矩阵对称性在空间曲面的应用研究
对称性在高等数学中的应用分析
对称性在高等数学中的应用分析引言：对称性是数学中一个十分重要且广泛应用的概念，它在高等数学中扮演着关键角色。
本文将分析对称性在高等数学中的应用，并讨论其在几何、代数、微积分等领域中的重要性和实际应用。
一、对称性在几何中的应用1. 几何形状的对称性：对称性广泛应用于几何形状的研究中。
通过观察对象的对称性，我们可以得到许多重要的性质和结论。
例如，对称关于某条直线的图形具有原点对称性，对称关于某个中心点的图形具有中心对称性。
对称性的研究可以帮助我们描述和分类不同形状，并研究它们的性质。
2. 对称性与变换的关系：对称性也与变换密切相关。
在几何变换中，对称性可以帮助我们理解和推导出一些重要的变换规律。
例如，镜面对称的图形在平移变换下保持不变，而旋转对称的图形在旋转变换下保持不变。
对称性的了解可以为几何变换的研究和应用提供指导和便利。
二、对称性在代数中的应用1. 对称函数的研究：对称性在代数中有广泛的应用。
对称函数是指满足函数值与变量置换后仍不变的函数。
通过研究对称函数，我们可以发现一些重要的性质和规律。
对称函数的研究在多项式、对称群、线性代数等领域都有重要应用。
2. 对称性与方程的解：对称性还可以帮助我们解决一些复杂的方程。
通过观察方程的对称性，我们可以减少计算的复杂度并找到方程的特殊解。
对称性的运用可以在代数方程的解题中起到关键作用，节约时间和提高效率。
三、对称性在微积分中的应用1. 对称函数的积分：对称性在微积分中也被广泛应用。
对称函数的积分具有一些特殊的性质。
例如，偶函数的定积分在对称区间上是对称的，而奇函数的定积分在对称区间上为零。
通过利用对称性，我们可以简化对称函数的积分计算，并得到更简洁的结果。
2. 对称性与微分方程：对称性还可以帮助我们解决微分方程。
通过观察微分方程的对称性，我们可以将其转化为更简单的形式，从而得到解的特殊形式。
对称性的运用可以帮助我们解决一些复杂的微分方程，为实际问题的建模和求解提供有效的工具。
对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 (2)
的证明相仿， 只要注意到定理 ３ 中△ｘｉ＝－ △ｘｉ′， 定理 ４ 中△ｙｉ＝－ △ｙｉ′， 定理 ５ 中△ｘｉ＝△ｘｉ′， △ｙｉ＝△ｙｉ′即可， 详细证明从略．
定 理 ３ 设 Ｐ（ｘ，ｙ）在 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 平
面曲线 Ｌ 上可积， Ｌ 关于直线 ｙ＝ｂ 对称．若Ｐ（ｘ，ｙ）关于
收稿日期： ２００７－ ０６－ １２ 作者简介： 程希旺， 男， 江苏淮阴人， 淮阴师范学院讲师， 硕士， 主要从事基础数学研究．
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程希旺·对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
点， 则
ｎ
! # ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）△ｓｉ＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）△ｓｉ′］
Ｌ
!→０ ｉ ＝ １
文［１］－ ［４］将 对 称 区 间 上 奇（偶）函 数 的 定 积 分 计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上， 得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法， 使得一些 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 得 到 简 化 ， 但 文［１］－ ［４］ 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形．本文将文［１］－ ［４］的结果进一步推 广， 得到一些更为一般性的结果， 将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便． １ 预备知识
ｎ
# ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）］△ｓｉ !→０ ｉ ＝ １
当ｆ（ｘ，ｙ）关于直线 ｌ 为奇函数时， ｆ（!ｉ′， "ｉ′）＝－ ｆ（!ｉ， "ｉ）， 有
!ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０； 当ｆ（ｘ，ｙ）关 于 直 线 ｌ 为 偶 函 数 时 ， ｆ（!ｉ′， Ｌ
对称性的理论研究
对称性的理论研究对称性在自然界中无处不在。
在物理学中，对称性在量子力学和相对论中发挥着关键作用。
在化学和生物学中，对称性可以解释和预测分子的性质和反应。
在数学中，对称性是一种基本的抽象概念，涉及到代数、几何和拓扑。
在这篇文章中，我们将探讨对称性的理论研究，包括它的定义、分类、应用和未来的发展方向。
定义对称性指的是一个对象在某种变换下保持不变的性质。
例如，如果我们将一个正方形沿着其中一条对角线旋转90度，它会变成另一个正方形，但是它们具有相同的形状和大小。
这是因为正方形具有对角线对称性。
在数学中，对称性可以表示为一个变换群，该群包含所有保持对象不变的变换。
例如，正方形具有一个四元群，其中包含四个旋转操作和四个镜像操作。
分类对称性可以分为离散对称性和连续对称性。
离散对称性指的是对象在变换下只有有限个等价状态。
例如，正方形的四个旋转操作和四个镜像操作就是离散对称性。
相比之下，连续对称性指的是对象在变换下可以有无限多个等价状态。
例如，一个圆的任何旋转操作都可以产生一个等价的圆形，这就是连续对称性。
应用对称性在物理学、化学和生物学中有广泛的应用。
在物理学中，对称性可以描述物质的基本性质，例如电荷、自旋和粒子种类。
它也可以用来预测新的粒子发现的可能性。
在化学中，对称性可以帮助我们理解分子的结构和反应性质。
例如，分子可以具有不同的对称性，从而影响其电性、极性和光谱特性。
在生物学中，对称性可以解释生命体的形态和运动方式。
例如，动物的对称性可以帮助我们识别它们的种类和分类。
未来的发展方向对称性的理论研究是数学、物理学和化学等学科的重要领域之一。
未来的研究方向包括以下几个方面：1.对称性的分类和性质的研究。
更深入的理解对称性的性质可以促进它们在实际应用中的应用。
2.对称性在物理和化学中的应用。
对称性可以用来解释和预测新的物理和化学现象，例如自旋液和拓扑材料。
