福建省龙海市程溪中学2013届高三模拟测试数学(理)试题 Word版含答案

程溪中学2013届高三模拟测试数学（理）试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．）1. 已知集合M = {1,2}，N = {2a −1｜a ∈M }，则M ∪N 等于（ ） A ．{1,2,3} B ．{1,2} C ．{1} D ．∅ 2．复数121i,2i z b z =+=-+，若12z z 的对应点位于直线x +y =0上，则实数b 的值（）A ．-3B ．3C ．-13D ． 133. a 的值由右边程序框图算出，则二项式9)(xax -展开式的常数项为（ ）A. 59567C T ⨯-=B. 39347C T ⨯= C. 39347C T ⨯-= D. 49457C T ⨯=4. 函数)32sin()(π-=x x f 的图象为C ，给出以下结论： （ ）①图象C 关于直线π1211=x 对称； ②图象C 关于点)0,32(π对称；③函数)(x f 在区间)125,12(ππ-内是增函数；④由x y 2sin =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的是A. ①②④B. ①③④C. ①②③D. ②③④5．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm 3，则其侧视图为 （ ）6．已知不等式组1010330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域为D ，若直线1y kx =+将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是 （ ）A ．15B ．14 C ．13D ．127．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为，弦AP 的长度为d ，则函数()l f d =的图像大致是（ ）8．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项,m n a a 14a =，则14m n +的最小值为（ ） A ．32 B ．53C ．256D ．不存在 9．若双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为1F 、2F ，线段21F F 被抛物线22y bx = 的焦点分成5:7的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98B10．如图，从点0(,4)M x 发出的光线，沿平行于抛物线28y x =的对称轴方向射向此抛物线上的点P ，反射后，穿过焦点射向抛物线上的点Q ，再经抛物线反射后射向直线:100l x y --=上的点N ，经直线反射后又回到点M ，则0x 等于 （ ）A ．5B ．6C ．7D ．8第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。

把答案填写在答题卡的相应位置 11．已知角α的终边在直线34y x =-上，则2sin cos αα+=_________．12．P 为抛物线24y x =上一动点，则点P 到y 轴距离和到点A ()2,3距离之和的最小值等于 ．13．已知52345012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则24a a +的值等于 _． 14．某单位购买6张北京奥运会某场比赛门票，其中有2张甲票，其余为乙票，三名职工从中各抽一张，至少有一人抽到甲票的抽法为 ．15．已知函数f(x)=－x 3+ax 2+bx(a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点相切， 且x 轴与函数图象所围成的区域（如图阴影部分）的面积为112，则a= ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分13分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积；(Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．17. (本小题满分13分)对某班级50名同学一年来参加社会实践的次数进行的调查统计，得(Ⅰ)从该班级任选两名同学，用η表示这两人参加社会实践次数之和，记“函数1)(2--=x x x f η在区间(4，6)内有零点”的事件为A ，求A 发生的概率P ；(Ⅱ)从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ. 18.（本小题满分13分）椭圆1C ：()012222>>=+b a by a x 与抛物线2C ：()022>=p py x 的一个交点为M ，抛物线2C 在点M 处的切线过椭圆1C 的右焦点F ．(Ⅰ)若M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛552,2，求1C 和2C 的标准方程； （II ）求椭圆1C 离心率的取值范围．19．（本小题满分13分）某装修公司根据客户要求装饰一个墙角，施工设计时，在墙面交线AB 与天花板ACD 之间拉一条“定位线”EF （如图），已知墙面交线AB 、AC 、AD 两两垂直，且AB=2，AC=AD=3。

（单位：分米）（Ⅰ）若点E 、F 分别为AB 、CD 的中点，请指出此时直线EF 与直线BC 的位置关系（直接写出结论）；（Ⅱ）若E 、F 分别在AB 、天花板ACD 上运动时，始终保持“定位线”EF 的长为定值2，记EF 的中点为G ，试探究线段AG 的长是否也为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，客户提出在点G 处安装一盏装饰灯，为了美观和更好地散热，需将灯安装在与天花板ACD且与另两墙距离之和最大处．．．．．．．，求此时直线AG 平与面BCD 所成角的正弦值。

20.（本小题满分14分） 已知函数f(x)=12m(x －1)2－2x+3+lnx （m ≥1）． (Ⅰ)当32m =时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值； （Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a ，b]；（Ⅲ）是否存在实数m ，使曲线C ：y=f(x)在点P （1，1）处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点？若存在，求出实数m 的值，若不存在，请说明理由．21.本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。

作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与交换 已知二阶矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11c b M ，矩阵M 对应的变换将点（2，1）变换成点（4，-1）。

求矩阵M 将圆122=+y x 变换后的曲线方程。

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标与参数方程以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线的极坐标方程为6)3sin(=-πθρ，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 10cos 10y x ，（θ为参数），求直线被圆C 截得的弦长。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知a ，b ，c 为实数，且.019141,022222=-+++=-+++m c b a m c b a （I ）求证：;14)(91412222c b a c b a ++≥++（II ）求实数m 的取值范围。

