关于曲面积分对称性的研究
对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用 (2)
的证明相仿， 只要注意到定理 ３ 中△ｘｉ＝－ △ｘｉ′， 定理 ４ 中△ｙｉ＝－ △ｙｉ′， 定理 ５ 中△ｘｉ＝△ｘｉ′， △ｙｉ＝△ｙｉ′即可， 详细证明从略．
定 理 ３ 设 Ｐ（ｘ，ｙ）在 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 平
面曲线 Ｌ 上可积， Ｌ 关于直线 ｙ＝ｂ 对称．若Ｐ（ｘ，ｙ）关于
收稿日期： ２００７－ ０６－ １２ 作者简介： 程希旺， 男， 江苏淮阴人， 淮阴师范学院讲师， 硕士， 主要从事基础数学研究．
７２
程希旺·对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
点， 则
ｎ
! # ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）△ｓｉ＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）△ｓｉ′］
Ｌ
!→０ ｉ ＝ １
文［１］－ ［４］将 对 称 区 间 上 奇（偶）函 数 的 定 积 分 计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上， 得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法， 使得一些 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 得 到 简 化 ， 但 文［１］－ ［４］ 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形．本文将文［１］－ ［４］的结果进一步推 广， 得到一些更为一般性的结果， 将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便． １ 预备知识
ｎ
# ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）］△ｓｉ !→０ ｉ ＝ １
当ｆ（ｘ，ｙ）关于直线 ｌ 为奇函数时， ｆ（!ｉ′， "ｉ′）＝－ ｆ（!ｉ， "ｉ）， 有
!ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０； 当ｆ（ｘ，ｙ）关 于 直 线 ｌ 为 偶 函 数 时 ， ｆ（!ｉ′， Ｌ
浅析曲线和曲面积分的奇偶对称性
原 式 ＝ ｊ ＝ 』 ｚ ｄ ￣ ｄ ｙ ＝ Ｊ ｚ ｄ ｘ
仃
∑
ｆ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｙ ｄ ｚ ＝ ２ ｆ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｚ ．
Ｚｌ
定理 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ ， 相 应 的 还有 其 他 类 似 的结 论 ， 请 爱 好 者 思 考
四、 第二类曲面积分 的奇偶对称性
定 理 ４： 设 分 片 光 滑 的空 间 曲 面 ∑ 关 于 ｙ ｏ ｚ 面对称 ， ∑ 是
闭 曲面 的 外 侧 。
解： 这 是 第 二 类 曲面 积 分 。
曲 面在 ｙ ｏ ｚ 面 的前 半 部 分 ， ∑ ： ｘ ＝ ｘ （ ｙ ， ｚ ） １０ ＞ ， ￣ Ｖ ／ － ， ：
例３ ， 计算 ４ ｄ ｘ 出一 ｄ ｚ ｄ ｙ ＋ ｚ ｄ ｘ ． 其中∑为锥面
ｚ＝
∑
Ｊ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ＝ ２ Ｊ ， （ ｘ ， ｙ ， ｚ ） ｄ ｓ ．
∑ｌ
、 ／
（ 记为 ∑ ） 与球 面 ｚ ＝ 、 ／ — ｌ －
（ 记为 ∑ ） 所围成的封 源自定理 １ ：设 分 段 光 滑 的 平 面 曲线 Ｌ关 于 Ｘ轴 对 称 ， Ｌ 。 是 其 在 上 半平 面 的部 分 。
（ １ ） 若 ， （ ｘ ， ｙ ） ｇ ｙ 的 奇 函 数 ， 则Ｊ ｘ ， ｙ ） ｄ ｓ ＝ ０ 。
例 １ ： 计 算 『 ｆ Ｊ 箭 。 其 中 Ｌ Ｉ ｘ ｌ ＋ Ｉ ｙ Ｉ ＝ １ 取 逆 时 针 方 向 。
』 Ｌ 莆 ＝ 』 ＋ ｆ Ｌ ｒ ， 由 于 Ｌ 关 于 ｘ 、 ｙ 轴 对 称 ， 且 两 被 积 函 数 是 ｘ 和 ｙ 的 偶 函 数 ， 故 』 Ｌ 箭 ＝ ０
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
关于曲线、曲面积分对称性的几个结论
曲线和曲面积分的对称性是数学中一个重要的概念，它提供了一种有效的方法来计算复杂的函数的积分。
曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
首先，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
其次，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
最后，曲线和曲面积分的对称性可以用来求解复杂的函数的积分。
例如，如果一个函数具有对称性，那么可以将函数分成两部分，分别求解，然后将两部分的结果相加，从而节省大量的计算时间。
总之，曲线和曲面积分的对称性是一个重要的概念，它可以用来求解复杂的函数的积分，从而节省大量的计算时间。
它的应用范围很广，可以用来解决各种复杂的数学问题，为我们的研究提供了很大的帮助。
第一型曲面积分的对称性
第一型曲面积分的对称性
一维、二维以及其它多维曲面积分，在积分学中占据重要的地位，是许多基础、重要的数学方法的基础。
而第一型曲面积分是其中一个特殊的实例，其具有独一无二的特性和对称性，有别于传统的积分方法。
第一型曲面积分即示意函数曲面积分，也称为花瓣积分，是一种以曲面的形式
把轴对称函数积分起来的方法。
其原理是用轴对称函数在曲面上的旋转形成的新的函数，然后用积分来计算这个函数的积分。
其对称性指的是，从某一点可以进行等距的旋转，从而得到此曲面积分的等效表示，而无论积分的方向如何变化，其结果都不会发生变化。
由于第一型曲面积分所具有的独有特性和对称性，广泛应用于不同领域。
例如
经典物理学中，经常用其来分析有关多轴对称物理系统的轨道运动；在量子力学领域，第一型曲面积分可以解决许多具有对称性的复杂量子力学问题；在工程应用中，由于其可以准确、快捷的计算带有多轴对称结构设计的一系列数值，因此被广泛采用。
从中可见，第一型曲面积分是一种重要的数学工具，广泛应用于各种不同领域，它具有特有的对称性和独有的优势。
在基础教育过程中，对于对其进行详细的研究将有助于提升我们在该领域的应用能力。