3.对称性的计算方法的研究。
针对不同的对称性，需要开发新的计算方法和算法来处理和解决复杂的问题。
对称性在物理学中的应用与展望
对称性在物理学中的应用与展望对称性是自然界中非常重要的一个概念，在物理学中广泛应用于各个领域。
它可以帮助我们理解自然界中发生的各种现象，从而提供了解自然的一种方式。
本文将从对称性的定义、应用和未来展望等方面进行讨论。
定义对称性指的是某个物理系统在某些变换下不发生变化的性质。
这里所说的变换可以是空间上的平移、旋转、反演等操作，也可以是时间上的平移、反演等操作。
如果一个物理系统在进行某种变换后，可以通过其它操作得到原来的状态，我们就称这种变换具有对称性。
例如，在空间上进行平移、旋转和镜像都是对称变换，在时间上进行平移和反演也是对称变换。
应用对称性在物理学中的应用非常广泛，下面将以几个例子进行说明。
1. 不可压缩流体中的不可压缩性不可压缩性是不可压缩流体的一种特殊性质。
如果一个物体在一个不可压缩流体里面移动，那么不可压缩性就需要进行保留。
这就需要在运用一些数学运算中考虑对称性。
具体地说，如果将不可压缩流体图像进行旋转或镜像，那么整个流体的压力场不会发生改变。
这种对称性的保持是基于欧拉方程，通过欧拉方程来计算压力和速度的变化。
2. 常用的对称群对称群是指拥有对称性的一组操作所组成的群。
常见的对称群有旋转群、平移群和点群等。
旋转群是指将物体按照顺时针或逆时针方向旋转，使物体保持不变的操作而成的群。
平移群是指将物体平移一定的距离后，使其变化等价的族。
点群是指通过保持物体内部的某些点位置不变，而进行的旋转和/或镜像等操作的群。
3. 粒子物理中的CPT对称性粒子物理中，CPT（荷共轭－宇称翻转－时间反演）对称性是一种很重要的对称性。
这种对称性将一个场和反场（如电荷和反电荷）之间做一个交替并使场保持不变，然后它对场的自己相反的运动进行时间反演。
由于CPT对称性的存在，可以相对轻松地从实验数据中推导出一些被熟知的粒子性质，如质量和静止时间等。
4. 对称性破缺对称性破缺指的是当某个系统的对称性被破坏时，物理系统的性质发生了改变。
对称性原理在科研中的应用
对称性原理在科研中的应用1. 引言对称性一直是科学领域中一个重要的研究方向和概念。
在物理、化学以及生物学等领域中，对称性原理被广泛应用于科研工作中。
本文将探讨对称性原理在科研中的应用，并为读者提供一些实例来说明对称性对科学研究的重要性。
2. 对称性的基本概念对称性是指某个系统在某种变换下保持不变的性质。
根据变换的不同，对称性可以分为平移对称性、旋转对称性、反射对称性等。
对称性的研究可以帮助科学家理解系统的结构、性质以及动力学行为。
在科研中，对称性常常被用来简化问题、提取规律以及预测新的现象。
3. 对称性在物理学中的应用在物理学中，对称性原理是研究物理定律的基础。
例如，洛伦兹对称性和规范对称性被广泛应用于研究电磁场和相对论物理。
对称性可以帮助我们推导出守恒定律，并解释各种物理现象。
许多物理定律和理论（如量子力学和统计力学）都基于对称性原则构建。
在粒子物理学中，对称性也起着至关重要的作用。
对称性可以帮助科学家理解粒子的性质和相互作用方式。
例如，夸克和反夸克之间的对称性关系解释了强相互作用的一些现象。
对称性还与量子态的性质密切相关，例如费米子和玻色子的对称性决定了它们的统计行为。
4. 对称性在化学中的应用对称性在化学中的应用也十分广泛。
化学领域中的分子结构以及反应机理的研究都与对称性密切相关。
对称性可以帮助化学家预测分子的物理和化学性质，以及分子之间的相互作用方式。
对称性分析还可以用来简化化学计算和实验设计。
例如，在合成有机分子时，合成路线的设计可以通过对称性分析来缩短反应步骤，提高合成效率。
此外，对称性的研究还有助于开发新型催化剂和材料，提高化学反应的选择性和活性。
5. 对称性在生物学中的应用对称性在生物学中的应用主要体现在对生物大分子的研究中。
例如，蛋白质的结构和功能往往与其对称性密切相关。
科学家利用对称性分析可以预测蛋白质的结构，揭示其功能和相互作用方式。
对称性还被广泛应用于分子生物学和遗传学领域。
对称思想在几何中的应用研究毕业论文
对称思想在几何中的应用研究毕业论文目录引言 (1)一对称思想的意义 (1)二几何的对称性 (1)（一）几何公式的对称性 (2)（二）几何图形的对称性 (2)（三）对称的广泛应用 (2)三对称思想在初等数学中的应用 (3)（一）对称思想在平面解析几何中的应用 (3)（二）对称思想在立体几何中的应用 (11)四对称思想在高等数学中的应用 (12)（一）对称思想在射影几何中的应用 (12)（二）对称思想在微分学中的应用 (15)（三）对称思想在积分学中的应用 (16)五对称思想的进一步探讨 (18)（一）数学思想方法的探讨 (18)（二）对称思想方法对教学的影响 (19)1 对称思想方法对学生的影响 (19)2 对称思想方法对教师的影响 (19)参考文献 (20)后记 (21)引言从中国数学发展的历程和数学本身的特征看，中国数学表现出对称性、统一性等科学美学特征。
中国数学美的思想方法对数学、数学教育的发展起到过积极作用，在今后的科学研究、数学教育中还会起到一定的启迪作用。
数学中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法，充分挖掘教材中的对称思想，具有重要的理论意义和现实意义，特别具有审美教育的价值。
一对称思想的意义对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。
哥白尼说：“在这种有条不紊的安排之下，宇宙中存在着奇妙的对称······”对称是广义的，字母的对称，结构的对称，图形的对称，解法的对称······，无论是哪种对称都是美好的。
数学对称包括狭义的对称、常义的对称和泛对称。
狭义的对称又包括代数对称和几何对称。
对称思想是数学思想中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。
笛卡儿创建的解析几何学可以说是对称思想在数学领域成功的运用。
浅谈对称性在数学中的应用
