分）
uuur
uuur
uuur
13．若向量 BA = (2, 3),CA = (4, 7) ，则 BC = ___________．
14．在等比数列 {an} 中，若公比 q=4，且前 3 项之和等于 21，则该数列的通项公式
济南市高三部分学校调研考试（11 月）
数学（理科）
2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
山东省青岛市2024-2025学年高三上学期期初调研检测 数学试题[含答案]
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2024年高三年级期初调研检测数学试题本试卷共4页，19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（ ）(){}ln 4A x y x ==-{}1,2,3,4,5B =A B = A ．B ．C ．D ．{5}{1,2,3}{1,2,3,4}{1,2,3,4,5}2．已知复数z 满足，则z 的虚部为（ ）()12i 43i z +=+A ．1B ．C ．D ．1-ii-3．已知命题p ：，，则为（ ）R α∀∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p ⌝A ．，B ．，R α∀∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R α∃∈sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．，D ．，R α∀∉sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R α∃∉sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．等差数列的首项为，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为{a n }1-236,,a a a {a n }（ ）A ．B ．3C ．D ．241-24-5．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ）1cos 3α=-()cos αβ-=A ．B ．C ．1D ．1979-796．两个粒子A ，B 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，(1,2)A S =．粒子B 相对粒子A 的位移为，则在上的投影向量为（ ）(4,3)B S = S S A SA ．B ．C．D．(1,2)(2,1)7．设，若是的最小值，则a 的取值范围为（ ）()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩()0f ()f x A ．B ．C ．D ．[]1,0-[]1,2-[]2,1--[]2,0-8．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1，F 2．以F 1F 2为直径的圆2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>和C 的渐近线在第一象限交于A 点，直线AF 1交C 的另一条渐近线于点B ，，则1F B BA =C 的离心率为（ ）ABC ．2D ．3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面α1111ABCD A B C D -A //α11CB D α ，平面平面，则（ ）ABCD m =α 11ABB A n =A ．B ．平面C ．平面D ．所成的角为11//B D m1//A B αn ⊥11ADC B ,m n π611．设数列和的项数均为，称为数列和的距离．记满足{a n }{b n }m 1mi ii a b =-∑{a n }{b n }的所有数列构成的集合为．已知数列和为中的两个元素，项111nn n a a a ++=-{a n }C {}n A {}n B C 数均为，下列正确的有（ ）m A ．数列和数列的距离为1,3,5,72,4,6,84B ．若，则()*4N m p p =∈1122mmA A AB B B =C ．若，则()*4N m p p =∈1mii Am=≤∑D ．若，，数列和的距离小于，则的最大值为12A =13B ={}n A {}n B 2017m 3456三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．12．若曲线在点处的切线斜率为，则．cos y ax x =()0,01-a =13．若，是函数的两个相邻极值点，则．1π3x =2πx =()()sin 0f x x ωω=>ω=14．正方体的棱长为，是侧面（包括边界）上一动点，是棱1111ABCD A B C D －3P 11ADD A E 上一点，若，且的面积是面积的倍，则三棱锥体CD APB DPE ∠=∠APB △DPE 9P ABE －积的最大值是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动2312甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响．(1)求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；(2)若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X 的分布列和期望．16．已知的内角的对边分别为．ABC ,,A B C ,,a b c )cos cos cos ac B b C A +=(1)求；A (2)若边上的高等于，求．AB 13csin C 17．如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面P ABCD -ABCD PD DC =PD ⊥，是线段的中点，在线段上，．ABCD E PC F PB EF PB ⊥(1)证明：平面；PB ⊥DEF (2)在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．G PB EG PA 45DEF DEG 18．已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点22:4C x y m -=()11,1P C n P 2n ≥作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐1-n P 1C 1n Q -1n Q -y n P n P 标为．(),n n x y (1)求点的坐标；23,P P (2)记，证明：数列为等比数列；2n n n a x y =-{}n a (3)为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积O ,G H 2n n P P +13n n P P ++12n n OP P ++△OGH 分别为，求的值．12,S S 12S S 19．已知函数定义域为，，若，，当时，都()f x I D I ⊆x D ∀∈t D ∃∈x t <有．则称为在上的“Ω点”．()()f x f t <t ()f x D(1)设函数．()()()2ln 12f x ax x x=++-（i ）当时，求在上的最大“Ω点”；0a =()f x ()1,-+∞（ii ）若在上不存在“Ω点”，求a 的取值范围；()f x []0,1(2)设，且，．证明：在D 上的“Ω{}()*1,2,,N D m m ∈= ()10f =()()11f x f x --≤()f x 点”个数不小于．()f m1．B【分析】根据对数中真数大于0解出集合，再利用交集含义即可得到答案.A 【详解】，则.(){}{}ln 44A x y x x x ==-=<{1,2,3}A B ⋂=故选：B.2．A【分析】根据复数的除法的计算公式得，再根据共轭复数和复数虚部的概念即可.2i z =-【详解】，()()()()43i 12i 43i 105i2i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-则，则其虚部为1.2i z =+故选：A.3．B【分析】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称即可.【详解】根据全称量词命题的否定，否定结论，全称变特称,则为“，p ⌝R α∃∈”.sin cos 44ππαα⎛⎫⎛⎫-≠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.4．D【分析】根据等比中项得到方程，解出，后根据等差数列求和公式计算即可.2=d 【详解】成等比数列,则，即，236,,a a a 2326a a a =⋅21112()(5)()a d a d a d +=+⋅+代入.得到，，解得.11a =-212)1)15)(((d d d -+-+-+⋅=0d ≠2=d 则的前6项和.{}n a 6656(1)2242S ⨯=⨯-+⨯=故选：D.5．B【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可.【详解】角α与角β均以x 轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x 轴对称. 则，，且，1cos cos 3αβ==-sin sin αβ=-228sin 1cos 9αα=-=，28sin sin sin 9αβα⋅=-=-故.()187cos cos cos sin sin 999αβαβαβ-=⋅+⋅=-=-故选：B 6．C【分析】根据题意，求得，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式，(3,1)B A S S S=-=准确计算，即可求解.【详解】由向量，，可得粒子相对粒子的位移为，(1,2)A S =(4,3)B S =B A (3,1)B A S S S=-=可得，13215AS S =⨯⨯=⋅+所以在上的投影向量为.S A S (1,2)(1,2)A A A AS S S S S ⋅⋅== 故选：C.7．A【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解.【详解】由于，当，，由于是的最小值，()()2,01,0x a x f x x a x x ⎧+≤⎪=⎨++>⎪⎩0x =()20f a =()0f ()f x 则为减区间，即有，则恒成立.(,0]-∞0a≤21,0a x a x x ≤++>由，当且仅当时取等号，所以 ，解得.12x x +≥=1x =22a a ≤+12a -≤≤综上，a 的取值范围为.[]1,0-故选：A.8．C【分析】根据题意，利用双曲线的对称性，得到，结合双曲21π3AOF F OB AOB ∠=∠=∠=线的几何性质，求得，进而求得双曲线的离心率，得到答案.πtan 3b a ==【详解】如图所示，因为，可得点为线段的中点，则，1F B BA=B 1F A 1OB F A ⊥可得，1F OB AOB ∠=∠因为直线是双曲线的渐近线，由双曲线的对称性可知，,OA OB 21AOF F OB ∠=∠所以，21π3AOF F OB AOB ∠=∠=∠=可得直线的斜率为，则，OA πtan 3b a ==2c e a ===所以双曲线的离心率为.C 2故选：C.9．