利用对称性计算曲线积分与曲面积分
利用对称性计算曲线积分与曲面积分摘要：借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，利用曲线、曲面关于坐标轴及坐标面得对称性，探讨了对于定义在具有对称性的曲线、曲面上的奇（偶）函数，如何利用对称性计算曲线积分及曲面积分。
这种积分方法使得曲线（面）积分更为简便、快捷，同时，也有利于避免因符号处理不当而导致的积分错误。
而第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题，因此利用对称性来计算较为困难，文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法，并证明了方法的可行性，并通过实例表明，此方法有时能起到简化计算的作用。
关键词：奇（偶）函数 曲线积分 曲面积分 对称 计算引： 在高等数学的学习和研究中，各种积分的运算，有时会给我们带来较多的困难，而借助于（平面）空间曲线及空间曲面的直观几何意义，定义在关于坐标轴及坐标面对称的曲线、曲面上的奇（偶）函数，利用它们的对称性计算曲线积分及曲面积分，可以使得曲线（面）积分更为简便、快捷。
一、 曲线积分（一） 第一类曲线积分的对称问题定义1 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上，（1）若满足关系式=或),(y x f -=，则称),(y x f 为关于x 或y 的偶函数； （2）若),(y x f 满足关系式),(y x f -=-),(y x f 或),(y x f -=-),(y x f ，则称),(y x f 为关于或y 的奇函数；定义2 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲线上（1）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f 或),,(z y x f -=),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的偶函数；（2）若),,(z y x f 满足关系式),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f 或),,(z y x f -=-),,(z y x f ，则称),,(z y x f 为关于x 或y 或z 的奇函数；定理1 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，且曲线L 关于ox （或oy ）对称，则：（1）当偶函数时，⎰Lds y x f ),(=2⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于对称轴一侧的部分）；（2）当),(y x f 是y （或x ）的奇函数时，⎰Lds y x f ),(=0证 设关于ox 轴对称的光滑曲线21L L L +=（其中1L 、2L 分别是曲线L 位于ox 轴上、下两侧的部分）；则：⎰Lds y x f ),(=ds y x f L L ),()(21⎰⎰+用曲线L 上关于ox 轴对称点系分割L ，在1L 上的小弧段中任取一点（i ξ，i η），在2L 上关于i S ∆对称于ox 轴的小弧段中任取一点（i ξ，-i η），构造和式：∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-ii i f ),(ηξiS ∆令：诸小弧段中最长者为λ，由于),(y x f 在L 上可积且i S ∆=i S '∆,于是 （1）当),(y x f 是y 的偶函数，即),(i i f ηξ-=),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x 2∑iiif ),(ηξiS ∆=2⎰1),(L ds y x f（2）当),(y x f 是y 的奇函数，即),(i i f ηξ-=-),(i i f ηξ时，⎰Lds y x f ),(=0lim →x [∑i i i f ),(ηξi S ∆+∑-ii i f ),(ηξi S '∆]=0lim →x {∑i iif ),(ηξiS ∆+∑-iii f )],([ηξiS'∆}=0lim→x ∑i0iS ∆=0 （证毕）定理2 设函数),,(z y x f 在三维光滑或（分段光滑）曲线Γ上可积，且曲线Γ对称于xoy （或yoz 或zox ）坐标面，则（1）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）的偶函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=2⎰Γ1),,(ds z y x f （其中1Γ是Γ位于对称坐标面一侧的部分）；（2）当),,(z y x f 为关于z （或x 或y ）奇函数时，有⎰Γds z y x f ),,(=0推论 设函数),(y x f 在二维光滑（或分段光滑）曲线L 上可积，L 对称于ox 和oy 轴，则（1）当),(y x f 是关于y 和x 的偶函数时，有⎰Lds y x f ),(=4⎰1),(L ds y x f （其中1L 是L 位于第Ⅰ象限中的部分）（2）当),(y x f 是关于y 和x 中至少某一变量的奇函数时，有⎰Lds y x f ),(=0例1 计算ds yx xy x ⎰=++1解：∵积分曲线既对称于ox 轴又对称于oy 轴，且被积函数),(y x f =yx x+是x 的奇函数 ∴原式=ds yx xy x ⎰=++1=⎰=+11y x ds x（二）第二类曲线积分的对称问题定理3 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为)(x y y ±=，（b x a ≤≤）。
对称性在积分中应用
对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
2类曲面积分对称性的问题的理解
2类曲⾯积分对称性的问题的理解
若曲⾯∑关于x=0对称，∑1是∑⼤于等于部分，正侧不变，则当f(-x,y,z)=-f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=0;∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dydz
f(-x,y,z)=f(x,y,z)时
∫∫(∑)f(x,y,z)dydz=0
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdz=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdz
∫∫(∑)f(x,y,z)dxdy=2∫∫(∑1)f(x,y,z)dxdy