聊城大学毕业论文题目: 浅谈对称性在数学中的应用专业代码: 070101作者姓名:2010 年5 月20 日第一章引言 (1)第二章研究对称性的意义 (1)第三章对称性在初等数学中的应用 (2)3.1 对称性在几何中的应用 (2)3.2 对称性在方程中的应用 (3)3.3 对称性在三角中的应用 (4)第四章对称性在高等数学中的应用 (6)4.1 对称性在求导中的应用 (6)4.2 对称性在积分中的应用 (7)第五章结束语 (16)参考文献 (17)致谢 (18)对称性在数学解题中有广泛应用, 在解题过程中, 充分考虑到对称性的因素可以起到事半功倍的效果.在几何、方程、微分、积分中, 许多问题的求解都采用了对称性原理, 对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、x、y 轴对称等.在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程.通过对初、高等数学的研究, 给出了利用对称性求解初等数学中的几何、方程等问题以及高等数学中的微分、积分问题的基本思路与方法.关键词对称性；函数；积分；应用Symmetry in solving mathematical problems are widely used in problem-solving process, fully taking into account the factors the symmetry of the multiplier effect. In geometry, differential and integral equations, in the solution of the problem, many are symmetry principle, for a unary function, symmetric are usually in the form of a strange, even function, its image on the origin, x, y axis symmetry, etc. In solving some of the problems of higher mathematics, using symmetry tend to simplify the process of solving problems through the initial research, advanced mathematics, gives a solution in elementary mathematics using symmetry of geometry, equations, and the differential in higher mathematics, integral problem of method.Key words Symmetry; function; application; integration浅谈对称性在数学中的应用第一章引言作为人类认知世界的结晶, 对称性与人类的文明历史一样久远, 它普适于人类生活的各个方面. 我们的先人首先从认识自然界的形象对称开始, 如树叶的左右对称、月圆时的中轴对称等, 并把这种对称外化为人工自然当中. 如此, 对称性的触角自古代开始就向自然科学中延伸. 著名的古希腊数学家欧几里德在其《几何原本》中就研究几何图形的对称性. 近代的数学还进一步创立了关于对称性的数学理论——群论. 对称是数学美的一种重要表现形式, 它不仅给我们以美感, 更重要的它是一种思想方法, 它既是思考问题的出发点, 又是探索解题思路的精良武器, 在简化解题过程、进行数学命题推广等方面也具有独特的作用, 用对称性学习有关数学知识, 可起到事半功倍的效果. 本文主要介绍了利用对称性求解初等数学中的几何、方程等问题以及利用对称性求解高等数学中的各种积分问题的基本解题思路与方法, 重点研究了对称性在重积分中的应用.第二章研究对称性的意义对称, 在现代汉语词典中解释为图形或物体对某个点、直线或平面而言, 在大小、形状和排列上具有一一对应关系.数学中的对称主要有几何对称和代数对称.几何对称是一种位置对称, 从变换的角度而言, 平面图形有轴对称、中心对称和平移对称三种对称形式, 代数对称通常有二元对称和多元轮换对称共扼、对偶、配对也可看作是一种广义的对称对偶是一种深层次的对称, 其对称性不表现在形状上, 而表现在某种关系上.对称的概念在数学中有广泛而重要的应用. 对于一元函数而言对称通常表现为奇、偶函数, 其图象关于原点、x、y轴对称等. 几何中的对称主要是轴对称和中心对称. 轴对称: 任一对对应点的连线段被对称轴垂直平分；中心对称: 任一对对应点的连线段过对称中心, 且被中心平分, 几何中的对称性是极为普遍的, 并有相对的固定规律. 在求解高等数学的某些问题时, 利用对称性往往能简化解题过程. 如果能在分析问题、处理问题时有意识地利用事物的对称性, 并使人们的思维过程与之相适应, 不但可以更好的把握事物的本质, 还可以使思维和推理过程更简洁, 更快地打开思路, 并能快捷地解决问题.第三章对称性在初等数学中的应用对称性在初等数学中有着广泛的应用, 在中学数学中常有对称现象, 既有几何中的轴对称、中心对称等空间对称, 又有代数中的周期节奏和旋律的时间对称.在学习过程中, 挖掘出数学问题中的关系结构的和谐性与对称性, 能简化运算, 优化思路.下面谈谈对称在中学数学中的具体运用.3.1 对称性在几何中的应用在几何方面, 对称性较为直观, 通过画出几何图形就能容易地发现具有对称性的对象. 球、圆、双曲线、抛物线等的对称性是很直观的, 利用它们的对称性可以解决许多几何问题.例1如图, 一个圆柱被一个平面所截, 截面椭圆的长轴长为5, 短轴长为4, 被截后的几何体最短母线长为2, 求这个几何体的体积.分析 该几何体既不是圆柱，也不是圆台, 更不是圆锥, 我们直接计算其体积是不行的. 利用对称原理, 在其上面补一个完全相同的几何体, 成为一个完整的圆柱.解 由条件, 圆柱的底面直径为截面椭圆的短轴长4, 又长轴长为5,34522=-=CE .所以5=BC . 补成圆柱的母线长为7.所求几何体的体积为ππ1472212=⋅⋅⋅=V . 在几何方面对称性较为直观, 因此就更能理解与留意, 而在代数方面就不那么直观, 而是较为抽象, 相对也就更不关心代数式的对称性, 其实对称性在代数上的应用也非常广泛, 往往能够化繁为简, 化难为易.3.2 对称性在方程中的应用在解方程时, 有时若按常规方法去解, 则显得较为复杂, 这时可考虑添加因式, 用对称思想去求解.例2 已知βα,是方程032=--X X 的两根, 求βα2的值. 分析 因为βα2不是关于βα,的对称式, 无法直接使用韦达定理, 但我们只需添加因式αβ2, 则310]3))[((222-=-++=+αβαββαβααββα； 3134]))[((222±=-+-=-αβαββαβααββα. 两式都是关于βα,的对称式, 由此可得313252±-=βα. 3.3 对称性在三角中的应用例3 已知1sin sin cos cos 2424=+βαβα, 求证1sin sin cos cos 2424=+αβαβ. 