BC【分析】根据平均数的概念结合等差数列的性质判断C ，由中位数的概念可判断B ，由方差及等差数列的通项公式计算即可判断D ，根据极差及等差数列的通项公式可判断A ．【详解】对于C ，原数据的平均数为 ，1210511()5(1010x x x x x =+++=⨯+ 6561)()2x x x =+去掉，后的平均数为，则C 正确；1x 10x 2395656111()4()()882x x x x x x x x x '=+++=⨯+=+= 对于B ，原数据的中位数为，561()2x x +去掉，后的中位数仍为，即中位数没变，则B 正确；1x 10x 561()2x x +对于A ，原数据的极差为，110918x x d -=-=去掉，后的极差为，即极差变小，则A 错误；1x 10x 29714x x d -=-=对于D ，设公差为d ，则原数据的方差为222215625610561111()()()10222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-+++-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭2221975()()()10222[d d d =-+-+-222311()()()222d d d +-+-++，22223579()()()()3322]22d d d d +++=去掉，后的方差为1x 10x 22222563569561111()()()8222s x x x x x x x x x ⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎡⎤⎡⎤'=-++-+++-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭，22222222175311357()()()()()()()()2182222222[]2d d d d d d d d =-+-+-+-++++=即方差变小．标准差也变小，则D 错误.故选：BC 10．ABC【分析】设平面平面证得和，可判定A 正确；过作α 1111A B C D m '=//m m '11//m B D '1D C 平面，设平面平面，证得，可判定B 正确；设平面平面γγ α=a 1//A B a α ，证得平面，可判定C 正确；把所成的角转化为与11DCC D n '=n '⊥11ADC B ,m n 11B D 所成的角，结合为等边三角形，可判定D 不正确.1D C 11CB D 【详解】对于A 中，设平面平面α 1111A B C D m '=在正方体中，可得平面平面，1111ABCD A B C D -//ABCD 1111D C B A 因为平面平面，所以，α ABCD m =//m m '又因为平面平面，且平面平面，//α11CB D α 1111A B C D m '=平面平面，所以，所以，所以A 正确；11CB D ⋂111111A B C D B D =11//m B D '11//m B D 对于B 中，在正方体中，可得，1111ABCD A B C D -11//A B D C 因为平面平面，且平面平面，所以平面，//α11CB D 1D C ⊂11CB D 1//D C α过作平面，设平面平面，可得，1D C γγ α=a 1//D C a 可得，且，所以平面，所以B 正确；1//A B a 1A B α⊄1//A B α对于C 中，设平面平面，α 11DCC D n '=因为平面平面 且平面平面，所以，//α11CB D 11CB D ⋂111DCC D D C =1//n D C '在正方体中，可得平面，1111ABCD A B C D -AD ⊥11DCC D 因为平面，所以，1D C ⊂11DCC D 1AD D C ⊥又因为，且，平面，11DC D C ⊥1AD DC D = 1,AD DC ⊂11ADC B 所以平面，所以平面，1D C ⊥11ADC B n '⊥11ADC B 在正方体中，可得平面平面，1111ABCD A B C D -11//ABB A 11DCC D 因为平面平面，平面平面，所以，α 11DCC D n '=α 11ABB A n =//n n '所以平面，所以C 正确；n ⊥11ADC B 对于D 中，因为且，所以所成的角，即为与所成的角，11//m B D 1//n D C ,m n 11B D 1D C 因为为等边三角形，可得，11CB D 11π3CD B ∠=所以异面直线所成的角为，所以D 不正确.,m n π3故选：ABC.11．ABD【分析】根据数列距离的定义求两数列的距离判断A ，结合数列，的递推关系证{}n A {}n B 明两数列具有周期性，判断B ，利用基本不等式求，由此求41424344k k k k A A A A +++++++，判断C ，由条件求，结合周期性可求，，由此1mii A=∑4173i i i A B =-=∑34561i i i A B =-∑34571i i i A B =-∑判断D.【详解】对于A ，根据数列距离的定义可得：数列和数列的距离为，A 正确；1,3,5,72,4,6,8123456784-+-+-+-=对于B ，设，其中，且，由，1A t =0t ≠1t ≠±111nn n A A A ++=-所以，，，，211t A t +=-31A t =-411t A t -=+5A t =则，15A A =因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次，{}n A 4所以，，，414243441k k k k A A A A ++++=11k p ≤≤-N p *∈设，其中，且，由，1B s =0s ≠1s ≠±111nn n B B B ++=-所以，，，，211s B s +=-31B s =-411s B s -=+5B s =则，15B B =因此数列中的项周期性重复，且间隔项重复一次，{}n B 4所以，，，414243441k k k k B B B B ++++=11k p ≤≤-N p *∈所以若，则，B 正确；()*4N m p p =∈1122mm A A AB B B = 因为，其中，且，4142434411111k k k k t t A A A A t t t t +++++-+++=++-+-+0t ≠1t ≠±所以，111,11t t t t t t +-≠≠-+所以，4142434411122411k k k k t t A A A A t t t t +++++-+++=+++>+=-+所以若，，C 错误；()*4N m p p =∈14mii Ap m=>=∑所以数列中，，，，，，{}n A 432k A -=423k A -=-4112k A -=-413k A =k *∈N 故中，，，，，，{}n B 433k B -=422k B -=-4113k B -=-412k B =k *∈N ，111k kiiiii i b c b c+==-≥-∑∑所以项数越大，数列和的距离越大，m {}n A {}n B 由，可得，4173i i i A B =-=∑34561i i i b c =-=∑786420163⨯=，34571201612017iii b c=-=+=∑所以时，，3456m ≤12017miii b c=-<∑故的最大值为；m 3456所以数列和的距离小于，则的最大值为，D 正确.{}n A {}n B 2017m 3456故选：ABD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.12．1-【分析】先求导，再代入0，运用导数几何意义可解.【详解】求导得到，将0代入导数，运用导数几何意义，得(cos sin )y a x x x '=-.(cos0sin 0)1a a -==-故答案为：.1-13．32【分析】根据题意得到借助最小正周期公式，再用两个相邻极值点相差半个周期可解.【详解】，是函数的两个相邻极值点,则，1π3x =2πx =()()sin 0f x x ωω=>1π(π)23T =-即，解得.12ππ(π)23ω⨯=-32ω=故答案为：3214【分析】由条件先证明，结合面积关系可得，在平面上建APB EPD ∽3AP PD =11ADD A 立平面直角坐标系，确定点的轨迹方程，结合体积公式求三棱锥体积的最大值.P P ABE －【详解】由已知平面，平面，AB ⊥11ADD A AP ⊂11ADD A 所以,AB AP ⊥因为平面，平面，DE ⊥11ADD A DP ⊂11ADD A 所以，DE DP ⊥所以，又，90BAP EDP ∠=∠=APB DPE ∠=∠所以，又的面积是面积的倍，APB DPE ∽APB △DPE 9所以，13AP DP=以点为原点，为轴建立空间直角坐标系，D 1,,DA DC DD ,,x y z 则，，()3,0,0A ()0,0,0D 设点的坐标为，则，，P (),0,x z 03x ≤≤03z ≤≤由已知，3AP PD==所以，其中，，2239048x z x ++-=03x ≤≤03z ≤≤所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆在侧面内的一段圆弧，P 3,0,08⎛⎫- ⎪⎝⎭9811ADD A 过点作，因为平面，P 1//PQ DD 1DD ⊥ABCD 所以平面，即平面，PQ ⊥ABCD PQ ⊥ABE 所以为三棱锥的高，PQ P ABE -所以三棱锥的体积，P ABE -133322P ABE ABE V S PQ PQ z-=== 因为，，223948x z x ++-=03z ≤≤所以，z =03x ≤≤所以当时，0x =z 所以当时，三棱锥体积取最大值，最大值为0x =P ABE－32=【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过证明相似，结合相似三角形APB DPE ∽的性质证明.13APDP=15．(1)12(2)分布列见解析，74【分析】（1）有一方获胜，意味着结果为一对一错，分情况用相互独立事件的乘法公式计算相加即可；（2）确定取每一个值对应时间的概率，即可求解.X 【详解】（1）设甲猜对为事件A ，乙猜对为事件B ，事件表示“星队”第一轮活动中只有1人猜对，且事件与互斥，AB AB +AB AB 则，，()()()16P AB P A P B =⨯=()()()13P AB P A P B =⨯=∴，即有一方获胜的概率为.()()()12P AB AB P AB P AB +=+=12（2）由题意的可能取值为1，2，3X 表示第一次猜谜有人获胜，所以,1X =()112p X ==表示第一次猜谜没人获胜同时第二次猜谜有人获胜，所以2X =()1112224p X ==⨯=由分布列的性质，可得，()11131244p X ==--=所以分布列为X 123p121414所以()11171232444E X =⨯+⨯+⨯=16．(1)π4【分析】（1）利用正弦定理，边化角，结合两角和的正弦公式化简即可；（2）先用表示中线段的长度，然后利用等面积法求解即可.c ABC【详解】（1，)cos cos cos a c B b C A +=)sin sin cos sin cos cos AC B B C A +=，又，所以()sin cos A B C A +=sin cos AA A =sin 0A ≠cos A =又，得.0πA <<π4A =（2）由题得示意图作，则，CD AB ⊥13CD c=因为，所以，得，，π4A =13AD CD c ==AC =23DB c=所以BC =11sin 22AB CD AC BC C =即，1sin 3c c C ⨯=⨯解得：sin C =17．