参考答案11.25或25-1- 13 .15 14. 1615. －1 三、解答题： 16解：（Ⅰ）由该几何体的三视图可知AC 垂直于底面BCED ，且4===AC BC EC ，1=BD ，∴104)14(21=⨯+⨯=BCED S ，3404103131=⨯⨯=⋅=AC S V BCED ， 此几何体的体积为340； 3分成角，在BAF ∆中，24=AB ，5916=+==AF BF ，∴ 5222cos 222=⋅-+=∠AB BF AF AB BF ABF ；即异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为522。

7分 ∴ （Ⅲ）在DE 上存在点Q ，使得BQ AQ ⊥；取BC 中点O ，过点O 作DEOQ ⊥于点Q ，则点Q 为所求点；连接EO 、DO ，在ECO Rt ∆和OBD Rt ∆中，2==BDOBCO EC ，∴ECO Rt ∆∽OBD Rt ∆， ∴BOD CEO ∠=∠，090=∠+∠CEO EOC ，∴090=∠+∠DOB EOC ，090=∠EOD ，5222=+=CO CE OE ，522=+=BD OB OD ，∴25552=⋅=⋅=ED OD OE OQ ，∴以O 为圆心，BC 为直径的圆与DE 相切，切点为Q ，连接BQ 、CQ ，可得CQ BQ ⊥；AC BCED ⊥平面，BCED BQ ⊂，∴BQ AC ⊥，∴ACQ BQ ⊥，AQ ACQ ⊂平面，∴BQ AQ ⊥； 13分解法二：（Ⅰ）同上。

（Ⅱ）以C 为原点，以CA 、CB 、CE 所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)0,0,4(A ，)0,4,0(B ，)1,4,0(D ，)4,0,0(E ，得)3,4,0(-=DE ，)0,4,4(-=AB，cos ,DE AB DE AB DE AB⋅<>==⋅DE 与AB 所成角为锐角，可得异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为522。

y4η=与5η=为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式得：6812128(4)(5)24549245P P P ηη==+==+=， …………………………………… 6分 (Ⅱ) 根据频率分布得到頻数分布：参加次数 0 1 2 3 参加人数 5 102015从该班级任选两名同学，用ξ表示这两人参加社会实践次数之差的绝对值，则ξ的可能取 值分别是0，1，2，3，………………………………………………………9分于是：又M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛552,2在椭圆1C 上 所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+115442222b a ba ，解得52=a ，42=b ，故1C ：14522=+y x …………6分 （Ⅱ）设M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20021,x p x ， 由221x p y =得x p y 1'=， 从而2C 在点M 处的切线方程为()00202x x pxp x y -=- …………8分设F ()0,c ，代入上式得c x 20=，因为1220220=+bya x ，所以()2222222222234411a b a b a c b a x b y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-= …………10分 又022py x =，所以()22222220203423422a b b b a a a b ab c y x p --=-==，…………11分从而2234a b >，即224a c <，412<e ，21<e ， 所以椭圆1C 离心率的取值范围为210<<e . …………13分分由（Ⅱ）有133222=++）（y x ，从而3222=+y x ，而点G 到另两个墙面的距离之和为x y +． 由xy y x 222≥+，∴222)()(2y x y x +≥+，即x y +≤当且仅当x y ==时取等号----------------10分 此时），（），（），，，（2,03,3,03333333-=-== 设面BCD 的法向量为），（c b a ,n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0得），（3,22n = ----------11分设直线AG 与平面BCD 所成角为θ，有517|,cos |sin =><=θ.51517=即：直线AG与平面BCD所成角的余弦值为.51517---------------------------------------13分注：“.3334时取等号，当且仅当==≤+y x y x ”的证明若采用柯西不等式、三角换元、直线和圆的关系等方法求解，同样给分． 20. 解：(Ⅰ)1()(1)2f x m x x'=--+（x>0）． 当32m =时，13(2)()3()2x x f x x --'=，令()0f x '=，得x 1=2，x 2=13． f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以，当x ＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－4．………………4分 （Ⅱ）令()f x '＝0，得mx 2－(m+2)x+1=0． （*）因为△＝(m+2)2－4m=m 2+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a ，b （a<b ）． 因为m ≥1，所以20,10.m a b m ab m +⎧+=>⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩所以a>0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此()f x '<0的解为（a ，b ）． 故函数f(x)存在单调递减区间．………………………… 8分21.（1）解：由已知得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛141211,1412c b M 即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧-=+=+∴112112,11242M c b c b 解得 设点),(y x P 是圆122=+y x 上的任意一点，变换后的点为)','('y x P则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''y x y x M ， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎩⎨⎧+-=+=)''(31)'2'(31,',2'y x y y x x y x y y x x 从而（2）解：由θρθρθθρπθρcos 3sin 6)cos 23sin 21()3sin(-=-=-得=12。