分析 观察题目的条件和结论, 可以看出他们之间结构上的对称性： α2cos 与β2cos 对称, α2sin 与β2sin 对称, 有这种对称性的启发, 我们猜想βα22sin sin =, βα22cos cos =. 为此, 我们设.sin ,sin 22βα==y x )1,0(.∈y x , 原式变为： 11)1(22=+--yx y x . （1） 有：),1()1()1(22y y y x x y -=-+-化简得： y x =.把（1）式中的x 与y 互换得： 11)1(22=+--xy x y , 即 1sin sin cos cos 2424=+αβαβ. 例4 在锐角△ABC 中, 求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++.分析 左、右两边均是关于C B A ,,的完全对称式, 只需比较B A sin sin +和B A cos cos +.证 因为,2cos 2sin 2sin sin B A B A B A -+=+, 2cos 2cos2cos cos B A B A B A -+=+. 且根据条件有.2,,0π<<C B A π=++C B A . 若42π≤+B A , 则2π≤+B A . 那么,2π≥C 矛盾. 所以224ππ<+<B A . 从而, 2cos 2sin B A B A +>+. 又因为222ππ<-<-B A , 所以02cos >-B A . 从而, B A B A cos cos sin sin +>+.同理C B C B cos cos sin sin +>+,A C A C cos cos sin sin +>+.三式分别相加并除2, 即可得到要证的不等式.以上介绍了对称性在求解几何、方程、三角中的应用. 对称是初等数学中的常见现象, 学习过程中, 抓住对称关系可优化问题结构, 通过自己的不断摸索与实践, 逐步掌握对称的方法, 以便熟练运用对称去解决各类问题.第四章 对称性在高等数学中的应用对称性在高等数学领域有相当重要的作用, 我们可以根据所研究的数学对象本身的对称性解决问题, 就微积分部分, 许多问题用“正规”的方法解决十分麻烦, 但根据函数奇偶性、积分区域、函数图象的对称性便可以简化运算.4.1 对称性在求导中的应用定义1 若()n x x x f 21,中任意两个变元对换而函数不变, 则称()n x x x f 21,是对称函数.定理1 若),(y x f 是偏导数存在的对称函数, 则yx y f x y x f ∂∂=∂∂),(),(. 定理1可以推广到高阶偏导数的情况.定理2 若函数),(y x f 的偏导数存在, 且),(),(x y f y x f -=, 则xx y f y y x f ∂∂-=∂∂),(),(. 定义2 如果函数),,(z y x f 在轮换：x 换y , y 换z , z 换x 下不变, 则称()z y x f ,,为三元轮换对称函数.定理3 若),,(z y x f u =是一个三元轮换对称函数, 则它对任意变元所得的n 阶偏导数的结果都可以经轮换x z z y y x →→→,,直接转换为其他变元的n 阶偏导数.例5 设y x arctg y x y arctg x z 22+=, 求2222,,,y z x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂.解 由于函数z 对于y x ,具有对称性, 且,)()3(22,)(222222222222y x y x xy x y arctg x z y x x y y x y xarctg x z ++-=∂∂+-+=∂∂ 故22222222222)()3(22,)(2y x x y xy y x arctg y z y x y x x y x yarctg y z ++-=∂∂+-+=∂∂. 有些函数在对换变量后与原来函数差别很小（如仅差一个负号）, 我们称之为“潜在对称”性函数. “潜在对称”性函数的求导, 对具备“潜在对称”性的函数, 视具体情况简化求导.例6 设y x x y y x y x F sin sin 1cos cos ),(++-=, 求2222,,,yF x F y F x F ∂∂∂∂∂∂∂∂.分析 因为),(),(x y F y x F -=, 所以),(y x F 不具有对称性. 但考虑到仅差一个负号, 于是当),(),(y x f xy x F =∂∂存在时, ),()],([),(x y f yx y F x y x F -=∂-∂=∂∂. 可见, 将xF∂∂中y x ,互换后添一负号可得到y F ∂∂. 也可用类似方法得到二阶导数.4.2 对称性在积分中的应用 4.2.1 对称性在定积分中的应用 定理4 设函数)(x f 在],[a a -上连续, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰-.)(0)(,)(2)(为奇函数，若为偶函数；若x f x f dx x f dx x f aoaa如果我们放宽条件, 只要求积分区间对称, 则可将定理4推广到：定理5 设)(),(x g x f 在],[a a -上连续， 则⎪⎩⎪⎨⎧---+=⎰⎰⎰-.)(,)]()()[()(,)]()()[()()(0为奇函数为偶函数；x g dx x f x f x g x g dx x f x f x g dx x g x f a a aa定理6 若⎰+∞)(dx x f 存在, 则⎰⎰∞+∞-+∞⎪⎩⎪⎨⎧=.)(0)(,)(2)(0为奇函数，为偶函数；x f x f dx x f dx x f定理7 设],[)(c a c a C x f +-∈, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰++-).()2(,)(2);()2(,0)(x f x a f dx x f x f x a f dx x f ca aca ca 例7 求积分⎰---=22222)(dx x x x I .解 21222222222I I dx x x dx x x I +=---=⎰⎰--.因为0221222=--I x x x x 为偶函数，所以为奇函数，. 从而,⎰--==2022222dx x x I I .令t x sin 2=, 则⎰-=--=20222)sin 1(sin 8ππdt t t I .例8 计算⎰---5.05.0211dx xx .解 ⎰⎰⎰------=--5.05.05.05.05.05.022211111dx xx dx x dx xx⎰--=5.0020112dx x3][arcsin 25.00π==x .