(1)证明见解析【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，证得PD BC ⊥DC BC ⊥⊥BC PDC ，再由，得到，证得平面，得到，进而BC DE ⊥PD DC =DE PC ⊥DE ⊥PBC DE PB ⊥证得平面；PB ⊥DEF （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，设，D ABCD 2PG PB λ=根据与所成的角为，求得，得到，求得平面和平面的EG PA 4512λ=(1,1,1)G DEG DEF 法向量分别为和，结合向量的夹角公式，即可求解.(0,1,1)n =-(2,2,2)PB =- 【详解】（1）证明：因为底面，且底面，所以，PD ⊥ABCD ⊂BC ABCD PD BC ⊥又因为为正方形，可得，ABCD DC BC ⊥因为，且平面，所以平面，PD DC C = ,PD DC ⊂PDC ⊥BC PDC 又因为平面，所以，DE ⊂PDC BC DE ⊥因为，且为的中点，所以，PD DC =E PC DE PC ⊥又因为，且平面，所以平面，PC BC C ⋂=,PC BC ⊂PBC DE ⊥PBC 因为平面，所以，PB ⊂PBC DE PB ⊥又因为，且，平面，所以平面.EF PB ⊥DE EF E = ,DE EF ⊂DEF PB ⊥DEF （2）解：以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直D ,,DA DC DP x y z 角坐标系，如图所示，设正方形的边长为，可得，ABCD 22DP =可得，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)D A B C P E 则，，(2,0,2)PA =-(2,2,2)PB =- (0,1,1)PE =- 因为在线段上，设，其中，G PB (2,2,2)PG PB λλλλ==- 01λ<<则，(2,21,21)EG PG PE λλλ=-=--+因为与所成的角为，可得，EG PA 45cos 45PA EG PA EG ⋅=== 解得，所以，所以，可得，214λ=12λ=(1,1,1)G (0,1,1),(1,1,1)DE DG ==设平面的法向量为，则，DEG (,,)n x y z = 00n DE y z n DG x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩令，可得，所以，1y =0,1x z ==-(0,1,1)n =-因为平面，所以平面的一个法向量为，PB ⊥DEF DEF (2,2,2)PB =-设平面与平面所成的二面角为，其中，DEF DEG θ090θ<<可得，即平面与平面.cos n PB n PBθ⋅=== DEF DEG 18．(1)，2()1,1-P 3713,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)证明见解析(3)12925S S =【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，()11,1P m 11PQl 1Q 2P 再借助的方程后联立双曲线可得，即可得；22P Q l 2Q 3P （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点11n n y y x x ---=-11352n n n x x y --=-代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证；()1,n n n Q x y --11n n n n y y x x --=--（3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算出123n n n x y --=2243n n x y -=n x n y 即可得.12,S S 【详解】（1）由题知，所以双曲线，413m =-=22:43C x y -=又过点，斜率为的直线方程为，()11,1P 1y x =由双曲线与直线的对称性可知，所以，1(1,1)Q --2()1,1-P 又过，且斜率为的直线方程为，即，2()1,1-P 111y x +=-2y x =-由，解得或，当时，，22243y x x y =-⎧⎨-=⎩1x =73x =-73x =-713233y =--=-所以，所以；2713,33Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭3713,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）设，111(,)(2,N )n n n P x y n n *---≥∈则过，且斜率为的直线方程为，111(,)(2,N )n n n P x y n n *---≥∈111n n y y x x ---=-联立，消得到，112243n n y y x x x y ---=-⎧⎨-=⎩y ()()2211113230n n n n x x y x x y ----+----=由题有，得到，()11123n n n n x x x y ----+=--11352n n n x x y --=-由题知点在直线上，即有，()1,n n n Q x y --11n n y y x x ---=-11n n n n y y x x ---=--所以，因为，11n n n n y y x x --=--2nn n a x y =-则，111111111111111112235232222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x x y x y x y x y y x x x y a x y x y x y x ----------------------===++++==----由（1）知，所以数列为为首项，的公比的等比数列；1211a =-={a n }13（3）由（2）知，得到，123n n n n a x y --==123n n n y x -=-由，即，2243n n x y -=()()224223n n n n n n x y x y x y -=-+=即，21332323nn n n n n x y x y --+===-则，()()21223344n n n n n n nx y x y x --++-+==，()()21223322n n n n n n nx y x y y --+---==故，，21213333,42n n n n n P ----⎛⎫+- ⎪⎝⎭1113333,42n n n nn P --+⎛⎫+-⎪⎝⎭，，1123333,42n n n n n P -+-++⎛⎫+- ⎪⎝⎭121233333,42n n n n n P --+--++⎛⎫+-⎪⎝⎭故，()1211533133332444n n n n n n G x -----++⎛⎫++=+=⎪⎝⎭，()1211533133332222n n n n n n G y -----+-⎛⎫--=+=⎪⎝⎭即，则，()()11533533,42n n n n G ----⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭()()11533533,42n n n n H ----⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭则1111112211133333333224242n n n n n n n n n n n n S x y x y --+-+-++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+-=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()111133333333128n n n n n n n n --+-+-+--+-=1221122113193391328n n n n -+-++----++=，116128-==()()()()1111253353353353311224242n n n n n n n n G H H G S x y x y --------+-+-=-=-()()()()11111253333333328n n n n n n n n --------=⨯+--+-2121212125113133131699n n n n ------=-+---++，2516251699-==故.121925259S S ==【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到后，结合，123n n n x y --=2243n n x y -=从而可得与，再利用面积公式计算即可得.n x n y 19．(1)（i ）；（ii ）022ln 2a ≤-(2)证明见解析【分析】（1）（i ）由题意可得对，，当时，都有，(]1,0x ∀∈-(]1,0t ∃∈-x t <()()f x f t <即可结合导数研究单调性后取最大值点即可得；()f x （ii ）由题意可得在时恒成立，借助导数分、、及()()0f x f ≤[]0,1x ∈0a ≤1a ≥203a <≤讨论函数单调性即可得；213a <<（2）分“Ω点”个数为，及大于等于进行讨论，结合，从而得到相012()()11f x f x --≤邻两个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.1()f m 【详解】（1）（i ）当时，，0a =()()2ln 12f x x x=+-则，()()221222111x xf x x x x -+'=-==-+++则当时，，当时，，()1,0x ∈-f ′(x )>0x ∈(0,+∞)f ′(x )<0即在上单调递增，在上单调递减，()f x ()1,0-(0,+∞)即对，，当时，都有，(]1,0x ∀∈-(]1,0t ∃∈-x t <()()f x f t <即在上的最大“Ω点”为；()f x ()1,∞-+0（ii ）由题意可得在时恒成立，()()0f x f ≤[]0,1x ∈，()()2ln 121axf x a x x +=++-+'令，，()()2ln 121axg x a x x +=++-+[]0,1x ∈则，()()()()()221222111a x ax aax a g x x x x +-++-=+=+++'当时，恒成立，故在上单调递减，0a ≤()0g x '<()g x [0,1]则，()()()200ln12001f x g x g a +=≤=-+'+=故在上单调递减，此时，符合要求；()f x [0,1]()()0f x f ≤当时，令，则，0a >220ax a +-=2222a x a a -==-则当，即时，，即在上单调递增，220a -≤1a ≥()0g x '≥()g x [0,1]则，即在上单调递增，()()()00f xg x g ≥'==()f x [0,1]有，不符合要求，故舍去；()()0f x f ≥当，即时，恒成立，故在上单调递减，221a -≥203a <≤()0g x '<()g x [0,1]则，故在上单调递减，()()()00f x g x g ≤'==()f x [0,1]此时，符合要求；()()0f x f ≤当，即时，()220,1a -∈213a <<若，，若，，20,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '<22,1x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0g