若关于y=0(z=0)对称，则有类似结论。
对亏了他⼈为我指点迷津，我才真正的理解了这个结论。
先整理如下
曲⾯关于x＝0对称就是说关于yoz⾯对称，xy⾯这边有⼀个微元，那边也有⼀个微元，投影到xy⾯或xz⾯上时，投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同；⽽投影到yz⾯时⼤⼩形状相同，但是⽅向相反。
f(-x,y,z)=f(x,y,z)就是说函数f在上述两个微元处函数值相等，对dydz积分时，因为两个微元的投影域反向，积分值为零。
对dxdy或dxdz积分时是单侧积分的2倍。
f(-x,y,z)=-f(x,y,z)的情况正好相反，在投影域⼤⼩、形状、⽅向都相同是由于f(-x,y,z)=-f(x,y,z)所以导致⽅向前加个负号，也就是与f(-x,y,z)=f(x,y,z)时的情况完全相对。
这类问题由于区⾯是可以分解投影到3个坐标平⾯，所以要结合空间想象能⼒，弄清楚投影区域与⽅向的关系。
同时本题也可以从物理流量的⾓度来考虑！。
对称性在积分计算中的应用研究【开题报告】
开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
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题目：关于曲面积分对称性的研究专业：数学与应用数学系班：数学与信息科学系毕业年份：姓名：学号：指导教师：职称：关摘 要：在直角坐标系中定义了曲面关于坐标平面的概念，研究了在积分曲面是对称的情况下，曲面积分的若干性质。
利用这些性质，可以简化曲面积分的计算，给出相应的计算公式，并利用对称性计算曲面积分，这种积分方法使曲面积分更为简捷。
关键词：曲面积分；对称性；奇函数；偶函数1 预备知识大学课本上，我们学习了第一型曲面积分和第二型曲面积分，并且学习了他们的一些性质，但是这些性质在一些问题中应用麻烦， 比如一些关于曲面积分计算的问题，我们常会因符号处理不当而导致的积分错误。
在这里，我们研究了曲面积分的另外一些性质及定理，为我们在以后的计算提供了方便以下所讨论的各种情况均假设被积函数在积分区域上连续，积分曲面是分片光滑的]2[。
定义]5[1：设函数),,(),,(z y x f z y x f -=，则称),,(z y x f 关于x 为偶函数；若定义),,(),,(z y x f z y x f --=，则称),,(z y x f 关于x 为奇函数；类似可以定义函数),,(z y x f 关于z y ,变量的奇函数，偶函数。
定义]7[2：设空间曲面11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，若1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，且D y x ∈∀),(有),(),(21y x z y x z -=，1∑与2∑异侧，则称曲面1∑与2∑关于xoy 面对称。
类似可以定义曲面1∑与2∑关于yoz 面对称；曲面1∑与2∑关于zox 面对称。
命题]6][4[1： 若曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，则：12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （1）12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ （2）12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （3）12(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ （4）证明：因曲面1∑与2∑关于xoy 面对称，所以1∑与2∑在xoy 面具有相同的投影区域D ，设11:(,)z z x y ∑=与22:(,)z z x y ∑=，则),(1y x z =),(2y x z -； 所以12z z x x ∂∂=-∂∂ 12z z y y∂∂=-∂∂ 先证明（1）式22(,,)(,,(,Df x y z ds f x y z x y ∑-=-⎰⎰⎰⎰ =⎰⎰∂∂+∂∂+Ddxdy yzx z y x z y x f 21211)()(1)),(,,( =1(,,)f x y z ds ∑⎰⎰在证明（2）式：因为1∑与2∑异侧，不妨令1∑取上侧，2∑取下侧，则1(,,)f x y z d x d y ∑⎰⎰=⎰⎰Ddxdy y x z y x f )),(,,(1221(,,)(,,(,))(,,(,))DDf x y z dxdy f x y z x y dxdy f x y z x y dxdy ∑-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=--⎰⎰⎰⎰下面证明（3）式：11111(,,)(,,)()(,,)()z zf x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂=--=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22221(,,)(,,)()(,,)()z zf x y z dydz f x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∑∂∂-=---=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 根据（2）式1211(,,)()(,,)()z zf x y z dxdy f x y z dxdy x x ∑∑∂∂-=--∂∂⎰⎰⎰⎰ 故12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰同理可证明（4）式。
仿照命题1，可得下列命题。
命题2：若曲面1∑与2∑关于yoz 面对称，则：12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=--⎰⎰⎰⎰ 12(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=-⎰⎰⎰⎰命题3：若曲面1∑与2∑关于zox 面对称，则：12(,,) (,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,) (,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=-⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=-⎰⎰⎰⎰ 12(,,) (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=--⎰⎰⎰⎰以上命题的证明可仿命题1 。