例9 求⎰+π2cos 1sin dx xxx . 解 令u x +=2π, 则原式⎰⎰⎰---+++=++=222222222sin 1cos 2sin 1cos sin 1cos )2(ππππππππdu u u du u u u du u u u ⎰++=22sin 1cos 0ππdu uu20]sin arctan [ππu = 42π=.例10 计算⎰--+4421cos ππdx e xx .解 因积分区间关于原点对称, 可用公式⎰⎰--+=a aadx x f x f dx x f 0)]()([)(, 于是, 原式=⎰+++-4022)1cos 1cos (πdx exe x x x ⎰+++=-402)1111(cos πdx e e x xx ⎰=402cos πxdx)2(81+=π.4.2.2 对称性在重积分中的应用关于对称性在重积分中有如下定理： 定理8 设),(y x f 在有界闭区域D 上连续,（1）若D 关于y 轴对称, 对于任意D y x ∈),(, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰.),(),(,),(2),(),(,0),(1时当时；当y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f D D其中}0,,{D 1≥∈=x D y x ）（. （2）若D 关于x 轴对称, 对于任意D y x ∈),(, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰.),(),(,),(2),(),(,0),(2时当时；当y x f y x f dxdy y x f y x f y x f dxdy y x f D D其中}0,,{D 2≥∈=y D y x ）（. 例11 计算⎰⎰==+Dy x y D d y x 4,:,)(22σ.解 y x y x f +=2),(是关于x 的偶函数, 积分区域D 关于y 轴对称, 由对称性得到⎰⎰⎰⎰+=+DD d y x d y x 1)(2)(22σσ ⎰⎰+=42202)(2xdy y x dx15234=. 例12 计算⎰⎰++=Ddxdy y x I )1(22, 其中D 为矩形22,11≤≤-≤≤-y x .解 容易看出积分中y x ,对称, 有⎰⎰++=20221)1(4dy y x dx I⎰++=102022|)31(4dx y y y x⎰+=102)3142(4dx x102|]31432[4x x +=364=. 例13 计算1:,≤+=⎰⎰y x D dxdy xy I D.解 积分中y x ,对称, 由对称性可知dxdy xy dxdy xy I D D⎰⎰⎰⎰==14dy xy dx x⎰⎰-=1010461=. 例14 证明不等式⎰⎰≤+≤Dd x y 2)sin (cos 122σ. 其中D 是正方形域：10,10≤≤≤≤y x .证 因为积分区域D 关于直线x y =对称, 所以σσd x d y DD⎰⎰⎰⎰=22cos cos , 从而有.)4sin(2)sin (cos )sin (cos 22222⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+DDDd x d x x d x y σπσσ因为102≤≤x , 所以1)4sin(222≤+≤πx . 从而 2)4sin(212≤+≤πx .又D 的面积为1, 所以⎰⎰≤+≤Dd x y 2)sin (cos 122σ.在进行二重积分计算时, 善于观察被积函数和积分区域的特点, 注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性, 恰当地利用对称性方法解题, 可以避免繁琐计算, 使二重积分问题的解答大大简化.定理9 设),,(z y x f 在有界闭区域Q 上连续,（1）若Q 关于yoz 坐标面对称, 对于任意Q z y x ∈),,(, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.),,(),,(,),,(2;),,(),,(,0),,(1时当时当z y x f z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f dxdydz z y x f QQ其中 }0,),,{(1≥∈=x Q z y x Q .（2）若Q 关于xoz 坐标面对称, 对于任意Q z y x ∈),,(, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.),,(),,(,),,(2;),,(),,(,0),,(2时当时当z y x f z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f dxdydz z y x f Q Q其中 }0,),,{(2≥∈=y Q z y x Q .（3）若Q 关于xoy 坐标面对称, 对于任意Q z y x ∈),,(, 则⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.),,(),,(,),,(2;),,(),,(,0),,(3时当时当z y x f z y x f dxdydz z y x f z y x f z y x f dxdydz z y x f Q Q其中 }0,),,{(3≥∈=z Q z y x Q .例15 计算三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x z ),,ln(222, 其中Ω是由平面132=-+zy x 与三个坐标面所围成的四面体.解 积分区域Ω关于xoy 面对称, 被积函数),,ln(222z y x z 是z 的奇函数, 所以0),,ln(222=⎰⎰⎰Ωdv z y xz .例16 计算⎰⎰⎰Ω+-=dxdydz xy xy y x I )33(23.其中Ω是由球面1)2()1()1(222=-+-+-z y x 所围成的空间闭区域.解 因为积分区域关于平面x y =对称, 故有⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=ydxdydz x dxdydz xy 22,所以dxdydz xy y x y x I ⎰⎰⎰Ω+-=)33(23dxdydz y x y ⎰⎰⎰Ω+-+-=]1)1()1([3.因为区域Ω关于平面1=x 对称且函数3)1(-x y 是相应于Ω的奇函数, 又Ω也关于平面1=y 对称且函数1-y 是相应于Ω的奇函数, 于是有π34==⎰⎰⎰Ωdxdydz I .