x '>即在上单调递减，在上单调递增，()g x 20,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭22,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭则若需恒成立，有，解得，()()0f x f ≤22ln 2a ≤-由，故，223e ln223ln 2ln e ln 28210ln 2ln 2ln 2ln 2----===<221ln 2-<由，故，()()334e ln2ln e ln 2234ln 2221620ln 233ln 23ln 2ln 2----===>222ln 23->即当时，符合要求；222l 23n a ≤-<综上所述，；22ln 2a ≤-（2）若在D 上的“Ω点”个数为，则，符合要求；()f x 0()()10f m f ≤=若在D 上的“Ω点”个数为，令在D 上的“Ω点”分别为、、、，()f x *N s ∈()f x 1i 2i s i 其中、，、、、，12s i i i m <<<≤ *N 1s m ≤-∈1i 2i {}()*2,,N s i m m ∈∈ 若，1s =则若，由，则，即，111i -=()()11f x f x --≤()()1011f i f <-≤()101f i <≤若，由题意，，，11k i j -=>()()111f i f i -<()()11f f i <()()111f i f -≤故，即，又，故，符合要求；()()1011f i f <-≤()101f i <≤()()1f m f i ≤()1f m ≤若，2s ≥则，，，，()()()1110f i f f i -=>()()210f i f i -> ()()10s s f i f i -->由，则，()()11f x f x --≤()()011k k f i f i <--≤若，即，则，11k k i i --=11k k i i -=-()()101k k f i f i -<-≤若，由题意，，且11k k i i j --=>()()()111k k k f i j f i f i -+-=-<()()1k k f i f i -<，()()11k k f i f i --≤又，故，即，()()011k k f i f i <--≤()()101k k f i f i -<-≤()()2101f i f i <-≤，，，()()3201f i f i <-≤ ()()101s s f i f i -<-≤即有，即，()()()()()2132101s f i f i f i f i f i s -<-+-+-≤- ()()101s f i f i s <-≤-由，故，()101f i <≤()0s f i s<≤又，故，()()s f m f i ≤()f m s≤即在D 上的“Ω点”个数不小于.()f x ()f m 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助，结合定义得到相邻两()()11f x f x --≤个“Ω点”的函数值之差小于等于，即可得“Ω点”个数与的关系.1()f m。
【数学理】山东省济南市2013届高三1月教学质量调研考试数学(理)试题
2013年1月高三教学质量调研考试理 科 数 学本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页. 考试时间120分钟。
满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题:(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1. 设全集U R =，集合2{|230}M x x x =+-≤，{|14}N x x =-≤≤，则M N 等于A ．{|14}x x ≤≤B ．}31|{≤≤-x xC ．{|34}x x -≤≤D ．{|11}x x -≤≤2. 复数12i i+-表示复平面内的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 设0.30.33,log 3,log a b c e π===则,,a b c 的大小关系是A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．c a b << 4. 将函数 ()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后，所得的图象对应的解析式为A ．y =sin 2xB ．y =cos 2xC ．y =2sin(2)3x π+ D ．y =sin(2)6x π-5. 已知函数()()12xxf x ee-=-， 则()f x 的图象A. 关于原点对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于x 轴对称 D. 关于直线y6. 一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是主视图左视图(第6题)11A. B. C. D.（第11题）7. 已知椭圆方程22143xy+=,双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的焦点是椭圆的顶点, 顶点是椭圆的焦点,则双曲线的离心率为A.C. 2D. 38. 设实数,x y 满足不等式组 1103300x y x y x +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，则 2z x y =+的最大值为A. 13B. 19C. 24D. 299. 已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a =⋅=，则3a 的值为A.12B. 1C. 2D.1410. 非零向量,a b 使得||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是A. //a bB. 20a b +=C. ||||a ba b =D. a b =11. 设函数()2xf x =，则如图所示的函数图象对应的函数是 A. ()||y f x = B. ()||y f x =- C. ()||y f x =--D. ()||y f x =-12. 已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013f =A.0B.2013C.3D.2013-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13. 221x dx =⎰ ；14. 已知程序框图如右图所示，则输出的i =15. 若圆C 以抛物线24y x =截此抛物线的准线所得弦长为6的标准方程是 ； 16. 根据下面一组等式（第14题）（第20题）123456712354561578+9+10=3411121314156516171819202111122232425262728175 S S S S S S S ==+==++==+=++++==+++++==++++++=可得 13521n S S S S -++++= .三、解答题:(本大题共6小题，共74分) 17. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 且满足()2cos cos .b c A a C -= （1）求角A 的大小； （2）若2,b c ==，求||A B A C +.18. (本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，365,36a S ==， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2） 设2na nb =，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. (本小题满分12分)设函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 单调递增区间；（2）当[0,]x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值. 20. (本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,1//,,12AB CD AD AB AD AB CD ⊥===,PD ABCD ⊥面,PD =E 是PC 的中点（1）证明：//BE PAD 面； （2）求二面角E BD C --的大小.21. (本小题满分13分)已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>过点()0,1,其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ,各点均不重合且满足12,PM M Q PN NQ λλ==（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点.22. (本小题满分13分)设函数()2ln f x x ax x =+-.（1）若1a =,试求函数()f x 的单调区间；（2）过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线，证明:切点的横坐标为1； （3）令()()xf xg x e=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，求a 的取值范围.2013届高三教学质量调研考试理科数学参考答案一、 选择题:1.D2. A3. B4. D5. A6.C7.C8.A9.B 10.B 11.C 12.A 二、填空题：(本大题共4个小题，每小题4分，共16分) 13.7314. 9 15. 22(1)13x y -+=; 16. 4n三、解答题:17. 解：（1）由正弦定理可得：2s i n c o s s i n c o s B A C A CA =+-------------------------3分 2s i n c o s s i n ()s BA A CB ∴=+=-----------------------5分 1sin 0,cos .2B A ≠∴=.3A π∴=-------------------------------------------------------------8分222(2)2cos AB AC AB AC AB AC A +=++7=+---------------------------------------------------------11分AB AC ∴+=-------------------------12分18. 解: （1）设{}n a 的公差为d , 36535a S =⎧∴⎨=⎩;则1125656362a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩------3分 即112556a d a d +=⎧⎨+=⎩,解得112a d =⎧⎨=⎩,-----------------------------------------6分 *12(1)21,()n a n n n N ∴=+-=-∈.-------------------------------8分 (2) 2122na n nb -==135212222n n T -∴=++++--------------------------------------10分 2(14)2(41)143nn--==-------------------------------------------12分19.