2 重要结论考虑到函数),,(z y x f 的奇偶性，可得下列结论：推论1：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于xoy 面对称，若函数),,(z y x f 关于z 为奇函数，则(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=0 ； (,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰1(,,) 2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；1(,,) 2 (,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰；证明： 先证明函数),,(z y x f 关于z 为奇函数的情形，此时有：),,(z y x f =),,(z y x f --，(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑+21),,(),,(=ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰∑∑-+21)],,([),,(=12(,,)(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑--=⎰⎰⎰⎰012(,,)(,,)(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰= dxdy z y x f dxdy z y x f ]),,([),,(21⎰⎰⎰⎰∑∑-+= 12(,,)f x y z dxdy ∑⎰⎰dydz z y x f dydz z y x f dydz z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=12(,,)[(,,)]0f x y z dydz f x y z dydz ∑∑+--=⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰=12(,,)[(,,)]0f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑+--=⎰⎰⎰⎰接下来证明函数关于),,(z y x f 关于z 为偶函数的情形，此时有：),,(z y x f =),,(z y x f -，ds z y x f ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=ds z y x f ds z y x f ds z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(=dxdy z y x f dxdy z y x f dxdy z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=12(,,)(,,)0f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑+-=⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz f x y z dydz ∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰12(,,)(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑+-⎰⎰⎰⎰=12(,,)f x y z dydz ∑⎰⎰dzdx z y x f dzdx z y x f dzdx z y x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21),,(),,(),,(=123(,,)(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑∑+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理可得下面推论2，推论3.推论2：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于yoz 面对称，若函数),,(z y x f 关于x 为奇函数，则(,,)f x y z ds ∑⎰⎰=0 ； (,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰；1(,,)2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；(,,)0f x y z dzdx ∑=⎰⎰；若函数),,(z y x f 关于x 为偶函数，则1(,,)2(,,);f x y z ds f x y z ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰(,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰； 1(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰；推论3：设空间曲面12 ∑=∑+∑，12∑∑与关于zox 面对称，若函数),,(z y x f 关于y 为奇函数，则(,,)0f x y z ds ∑=⎰⎰；(,,)0f x y z dxdy ∑=⎰⎰(,,)0f x y z dydz ∑=⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dzdx f x y z dzdx ∑∑=⎰⎰⎰⎰若空间),,(z y x f 关于y 为偶函数，则1(,,)2(,,)f x y z ds f x y z ds ∑∑=⎰⎰⎰⎰ 1(,,)2(,,)f x y z dxdy f x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰1(,,)2(,,)f x y z dydz f x y z dydz ∑∑=⎰⎰⎰⎰；(,,)0f x y z dzdx ∑=⎰⎰3 应用利用上面推论可以简化一些曲面积分的计算。
例1：计算222yds x y z∑++⎰⎰其中∑；曲面0,z z H ==之间的圆柱面222x y R +=， 解：因为积分曲面对称于zox 坐标面，且被积函数222(,,)yf x y z x y z=++是关于y 的奇函数，所以2220yds x y z ∑=++⎰⎰例2 计算()f xy yz zx ds ∑++⎰⎰，其中∑为锥面22y x z +=被圆柱面ax yx 222=+所截下的部分]1[。