例17 算⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y y x )(32, 其中.0,:222≥≤++Ωz R z y x 解 因为Ω关于yoz 坐标面, zox 坐标面对称, 由定理9得.41sin cos 44)(4032020321R drr d d zdxdydz dxdydz z y y x Rπφφφθππ===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ重积分的积分区域比较复杂, 在运用对称性时, 必须兼顾被积函数和积分区域两个方面.4.2.3 对称性在曲线积分中的应用曲线积分是定积分的推广, 它与在对称区间上的奇偶函数定积分有类似的性质.定理10 设),(y x f 在光滑有界曲线弧L 上连续, （1）若L 关于y 轴对称, 则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=LL y x f y x f ds y x f y x f y x f ds y x f 1.),(),(,),(2;),(),(,0),(时当时当其中}0,),{(1≥∈=x L y x L .（2）若L 关于x 轴对称, 则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=LL y x f y x f ds y x f y x f y x f ds y x f 2.),(),(,),(2;),(),(,0),(时当时当 其中}0,),{(2≥∈=x L y x L .用对弧长的曲线积分定义容易证明.例18 计算ds y x x L⎰+)4(23, 其中L 为折线段1=+y x 所围成区域的整个边界.解 由于曲线L 关于y 轴对称, 而34x 是关于x 的奇函数, 故043=⎰ds x L.又L 关于x 轴对称, 而y x 2是关于y 的奇函数, 故02=⎰ds y x L.从而0)4(23=+⎰ds y x x L.在曲线积分中, 常用轮换对称性化简曲线积分. 所谓轮换对称性, 即积分曲线方程中的变量轮换位置, 方程不变.例19 计算ds x ⎰Γ2, 其中Γ为⎩⎨⎧=++=++02222z y x R z y x .解 由于积分曲线方程中的变量z y x ,,具有轮换对称性, 即三个变量轮换位置, 方程不变, 而且对弧长的曲线积分与积分曲线的方向无关, 故有ds z ds y ds x ⎰⎰⎰ΓΓΓ==222 .3231)(3132222xR ds R ds z y x ==++=⎰⎰ΓΓ4.2.4 对称性在曲面积分中的应用下述结论以一种情形为例, 其它类型可以类推（1）设分片光滑曲面∑关于xoy 平面对称, 而),,(z y x f 是∑上的连续函数, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑.),,(,0;),,(,),,(2),,(1的奇函数为关于若的偶函数为关于若z z y x f z z y x f ds z y x f ds z y x f (其中1∑为∑在xoy 平面上侧的部分).例20 求ds z xy )(2⎰⎰∑+, 其中∑为半球面228y x z --=位于闭区域4:22≤+y x D 内的部分.解 ∑关于坐标面0=x 和0=y 对称, 而xy 是关于变量x , 也是关于变量y 的奇函数, 所以0=⎰⎰∑ds xy .从而,原式=ds z ⎰⎰∑2=dxdy yx y x D2222822)8(--⋅--⎰⎰).24(3328222220-=-=⎰⎰πθπdrr r d（2）设分片光滑的闭曲面∑关于xoy 平面对称, 法方向取外侧, 而),,(z y x f 是∑上的连续函数, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰⎰⎰∑∑.),,(0;),,(,),,(2),,(1的偶函数为关于，若的奇函数为关于若z z y x f z z y x f dxdy z y x f dxdy z y x f (其中1∑为∑在xoy 平面上侧的部分).例21 求ds z y x ⎰⎰∑++)cos cos cos (222γβα,其中∑为锥面)cos ,cos ,(cos ),0(222γβα=≤≤=+n h z z y x 为∑的朝下的单位法向量.解 原式=⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222.由于∑既关于xoy 平面对称, 也关于yoz 平面对称, 而2x 为x 的偶函数, 2y为y 的偶函数, 所以0,022==⎰⎰⎰⎰∑∑dzdx y dydz x . 原式⎰⎰⎰⎰∑∑+-==dxdy y x dxdy z )(222.24320h drr d hπθπ-=-=⎰⎰以上介绍了对称性在微分、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分中的应用, 在应用对称性求积分时应该注意：必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用； 对坐标的曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 尚需考虑积分路线的方向和曲面的侧, 需慎重； 有些问题用轮换对称性也可得到简便的解答.第五章结束语对称思想是一种重要的数学思想, 利用对称关系解题也是常用的一种解题技巧. 用对称性解题, 不仅可以提高解题的速度, 增大正确率、更重要的是增强学生学习数学的兴趣, 反映数学的内在美, 提高学生数学素质, 意义重大. 开发问题中的对称关系, 往往能使问题得到简捷的解答. 本文初步讨论对称性及其在几何、方程、三角、微积分中的应用, 给出了各部分关于对称性的定理, 并应用定理解题. 由于对称性普遍存在于数学各领域中且具有非常丰富的内容, 因此, 对称在数学研究中的重要作用, 还有待于进一步的挖掘、开发、推广、利用, 从以上内容可以看出, 在求解多元函数的积分问题中, 对称性的利用是极为有用的, 自觉地注意到问题的对称性并巧妙地用它去解答问题, 对于学好多元函数的积分学, 从而更进一步学好高等数学是十分重要的.参考文献[1]数学分析(上、下册). 华中师范大学数学系编. 武汉：华中师范大学出版社. 2000.[2]高中数学（必修4）. 北京：人民教育出版社. 2008.[3]张开瑜. 对称美在数学中的应用. 中学数学教学. 1999, 6.