解：(1)'()(sin cos )x f x e x x =+ -----------------------------------------2分sin()4xx π=+-----------------------------------4分 '()0,sin()0.4f x x π≥∴+≥-----------------------------6分 322,22,444k x k k x k ππππππππ∴≤+≤+-≤≤+即3()2,2,44f x k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调增区间为--------------------8分 （2）[]0,,x π∈3310,,44x x πππ⎡⎤⎡⎤∈∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由（）知，是单调增区间，是单调减区间----10分343(0)0,()0,(),42f f f e πππ===所以43max 22)43(ππe f f ==,0)()0(min ===πf f f-----------------------------------12分 20. (本小题满分12分)证明：取PD 的中点为,F 连接,EF,21,//CD EF CD EF =------------2分又,,//CD 21AB //AB EF AB EF CD AB =∴=，且B E //,A B E F A F ∴∴是平行四边形，---------4分B E PA D A F PA D B E //PA D.⊄⊂∴又面，面，面----------------------6分（2）建系：以DA ，DB ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴，),2,0,0(),0,2,0(),0,1,1(P C B 则(0,1,2E------------------------------7分(1,1,0),(1,0,2D B B E ==-------------------------------8分(,,)n x y z = 设平面EDB 的法向量为002x y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩(,)(1,n x x x ∴=-=----------------------- -------10分令 x=1,则(1,n ∴=-又因为A B C D (0,0,1),m =平面的法向量为,22cos =二面角CBD E --为.450------------------12分21.解：(1)设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by ax ，焦距为2c ，-----------------1分yz由题意知 b =1,且2222222）（）（）（c b a =+，又222a b c =+得32=a.----------------------------------3分所以椭圆的方程为1322=+yx----------------------------5分(2) 由题意设),(),,(),0,(),,0(22110y x N y x M x Q m P ，设l 方程为)(m y t x -=， 由MQ PM 1λ=知),(),(110111y x x m y x --=-λ ∴111λy m y -=-，由题意1≠λ，∴111-=y m λ-----------------7分同理由2PN N Q λ= 知221my λ=-∵321-=+λλ，∴0)(2121=++y y m y y （*）------8分联立⎩⎨⎧-==+)(3322m y t x y x 得032)3(22222=-+-+m t y mt y t∴需0)3)(3(4422242>-+-=∆m t t t m （**）且有33,32222212221+-=+=+t m t y y t mty y （***）-------10分（***）代入（*）得023222=⋅+-mtm m t ，∴1)(2=mt ，由题意<mt ，∴1-=mt (满足（**）)，----------12分得l方程为1+=ty x ,过定点(1,0),即P 为定点.---------------13分 22.解:（1）1a =时,2()(0)f x x x lnx x =+->-----------------1分1'()21f x x x∴=+-(21)(1)x x x-+=------------------------3分()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()fx 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭-------------------5分（2）设切点为()(),M t f t ，()1'2f x x ax x=+-切线的斜率12k t a t=+-，又切线过原点()f t k t=()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即：-------------7分1t =满足方程21ln 0t t -+=，由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =，切点的横坐标为1；----------------------------------8分 或者设()21ln t t t ϕ=-+,()1'20t t tϕ=+>()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21l n0t t -+=有唯一解-----------------9分 （3）()()()''xf x f xg x e-=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()212ln 10x x x a x x-+-+-≥---（*）------------10分()()212ln 1h x x x x a x x=-+-+-设()()()222122111'222x x x h x x a a xxx-++=---+=--+若2a ≤，则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减，()()10h x h ≥=即不等式()()',(0,1],f x f x x ≤∀∈恒成立----------------------11分 若2a >,()()232112122'20x x x xxxxϕϕ=---∴=++>()x ϕ在(]0,1上递增,()()12x ϕϕ≤=-()()000,1,x x aϕ∃∈=-使得()()0,1,x x x a ϕ∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=这与(]0,1x ∀∈,()212ln 10x x x a x x-+-+-≥矛盾----------------------------12分 综上所述,2a ≤-----------------------------------------13分解法二: ()()()''xf x f xg x e-=，若函数()g x 在区间（0，1］上是减函数，则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ∀∈≤≤即，所以()212ln 1x x x a x x-+-+-≥-----------------10分 显然1x =,不等式成立当()0,1x ∈时,212ln 1x x xxa x-+-≤-恒成立-------------------------------------11分 设()()()22221112ln 21ln ,'11x x xx x xx xxh x h x xx -+--+--+-==--设()()()()()223121121ln ,'210x x x x x x x x xxxϕϕ-+=-+--+-=-+>()x ϕ在()0,1上递增,()()10x ϕϕ<= 所以()'0h x <-----------------------------12分()h x 在()0,1上递减,()()221112ln 111limlim 2221x x x x xx h x h x xx x →→-+-⎛⎫>==-+++= ⎪-⎝⎭ 所以2a ≤----------------------------------------------------------------13分。
2013年山东卷数学试题及答案(理)
2013·山东卷(理科数学)1． 复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为( ) A ．2＋i B ．2－i C ．5＋i D ．5－i1．D [解析] 设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈)，由题意得(a ＋bi －3)(2－i)＝(2a ＋b －6)＋(2b －a＋3)i ＝5，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b －6＝5，2b －a ＋3＝0，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝1，∴z ＝5－i.2． 已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{x －y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．92．C [解析] ∵x ，y ∈{}0，1，2，∴x －y 值只可能为－2，－1，0，1，2五种情况，∴集合B 中元素的个数是5.3． 已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 2＋1x，则f(－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．A [解析] ∵f ()x 为奇函数，∴f ()－1＝－f(1)＝－⎝⎛⎭⎫12＋11＝－2.4． 已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π64．B [解析] 设侧棱长为a ，△ABC 的中心为Q ，联结PQ ，由于侧棱与底面垂直，∴PQ ⊥平面ABC ，即∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成的角．又∵V ABC －A 1B 1C 1＝34×()32×a ＝94，解得a ＝3，∴tan ∠PAQ ＝PQ AQ ＝332×3×23＝3，故∠PAQ ＝π3.5． 将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4 C ．0 D ．－π45．B [解析] 方法一：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，若f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，必有π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.方法二：将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图像沿x 轴向左平移π8个单位后得到f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ的图像，其对称轴所在直线满足2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，又∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋φ为偶函数，∴y 轴为其中一条对称轴，即π4＋φ＝k π＋π2，k ∈，当k ＝0时，φ＝π4.6． 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－126．C [解析] 不等式组表示的可行域如图，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0，解得P ()3，－1，当M 与P 重合时，直线OM 斜率最小，此时k OM ＝－1－03－0＝－13.图1－17． 给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．A [解析] ∵⌝p 是q 的必要不充分条件，∴q 是⌝p 的充分而不必要条件，又“若p ，则⌝q ”与“若q ，则⌝p ”互为逆否命题，∴p 是⌝q 的充分而不必要条件．8． 函数y ＝xcos x ＋sin x 的图像大致为( )图1－28．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x ＋sin x)＝－f(x)，∴y ＝xcos x＋sin x 为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x ＝π2时，y ＝1>0，排除选项C ；x ＝π，y ＝－π<0，排除选项A ；故选D.9． 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( )A ．2x ＋y －3＝0B ．2x －y －3＝0C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝09．A [解析] 方法一：设点P(3，1)，圆心为C ，设过点P 的圆C 的切线方程为y －1＝k ()x －3，由题意得|2k －1|1＋k 2＝1，解之得k ＝0或43，即切线方程为y ＝1或4x －3y －9＝0.联立⎩⎨⎧y ＝1，()x －12＋y 2＝1，得一切点为()1，1，又∵k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－1k PC ＝－2，即弦AB 所在直线方程为y －1＝－2()x －1，整理得2x ＋y －3＝0.方法二：设点P(3，1)，圆心为C ，以PC 为直径的圆的方程为()x －3()x －1＋y ()y －1＝0，整理得x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0，联立⎩⎨⎧x 2－4x ＋y 2－y ＋3＝0①，()x －12＋y 2＝1②，①，②两式相减得2x ＋y－3＝0.10． 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．27910．B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.11．、 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.2 33 D.4 3311．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为()2，0，连线的方程为y ＝－p4()x －2，联立⎩⎨⎧y ＝－p4（x －2），y ＝12px 2得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝⎛⎭⎫12p x 2′.又∵双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0得，p ＝4 33或p ＝0(舍去)．12． 设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．312．B [解析] 由题意得z ＝x 2－3xy ＋4y 2， ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤12 x y ·4yx－3＝1， 当且仅当x y ＝4yx，即x ＝2y 时，等号成立，∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －24y 2－6y 2＋4y 2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.13．图1－3执行如图1－3所示的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．13．3 [解析] 第一次执行循环体时，F 1＝3，F 0＝2，n ＝1＋1＝2，1F 1＝13>0.25；第二次执行循环体时，F 1＝2＋3＝5，F 0＝3，n ＝2＋1＝3，1F 1＝15<0.25，满足条件，输出n ＝3.14．、 在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为________． 14.13[解析] 当x<－1时，不等式化为－x －1＋x －2≥1，此时无解；当－1≤x ≤2时，不等式化为x ＋1＋x －2≥1，解之得x ≥1；当x>2时，不等式化为x ＋1－x ＋2≥1，此时恒成立，∴|x ＋1|－|x －2|≥1的解集为[)1，＋∞.在[]－3，3上使不等式有解的区间为[]1，3，由几何概型的概率公式得P ＝3－13－（－3）＝13.15． 已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为________．15.712 [解析] ∵AP →⊥BC →， ∴AP →·BC →＝()λAB →＋AC →·()AC →－AB→＝－λAB →2＋AC →2＋()λ－1AC →·AB →＝0， 即－λ×9＋4＋()λ－1×3×2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，解之得λ＝712. 16．、 定义“正对数”：ln ＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x<1，ln x ，x ≥1.现有四个命题：①若a>0，b>0，则ln ＋(a b )＝bln ＋a ；②若a>0，b>0，则ln ＋(ab)＝ln ＋a ＋ln ＋b ；③若a>0，b>0，则ln ＋⎝⎛⎭⎫a b ≥ln ＋a －ln ＋b ； ④若a>0，b>0，则ln ＋(a ＋b)≤ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2. 其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)16．①③④ [解析] ①中，当a b ≥1时，∵b>0，∴a ≥1，ln ＋(a b )＝ln a b ＝bln a ＝bln ＋a ；当0<a b <1时，∵b>0，∴0<a<1，ln ＋(a b )＝bln ＋a ＝0，∴①正确；②中，当0<ab<1，且a>1时，左边＝ln ＋(ab)＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＝ln a ＋0＝ln a>0，∴②不成立；③中，当a b ≤1，即a ≤b 时，左边＝0，右边＝ln ＋a －ln ＋b ≤0，左边≥右边成立；当a b >1时，左边＝ln ab＝ln a －ln b>0，若a>b>1时，右边＝ln a －ln b ，左边≥右边成立；若0<b<a<1时，右边＝0, 左边≥右边成立；若a>1>b>0，左边＝ln ab＝ln a －ln b>ln a ，右边＝ln a ，左边≥右边成立，∴③正确；④中，若0<a ＋b<1，左边＝ln ＋()a ＋b ＝0，右边＝ln ＋a ＋ln ＋b ＋ln 2＝ln 2>0，左边≤右边；若a ＋b ≥1，ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)，又∵a ＋b 2≤a 或a ＋b 2≤b ，a ，b 至少有1个大于1，∴ln(a ＋b 2)≤ln a 或ln(a ＋b 2)≤ln b ，即有ln ＋()a ＋b －ln 2＝ln ()a ＋b －ln 2＝ln(a ＋b 2)≤ln ＋a ＋ln ＋b ，∴④正确．17．、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79. (1)求a ，c 的值；(2)求sin(A －B)的值．17．解：(1)由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，得b 2＝(a ＋c)2－2ac(1＋cosB)，又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝79，所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝4 29.由正弦定理得sin A ＝asin B b ＝2 23.因为a ＝c ，所以A 为锐角，所以cos A ＝1－sin 2 A ＝13.因此sin(A －B)＝sin Acos B －cos Asin B ＝10 227.图1－418．、 如图1－4所示，在三棱锥P －ABQ 中，PB ⊥平面ABQ ，BA ＝BP ＝BQ ，D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，AQ ＝2BD ，PD 与EQ 交于点G ，PC 与FQ 交于点H ，联结GH.(1)求证：AB ∥GH ；(2)求二面角D －GH －E 的余弦值．18．解：(1)证明：因为D ，C ，E ，F 分别是AQ ，BQ ，AP ，BP 的中点，所以EF ∥AB ，DC ∥AB ，所以EF ∥DC.又EF 平面PCD ，DC 平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD.又EF 平面EFQ ，平面EFQ ∩平面PCD ＝GH ，所以EF ∥GH. 又EF ∥AB ，所以AB ∥GH.(2)方法一：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ， 所以∠ABQ ＝90°，即AB ⊥BQ.因为PB ⊥平面ABQ ，所以AB ⊥PB.又BP ∩BQ ＝B ，图1－5所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH ，所以GH ⊥平面PBQ.又FH 平面PBQ ，所以GH ⊥FH.同理可得GH ⊥HC ，所以∠FHC 为二面角D －GH －E 的平面角．设BA ＝BQ ＝BP ＝2.联结FC ，在Rt △FBC 中，由勾股定理得FC ＝2，在Rt △PBC 中，由勾股定理得PC ＝ 5.又H为△PBQ 的重心，所以HC ＝13PC ＝53.同理FH ＝53.在△FHC 中，由余弦定理得cos ∠FHC ＝59＋59－22×59＝－45.即二面角D －GH －E 的余弦值为－45.