[4]蔺守臣, 蔡恒录. 对称思想及解题. 天水师专学报（教育科学版）. 2000(20).[5]朱根林, 孟庆麟. 对称性原则在高等数学中的应用. 宿州学院学报. 2009, 4.[6]郭环. 对称性在积分中的应用. 山东轻工业学院学报. 2001, 6.[7]孔令华. 对称性在数学中的应用. 赣南师范学院学报. 2002(6).[8]胡晓明. 对称性在数学解题中的应用. 中国校外教育. 2009, 8.[9]于频. 对称性在微积分应用中的教学归纳. 重庆工学院学报. 2003, 10.[10]王伟平. 对称在高等数学解题中的应用. 济南交通高等专科学校学报. 2001, 3.[11]张振强. 对称性在二重积分计算中的应用. 南宁师范高等专科学校学报. 2002.[12]梁应仙, 辛兰芬. 对称性在三重积分计算中的应用. 沈阳大学学报. 2003, 12.[13]文武. 对称性在重积分中的应用. 川东学刊（自然科学版）. 1997, 4.[14]刘维龙, 邵益新. 曲线积分计算中奇偶性、对称性的应用. 无锡教育学院学报. 1998.[15]于信, 李秀珍. 对称性在多元函数积分中的应用. 山东商业职业技术学院学报. 2004, 12.致谢首先我非常感谢刘利英老师在我的论文创作期间, 对我的耐心指导并帮我及时纠正了论文的一些不足之处, 给我提出了宝贵的意见, 使我在写本文的过程中不断的改进, 为论文的成功完成奠定了基础. 对于本论题的完成, 老师花费了不少心血, 她丰富的授课内容拓宽了我的视野, 严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样, 她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪, 让我顺利的完成这篇文章. 此外, 在完成这篇文章的过程中, 我还得到了许多同学的热心帮助. 在此, 我对给予过我帮助的老师和同学表示衷心地感谢.。
对称矩阵的性质及应用
对称矩阵的性质及应用班级：数学1403班学号：20142681 姓名：张庭奥内容摘要：本文主要描述对称矩阵的定义，研究对称矩阵的性质及应用.包括对称矩阵的基本性质，对称矩阵的对角化，对称矩阵的正定性以及对称矩阵在二次型，线性变换和欧式空间问题中的应用等。
关键词：对称矩阵；对角化；正定性；应用1.导言矩阵是高等数学中一个极其重要的应用广泛的概念，如线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程，二次型的正定性与它的矩阵的正定性相对应，甚至有些性质完全不同的表面上完全没有联系的问题，归结成矩阵问题后却是相同的。
这就使矩阵成为代数特别是线性代数的一个主要研究对象。
作为矩阵的一种特殊类型，对称矩阵有很多特殊性质，是研究二次型，线性空间和线性变换问题的有利工具，对称矩阵的对角化，正定性的判别等是高等数学中的重难点。
本文就此浅谈一下对称矩阵的各种性质和应用。
2.具体内容部分2.1对称矩阵的基本性质在学习中我们发现，对称矩阵中的特殊类型如：对角阵，实对称矩阵以及反对称矩阵经常出现，以下首先介绍一些基本概念。
2.1.1 对称矩阵的定义定义1 设矩阵()ij s n A a ⨯=，记()T ji n s A a ⨯=为矩阵的转置.若矩阵A 满足条件T A A =，则称A 为对称矩阵.由定义知：（1）对称矩阵一定是方阵（2）位于主对角线对称位置上的元素必对应相等。
即ij ji a a =，对任意i 、j 都成立。
对称矩阵一定形如111211222212n n nnnn a a a aa a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭定义2 形式为12000000l a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭的矩阵，其中i a 是数(1,2,,)i l =，通常称为对角矩阵定义3 若对称矩阵A 的每一个元素都是实数，则称A 为实对称矩阵。
定义4 若矩阵A 满足T A A =-，则称A 为反对称矩阵。
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基于矩阵的对称性在空间曲面的研究
摘要：矩阵有着悠久的发展历史，它的概念从不同的领域和思想中发展而来。
其中矩阵对称性质在工业和生产业中有着更为突出的应用研究。
矩阵的对称性质可以说是矩阵的深入研究，且在空间曲面有更重要的研究。
基于这类问题，我们需要应用矩阵的正交变换，正定性和特征值等性质，进一步揭示矩阵和二次曲面之间的联系。
同时通过矩阵的对称性在空间曲面的探究，可以更好的运用到实际工业和生产业中中。
关键词：矩阵对称性；空间二次曲面；正交变换；工业和生产业
Abstract: matrix has a long history of development, and its concept has developed from different fields and ideas. Among them, the applied research of symmetry property of the matrix is more outstanding in industry and production.. The symmetry property of the matrix can be taken as the deep study of the matrix and it has very important research in the space curved surface.On account of this kind of problem , we need to apply orthogonal transformation matrix, qualitative and characteristic value to further reveal the connection between the matrix and the quadric surface. At the same time, by the research of symmetry matrix in space curved surface , matrix can be better used in actual industrial and manufacturing. Keywords: Matrix symmetry;Space quadric; Orthogonal transformation; Industry and production.
目录
摘要 (I)
Abstract (I)
目录 ................................................................ I I １引言 .. (1)
1.1实对称矩阵定义 (1)
1.2二次曲面 (1)
2合同矩阵对应的曲面方程所表示的曲面形状 (1)
2.1合同矩阵相关性质 (1)
2.2 合同矩阵对应的二次型所表示的曲线的探究 (2)
2.3合同矩阵对应二次型所表示的曲面形状的探究 (3)
2.4在鞋的模型设计中应用 (3)
3 正定性在空间曲面的探究 (3)
4 二次曲面在正交变换下的意义 (7)
4.1 二次曲线的正交变换 (7)
给出正交矩阵， (7)
5 二次曲面的在实际工程中的应用 (8)
6 总结 (10)
１ 引言
1.1 实对称矩阵定义
定义 如果A 是n 阶矩阵，其各个元素都为实数，矩阵A 的转置等于其本身，
则称A 为实对称矩阵。
定义 n n
A R
⨯∈，若T
A A =，对任意的0,n X X R ≠∈ ，都有0T X AX >，则称
A 为对称正定矩阵。
1.2 二次曲面
单叶双曲面 ,
2.1 合同矩阵相关性质
设对称矩阵对应的二次型为12(,,...)T
n f x x x X AX =，
存在可逆线性变换X CY =，
使上述二次型变换为12(,,...)T
n f x x x Y BY =，
其中C 为可逆矩阵，T
B C AC =，
A 2222221
x y z a b c
+-=
故存在若干个初等方阵12,,...n P P P ，使B 对角化得12(,,...)n B diag b b b =。
因此任何对称矩阵A 都可以进行一系列初等变换化简为对角矩阵B ， 且A 与B 合同，反之，若A 与B 合同，
则存在可逆矩阵C ，使A 与B 可以相互转换,即T
B C AC =。
2.2 合同矩阵对应的二次型所表示的曲线的探究
证 ：对于二次曲线的形状，由其对应的二次型的合同矩阵的对角元素和常数决定。
曲线方程 22
112212120a x a y a xy c +++= (2.2.1)
对应矩阵
，
设三个向量
,，， ,
求出与1A 合同的对角矩阵1B ,
, 。
因为1A 与1B 合同，存在可逆矩阵1C ，使111T C AC B = , 令111X C Y =,代入上述式（2.2.1）中得
22
112210d x d y c ++= （2.2.2）
又因为1A 为对称矩阵，存在正交矩阵1P ，
使11112(,)T P A P diag l l =，
其中 12,l l 为1A 的特征值，令111X PZ =，带入式子（2.2.1）中，得到
22122220l x l y c ++= （2.2.3）
又因为正交变换保持向量的內积和长度不变，因此上述等式（2.2.1）和等式（2.2.3）所表示的曲线形状相同。
因为矩阵1A 与矩阵1B 合同，且1A 与12(,)diag l l 合同，由矩阵合同的传递性知，矩阵1B 与对角矩阵12(,)diag l l 合同，所以对角矩阵12(,)diag d d 与对角矩阵12(,)diag l l 有相同的秩和正惯性指数，所以（2.2.2）式和（2.2.3）式所表示的曲线形状是大致相同的。
112(,)B diag d d =111211222,,a a A a a ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦1x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121112,x x Y Z y y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
即形如(2.2.1)表示的曲线形状由其合同的对角矩阵的对角元素1d ，2d 及常数c 的正负决定。
2.3 合同矩阵对应二次型所表示的曲面形状的探究
同理可推知，形如22
112212132322220b x b y b xy b xz b yz c +++++= （2.3.1）
所表示的二次曲面方程，
通过线性变换可求出其对应矩阵2A 合同的对角矩阵2B ， 令2123(,,)B diag d d d =，
则式（2.3.1）所表示的二次曲面形状大致由123,,d d d 及常数2c 决定。
小结 合同矩阵对应二次型所表示的空间曲面形状大致相同。
2.4 在鞋的模型设计中应用
当前我国鞋业制造总体水平正在从劳动密集型向技术密集型转变，传统的生产方式速度慢，质量欠缺，且不易突出个性，所以进行技术化的生产对我国制鞋业的兴旺发展至关重要。
通过光学测量系统获得鞋楦表面数据→对点云数据进行拟合，重建鞋楦的三维几何模型→确定关键部位点→楦面网格划分→鞋楦表面展开→展开误差分析→展开图后置处理→创建帮样曲面→修改帮样曲面
创建好鞋的模型后，必然对应一个鞋的曲面，鞋的曲面可能不规则，则可用多个曲面方程表示曲面的各个部分，将曲面方程写成二次型，通过上述的讨论知“合同矩阵对应二次型所表示的空间曲面形状大致相同”，且由合同的对角元素和常数决定，那么同一款鞋的不同尺码可保持对角元素元素不变，即保持鞋的曲面形状不变，通过改变常数而修改鞋的尺码。
3 正定性在空间曲面的探究
设二次型， 222
(,,)F x y z ax by cz
=++。