方法二：在△ABQ 中，AQ ＝2BD ，AD ＝DQ ，所以∠ABQ ＝90°.又PB ⊥平面ABQ ，所以BA ，BQ ，BP 两两垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BQ ，BP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA ＝BQ ＝BP ＝2，则E(1，0，1)，F(0，0，1)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)．所以EQ →＝(－1，2，－1)，FQ →＝(0，2，－1)，DP →＝(－1，－1，2)，CP →＝(0，－1，2)．设平面EFQ 的一个法向量为＝(x 1，y 1，z 1)， 由·EQ →＝0，·FQ →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋2y 1－z 1＝0，2y 1－z 1＝0，取y 1＝1，得＝(0，1，2)． 设平面PDC 的一个法向量为＝(x 2，y 2，z 2)， 由·DP →＝0，·CP →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－y 2＋2z 2＝0，－y 2＋2z 2＝0， 取z 2＝1，得＝(0，2，1)．所以cos 〈，〉＝m·n |m||n |＝45.因为二面角D －GH －E 为钝角，所以二面角D －GH －E 的余弦值为－45.图1－519．、 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望．19．解：(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1，“甲队以3∶1胜利”为事件A 2，“甲队以3∶2胜利”为事件A 3，由题意，各局比赛结果相互独立，故P(A 1)＝(23)3＝827，P(A 2)＝C 23(23)2(1－23)×23＝827， P(A 3)＝C 24(23)2(1－23)2×12＝427. 所以，甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以P(A 4)＝C 24(1－23)2(23)2×(1－12)＝427， 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X ＝0)＝P(A 1＋A 2)＝P(A 1)＋P(A 2)＝1627.又P(X ＝1)＝P(A 3)＝427.P(X ＝2)＝P(A 4)＝427，P(X ＝3)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝2)＝327，故X 的分布列为X 0 1 2 3P 1627 427 427 327所以E(X)＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.20．、 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈)，求数列{c n }的前n 项和R n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1 得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈*.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈*.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1， 则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19(4－3n ＋14n －1)．21．、 设函数f(x)＝xe2x ＋c(e ＝2.718 28…是自然对数的底数，c ∈)．(1)求f(x)的单调区间、最大值；(2)讨论关于x 的方程|ln x|＝f(x)根的个数．21．解：(1)f′(x)＝(1－2x)e －2x .由f′(x)＝0，解得x ＝12，当x<12时，f ′(x)>0，f(x)单调递增；当x>12时，f ′(x)<0，f(x)单调递减．所以，函数f(x)的单调递增区间是(－∞，12)，单调递减区间是(12，＋∞)，最大值为f ⎝⎛⎭⎫12＝12e －1＋c. (2)令g(x)＝|lnx|－f(x)＝|lnx|－xe －2x －c ，x ∈(0，＋∞)．①当x ∈(1，＋∞)时，lnx>0，则g(x)＝lnx －xe－2x－c ，所以g′(x)＝e－2x(e 2xx＋2x －1)．因为2x －1>0，e 2xx>0，所以g′(x)>0.因此g(x)在(1，＋∞)上单调递增．②当x ∈(0，1)时，lnx<0，则g(x)＝－lnx －xe －2x －c ，所以g′(x)＝e －2x(－e 2x x＋2x －1)．因为e 2x ∈(1，e 2)，e 2x >1>x>0，所以－e 2xx<－1.又2x －1<1，所以－e 2xx＋2x －1<0，即g′(x)<0.因此g(x)在(0，1)上单调递减．综合①②可知，当x ∈(0，＋∞)时，g(x)≥g(1)＝－e －2－c.当g(1)＝－e －2－c>0，即c<－e －2时，g(x)没有零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当g(1)＝－e －2－c ＝0，即c ＝－e －2时，g(x)只有一个零点，故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当g(1)＝－e －2－c<0，即c>－e －2时，(ⅰ)当x ∈(1，＋∞)时，由(1)知g(x)＝lnx －xe －2x －c ≥lnx －(12e －1＋c)>lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需使lnx －1－c>0，即x ∈(e 1＋c ，＋∞)；(ⅱ)当x ∈(0，1)时，由(1)知g(x)＝－lnx －xe －2x －c ≥－lnx －(12e －1＋c)>－lnx －1－c ，要使g(x)>0，只需－lnx －1－c>0，即x ∈(0，e －1－c)；所以c>－e －2时，g(x)有两个零点， 故关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2. 综上所述，当c<－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为0；当c ＝－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为1；当c>－e －2时，关于x 的方程|lnx|＝f(x)根的个数为2.22． 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为32，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结PF 1，PF 2，设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m ，0)，求m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，设直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，若k ≠0，试证明1kk 1＋1kk 2为定值，并求出这个定值．22．解：(1)由于c 2＝a 2－b 2，将x ＝－c 代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a .由题意知2b 2a＝1，即a ＝2b 2.又e ＝c a ＝32，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)方法一：设P(x 0，y 0)(y 0≠0)． 又F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 所以直线PF 1，PF 2的方程分别为 lPF 1：y 0x －(x 0＋3)y ＋3y 0＝0，lPF 2：y 0x －(x 0－3)y －3y 0＝0. 由题意知||my 0＋3y 0y 20＋（x 0＋3）2＝||my 0－3y 0y 20＋（x 0－3）2. 由于点P 在椭圆上，所以x 204＋y 20＝1， 所以|m ＋3|⎝⎛⎭⎫32x 0＋22＝|m －3|⎝⎛⎭⎫32x 0－22 . 因为－3<m<3，－2<x 0<2，可得m ＋332x 0＋2＝3－m 2－32x 0. 所以m ＝34x 0. 因此－32<m<32. 方法二：设P(x 0，y 0)．当0≤x 0＜2时，①当x 0＝3时，直线PF 2的斜率不存在，易知P(3，12)或P ⎝⎛⎭⎫3，－12. 若P ⎝⎛⎭⎫3，12，则直线PF 1的方程为x －4 3y ＋3＝0. 由题意得|m ＋3|7＝3－m ， 因为－3<m<3，所以m ＝3 34. 若P ⎝⎛⎭⎫3，－12，同理可得m ＝3 34. ②当x 0≠3时，设直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋3)，y ＝k 2(x －3)．由题意知|mk 1＋3k 1|1＋k 21＝|mk 2－3k 2|1＋k 22， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝1＋1k 211＋1k 22. 因为x 204＋y 20＝1， 并且k 1＝y 0x 0＋3，k 2＝y 0x 0－3， 所以（m ＋3）2（m －3）2＝4（x 0＋3）2＋4－x 204（x 0－3）2＋4－x 20＝3x 20＋8 3x 0＋163x 20－8 3x 0＋16＝（3x 0＋4）2（3x 0－4）2， 即|m ＋3||m －3|＝|3x 0＋4||3x 0－4|.因为－3<m<3，0≤x 0＜2且x 0≠3， 所以3＋m 3－m ＝4＋3x 04－3x 0. 整理得m ＝3x 04， 故0≤m ＜32且m ≠3 34. 综合①②可得0≤m ＜32. 当－2<x 0<0时，同理可得－32<m<0. 综上所述，m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，32. (3)设P(x 0，y 0)(y 0≠0)，则直线l 的方程为y －y 0＝k(x －x 0)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y －y 0＝k （x －x 0），整理得(1＋4k 2)x 2＋8(ky 0－k 2x 0)x ＋4(y 20－2kx 0y 0＋k 2x 20－1)＝0.由题意Δ＝0，即(4－x 20)k 2＋2x 0y 0k ＋1－y 20＝0.又x 204＋y 20＝1， 所以16y 20k 2＋8x 0y 0k ＋x 20＝0，故k ＝－x 04y 0. 由(2)知1k 1＋1k 2＝x 0＋3y 0＋x 0－3y 0＝2x 0y 0， 所以1kk 1＋1kk 2＝1k ⎝⎛⎭⎫1k 1＋1k 2＝⎝⎛⎭⎫－4y 0x 0·2x 0y 0＝－8， 因此为定值，这个定值为－8.。
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山东省重点中学2013届高三上学期11月阶段性质量检测（数学理）2012．11 说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）共两卷．其中第l 卷共60分，第II 卷共90分，两卷合计I50分．答题时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.） 1.已知函数)1lg()(x x f -=的定义域为M ，函数xy 1=的定义域为N ，则N M ⋂= A.{}01|≠<x x x 且 B.{}01|≠≤x x x 且 C.{}1|>x x D.{}1|≤x x2.如果命题 “)(q p ∨⌝”为假命题，则A ．p ，q 均为真命题B ．p ，q 均为假命题C ．p ，q 中至少有一个为真命题D ． p, q 中至多有一个为真命题3.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且∥，则32+=A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 4.设R y x ∈,，则“2≥x 且2≥y ”是“422≥+y x ”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件5.已知ααπααcos sin ),0,4(,25242sin +-∈-=则等于 A.51- B.51 C. 57- D.576.设x 、y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩则z x y =+A ．有最小值2，最大值3B ．有最小值2，无最大值C ．有最大值3，无最大值D ．既无最小值，也无最大值 7.等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A.1 B.2 C.3 D.48.已知向量),4(),2,1(y b x a =-=，若b a ⊥，则yx39+的最小值为 A.2 B.32 C.6 D.99.如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于 函数)0(1>=x xy 图象下方的阴影部分区域，则阴影部分E 的面积为 A.2ln B.2ln 1- C.2ln 2- D.2ln 1+10.函数)2||00)s i n ()(πφωφω<>>+=，，（A x A x f 的部分图象如图示，则将)(x f y =的图象向右平移6π个单位后，得到图象解析式为 A.x y 2sin = B.x y 2cos = C.)32sin(π+=x y D.)62sin(π-=x y11.在ABC ∆中，P 是BC 边中点，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若0=++PB b PA a AC c ，则ABC ∆的形状为A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形但不是等边三角形12.已知函数)(x f M 的定义域为实数集R ，满足⎩⎨⎧∉∈=Mx M x x f M ,0,,1)(（M 是R 的非空真子集），在R 上有两个非空真子集A ，B ，且Φ=⋂B A ，则=）（x F 1)()1)(+++⋃x f x f x f BA B A （的值域为A.]320，（ B.{1} C.}13221{，， D.]1,31[ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4个小题，每题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.13.在ABC ∆中，若C B A cos cos 2sin =，则=+C B tan tan ________. 14.函数⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,22)(2x x x x x x f 的图象和函数)1ln()(-=x x g 的图象的交点个数是______________.15.函数)2,0(),3sin(2ππ∈-=x x y 的单调递增区间为____________.16.函数)(x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且)()(21x f x f =时总有21x x =，则称)(x f 为单函数.例如：函数)(12)(R x x x f ∈+=是单函数.给出下列命题：①函数)()(2R x x x f ∈=是单函数； ②指数函数)(2)(R x x f x ∈=是单函数；③若)(x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则)()(21x f x f ≠； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数，其中的真命题是 .(写出所有真命题的序号）三、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤.17.（本小题满分12分）已知x x xx x x x f cos sin 22sin 23sin 2cos 23cos )(--=. （1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）当],2[ππ∈x ，求函数)(x f 的零点.A.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >，且2514,,a a a 成等比数列。
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设*121(),(3)n n n n b n N S b b b n a =∈=++++ ，求n t S >。
B.（本小题满分12分）已知向量),2sin ,1(),3,cos 2(2x x ==函数x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f 的对称中心；（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且32,1,3)(===ab c C f ，且b a >，求b a ,的值.20.（本小题满分12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x 当年产量不足80千件时，21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80千件时10000()511450C x x x=+-（万元），每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完。
（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21.（本小题满分13分）已知函数)0(12)(2>++-=a b ax ax x g 在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记|)(|)(x g x f =. （1）求实数b a ,的值；（2）若不等式)2()(log 2f k f >成立，求实数k 的取值范围；（3）定义在],[q p 上函数)(x m ，用分法q x x x x x p T n i i =⋯<<<⋯<<=-110：将区间],[q p 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式∑=-≤-ni i M x m x m 1i 1|)()(|恒成立，则称函数)(x m 为在],[q p 上的有界变差函数，试判断函数)(x f 是否为[1，3]上的有界变差函数？若是，求M 的最小值；若不是，请说明理由.（参考公式：))()()()(211n ni i x f x f x f x f ⋯++=∑=22.（本小题满分13分）已知函数()()3,ln 2-+-==ax x x g x x x f . （1）求函数()x f 在[]2,+t t （t ＞0）上的最小值；（2）对一切()()()x g x f x ≥+∞∈2,,0恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求证：对一切()+∞∈,0x ，都有x x ln ＞.2ee x x - 高三数学（理科）阶段性质量检测试题答题纸第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
将答案填在下面的横线上。
13._______________________ 14. ________________________ 15._______________________ 16. ________________________ 三、解答题 17．（12分）18.（12分）20．（12分）21.（13分）22.（13分）高三数学（理科）阶段性质量检测试题参考答案一、选择题 ACCAB BBCDD AB 二、填空题 13.2 14.2 15.)611,65(ππ 16.②③④ 三、解答题17.解：（1）)42cos(22sin 2cos )(π+=-=x x x x f ，故π=T ………………5分 （2）令0)42cos(2,0)(=+=πx x f ，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ，2x ， ………………7分2324492445πππππ=+∴≤+≤∴x x ， ………………9分 故85π=x ，函数)(x f 的零点是85π=x . ………………12分18.解：（1）由题意得2111)4()13)((d a d a d a +=++整理得：212d d a = …………4分)0(2,11舍去解得===d d a)(12*N n n a n ∈-=∴ …………6分（2）)111(21)1(21)3(1+-=+=+=n n n n a n b n n …………8分22)111(21)]111()3121()211[(2121+=+-=+-+-+-=+++=∴n n n n n b b b s n n …………12分19.解：（1）x x x x n m x f 2sin 3cos 2)2sin ,1()3,cos 2()(22+=⋅=⋅=, =1)62sin(22sin 312cos ++=++πx x x . ………………4分令ππk x =+62得，)(122Z k k x ∈-=ππ，∴函数)(x f 的对称中心为)1,122ππ-k （. ………………6分 （2）1)62sin(31)62sin(2)(=+∴=++=ππC C C f ，C 是三角形内角，262ππ=+∴C 即：6π=C ……………………8分∴232cos 222=-+=ab c a b C 即：722=+b a . 将32=ab 代入可得：71222=+aa ，解之得：32=a 或4， …………10分 3,2,==∴>b a b a . ……………………12分3=∴a 或2，32或=∴b .21.解：（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间[2，3]上是增函数，故⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==0143(1)2(b a g g ，解得） …………4分（2）由已知可得1||2|)(|)(2+-==x x x g x f 为偶函数，所以不等式 )2()(log 2f k f >可化为2log 2>k解得4104<<>k k 或， ………………8分 （3）函数)(x f 为[1，3]上的有界变差函数。